运筹学网络分析

地理位置、地理实体、地理区域，譬如，山顶、河流汇聚点、车站、 地理位置、地理实体、地理区域，譬如，山顶、河流汇聚点、车站、 码头、村庄、城镇等——点 码头、村庄、城镇等 点 它们之间的相互联系，譬如，构造线、河流、交通线、 它们之间的相互联系，譬如，构造线、河流、交通线、供电与通讯 线路、人口流、物质流、资金流、信息流、技术流等 线路、人口流、物质流、资金流、信息流、技术流等——点与点的 点与点的 连线。 连线。 一个由基本流域单元组成的复杂的流域地貌系统， 一个由基本流域单元组成的复杂的流域地貌系统，如果舍弃各种复 杂的地貌形态，各条河流 杂的地貌形态，各条河流——线，河流分岔或汇聚处 线 河流分岔或汇聚处——点，流域 点 地貌系统——水系的基本结局（树）。 水系的基本结局（ 地貌系统 水系的基本结局
（4 ）环 的两个端点相同， 若e的两个端点相同，即u＝v，则称为环。 的两个端点相同 ＝ ，则称为环。 （5）多重边 若连接两个端点的边多于一条以上， 若连接两个端点的边多于一条以上，则称为 多重边。 多重边。 （6）多重图 含有多重边的图，称为多重图。 含有多重边的图，称为多重图。 （7）简单图 无环、无多重边的图，称为简单图。 无环、无多重边的图，称为简单图。
（13）基础图 13）
从一个有向图D＝（ ， ） 从一个有向图 ＝（V，A）中去掉所有边上的箭头所 ＝（ 得到的无向图，就称为D 的基础图，记之为G（ ）。 得到的无向图，就称为 的基础图，记之为 （D）。
（14）截 14）
如果从图中移去边的一个集合将增加亚图的数目时， 如果从图中移去边的一个集合将增加亚图的数目时， 被移去的边的集合就称为截。 被移去的边的集合就称为截。
需要说明的是——图的定义只关注点之间是否 图的定义只关注点之间是否 需要说明的是 连通，而不关注点之间的连结方式。 连通，而不关注点之间的连结方式。对于任何一个 图的画法并不唯一。 图的画法并不唯一。

一、树的概念及性质 例：已知有五个城市，要在它们之间架设电话线，要 求任何两个城市都可以互相通话（允许通过其它城市） ，并且电话线的根数最少。
v2
v3
v1
v5
v4
9
1.树的定义 ：连通且不含圈的无向图称为树。 次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点，树的边称 为树枝。
v2 v4 v2 v1 v4
d1 j = min( d1i wij )
i
设任一点vi到任一点 vj都有一条弧，如果（vi, vj）不是弧，则添 22 加弧（vi, vj），令wij=+∞
迭代过程：
①初始条件： t=1,d1j(1)=w1j (j=1,2,…,n) ，如果 v1 与 vj间 无边，其最短路长记为+∞ ②t=2,3,…
3
悬挂边：悬挂点的关联边
定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数 的两倍，即
Σd(v)=2q vV
定理2：任一图中，奇点的个数为偶数。
给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列(vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k1)，则称为一条联结vi1和vik的链，记为(vi1,vi2,…,vik)， 称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。
2．最小支撑树（最小树）
具有最小权的支撑树称为最小支撑树。
13
3．求最小支撑树的方法
（1）避圈法 在图中选一条权数最小的边，在以后的每步中，总从未被选 取的边中选一条权数最小的边，并使之与已选取的边不构成圈（ 权数相同时，任选一条），直到选够n-1条边为止。
3
2
4 1 5

