人教版八年级数学下册《勾股定理》典型练习题

2022-2023学年人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》同步练习题（附答案）一．选择题1．已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（）A．5B．25C．D．5或2．△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的面积为（）A．66B．126C．54或44D．126或663．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以边AB，CA，BC向外作正方形，正方形ABIH 的面积为25，正方形BDEC的面积为169，则正方形ACFG的面积是（）A．194B．144C．122D．1104．下面图形能够验证勾股定理的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边a 与较长的直角边b的比的值是（）A．B．C．D．6．如图是一正方体的平面展开图，若AB＝6，则该正方体A、B两点间的距离为（）A．2B．3C．4D．67．如图，在△ABC中，∠C＝90°，分别以A、B为圆心画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交BC于点D，连接AD．若BD＝2，则AD的长为（）A．B．C．1D．28．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（）A．14B．13C．14D．149．如图，正方形ABCD的面积为15，Rt△BCE的斜边CE的长为8，则BE的长为（）A．17B．10C．6D．710．如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有（）A．1条B．2条C．3条D．4条二．填空题11．把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为．12．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么（a+b）2的值为．13．如图，已知OA＝13，点A到射线OM的距离为5，点B是射线OM上的一个动点，当△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为．14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC 于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是．15．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝6，则BD的长是．16．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…，依此法继续作下去，得OP2022＝．三．解答题17．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．（1）求AB的长；（2）求△ACB的面积．18．已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A 方向运动，在BC边上的运动速度是每秒2cm，在AC边上的运动速度是每秒1.5cm，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，t为何值时，△ACQ的面积是△ABC面积的；（3）当点Q在边CA上运动时，t为何值时，PQ将△ABC周长分为23：25两部分．19．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．（1）求AB的长；（2）若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，△BCP为等腰三角形？20．阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做可爱三角形．（1）根据可爱三角形的定义，等边三角形是可爱三角形吗？请说明理由；（2）若某三角形的三边长分别为2、、3，试判断该三角形是否为可爱三角形，请说明理由．21．如图，∠AOB＝90°，点C在OA边上，OA＝36cm，OB＝12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？22．已知：在平面直角坐标系中，两点的横向（或纵向）距离可以用两点横坐标（或纵坐标）的差的绝对值来表示．（1）如图，平面内点A坐标为（2，3），点B坐标为（﹣1，﹣1），则AB两点的横向距离BC＝，纵向距离AC＝，最后，可得AB＝；（2）平面内有点M（1，），点N（m，﹣）（m＞0），请参考（1）中方法求线段MN的长．（用含m的式子表示）23．如图，在平面直角坐标系中有△ABC，AB＝AC＝13，BC＝10，点C的坐标为（6，0），求A，B两点的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为（﹣a，2a）、（3a，2a），其中a＞0，点A为BC的中点，若BC＝4，解决下列问题：（1）BC所在直线与x轴的位置关系是；（2）求出a的值，并写出点A，C的坐标；（3）在y轴上是否存在一点P，使得△P AC的面积等于5？若存在，求P的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）图中线段BC的长为；（3）△ABC的面积为；（4）点P在y轴上，且△ABP的面积等于△ABC的面积，则点P的坐标为．参考答案一．选择题1．解：当3和4都是直角边时，第三边长为：；当4是斜边长时，第三边长为：．故选：D．2．解：如图1，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝20，AD＝12，∴BD＝＝＝16，又∵AC＝13，∴CD＝＝＝5，∴BC＝BD+CD＝21，∴△ABC的面积＝×21×12＝126；如图2，BC＝BD﹣CD＝11，∴△ABC的面积＝×11×12＝66；综上所述，△ABC的面积为126或66，故选：D．3．解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∵正方形ABIH的面积为25，正方形BDEC的面积为169，∴AB2＝25，BC2＝169，∴AC2＝BC2﹣AB2＝169﹣25＝144，∴正方形ACFG的面积＝AC2＝144，故选：B．4．解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理．第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．第三个图形：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理．第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积＝两个直角三角形的面积的和，即（b﹣）（a+）＝ab+c c，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理，∴能够验证勾股定理的有4个．故选：A．5．解：∵大正方形的面积是13，设边长为c，∴c2＝13，∴a2+b2＝c2＝13，∵直角三角形的面积是＝3，又∵直角三角形的面积是ab＝3，∴ab＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25，∴a+b＝5．∵小正方形的面积为（b﹣a）2＝1，∴b＝3，a＝2，∴．故选：B．6．解：∵AB＝6，∴该正方体的棱长为3＝，∴把正方形组合起来之后会发现A、B在同一平面的对角线上，所以该正方体A、B两点间的距离为3，故选：B．7．解：由作图可知，点D在线段AB的垂直平分线上，∴AD＝BD＝2，故选：D．8．解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，小正方形的边长＝24﹣10＝14，∴EF＝＝14．故选：D．9．解：∵正方形ABCD的面积为15，∴BC2＝15，∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝＝7，故选：D．10．解：由勾股定理得，a＝，b＝．c＝，d＝2，∵无理数有，两个，故选：B．二．填空题11．解：6﹣4＝2，2×2＝4．故图2中小正方形ABCD的面积为4．故答案为：4．12．解：由于大正方形的面积25，小正方形的面积是1，则四个直角三角形的面积和是25﹣1＝24，即4×ab＝24，即2ab＝24，a2+b2＝25，则（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49．故答案为：49．13．解：过A作AN⊥OM于N，则AN＝5，∴ON＝＝＝12，当△AOB为等腰三角形时，分三种情况：①当OA＝AB时，如图1所示：∵AN⊥OM，∴ON＝BN＝12，∴OB＝2ON＝2×12＝24；②OA＝OB时，如图2所示：OB＝13；③OB＝AB时，如图3所示：设OB＝AB＝x，则BN＝ON﹣OB＝12﹣x，在Rt△ABN中，由勾股定理得：AN2+BN2＝AB2，即52+（12﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴OB＝；综上所述，当△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为24或13或，故答案为：24或13或．14．解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵AC＝8，BC＝5，∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．故答案是：13．15．解：作DE⊥AB于E，在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝，∵AD平分∠BAC，AC⊥DC，DE⊥AB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝+＝，∴6CD+10CD＝48，∴CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5，故答案为：5．16．解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝，∴OP2022＝．故答案为：．三．解答题17．解：（1）∵△ABE的面积为35，DE＝7，∴AB×7＝35，解得：AB＝10；（2）在△ABC中，AB2＝102＝100，AC2+BC2＝62+82＝100，则AB2＝AC2+BC2，∴∠C＝90°，∴S△ABC＝AC•BC＝×6×8＝24，答：△ACB的面积24．18．解：（1）当t＝2s时，点Q在边BC上运动，则AP＝2cm，BQ＝2t＝4（cm），∵AB＝8cm，∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2＝6（cm），在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ＝＝＝2（cm），∴PQ的长为2cm；（2）∵S△ACQ＝CQ•AB，S△ABC＝BC•AB，点Q在边BC上运动时，△ACQ的面积是△ABC面积的，∴CQ＝BC＝×6＝2（cm），∴BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2＝4（cm），∴t＝＝2，∴当点Q在边BC上运动时，t为2时，△ACQ的面积是△ABC面积的；（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），当点P达到点B时，t＝＝8，当点Q达到点A时，t＝+＝，∵当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，∴0≤t≤8，∵AP＝tcm，∴BP＝（8﹣t）cm，点Q在CA上运动时，CQ＝1.5×（t﹣）＝（1.5t﹣4.5）（cm），∴AQ＝10﹣（1.5t﹣4.5）＝（﹣1.5t+14.5）（cm），∴BP+BC+CQ＝8﹣t+6+1.5t﹣4.5＝（0.5t+9.5）（cm），AP+AQ＝t+（﹣1.5t+14.5）＝（﹣0.5t+14.5）（cm），分两种情况：①＝，即＝，解得：t＝4，经检验，t＝4是原方程的解，∴t＝4；②＝，即＝，解得：t＝6，经检验，t＝6是原方程的解，∴t＝6；综上所述，当点Q在边CA上运动时，t为4或6时，PQ将△ABC周长分为23：25两部分．19．