专题05 平面解析几何
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与
C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为
A ．2
212
x y +=
B ．22
132x y += C ．22
143
x y +=
D ．22
154
x y += 【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．
在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233
n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．
在12AF F △中，由余弦定理得2
2
14422243n n n n +-⋅⋅⋅
=，解得3n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为
22
132
x y +=，故选B ．
法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．
在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得222122
2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩
，
又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去
2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得
2
n =
．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22
132
x y +=，故选B ． 【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2
=2px (p >0)的焦点是椭圆
2231x y p
p
+
=的一个焦
点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8
【答案】D
【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2
p
是椭圆
2231x y p p +=的一个焦点，所以2
3()2
p p p -=，解得8p =，故选D ．
【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．
3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，O 为
坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222
x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C
的离心率为
A B
C ．2
D
【答案】A
【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，
又||PQ OF c ==Q ，||,2
c
PA PA ∴
=∴为以OF 为直径的圆的半径， ∴||2c OA =
，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
， 又P 点在圆2
2
2
x y a +=上，222
44
c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．
2e ∴=，故选A ．
【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．
4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：22
42
x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐
近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为
A ．
32
4
B ．
32
2
C ．2
D ．32【答案】A
【解析】由222,2,6,a b c a b ===+=6,P PO PF x =∴=
Q ， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =
上，则263222
P P b y x a =⋅=⨯=， 11332
62224
PFO P S OF y ∴=
⋅=⨯⨯=
△，故选A ． 【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．
5．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆22
22 1x y a b
+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则
A ．a 2
=2b 2
B ．3a 2=4b
2
C ．a =2b
D ．3a =4b
【答案】B
【解析】椭圆的离心率2
221,2
c e c a b a ===-，化简得2234a b =， 故选B.
【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识､基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：
221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2；