vV1 vV2 vV
由于2m为偶数, 而 d (v )是若干个偶数之和, 也是偶数.
vV2
所以 d (v )必为偶数,即 | V1 | 是偶数.
有向图中,以vi为始点的边数称为点vi的出次, 用d (vi )表示, 以vi为终点的边数称为点vi的入次, 用d (vi )表示, vi点的出次与入次之和就是该点的次.
六、第10章 图与网络分析
图与网络的基本知识 树及最小树问题 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
(Graph Theory and Network Analysis)
A
C
D
问题：一个游者怎样才 能一次连续走过这七座 桥且每座桥只走一次， 回到原出发点。
A
B
哥尼斯堡“七桥”难 题 欧拉用A,B,C,D四点表示河的 两岸和小岛，用两点间的联 线表示桥。七桥问题变为： 从A,B,C,D任一点出发，能否 通过每条边一次且仅一次， 再回到该点?
无路可通.那么加上一边( u, v )也不会形成圈, 与已知矛盾. 再证每舍去一边便不连通.若T中有一边( u, v ), 舍去( u, v )后
图T ( u, v )仍然连通, 那么T T ( u, v )由于无圈是一棵树
但T 加一边( u, v )后就是T 仍无圈, 与( 4)中树每加一新边必
从T中去掉(v , u)边及u点不会影响T的连通性, 得图T , T 为树 只有k 1个顶点, 所以有k 2条边, 再把(v , u)，u加上去,可知
当T 有k个顶点时有k 1条边.
( 2) (3)
只需证明T 是连通图.
l
反证法.设T 不连通, 可以分为l个连通分图( l 2), 设第i个
e4

第5章 图论与网络分析
网络分析
➢ 图的基本概念 ➢最小支撑树问题 ➢ 最短路径问题 ➢网络最大流问题
图论起源：哥尼斯堡七桥问题
A
A
C
D
C
D
B
B
问题：一个散步者能否从任一块陆地出发;走过七 座桥;且每座桥只走过一次;最后回到出发点
结论：每个结点关联的边数均为偶数
§1 图的基本概念
1图
由点和边组成;记作G=V;E;其中 V=v1;v2;……;vn为结点的集 合;E=e1;e2;……;em 为边的集合; 点表示研究对象 边表示研究对象之间的特定关系
例 ： G1为不连通图; G2为连通图
G1
G2
5 支撑子图
图G=V;E和G'=V ' ;E ';若V =V ' 且E ' E ;则 称G' 为
G的支撑子图;
例 ：G2为G1的支撑子图
v5
v5
v1
v4 v1
v4
v2
v3
G1
v2
v3
G2
例 ： G2 是G1 的子图；
v2
e1 v1
e6 e7
e2
v3
e8 e9
两条以上的边都是权数最大的边;则任意去掉其 中一条： ③若所余下的图已不含圈;则计算结束;所余下的图 即为最小支撑树;否则;返问①;
例 求上例中的最小支撑树
v1
5
v2
7.5 4
5.5
3
v5
2
解：
v3 3.5 v4 v1
5
v2
75 4
55
3
v5
2
v3 3 5 v4
算法2避圈法：从某一点开始;把边按权从小到大 依次添入图中;若出现圈;则删去其中最大边;直至 填满n1条边为止n为结点数 ;

运筹学
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)

29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法

定义7：子图、生成子图（支撑子图）
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果 V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 则称 G1是G2的一 个支撑子图（部分图）。
图8-2（a）是图 6-1的一个子图，图8-2 （b）是图 8-1的支撑子图，注意支撑子图 也是子图,子图不一定是支撑子图。 e1
v2 ▲如果链中所有的顶点v0，v1，…，vk也不相
e1 e2 e4 v1 e3
v3 e5
同，这样的链称初等链（或路）。
e6
▲如果链中各边e1,e2…,ek互不相同称为简单链。
e7
e8
▲当v0与vk重合时称为回路（或圈），如果边不 v4
v5
重复称为简单回路，如果边不重复点也不重复
则称为初等回路。
图8－1中， μ1={v5,e8,v3,e3,v1,e2,v2,e4,v3,e7,v5}是一条链，μ1中因顶 点v3重复出现，不能称作路。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定理1 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
v1
v3
v2
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定义4 有向图： 如果图的每条边都有一个方向则称为有向图
定义5 混合图： 如何图G中部分边有方向则称为混合图 ② ⑤ ④
定理4 有向连通图G是欧拉图，当且仅当G中每个顶点的出 次等于入次。
② 15
9 10