解：（1）∵∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝13，∴AB的长为13；（2）当点P在AC上时，CP＝CB＝5，t＝5（s）；当点P在AB上时，分三种情况：①当BP＝BC＝5，如图1所示：则AP＝13﹣5＝8，t＝12+8＝20（s）；②当CP＝CB＝5时，过点C作CM⊥AB于M，如图2所示：则BM＝PM＝BP，∵AC•BC＝AB•CM，∴CM＝＝＝，在Rt△BCM中，由勾股定理得：BM＝＝＝，∴BP＝2BM＝，∴AP＝13﹣＝，∴t＝12+＝（s）；③当PC＝PB时，如图3所示：则∠B＝∠BCP，∵∠B+∠A＝90°，∠BCP+∠ACP＝90°，∴∠A＝∠ACP，∴AP＝PC，∴AP＝PB＝AB＝，∴t＝12+＝（s）；综上所述，当t＝5s或20s或s或s时，△BCP为等腰三角形．20．解：（1）等边三角形是可爱三角形，理由：设等边三角形的边长为a，∵a2+a2＝2a2，∴等边三角形是可爱三角形；（2）该三角形不是可爱三角形，理由：∵22＝4，（）2＝17，32＝9，∴22+（）2≠2×32，22+32≠2×（）2，（）2+32≠2×22，∴该三角形不是可爱三角形．21．解：∵点P、Q同时出发，且速度相同，∴BC＝CA，设BC＝xcm，则CA＝xcm，∵OA＝36cm∴OC＝（36﹣x）cm，∵∠AOB＝90°∴OB2+OC2＝BC2，∴122+（36﹣x）2＝x2，解得：x＝20，∴BC＝20cm．22．解：（1）BC＝2﹣（﹣1）＝3，AC＝3﹣（﹣1）＝4，由勾股定理得，AB＝，故答案为：3，4，5；（2）∵MN的横向距离为m﹣1，纵向距离为2，∴MN＝＝＝＝|m+3|，∵m＞0，∴MN＝m+3．23．解：过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴DC＝BD＝BC＝5，∵点C的坐标为（6，0），∴OC＝6，∴OD＝1，OB＝4，∴B（﹣4，0），在Rt△ADC中，根据勾股定理得AD＝12，∴A（1，12）；答：A，B两点的坐标分别是（1，12）、（﹣4，0）．24．解：（1）平行，∵B与C的纵坐标相同，∴BC∥x轴，故答案为：平行；（2）∵BC＝4，∴3a﹣（﹣a）＝4，∴a＝1，∴B（﹣1，2），C（3，2），∵A为BC的中点，∴A（1，2）；（3）存在，设P（0，m），∵AC＝2，∴，∴m＝﹣3或7，∴P（0，﹣3）或（0，7）．25．解：（1）点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（0，2）；故答案为：（3，4），（0，2）；（2）BC＝＝；故答案为：；（3）S△ABC＝4×3﹣×2×3﹣×1×4﹣×1×3＝5.5；故答案为：5.5；（4）设P（0，m），∵△ABP的面积等于△ABC的面积，∴|m﹣2|×3＝5.5，解得：m＝或﹣，∴点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．故答案为：（0，）或（0，﹣）．。

人教新版八年级下学期《17.1 勾股定理》同步练习卷一．填空题（共19小题）1．在凸四边形ABCD中，AD=，AB+CD=2，∠BAD=60°，∠ADC=120°．M是BC的中点，则DM=．2．如图所示，A、B是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C 的位置．3．如图，已知，直角△ABC中，∠ACB，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长AD=5，BE=2，则斜边AB之长为．4．如图，有一个直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP=时，才能使△ABC与△QPA全等．5．如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD2等于．6．如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，则第10个直角三角形的斜边长为．7．直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边上的高为．8．若一个直角三角形的其中两条边长分别为6和8，则第三边长为．9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD=10cm，AC=8cm，那么D 点到直线AB的距离是cm．10．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为cm2．11．两边长分别为3和5的直角三角形的第三边长为．12．课堂上，老师给同学们出了一道题：“有一直角三角形的两边长分别为6cm 和8cm，你们知道第三边的长度吗”刘飞立刻回答；“第三边是10cm．”你认为第三边应该是cm．13．已知：如图，△ABC中，过AB的中点F作DE⊥BC，垂足为E，交CA的延长线于点D．若EF=3，BE=4，∠C=45°，则DF：FE的值为．14．直角三角形的两条直角边长分别为cm、cm，则这个直角三角形的斜边长为，面积为．15．如图所示，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=4，S2=8，则S3=．16．已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=5，则图中阴影部分的面积为．17．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC=4，BC=3，则CD=．18．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个4×4的方格纸中，找出格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C共有个．19．如图，三个正方形A，B，C如图放置，且正方形A，B的面积分别是2cm2和3cm2，则正方形C的面积等于cm2．二．解答题（共31小题）20．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？21．如图，Rt△ABC的斜边AB=5，cosA=，（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；（2）若直线l与AB、AC分别相交于D、E两点，求DE的长．22．如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．利用这个图试说明勾股定理．23．如图，四个全等的直角三角形的拼图，你能验证勾股定理吗？试试看．的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．（1）△ABC的面积为：．（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积．（3）如图3，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13、10、17①试说明△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面积相等；②请利用第2小题解题方法求六边形花坛ABCDEF的面积．25．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求CD的长．26．如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）△ABC的面积为．（2）若△DEF的三边DE、EF、DF长分别为，，，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并求出△DEF的面积为．（3）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD（D 与C在AB异侧），使△ABD为等腰直角三角形，则线段CD的长为．28．如图，AD⊥AB，BC⊥AB，AB=20，AD=8，BC=12，E为AB上一点，且DE=CE，求AE．29．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=20，AC=15，AD⊥BC，垂足为D，（1）求BC的长；（2）求AD的长．30．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，垂足为E，AD⊥CE，垂足为D，（1）判断直线BE与AD的位置关系是；BE与AD之间的距离是线段的长；（2）若AD=6cm，BE=2cm，求BE与AD之间的距离及AB的长．31．如图，将在Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到在Rt△ADE，连接BE，延长DE、BC相交于点F，则有∠BFE=90°，且四边形ACFD是一个正方形．（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；（2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积；（3）求证：a2+b2=c2．32．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，CD是射线，∠BCF=60°，点D在AB上，AF、BE分别垂直于CD（或延长线）于F、E，求EF的长．33．如图，直角坐标系中，已知A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发，沿BO向终点O移动；动点Q从点A点出发，沿AB向终点B移动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位．设从出发起运动了x秒．（1）点P的坐标是（，）；（2）点Q的坐标是（，）；（3）x为何值时，△APQ是以AP为腰的等腰三角形？34．在如图的5×5网格中，小方格的边长为1．（1）图中格点正方形ABCD的面积为；（2）若连接AC，则以AC为一边的正方形的面积为；（3）在所给网格中画一个格点正方形，使其各边都不在格线上且面积最大，你所画的正方形面积为．35．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积填写在横线上；探索创新：（3）若△ABC中有两边的长分别为、（a＞0），且△ABC的面积为2a2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的△ABC（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上．36．已知：在四边形ABCD中，∠D=90°，DC=3cm，AD=4cm，AB=12cm，BC=13cm．求四边形ABCD的面积．37．已知a、b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2+1）=12，求这个直角三角形的斜边长．38．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，所得的差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答：（1）如果的整数部分为a，那么a=．如果，其中b是整数，且0＜c＜1，那么b=，c=．（2）将（1）中的a、b作为直角三角形的两条直角边，请你计算第三边的长度．39．如图，正方形MNPQ网格中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上．（1）设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求：①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面积；②正方形ABCD的面积；（2）设MB=a，BQ=b，利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？相信你能给出简明的推理过程．40．在第六册课本的阅读材料中，介绍了一个第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．41．如图，是4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c．你能利用这个图形验证勾股定理吗？42．在数轴上作出表示的点．43．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6，BC=8，（1）求AB的长；（2）求CD的长．44．如图已知，每个小方格是边长为1的正方形，求△ABC的周长（结果用根号表示）．45．图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形．46．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形BC边上的高．杰杰同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．借用网格等知识就能计算出这个三角形BC边上的高．（1）请在正方形网格中画出格点△ABC；（2）求出这个三角形BC边上的高．47．美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法，如图，他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，请你利用此图形验证勾股定理．48．在图中，BC长为3，AB长为4，AF长为12，求正方形的面积．（其中∠FAC 和∠ABC都为直角．）49．用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出的点．50．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称，．（2）如下图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB．（3）如图（2），以△ABC边AB作如图正三角形ABD，∠CBE=60°，且BE=BC，连接DE、DC，∠DCB=30°．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．人教新版八年级下学期《17.1 勾股定理》同步练习卷参考答案与试题解析一．填空题（共19小题）1．在凸四边形ABCD中，AD=，AB+CD=2，∠BAD=60°，∠ADC=120°．M是BC的中点，则DM= 1.5．【分析】本题要靠辅助线的帮助．根据题意画出图形，作出辅助线，根据各边的关系求解．【解答】解：如图，延长DM、AB，交于E，在AE上取中点F，连接DF．∵∠BAD=60°，∠ADC=120°，∴∠BAD+∠ADC=180°，∴AB∥CD，∴∠EBM=∠DCM；在△EMB和△DMC中，，∴△EMB≌△DMC，∴BE=CD；∵AB+CD=2，点F为EA的中点，∠BAD=60°，AD=AF=EF=，∴∠EDA=90°；根据勾股定理可得ED=AD，∴ED=3∵M为ED的中点∴MD=1.5．【点评】本题是一道根据三角形的中线定义结合勾股定理求解的综合题，有利于锻炼学生综合分析、解答问题的能力．2．如图所示，A、B是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C 的位置．【分析】根据等腰三角形的性质在表格中找出C点．【解答】解：以A为圆心，AB长为半径画圆，圆弧经过格点C2、C3；以B为圆心，AB长为半径画圆，圆弧经过格点C1，∴BC1=AC2=AC3=AB==，∵因为AB的中点不在格点上，因此AB的垂直平分线不会经过格点∴C1、C2、C3是所要找的点．【点评】心动不如行动，赶快拿起圆规，画出图形，根据数形结合思想，利用全等三角形的性质解答此题．3．如图，已知，直角△ABC中，∠ACB，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长AD=5，BE=2，则斜边AB之长为．【分析】设BC=x，AC=y，根据已知列方程组，从而可求得斜边的平方，即求得斜边的长．【解答】解：设BC=x，AC=y根据题意运用勾股定理，得整理得，=65，即x2+y2=52∴斜边的长是2．【点评】注意此题的解题技巧：根据已知条件，在两个直角三角形中运用勾股定理列方程组．求解的时候，注意不必分别求出未知数的值，只需求出两条直角边的平方和，运用勾股定理即可．4．如图，有一个直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP=5或10时，才能使△ABC与△QPA全等．【分析】分两种情形分别求解即可．【解答】解：当AP=5时，Rt△ABC≌Rt△QPA，理由是：∵∠C=90°，AQ⊥AC，∴∠C=∠QAP=90°，当AP=5=BC时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），当AP=AC=10，AQ=BC=5时，△ABC≌△PQA，故答案为：5或10．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．5．如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD2等于18．【分析】可过P作AD、AB的平行线，将矩形ABCD分割成四个小矩形，然后根据勾股定理求出PA、PB、PC、PD四条线段的长度的数量关系，然后再代值计算．【解答】解：如图，过P作AD、AB的平行线，原矩形被分成四个小矩形；由勾股定理得：PA2=a2+b2，PC2=c2+d2；PB2=b2+c2，PD2=a2+d2；因此：PA2+PC2=PB2+PD2，即：32+52=42+PD2，解得，PD2=18．【点评】此题考查了矩形的性质和勾股定理的应用，正确地得到PA、PB、PC、PD四条线段之间的数量关系至关重要．6．如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，则第10个直角三角形的斜边长为．【分析】分别求出图中所给直角三角形的斜边长，找出规律，即可解答．【解答】解：根据图形，运用勾股定理知，第一个直角三角形的斜边是，第二个直角三角形的斜边是，推而广之，则第n个直角三角形的斜边是，所以第10个直角三角形的斜边长为．故答案为：．【点评】熟练运用勾股定理，能够根据具体数据进行推广，发现规律．7．直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边上的高为 2.4．【分析】根据勾股定理求出斜边的长，利用面积法求出三角形斜边上的高．【解答】解：由勾股定理知，斜边c==5，设斜边上的高为h，根据直角三角形的面积公式得：S△=×3×4=×5h，∴h==2.4．【点评】本题利用了勾股定理和直角三角形的面积公式求解．8．若一个直角三角形的其中两条边长分别为6和8，则第三边长为10或2．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：设第三边为x，（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82=x2解得：x=10，（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2=82，解得x=2．故第三边长为10或2．故答案为：10或2．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD=10cm，AC=8cm，那么D 点到直线AB的距离是6cm．【分析】首先根据勾股定理求得CD的长，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得D到AB得距离等于CD的长．【解答】解：∵AD=10cm，AC=8cm∴CD=6cm∵AD平分∠CAB∴D点到直线AB的距离=CD=6cm【点评】运用了勾股定理以及角平分线的性质．10．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为15cm2．【分析】设直角三角形ABC的两直角边是a和b，斜边是c，由勾股定理得出a2+b2=c2，求出以a b为边长的两个正方形的面积之和是a2+b2=15cm2，以斜边c为边长的正方形的面积是S=c2=a2+b2，代入求出即可．【解答】解：设直角三角形ABC的两直角边是a和b，斜边是c，则由勾股定理得：a2+b2=c2，则分别以a b为边长的两个正方形的面积之和是a2+b2=7cm2+8cm2=15cm2，以斜边c为边长的正方形的面积是S=c2=a2+b2=15cm2，故答案为：15．【点评】本题考查了勾股定理和正方形的面积，关键是得出c2=a2+b2=15cm2，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．11．两边长分别为3和5的直角三角形的第三边长为4或．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即5是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：当5是斜边时，第三边长==4；当5是直角边时，第三边长==．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．12．课堂上，老师给同学们出了一道题：“有一直角三角形的两边长分别为6cm 和8cm，你们知道第三边的长度吗”刘飞立刻回答；“第三边是10cm．”你认为第三边应该是10或2cm．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：8是斜边时，第三边长=2cm；8是直角边时，第三边长=10cm．故第三边应该是10或2cm．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．13．已知：如图，△ABC中，过AB的中点F作DE⊥BC，垂足为E，交CA的延长线于点D．若EF=3，BE=4，∠C=45°，则DF：FE的值为7：3．【分析】过点A作AG⊥BC，垂足为G，根据DE⊥BC，F是AB中点，利用三角形中位线定理求出EG=BE=4，AG=2EF=6，再根据∠C=45°，DE⊥BC，求出DF，然后即可得出答案．【解答】解：过点A作AG⊥BC，垂足为G，∵DE⊥BC∴EF∥AG又∵F是AB中点∴E也为BG中点，==∴EG=BE=4 AG=2EF=6又∵∠C=45°∴AG=GC=6∴EC=EG+GC=10又∵∠C=45° DE⊥BC∴DE=EC=10∴DF=DE﹣EF=10﹣3=7∴DF：FE=7：3．故答案为：7：3．【点评】此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形中位线定理求出EG=BE=4，AG=2EF=6．14．直角三角形的两条直角边长分别为cm、cm，则这个直角三角形的斜边长为2cm，面积为cm2．【分析】此题直接利用勾股定理及三角形的面积解答即可．【解答】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长==2cm；直角三角形的面积=×=cm2．故填2cm，cm2．【点评】此题主要考查勾股定理及三角形的面积．15．如图所示，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=4，S2=8，则S3=12．【分析】根据勾股定理的几何意义解答．【解答】解：∵△ABC直角三角形，∴BC2+AC2=AB2，∵S1=BC2，S2=AC2，S3=AB2，S1=4，S2=8，∴S3=S1+S2=12．故答案为12．【点评】此题是勾股定理题目，解决本题的关键是根据勾股定理得到三个面积之间的关．16．已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=5，则图中阴影部分的面积为．【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．【解答】解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=5，S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB=×+×+×，=（AC2+BC2+AB2），=AB2，=×52=．故答案为．【点评】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．17．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC=4，BC=3，则CD=．【分析】根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式求得CD即可．【解答】解：∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∵S=×3×4=×5×CD，△ABC∴CD=．故答案为：．【点评】此题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用．18．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个4×4的方格纸中，找出格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C共有8个．【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理分别求出以AB为腰的等腰三角形的个数和以AB为底边的等腰三角形的个数即可得出答案．【解答】解：如图所示：以AB为腰的等腰三角形共4个，其底边长为=2的共有4个；以AB为底边的等腰三角形共有4个，其中腰长为的2个，腰长为2的有2个．故答案为：8．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和勾股定理的理解和掌握，此题难易程度适中，适合学生训练．19．如图，三个正方形A，B，C如图放置，且正方形A，B的面积分别是2cm2和3cm2，则正方形C的面积等于5cm2．【分析】先根据角之间的关系以及正方形的性质证明两空白三角形全等，然后根据勾股定理即可解答．【解答】解：如图所示∵∠1+∠5=90°，∠1+∠2=90°，∴∠5=∠2，同理∠1=∠3，又FD=DE，∴△FGD≌△EDH，可得，FG=DH，由勾股定理的几何意义可知S A+S B=S C即2+3=S C．∴S C=5．