v3 : v2 ,lv3 v2 ,1
lv3 minlv2 , f32 min1,1 1
v3 vt : f3t 1 c3t
vt : v3 ,lvt v3 ,1
lvt minlv3 ,c3t f3t min1,1 1
二.调整
lvt 1
在u
上：f
s1
fs1 1 1 2
vi vk ,若fki 0,则v j不标号;若fki 0,则v j可标号
vk： vi ,lvk lvk minlvk , fki
.
.
. 可能结局：（1）标号中断，已得最大流
（2）v t 得到标号，得一条增广链
二. 调整过程：
. lvt 调整量
f ij
f ij f ij
vi ,v j u vi ,v j u
非零流
定义2：给定网络D (V , A,C ) 若将V V1 , V1 , Vs V1 , Vt V1
V1 V1 (空)，则称弧集（V1 , V1）为截集
定义3：截集（V1 , V1）所有弧容量之和为截量
C（V1 , V1）
C ij
(Vi ,Vj )(V1 ,V1 )
例1. V1 vs V1 v1,v2 ,v3 ,v4 ,vt
C （V1 , V1） C S1 C S2 5 3 8
2. V1 vs ,v1 ,v2 ,v3 ,v4V1 vt
C （V1 , V1） C4t C流量等于分离Vs ,Vt
的最小截量，则max( f ) minC(V1,V1 )
定理2：可行性f *是最大流，当且仅当不存
v2 (3,3)
(3,3)
vs
(1,1) (1,1)
(5,1)
v1 (2,2)

段表示。如： 1
2
①表示作业开始，②表示作业完成，箭线的长短与时间
长短无关。
2、事项（Event)
也称节点。是作业开始或完成的瞬时状态。只表示相关 作业的衔接点。用带标号的圆圈表示。如
这里
2
2
33
34
4
表示作业，则表示②,③,④结点。 3、路（Path)
从起点到终点的一条通路。
1）路长：路的总长度 2）关键路线：路长最长的路线 3）关键作业：关键路线上的作业
12 12
5
图9.8 某工程的网络图
二、项目按期完成的概率分析(续）
解 利用节点标号法，如图9.8所示。可得关键路线为： 1345，路长为32。即tm=32。此外，利用均方差计
算公式可得 c= 5.1 1）当T=35天时，z=(T – tm)/C=(35-32)/5.1 =0.5882 查正态分布表可得，
5
2
5
13
9
5
13
4
15
30
7
30
8
7
10
3
13
6
5
5
20 20
图9.13某方案的网络图
四、经济赶工分析（续）
表9.4 成本斜率表
正常
作业
时间
成本
（天） （元）
12
6
210
13
5
300
12 4
0
4
0
4
0
0 12
23 1
4
5
7
8
3
0
24 2
4
6
4
6
0
0 24
25 4
4

（8）考察V8点，只有一个T标号，T(V8)=15，令P(V8)=15)，记录路 径（V7，V8），计算结束。
反推得最V1至V8的最短路为V1→V2 →V5 →V7 →V8,路长15。
8.2 最短路问题
一、Dijkstra算法：求无负权网络最短路问题。
计算步骤：
（1）给Vs以P标号，P（Vs）=0，其余各点给T标号， T（Vi）=+∞；
且仅得一个圈。
4）图中边数为：p-1（p为顶点数）
8.1 图与网络基本知识
例8-4：一个班级的学生共计选修A、B、C、D、 E、F六门课程，其中一部分人同时选修D、C、A， 一部分人同时选修B、C、F，一部分人同时选修 B、E，还有一部分人同时选修A、B，期终考试 要求每天考一门课，六天内考完，为了减轻学生 负担，要求每人都不会连续参加考试，试设计一 个考试日程表。
（2）若Vi点为刚得到P标号的点，考虑点Vj: (Vi,Vj) 属于E，且Vj为T标号。则修改T(Vj)
T(Vj)=min[T(Vj),P(Vi)+lij]；
（3）比较所有T标号的点，把最小者改为P标号，即： P（Vi）=min[T(Vi)] 当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。
8.2 最短路问题
8.1 图与网络基本知识
三、有向图的有关概念:
有向图：
由点和弧组成。表示为：D=（V，A）
V--点集合 A--弧集合
始点和终点： 对弧a=(u，v)， u为a的始点，v为a的
终点。
链（道路）：
点弧交错序列。
圈（回路）：
如一条链中起点和终点重合。
初等链（道路）： 链中无重复的点和弧。
（3） 考察V5V6和V5V7两边： T(V6)=min[T(V6),P(V5)+l56]=min[+∞,8+5] =13 T(V7)=min[T(V7),P(V5)+l57]=min[+∞,8+6] =14