【点评】勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．二．解答题（共31小题）20．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？【分析】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．（2）因为AB与CB，由勾股定理得AC=4 因为AB为5cm，所以必须使AC=CB，或CB=AB，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，△BCP为等腰三角形．【解答】解：（1）如图1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，∴AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴出发2秒后，则CP=2，∵∠C=90°，∴PB==，∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+；（2）①如图2，若P在边AC上时，BC=CP=3cm，此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；②若P在AB边上时，有三种情况：i）如图3，若使BP=CB=3cm，此时AP=2cm，P运动的路程为2+4=6cm，所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；ii）如图4，若CP=BC=3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，作CD⊥AB于点D，在Rt△PCD中，PD=1.8，所以BP=2PD=3.6cm，所以P运动的路程为9﹣3.6=5.4cm，则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；ⅲ）如图5，若BP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5=6.5cm 则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形．【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，但是此题涉及到了动点，对于初二学生来说是个难点，尤其是第（2）由两种情况，△BCP 为等腰三角形，因此给这道题又增加了难度，因此这是一道难题．21．如图，Rt△ABC的斜边AB=5，cosA=，（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；（2）若直线l与AB、AC分别相交于D、E两点，求DE的长．【分析】（1）分别以点A，C为圆心，以大于AC为半径画弧，两弧相交于点C，D，过CD作直线l即可．（2）所求线段DE等于BC的一半，那么根据题中的数据利用三角函数求出BC 即可．【解答】解：（1）如图，（2）因为直线l垂直平分线段AC，所以CE=AE，又因为BC⊥AC，所以DE∥BC，所以DE=BC．因为在Rt△ABC中，AB=5，cosA=，所以AC=ABcosA=5×=3，由BC===4得DE=2．【点评】本题考查基本作图和利用三角函数来解决相关问题．22．如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．利用这个图试说明勾股定理．【分析】根据大正方形面积=四个相同直角三角形面积+小正方形面积，得c2=4×ab+（a﹣b）2即得c2=a2+b2，在每个直角边为a、b而斜边为c的直角三角形中，这个式子就是勾股定理．【解答】解：∵大正方形面积为：c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为：（a﹣b）2，所以c2=4×ab+（a﹣b）2，即c2=a2+b2，在每个直角边为a、b而斜边为c的直角三角形中，这个式子就是勾股定理．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，要认真理解勾股定理．23．如图，四个全等的直角三角形的拼图，你能验证勾股定理吗？试试看．【分析】根据题意，我们可在图中找等量关系，有中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．【解答】解：根据题意，中间小正方形的面积；化简得a2+b2=c2，即证在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．【点评】本题考查了学生对定理的证明和对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用．24．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．（1）△ABC的面积为：．（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积．（3）如图3，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13、10、17①试说明△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面积相等；②请利用第2小题解题方法求六边形花坛ABCDEF的面积．。

人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知一个直角三角形两直角边边长分别为6和8，则斜边边长为（）A．10B．C．15D．10或2、如图，在△ABC中，BC＝C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB的长为（）A．2B C D．5 23、小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开8m 后，下端刚好接触到地面，则学校旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．18m4、已知直角三角形的斜边长为5cm ，周长为12cm ，则这个三角形的面积（ ）A ．24cmB ．25cmC ．26cmD ．212cm5、下列各组数中，是勾股数的是（ ）A ．0.3，0.4，0.5B ．52，6，132 C 2 D ．9，12，156、如图，数轴上点A 所表示的数是（ ）A B C D 17、如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，AD 为∠BAC 的平分线，将△ADC 沿直线AD 翻折得△ADE ，则DE 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要（ ）A ．8 cmB ．10 cmC ．12 cmD ．15 cm9、下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）A ．2、3、4 BC ．5、12、13D ．30、50、6010、满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A ．∠A ：∠B ：∠C ＝5：12：13B ．a ：b ：c ＝3：4：5C ．∠C ＝∠A ﹣∠BD ．b 2＝a 2﹣c 2第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么_____．2、△ABC 的三条边长a 、b 、c 满足8c =60b -=，则△ABC ____直角三角形（填“是”或“不是”）3、已知：点A 的坐标为()3,4，点B 坐标为()1,1-，那么点A 和点B 两点间的距离是______．4、如图，已知△ABO 为等腰三角形，且OA ＝AB ＝5，B （﹣6，0），则点A 的坐标为_____．5、如图，△ABC 是边长为12的等边三角形，D 是BC 的中点，E 是直线AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 的运动过程中，当DF 的长度最小时，CE 的长度为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ．图中大正方形的面积可表示为()2a b +，也可表示为2142c ab +⨯，即()22142a b c ab +=+⨯=，所以222+=a b c ． （尝试探究）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE ，其中BCA ADE △△≌，90C D ∠=∠=︒，根据拼图证明勾股定理．（定理应用）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，A ∠、B 、C ∠所对的边长分别为a 、b 、c ．求证：222244a c a b c b +=-．2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求网格上的三角形ABC 的面积和周长．3、如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝5，点D 是边AB 上的一个动点，连接CD ，过C 点在上方作CE ⊥CD ，且CE ＝CD ，点P 是DE 的中点．（1）如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；（2）如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长．4、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做“格点”，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）在图①中画出一个钝角三角形，使它的面积为4，并求出该三角形的三边长；（2）在图②中画出一个面积为10的正方形．5、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．（1（2）此三角形的面积是．---------参考答案-----------一、单选题1、A【分析】已知两直角边边长分别为6和8，利用勾股定理求斜边即可．【详解】解： ∵一个直角三角形两直角边边长分别为6和8，斜边边长，∴斜边边长为10．故选A ．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中明确直角边或斜边，直接应用勾股定理，如果条件不明确时那条边是斜边，要注意讨论．2、B【分析】作BE ⊥AC 于E ，根据等腰三角形三线合一性质可得AE =DE ，根据∠C ＝45°，得出∠EBC =180°-∠C -∠BEC =180°-45°-90°=45°，可得BE =CE ，利用勾股定理求出CE =BE =2，根据D 是AC 的三等分点得出AE =DE =121233AC AC ⨯==CD ，求出CD =1，利用勾股定理AB 【详解】解：作BE ⊥AC 于E ，∵AB ＝BD ，∴AE =DE ，∵∠C ＝45°，∴∠EBC =180°-∠C -∠BEC =180°-45°-90°=45°，∴BE =CE ，在Rt △BEC 中，∴(22222+2BE CE CE BC ===，∴CE =BE =2，∵D 是AC 的三等分点，∴CD =13AC ，AD =AC -CD =1233AC AC AC -=，∴AE =DE =121233AC AC ⨯==CD ，∴CE =CD +DE =2CD =2，∴CD =1，∴AE =1，在Rt △ABE 中，根据勾股定理AB故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三等分线段，掌握等腰三角形的性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三等分线段是解题关键．3、C【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【详解】解：根据题意画出图形如下所示：则BC＝8m，设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即x2+82＝（x+2）2，解得x＝15，故AB＝15m，即旗杆的高为15m．故选：C．【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．4、C【分析】设该直角三角形的两条直角边分别为a、b，根据勾股定理和周长公式即可列出方程，然后根据完全平方公式的变形即可求出2ab 的值，根据直角三角形的面积公式计算即可．【详解】解:设该直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，根据题意可得：22251257a b a b ⎧+=⎨+=-=⎩①② 将②两边平方－①，得224ab =∴12ab = ∴该直角三角形的面积为2126ab cm = 故选:C【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和完全平方公式，根据勾股定理和周长列出方程是解决此题的关键．