v6
v7
v8
考虑边（v1,v2),(v1,v6),(v4,v2),(v4,v7)
计算 min{0+2, 0+3, 1+10, 1+2}=min {2,3,11,3} =2
v2:[2,v1]
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1] [2,v1] 2 1 10 [1,v1] v4 5 v6 [3,v1] 4 2 v7
最短．
最小支撑树的求法
1 破圈法 2 避圈法
5.2.1 求解最小支撑树问题的破圈法
方法：去边破圈的过程。 步骤：1）在给定的赋权的连通图上任找 一 个圈。 2）在所找的圈中去掉一条权数最 大的边。 3）若所余下的图已不含圈，则计 算结束，余下的图即为最小支撑
树，否则返回 1）。
例１：用破圈法求右图
v1 1 5 4 v2 2 v4 3 v6
权和＝１５
5.3 最短路问题
问题：求网络中一定点到其它点的最短路。
5.3.1 最短路问题的Dijstra解法 方法：给vi点标号[αi,vk] 其中：αi：vi点到起点vs的最短距离 vk: vi的前接点
方法：(1) 给起点vs标号[0，vs]。 （2）把顶点集v分为互补的两部分A和Ā 其中：A：已标号点集 Ā：未标号点集 （3）考虑所有这样的边[vi, vj], 其中vi ∈A,vj ∈ Ā 挑选其中与vs距离最短的点vj标号 [min{αi+cij},vi]
[3，V1]
考虑边(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7),(v6,v7)
计算 min { 2+6, 2+5, 1+2, 3+4}=min {8,7,3,7}=3
v7:[3,v4]

运筹学课件-第六章 图与网络分析
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。

（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能 重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示 。
cij
fij
⑼ 割的容量：割集中各弧的容量之和。
⑽ 最小割：所有割集中容量之和为最小的一个割集。
⑾ 前向弧μ+：一条发点到收点链中，由发点指向收点的弧，又称 正向弧。
⑿ 后向弧μ-：一条发点到收点链中，由收点指向发点的弧，又称 逆向弧。
⒀ 增广链：由发点到收点之间的一条链，如果在前向弧上满足流 量小于容量，即fij<cij，后向弧上满足流量大于0，即fij>0，则称这 样的链为增广链。
二、两个定理
。定理：网络的最大流量等于它的最小割集的容量。
定理：当网络中不存在任何增广链时，则网络达到最大流状态。
设有如下增广链：
s t
∵ △f=1 ∴ 该网络没有达到最大流状态。
三、网络最大流的标号算法 (Ford-Fulkerson标号算法)
基本思想：寻找增广链，改善流量分布；再重复，直到不 存在任何增广链为止。
二、最小部分树的求法 例：要在下图所示的各个位置之间建立起通信网络，
试确定使总距离最佳的方案。
1. 避圈法

运筹学中网络分析名词解释
运筹学：缩写OR，是利用计划方法和有关多学科的要求。

把复杂功能关系。

表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据。

定性决策：基本上根据决策人员的主观经验或感受到的感觉或只是而制定的决策。

定量决策：借助于某些正规的计量方法而作出的决策。

混合性决策：必须运用定性和定量两种方法才能制定的决策。

预测：是对未来的不确定的事物进行估计或判断。

专家小组法：是在介绍咨询的专家之间组成一个小组，面对面的进行讨论与磋商，最后对需要预测的课题得出比较一致的意见
指数平滑预测法：是定量与定性方法相结合的一种预测方法。

决策：从狭义方面来说，决策可以解释为对一些可供选择的方案作出抉择。

广义的决策过程包括4个程序：明确决策项目的目的，寻求可行的方案，在诸可行方案中进行抉择，对选定的决策方案经过实施后的结果进行总结评价。

常规性决策：它是例行的，重复性的决策。

做这类决策的个人或组织。

又要需要他们决策的问题不是新问题，一般来说已经有管理和经验作参考。

因而进行决策是就比较容易。

特殊性决策：是对特殊的，先例可循的新问题的决策。

做这类决策的个人或组织只有认真履行决策过程的四个阶段，才能作出满意的决策。

总之网络就是赋权的图。

权是程度的度量。

运筹学是现代管理学的一门重要专业基础课，是应用数学和形式科学的跨领域研究，利用统计学、数学模型和算法等方法，去寻找复杂问题中的最佳或近似最佳的解答。

它是20世纪30年代初发展起来的一门新兴学科，其主要目的是在决策时为管理人员提供科学依据。

管理运筹学教程
第四章 网络分析
清华大学出版社
第四章 图论与网络分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节

图的基本概念及图的模型 图论和网络分析中常用的名词 路径问题 最小生成树问题 最短路问题 最大流问题 最小费用流问题 中国邮递员问题 网络计划技术
( i , j )S
x
ij
xij 0,1
清华大学出版社
四、寻找最小生成树的方法
Kruskal方法 破圈法 矩阵计算法

清华大学出版社
Kruskal方法
v4
6 5
v5
4
v1
5
1
7
3 4
v6
v2
2
清华大学出版社
v3
矩阵计算方法
v1 v2
T v1 0
v3 v4
v5 v6
v2 5 0 2 1 7 v3 2 0 3 4 v4 6 1 0 5 v5 7 3 5 0 4 v6 4 4 0 6
清华大学出版社
0
0
1234
1
0
1236
1 ]

由 B(3) 矩 阵 的 第 一 行 可 知 v1→v4 和 v1→v6各有一条经过3条边的路径。

清华大学出版社
第二节 最小生成树
什么是树？ 构造生成树的方法 最小生成树问题 寻找最小生成树的方法

清华大学出版社
一、什么是树？
清华大学出版社
例4-2的图模型
A B F C E D
清华大学出版社
例4-2的解
因此考试课表是： 第一天AE， 第二天BC， 第三DF。

2
v4
v5
4 3 4
v1
1
5
7
v6
v2
2

例 10
15
8
13
13
5
1
14 12
16
4
12 14
93
14
2
16
3
14
7
6
15
破圈法：任意选一个圈划掉权值最大的
边，重复直到所有节点形不成圈
例 11:
15
8
13
13
5
1
14 12
16
4
12 14
14
2
16
3
14
7
6
15
15
8
13
13
5
1
14 12
尽管试验者很多，但是都没有成功。为了寻找答案，1736年欧 拉将这个问题抽象成下图所示图形的一笔画问题。即能否从某 一点开始不重复地一笔画出这个图形，最终回到原点
C
A
B
D
欧拉在他的论文中证明了这是不可能的，因为这个图形中每一 个顶点都与奇数条边相连接，不可能将它一笔画出，这就是古 典图论中的第一个著名问题。
其中 v5 为悬挂点， v7 为孤立点。
定理1 所有顶点度数之和等于所有边数的2 倍。
vV
d(v) = 2q
证明：因为在计算各个点的度时，每条边被 它的两个端点个用了一次。
定理2 在任一图中，奇点的个数必为偶数。
证明： 设 V1，V2 分别是图G中奇点和偶点的
集合，由定理1 ，有
d (v ) d (v ) d (v ) 2q 因为 d (v ) 是偶数， d (v) 也是偶数，因此

v6
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
v1
v2
v3
v4
v5
v1
v2
v3
v4
v5
图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
v1
v2
v3
v4
v5
注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。

v5 1 v6 7 1 v7 －5 －3
e1 {v1 , v2 }
e3 {v2 , v3 }
e2 {v1 , v2 }
e4 {v3 , v4 } e6 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e5 {v1 , v3 }
e7 {v3 , v5 } e9 {v6 , v6 }
v1
第二节 树 一、 树的概念和性质 例8.3 已知有六个城市，它们之间 要架设电话线，要求 任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。
v1 v6 v5 v2
v3
v4
定义9 一个连通的无圈的无向图叫做树。
作为树T的定义，下列定义是等价的： （1）T是一个树。（设其顶点数为n ，边数为 m ） （2）T无圈，且m=n-1。 （3）T连通，且m=n-1 。 （4）T无圈，但在树中不相邻的两个点之间加上一条边， 那么恰好得到一个圈。 （5）T中任意两个顶点之间有且仅有一条链。 （6）T连通，但去掉T的任一条边，T就不连通。
( vi , v j )
一、 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法 适用于wij≥0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。
算法步骤： 1.给始点vs以P标号 P(vs ) 0 ，这表示从vs到 vs的最短距离 T 为0，其余节点均给T标号， (vi ) (i 2 , 3,, n) 。 2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 (vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
e1 v1
e2 e5
e8 v5
v2
d(v1)= 4，d(v6)= 4
e10 v6 e9
e3 e v4 4 e6 e7 v3