5、D【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【详解】解：A 、不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，故此选项不符合题意；B 、不是勾股数，因为52，132不是正整数，故此选项不符合题意；CD 、是勾股数，因为222912=15+，故此选项符合题意；故选D ．【点睛】本题考查勾股数的概念，勾股数是指：①三个数均为正整数；②其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方．6、D【分析】先根据勾股定理计算出BC BA＝BC AD的长，接着计算出OA的长，即可得到点A所表示的数．【详解】解：如图，BD＝1﹣（﹣1）＝2，CD＝1，∴BC∴BA＝BC∴AD2，∴OA＝21，∴点A1．故选：D【点睛】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴的关系，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关系是解题的关键．7、B【分析】在Rt ABC∆中利用勾股定理求出AC长，利用折叠性质：得到ADE ADC∆∆≌，求出对应相等的边，设DE＝x，在Rt BDE∆中利用勾股定理，列出关于x的方程，求解方程即可得到答案．【详解】解：∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，∴AC2222BC，6810∵AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，≌，∴∆∆ADE ADC∴A、B、E共线，AC＝AE＝10，DC＝DE，∴BE＝AE﹣AB＝10﹣6＝4，在Rt△BDE中，设DE＝x，则BD＝8﹣x，∵BD2+BE2＝DE2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴DE＝5，故选：B．【点睛】本题主要是考查了直角三角形的勾股定理以及折叠中的三角形全等的性质，熟练利用折叠得到全等三角形，找到直角三角形中的各边的关系，利用勾股定理列方程，并求解方程，这是解决该类问题的关键．8、B【分析】立体图形展开后，利用勾股定理求解．【详解】解：将长方体沿着AB边侧面展开，并连接'AB，如下图所示：由题意及图可知：'13138AB cm=，=+++=，''6AA cm两点之间，线段最短，故'AB的长即是细线最短的长度，''∆中，由勾股定理可知：'10Rt AAB===，AB cm故所用细线最短需要10cm．故选：B．【点睛】本题主要是考查了勾股定理求最短路径、两点之间线段最短以及立体图形的侧面展开图，因此，正确得到立体图形的侧面展开图，熟练运用勾股定理求边长，是解决此类问题的关键．9、C【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．【详解】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；B、2+22，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、52+122=132，能构成直角三角形，故此选项符合题意；D、302+502≠602，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．10、A【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，∴∠C＝180°×1325＝93.6°，不是直角三角形，故此选项正确；B、∵32+42＝52，∴是直角三角形，故此选项不合题意；C、∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴是直角三角形，故此选项不合题意；D、∵b2＝a2﹣c2，∴a2＝b2+c2，是直角三角形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理．二、填空题1、222+=a b c【分析】利用勾股定理：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方和，即可得到答案．【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可知：222+=a b c ．故答案为：222+=a b c ．【点睛】本题主要是考查了直角三角形的勾股定理，熟练掌握勾股定理的内容，注意区分好直角边和斜边，这是解决该类问题的关键．2、不是【分析】根据二次根式有意义的条件以及绝对值的非负性，得出,a b 的值，运用勾股定理逆定理验证即可．【详解】60b -=，∴40a -=，60b -=，∴4,6a b ==，则22246528+=≠，∴222a b c +≠，∴△ABC 不是直角三角形，故答案为：不是．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，勾股定理逆定理等知识点，根据题意得出,a b 的值是解本题的关键．3、5【分析】根据两点间距离公式求解即可．【详解】∵点A 的坐标为()3,4，点B 坐标为(1,1)-，∴点A 和点B 5=．故答案为：5．【点睛】本题考查两点间距离，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则两点间的距离是AB 距离公式是解题的关键．4、（﹣3，4）【分析】过点A 作AC x ⊥ 轴于点C ，AD y ⊥轴于点D ，根据AB ＝AO ，AC ⊥BO ，得OC ＝132OB =，在Rt △AOC 中，由勾股定理得：AC ＝4，即可求出点A 的坐标．【详解】解：如图，过点A 作AC x ⊥ 轴于点C ，AD y ⊥轴于点D ，∵B（﹣6，0），∴OB＝6，∵AB＝AO，AC⊥BO，∴OC＝132OB=，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC4=，∴A（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．5、【分析】取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD CG=以及FCD ECG，由旋转的性质可得出EC FC=，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出ΔΔFCD ECG≅，进而即可得出DF GE=，再根据点G为AC的中点，求出AD和DE的长，由勾股定理可得出答案．【详解】取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．ABC ∆为等边三角形，且AD 为ABC ∆的对称轴，162CD CG AB ∴===，60ACD ∠=︒， 60ECF =︒∠，FCD ECG ．在ΔFCD 和ECG ∆中，FC EC FCD ECG DC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ΔΔ()FCD ECG SAS ∴≅，DF GE ∴=．当//EG BC 时，EG 最小，此时E 为AD 的中点，12AB BC ==，6DC =，AD ∴==12DE AD ∴==CE ∴==故答案为【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF GE =．三、解答题1、尝试探究：证明见解析；定理应用：证明见解析【分析】尝试探究：根据全等三角形性质，得BAC AED ∠=∠，结合题意，根据直角三角形两锐角互余的性质，推导得90BAE ∠=︒；结合梯形、三角形面积计算公式，通过计算即可证明222+=a b c ；定理应用：根据提取公因式、平方差公式的性质分析，即可完成222244a c a b c b +=-证明．【详解】尝试探究：∵BCA ADE △△≌，∴BAC AED ∠=∠．∵90D ∠=︒∴90DAE AED ∠+∠=︒．∴90DAE BAC ∠+∠=︒．∵180BAC AED BAE ∠+∠+∠=︒．∴90BAE ∠=︒． ∵直角梯形的面积可以表示为()212a b +，也可以表示为211222ab c ⨯+， ∴()221112222a b ab c +=⨯+， 整理，得222+=a b c ．定理应用：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，∴222+=a b c ；∵2222a c a b +()222a c b =+．44c b -()()()2222222c b c b a c b =+-=+∴222244a c a b c b +=-．【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形、全等三角形、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形两锐角互余、平方差公式的性质，从而完成求解．2、面积是7【分析】利用面积和差和勾股定理求解即可．【详解】解：△ABC 的面积=111441432247222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；由勾股定理得：ABBC =AC ==所以△ABC【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是熟练运用勾股定理求线段长．3、（1）AP ＝12DE ，理由见解析；（2）BD ＝56或4514【分析】（1）连接AE ，首先根据∠ACB ＝∠ECD ＝90°，得到∠ECA ＝∠DCB ，然后证明△BCD ≌△ACE （SAS ），根据全等三角形对应角相等得到∠EAC ＝∠B ＝45°，进一步得出∠EAD ＝90°，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出AP ＝12DE ；（2）分两种情况讨论：当Q 在线段AB 上时和当Q 在线段BA 延长线上时，连接AE ，EQ ，根据题意得出CQ 垂直平分DE ，进而根据垂直平分线的性质得到EQ ＝DQ ，设BD ＝AE ＝x ，在Rt △AEQ 中根据勾股定理列方程求解即可；【详解】解：（1）AP ＝12DE ，理由：连接AE ，如图，∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°．∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠ECA ＝∠DCB ．在△BCD 和△ACE 中，CE CD ECA DCB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BCD ≌△ACE （SAS ）．∴∠EAC ＝∠B ＝45°．∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝90°．又∵P为DE中点，∴AP＝12DE．（2）情况（一），当Q在线段AB上时，连接AE，EQ，如图，∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，∴CP⊥DE．即CQ垂直平分DE，∴EQ＝DQ．设BD＝AE＝x，EQ＝DQ＝AB﹣AQ﹣BD＝3﹣x，由（1）知：∠EAB＝90°，∴EA2+AQ2＝EQ2．∴x2+22＝（3﹣x）2，解得x＝56，即BD＝56；情况（二），当Q在线段BA延长线上时，连接AE，EQ，如图，∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，∴CP⊥DE．即CQ垂直平分DE，∴EQ＝DQ．设BD＝AE＝x，同理可得方程：x2+22＝（7﹣x）2，解得x＝45 14．综上：BD＝56或4514．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用，垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线．4、 (1)三角形如图①所示，三边长分别为2、（2）正方形如图②所示．【分析】（1）画一个底边长是2，高为4的钝角三角形即可，然后利用勾股定理可以求出各边长．（2【详解】（1）如图①所示：很明显，12442EMFS=⨯⨯=，且FM=2，又由题意可得：EM=，EF=（2）如图②所示，由题意可得：AB=BC=CD=DA【点睛】本题考查的是勾股定理的综合应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．5、（1）画图见解析；（2）5.5【分析】（1）利用勾股定理在网格中确定2222223110,2313,1417,AB AC BC再顺次连接,,A B C即可；（2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可. 【详解】解：（1）如图，ABC即为所求作的三角形，其中：2222223110,2313,1417, AB AC BC（2）11134132314 5.5,222ABCS故答案为：5.5【点睛】本题考查的是网格中作三角形，勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握“利用勾股定理求解网格三角形的边长”是解本题的关键.。

人教版八年级数学下册额第十七章《勾股定理》测试卷（含答案）一、单选题(共30分)1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是()A3,4,5B．2,3C．6,7,8D．2,3,42．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）A．10m B．15m C．18m D．20m3．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和4．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于于12点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于（）A ．2B ．103C ．158D ．1525．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为（ ）A ．()22610x x =--B ．()222610x x =-- C ．()22610x x +=- D ．()222610x x +=- 6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）A ．5B ．25C 7D ．577．如图所示，圆柱的高AB =3，底面直径BC =3，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）A ．31π+B ．32C 234π+D ．231π+8．在Rt △ABC 中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（ ） A ．6 B ．7 C ．10 D ．13 9．如图，矩形ABCD 中，AB 3=，BC 4=，EB//DF 且BE 与DF 之间的距离为3，则AE 的长是( )A 7B ．38C ．78D ．5810．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =，则点C 到 AB 的距离是（ ）A ．94B ．1225C ．365D 33二、填空题(共30分)11．在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，当a 、b 、c 满足_______时，△B =90°． 12．如图，等腰直角ABC 中，90,4ACB AC BC ∠=︒==，D 为BC 的中点，5AD =，若P 为AB 上一个动点，则PC PD +的最小值为_________．13．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，现将ABC 沿BD 进行翻折，使点A 刚好落在BC 上，则CD =__________．14．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，几分钟后船到达点D 的位置，此时绳子CD 的长为10米，问船向岸边移动了__米．15．已知：如图，ABC 中，△ACB =90°，AC =BC 2，ABD 是等边三角形，则CD 的长度为______．16．如图，在四边形ABCD 中，22AD =27AB =10BC =，8CD =，90BAD ∠=︒，那么四边形ABCD 的面积是___________．17．如图，“以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以数轴的原点O为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧交数轴于一点A”，该图说明数轴上的点并不都表示________．18．在Rt△ACB中，△ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是_____．19．如图，一架长5米的梯子A1B1斜靠在墙A1C上，B1到墙底端C的距离为3米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的B1端向墙的方向移动了1.6米到B处，此时梯子的高度达到工作要求，那么梯子的A1端向上移动了_____米．20．我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索AC的长为x尺，根据题意，可列方程为__________．三、解答题(共60分)21．如图，一张长8cm ，宽6cm 的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A 、C 重合，求折痕EF 的长．22．一架云梯长25m ，如图所示斜靠在一而墙上，梯子底端C 离墙7m ．（1）这个梯子的顶端A 距地面有多高?（2）如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?23．如图，把一块直角三角形（ABC ，90ACB ∠=︒）土地划出一个三角形（ADC ）后，测得3CD =米，4=AD 米，12BC =米，13AB =米．（1）求证：90ADC ∠=︒；（2）求图中阴影部分土地的面积．24．如图，在四边形ABCD 中，AB=20cm ，BC=15cm ，CD=7cm ，AD=24cm ，△ABC=90°．（1）求△ADC 的度数；（2）求出四边形ABCD 的面积．25．如图，在△ABC 和△DEB 中，AC △BE ，△C ＝90°，AB ＝DE ，点D 为BC 的中点，12AC BC =． （1）求证：△ABC △△DEB ．（2）连结AE ，若BC ＝4，直接写出AE 的长．26．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：已知：如图，四边形ABCD中，BD△CD，AE△BD于点E，且△ABE△△BCD．求证：AB2＝BE2+AE2．27．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．（2）C岛在A港的什么方向？参考答案1．B2．C3．C4．C5．D6．D7．C8．D9．C10．C11．a2+c2= b212．513．5 214．9．1531 16．14 17．有理数18．15 719．0.820．x2−（x−3）2＝8221．EF的长为15 222．（1）这个梯子的顶端A距地面有24m高；（2）梯子的底部在水平方向滑动了8m．23．2424．（1）△ADC=90°；（2）四边形ABCD的面积为2234cm252527．（1）从C岛返回A港所需的时间为3小时；（2）C岛在A港的北偏西42°。

人教版初中数学八年级下册17.1.1 勾股定理同步练习夯实基础篇一、单选题：1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（）A．a2＋b2＝c2B．b2＋c2＝a2C．a2＋c2＝b2D．c2﹣a2＝b2【答案】C【分析】利用勾股定理即可得到结果．【详解】解：在△ABC中，∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，则根据勾股定理得：．故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（）A．6B．9C．12D．18【答案】D【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可．【详解】解：如图示，∴在中，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键．3．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12．则图中阴影部分的面积是（）A．16B．25C．144D．1【答案】B【分析】根据勾股定理可进行求解【详解】解：如图所示：根据勾股定理得出：，，阴影部分面积是，故选：B．【点睛】此题考查勾股定理，解决此题的关键是清楚阴影部分的两个正方形的面积和等于的平方．4．直角三角形两边长为3，4，则第三边长为（）A．5B．C．5或D．不能确定【答案】C【分析】分两种情况，3，4为直角边时和4为斜边时，利用勾股定理求解即可．【详解】解：当3，4为直角边时，第三边的长为，当4为斜边时，第三边的长为，则第三边的长为或，故选：C【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，注意分类讨论．5．如图，在中，，，垂足为D ．若，，则的长为（ ）A ．2.4B ．2.5C ．4.8D ．5【答案】A【分析】先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，即．故选A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键．6．等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，它的面积为（ ）A ．24B ．20C ．15D ．12【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可知上的中线，同时也是边上的高线，根据勾股定理求出的长即可求得．【详解】解：如图所示，∵等腰三角形中，，是上的中线，，同时也是上的高线，，，，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．解题关键是得出底边上的中线是上的高线．7．在中，，，，则的长为（ ）A．3B．3或C．3或D．【答案】A【分析】在中，已知与的长，利用勾股定理求出的长即可；【详解】解：在中，，，，由勾股定理得：，∴的长为3；故选：A【点睛】本题考查了勾股定理，能灵活运用定理进行计算是解题的关键．二、填空题：8．在中，，，，则____．【答案】4【分析】直接根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵在中，，，，．故答案为：4．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方是解答此题的关键．9．一直角三角形的两直角边长满足，则该直角三角形的斜边长为________．【答案】【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，得出的值，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵，∴，解得：，∴该直角三角形的斜边长为，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，勾股定理，得出的值是解题的关键．10．在中，，．则的面积为______．【答案】60【分析】画出图形，过点作于，利用等腰三角形的三线合一性质得到，再利用勾股定理求得即可求解．【详解】解：如图，过点作于，则，∵，，∴，∴在中，，∴，故答案为：60．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质解答的关键．11．如图，在中，．以、为边的正方形的面积分别为、．若，，则的长为______．【答案】3【分析】根据正方形的面积求得，，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵以、为边的正方形的面积分别为、，，，∴，，在中，，由勾股定理得：，故答案为：3．【点睛】本题考查勾股定理、正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解答的关键．12．若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长的平方为_____．【答案】25或16##16或25【分析】先根据非负数的性质求出两直角边长、，已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．【详解】解：，，解得：，，，，解得，，①当a，b为直角边，该直角三角形的斜边长的平方为，②4也可能为斜边，该直角三角形的斜边长的平方为16，故答案为：25或16．【点睛】本题考查了非负数的性质，根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．13．如图，为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，若，，则的长为________．【答案】【分析】连接，根据已知条件，先证明，再根据全等三角形的性质，求得的长度，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图，连接．∵为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，∴，∴在和中，，∴，∴，又∵，∴．在中，，∴故答案为:．【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定（）以及全等三角形的性质，勾股定理，连接是解决本题的关键．14．如图，Rt中，，现将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则_____．【答案】##2.5【分析】设，将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则．则直角中根据勾股定理，即可得到一个关于的方程，即可求得．【详解】解：设，则在Rt中，．则．在Rt中：．即：．解得：【点睛】此题考查了勾股定理的运用，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．三、解答题：15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的长．解：在Rt△ABD中，AB＝3，BD＝2，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝32－22＝5.在Rt△ACD中，CD＝1，由勾股定理得16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8.求AC的长．解∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.在Rt△BCD中，设AC＝AB＝x，则AD＝x－6.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，即x2＝(x－6)2＋82，解得x＝，即AC的长为.17．、、是的三边，且有．若是直角三角形，求的值．【答案】或【分析】先根据完全平方公式把原式变形为，可得，，再分两种情况讨论，即可求解．【详解】解：∵∴∴∴∴，，解得：，，当，为直角边时，；当为斜边时，；综上所述，的值为或．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，勾股定理，熟练掌握完全平方公式的应用，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．18．已知：如图，在中，，点是中点，于点，求证：．【答案】见解析【分析】在、、中，运用三次勾股定理，然后利用等量代换即可证明结论．【详解】证明：在中，，在中，，∴，又∵是中点，∴，∴，即：．【点睛】题目主要考查勾股定理的重复运用，熟练掌握勾股定理且准确应用等量代换是解题关键．能力提升篇一、单选题：1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC 交AC于点E，则AE的长为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再求出的长，即可确定的长．【详解】解：，，，，，设，则，根据勾股定理，可得，解得或（舍去），，，，，，，设，则，根据勾股定理，得，或（舍去），，，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．2．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【分析】利用可证，故①正确；由全等三角形的性质可得出，，求出，即可得到②正确；根据梯形的面积公式可得③正确；根据列式，可得④正确；整理后可得，即⑤正确．【详解】解：∵，，∴，∴，在和中，，∴，故①正确；∴，，∵，∴，∵，∴，故②正确；∵，，∴梯形的面积是，故③正确；∵，∴，故④正确；整理得：，∴该图可以验证勾股定理，故⑤正确；正确的结论个数是5个，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，梯形的面积计算，三角形的面积计算，勾股定理等知识，解答时证明三角形全等是关键．3．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（ ）A．①②B．②④C．①②③D．①③【答案】C【分析】由题意知，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到，由此即可判断．【详解】解：由题意知，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到，∴，∴．∵x＞y，由②可得x-y=2由③得2xy+4＝49∴结论①②③正确，④错误．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理中弦图的有关计算，准确找出图中的线段关系，并利用完全平方公式求出各个式子的关系是解题的关键．二、填空题：4．如图，点在边长为5的正方形内，满足，若，则图中阴影部分的面积为______．【答案】19【分析】根据勾股定理求出，分别求出和正方形的面积，即可求出答案．【详解】解：∵在中，，，，由勾股定理得：，∴正方形的面积是，∵的面积是，∴阴影部分的面积是，故答案为：19．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．5．如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC的延长线于点E．若，，则EC的长为______．【答案】【分析】连接，根据垂直平分线的性质得出，再由勾股定理确定，设，则，利用勾股定理求解即可．【详解】解：连接，如图所示：∵的垂直平分线交于点D，交的延长线于点E，∴，∵，，，∴，设，则，在中，，即，解得：，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．6．如图，已知直角三角形的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边的长为______．【答案】10【分析】根据阴影部分面积等于以为直径的半圆面积之和加上的面积减去以为直径的半圆面积进行求解即可．【详解】解；∵直角三角形的周长为24，∴，,∴，∵阴影部分的面积为24，∴，∴∴∴，∴，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，熟知相关知识是解题的关键．三、解答题：7．已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有，(1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；(3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积．【答案】(1)，证明见解析(2)(3)24【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3；（2）根据（1）中的求解即可得出答案；（3）利用（2）中的结论进行求解．（1）解：①，根据勾股定理可知：，；（2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得；（3）解：由（2）知．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．。

人教版八年级数学下册《利用勾股定理解决折叠问题的技巧》练习题(附带答案）类型一 利用勾股定理解决三角形的折叠问题1．如图 △ABC 中 ∠ACB ＝90° AC ＝8 BC ＝6 将△ADE 沿DE 翻折使点A 与点B 重合 则CE 的长为 ．思路引领：设CE ＝x 则AE ＝BE ＝8﹣x 在Rt △BCE 中 由勾股定理可得62+x 2＝（8﹣x ）2 即可解得答案．解：设CE ＝x 则AE ＝BE ＝8﹣x在Rt △BCE 中 BC 2+CE 2＝BE 2∴62+x 2＝（8﹣x ）2解得x =74故答案为：74． 总结提升：本题考查直角三角形中的折叠问题 解题的关键是掌握折叠的性质 熟练应用勾股定理列方程解决问题．2．（2021秋•介休市期中）如图所示 有一块直角三角形纸片 ∠C ＝90° AC ＝8cm BC ＝6cm 将斜边AB 翻折 使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处 折痕为AD 则CE 的长为 cm ．思路引领：根据勾股定理可将斜边AB 的长求出 根据折叠的性质知 AE ＝AB 已知AC 的长 可将CE 的长求出．解：在Rt △ABC 中∵∠C＝90°AC＝8cm BC＝6cm∴AB=√AC2+BC2=10cm根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10cm∵AC＝8cm∴CE＝AE﹣AC＝2cm即CE的长为2cm故答案为：2．总结提升：此题考查翻折问题将图形进行折叠后两个图形全等是解决折叠问题的突破口．3．（2020秋•金台区校级期末）如图在△ABC中∠ACB＝90°点E F在边AB上将边AC沿CE翻折使点A落在AB上的点D处再将边BC沿CF翻折使点B落在CD的延长线上的点B′处（1）求∠ECF的度数；（2）若CE＝4 B′F＝1 求线段BC的长和△ABC的面积．思路引领：（1）由折叠可得∠ACE＝∠DCE=12∠ACD∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB' 再根据∠ACB＝90°即可得出∠ECF＝45°；（2）在Rt△BCE中根据勾股定理可得BC=√41设AE＝x则AB＝x+5 根据勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2即x2+42＝（x+5）2﹣41 求得x=165得出AE的长和AB的长再由三角形面积公式即可得出S△ABC．解：（1）由折叠可得∠ACE＝∠DCE=12∠ACD∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB'又∵∠ACB＝90°∴∠ACD+∠BCB'＝90°∴∠ECD+∠FCD=12×90°＝45°即∠ECF＝45°；（2）由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°BF＝B'F＝1 ∴∠EFC＝45°＝∠ECF∴CE＝EF＝4∴BE＝4+1＝5在Rt△BCE中由勾股定理得：BC=√BE2+CE2=√52+42=√41设AE＝x则AB＝x+5∵Rt△ACE中AC2＝AE2+CE2Rt△ABC中AC2＝AB2﹣BC2∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2即x2+42＝（x+5）2﹣41解得：x=16 5∴AE=165AB＝AE+BE=165+5=415∴S△ABC=12AB×CE=12×415×4=825．总结提升：本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握折叠变换的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．4．（2022秋•安岳县期末）如图在△ABC中∠C＝90°把△ABC沿直线DE折叠使△ADE与△BDE 重合．（1）若∠A＝34°则∠CBD的度数为；（2）当AB＝m（m＞0）△ABC的面积为2m+4时△BCD的周长为（用含m的代数式表示）；（3）若AC＝8 BC＝6 求AD的长．思路引领：（1）根据折叠可得∠1＝∠A＝34°根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC＝56°进而得到∠CBD＝22°；（2）根据三角形ACB的面积可得12AC•BC＝2m+4 进而得到AC•BC＝4m+8 再在Rt△CAB中CA2+CB2＝BA2再把左边配成完全平方可得CA+CB的长进而得到△BCD的周长；（3）根据折叠可得AD＝DB设CD＝x则AD＝BD＝8﹣x再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62＝（8﹣x）2再解方程可得x的值进而得到AD的长．解：（1）∵把△ABC 沿直线DE 折叠 使△ADE 与△BDE 重合∴∠ABD ＝∠A ＝34°∵∠C ＝90°∴∠ABC ＝180°﹣90°﹣34°＝56°∴∠CBD ＝56°﹣34°＝22°故答案为：22°；（2）∵△ABC 的面积为2m +4∴12AC •BC ＝2m +4 ∴AC •BC ＝4m +8∵在Rt △CAB 中 CA 2+CB 2＝BA 2 AB ＝m∴CA 2+CB 2+2AC •BC ＝BA 2+2AC •BC∴（CA +BC ）2＝m 2+8m +16＝（m +4）2∴CA +CB ＝m +4∵AD ＝DB∴CD +DB +BC ＝m +4．即△BCD 的周长为m +4故答案为：m +4；（3）∵把△ABC 沿直线DE 折叠 使△ADE 与△BDE 重合∴AD ＝DB设CD ＝x 则AD ＝BD ＝8﹣x在Rt △CDB 中 CD 2+CB 2＝BD 2x 2+62＝（8﹣x ）2解得：x =74AD ＝8−74=254．总结提升：此题主要考查了图形的翻折变换 以及勾股定理 完全平方公式 关键是掌握勾股定理 以及折叠后哪些是对应角和对应线段．5．（2021秋•章丘区期中）（1）如图① Rt △ABC 的斜边AC 比直角边AB 长2cm 另一直角边BC 长为6cm 求AC 的长．（2）拓展：如图②在图①的△ABC的边AB上取一点D连接CD将△ABC沿CD翻折使点B的对称点E落在边AC上．①AE的长．②求DE的长．思路引领：（1）在Rt△ABC中由勾股定理可求AB的长即可求解；（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°DE＝DB EC＝BC＝6cm于是得到答案；②在Rt△ADE中由勾股定理可求DE的长．解：（1）设AB＝xcm则AC＝（x+2）cm∵AC2＝AB2+BC2∴（x+2）2＝x2+62解得x＝8∴AB＝8cm∴AC＝8+2＝10（cm）；（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°DE＝DB EC＝BC＝6cm∴∠AED＝90°AE＝AC﹣EC＝4（cm）；②设DE＝DB＝ycm则AD＝AB﹣BD＝（8﹣y）cm在Rt△ADE中AD2＝AE2+DE2∴（8﹣y）2＝42+y2解得：y＝3∴DE＝3（cm）．总结提升：本题考查了翻折变换折叠的性质勾股定理利用勾股定理列出方程是本题的关键．类型二利用勾股定理解决长方形的折叠问题6．（2022•纳溪区模拟）如图在矩形ABCD中AB＝5 AD＝3 点E为BC上一点把△CDE沿DE翻折 点C 恰好落在AB 边上的F 处 则CE 的长为 ．思路引领：利用勾股定理得出AF 的长度 再利用折叠的性质 在△BEF 中求解BE 的长 即可得出CE 的长度．解：在矩形ABCD 中 AB ＝5 AD ＝3 由折叠的性质可得：DF ＝DC ＝AB ＝5∴AF =√DF 2−AD 2=√52−32=4∴BF ＝AB ﹣AF ＝5﹣4＝1设CE ＝x 则：EF ＝CE ＝x BE ＝BC ﹣CE ＝3﹣x在Rt △BEF 中 由勾股定理可得：12+（3﹣x ）2＝x 2解得：x =53∴CE =53故答案为：53． 总结提升：本题考查了折叠的性质、矩形的性质和勾股定理等知识点 解题的关键是利用AF 求出BF 的长度．7．（2021•郯城县校级模拟）如图 在长方形ABCD 中 AB ＝3cm AD ＝9cm 将此长方形折叠 使点D 与点B 重合 折痕为EF 则△ABE 的面积为（ ）cm 2．A ．12B ．10C ．6D ．15思路引领：由长方形的性质得BAE ＝90° 再由折叠的性质得BE ＝ED 然后在Rt △ABE 中 由勾股定理得32+AE2＝（9﹣AE）2解得AE＝4（cm）即可求解．解：∵四边形ABCD是长方形∴∠BAE＝90°∵将此长方形折叠使点B与点D重合∴BE＝ED∵AD＝9＝AE+DE＝AE+BE∴BE＝9﹣AE在Rt△ABE中由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2∴32+AE2＝（9﹣AE）2解得：AE＝4（cm）∴S△ABE=12AB•AE=12×3×4＝6（cm2）故选：C．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．8．（2020春•余干县校级期末）如图把长方形纸片ABCD沿EF折叠使点B落在边AD上的点B'处点A落在点A'处．（1）试说明B'E＝BF；（2）设AE＝a AB＝b BF＝c试猜想a b c之间的关系并说明理由．思路引领：（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形△A'B'E中由勾股定理可得a b c之间的关系．（1）证明：由折叠的性质得：B'F＝BF∠B'FE＝∠BFE在长方形纸片ABCD中AD∥BC∴∠B'EF＝∠BFE∴∠B'FE＝∠B'EF∴B'F＝B'E∴B'E＝BF．（2）解：a b c之间的关系是a2+b2＝c2．理由如下：由（1）知B'E＝BF＝c由折叠的性质得：∠A'＝∠A＝90°A'E＝AE＝a A'B'＝AB＝b．在△A'B'E中∵∠A'＝90°∴A'E2+A'B'2＝B'E2∴a2+b2＝c2．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．9．（2020秋•罗湖区校级期末）如图把一张长方形纸片ABCD折叠起来使其对角顶点A与C重合D 与G重合若长方形的长BC为8 宽AB为4 求：（1）DE的长；（2）求阴影部分△GED的面积．思路引领：（1）设DE＝EG＝x则AE＝8﹣x在Rt△AEG中根据AG2+EG2＝AE2构建方程即可解决问题；（2）过G点作GM⊥AD于M根据三角形面积不变性AG×GE＝AE×GM求出GM的长根据三角形面积公式计算即可．解：（1）设DE＝EG＝x则AE＝8﹣x在Rt△AEG中AG2+EG2＝AE2∴16+x2＝（8﹣x）2解得x＝3∴DE＝3．（2）过G 点作GM ⊥AD 于M则12•AG ×GE =12•AE ×GM AG ＝AB ＝4 AE ＝CF ＝5 GE ＝DE ＝3 ∴GM =125∴S △GED =12GM ×DE =185．总结提升：本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性 灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．类型三 利用勾股定理解决正方形的折叠问题10．（2019•黔东南州一模）如图 将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠 使点D 落在AB 边中点E 处 点C 落在点Q 处 折痕为FH 则线段AF 的长为（ ）A ．32B ．3C ．94D ．154思路引领：由正方形的性质和折叠的性质可得EF ＝DE AB ＝AD ＝6cm ∠A ＝90° 由勾股定理可求AF 的长．解：∵将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠 使点D 落在AB 边中点E 处∴EF ＝DE AB ＝AD ＝6cm ∠A ＝90°∵点E 是AB 的中点∴AE ＝BE ＝3cm在Rt △AEF 中 EF 2＝AF 2+AE 2∴（6﹣AF ）2＝AF 2+9∴AF=9 4故选：C．总结提升：本题考查了翻折变换正方形的性质勾股定理利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．11．如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠使点D落在BC边的中点E处点A落在点F处折痕为MN则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm思路引领：由折叠的性质可得DN＝NE由中点的性质可得EC＝4cm结合正方形的性质可得∠BCD＝90°；设CN的长度为xcm则EN＝DN＝（8﹣x）cm接下来在直角△CEN中运用勾股定理就可以求出CN的长度．解：∵四边形MNEF是由四边形ADMN折叠而成的∴DN＝NE．∵E是BC的中点且BC＝8cm∴EC＝4cm．∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD＝90°．设CN的长度为xcm则EN＝DN＝（8﹣x）cm由勾股定理NC2+EC2＝NE2得x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3．故选：A．总结提升：本题考查翻折变换的问题折叠问题其实质是轴对称对应线段相等对应角相等找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．第二部分专题提优训练1．（2022秋•慈溪市校级期中）在Rt△ABC中∠B＝90°AB＝4 BC＝8 D、E分别是边AC、BC上的点将△ABC沿着DE进行翻折点A和点C重合则EC＝．思路引领：设EC ＝x 在Rt △ABE 中 由勾股定理得42+（8﹣x ）2＝x 2 即可解得答案．解：设EC ＝x 则BE ＝8﹣x∵将△ABC 沿着DE 进行翻折 点A 和点C 重合∴AE ＝EC ＝x在Rt △ABE 中 AB 2+BE 2＝AE 242+（8﹣x ）2＝x 2解得x ＝5∴EC ＝5故答案为：5．总结提升：本题考查直角三角形中的翻折问题 解题的关键是掌握翻折的性质 能应用勾股定理列方程解决问题．2．（2021秋•靖江市期中）如图 在Rt △ABC 中 ∠C ＝90° D 是AB 的中点 AD ＝5 BC ＝8 E 是直线BC 上一动点 把△BDE 沿直线ED 翻折后 点B 落在点F 处 当FD ⊥BC 时 线段BE 的长为 ．思路引领：分点F 在BC 下方 点F 在BC 上方两种情况讨论 由勾股定理可BC ＝4 由平行线分线段成比例可得BD AD =BP BC =DP AC =12 求出FP 由勾股定理可求BE 的长． 解：若点F 在BC 下方时 DF 与BC 交于点P 如图1所示：∵D 是AB 的中点∴BD ＝AD ＝5∴AB ＝2AD ＝10∵∠C ＝90° BC ＝8∴AC =√AB 2−BC 2=√102−82=6∵点D 是AB 的中点∵FD ⊥BC ∠C ＝90°∴FD ∥AC∴BD AD =BP BC =DP AC =12 ∴BP ＝PC =12BC ＝4 DP =12AC ＝3∵△BDE 沿直线ED 翻折∴FD ＝BD ＝5 FE ＝BE∴FP ＝FD ﹣DP ＝5﹣3＝2在Rt △FPE 中 EF 2＝FP 2+PE 2∴BE 2＝22+（4﹣BE ）2解得：BE =52；若点F 在BC 上方时 FD 的延长线交BC 于点P 如图2所示：FP ＝DP +FD ＝3+5＝8在Rt △EFP 中 EF 2＝FP 2+EP 2∴BE 2＝64+（BE ﹣4）2解得：BE ＝10故答案为：52或10．总结提升：此题考查了折叠的性质、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识 熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．3．如图 在Rt △ABC 中 AC ＝6 BC ＝8 D 为BC 上一点 将Rt △ABC 沿AD 折磨 点C 恰好落在AB 边上的E 点 求BD 的长．思路引领：由勾股定理求出AB＝10 由折叠的性质得出CD＝DE∠C＝∠AED＝90°AE＝AC＝6 得出BE＝AB﹣AE＝4 ∠BED＝90°设CD＝ED＝x则BD＝8﹣x在Rt△BDE中由勾股定理得出方程解方程即可．解：∵Rt△ABC中AC＝6 BC＝8∴AB=√62+82=10由折叠的性质得：CD＝DE∠C＝∠AED＝90°AE＝AC＝6∴BE＝AB﹣AE＝4 ∠BED＝90°设CD＝ED＝x则BD＝8﹣x在Rt△BDE中由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2解得：x＝3∴BD＝8﹣3＝5．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．4．（2018秋•襄汾县校级月考）如图在Rt△ABC中∠C＝90°AC＝8 BC＝6 按图中所示方法将△BCD沿BD折叠使点C落在边AB上的点C'处求AD的长及四边形BCDC′的面积．思路引领：利用勾股定理列式求出AB根据翻折变换的性质可得BC′＝BC C′D＝CD然后求出AC′设AD＝x表示出C′D、AC′然后利用勾股定理列方程求解即可求出AD；然后根据三角形的面积公式计算即可求出四边形BCDC′的面积．解：∵∠C＝90°AC＝8 BC＝6∴AB=√AC2+BC2=10由翻折变换的性质得BC′＝BC＝6 C′D＝CD∴AC′＝AB﹣BC′＝10﹣6＝4设CD＝x则C′D＝x AD＝8﹣x在Rt△AC′D中由勾股定理得AC′2+C′D2＝AD2即42+x2＝（8﹣x）2解得x＝3即CD＝3∴AD＝8﹣x＝5；由折叠可知：S△BCD＝S△BC′D∴四边形BCDC′的面积＝2S△BCD＝2×12×CD•BC＝3×6＝18．总结提升：本题考查了翻折变换的性质勾股定理此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．5．（2021春•厦门期中）在矩形ABCD中AB＝3 BC＝4 E是AB上一个定点点F是BC上一个动点把矩形ABCD沿直线EF折叠点B的对应点B′落在矩形内部．若DB′的最小值为3 则AE＝53．思路引领：连接DE则DB′+EB′≥DE由EB′＝EB为定值故当D E B′三点共线时DB′最小利用勾股定理建立方程即可求解．解：如图1 连接DE由折叠性质可得：EB′＝EB∵DB′+EB′≥DE∴DB′≥DE﹣EB′＝DE﹣EB∵点E为定点∴EB为定值∴当D E B′三点共线时DB′最小且最小值为3∴DB′＝3如图2∵四边形ABCD 为矩形∴∠A ＝90° AD ＝BC ＝4设AE ＝x 则：EB ′＝EB ＝AB ﹣AE ＝3﹣x∴ED ＝EB ′+DB ′＝3﹣x +3＝6﹣x在Rt △AED 中 由勾股定理可得：x 2+42＝（6﹣x ）2解得：x =53∴AE =53故答案为：53． 总结提升：本题考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点 解题的关键是运用方程思想．6．（2021秋•城阳区校级月考）把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠 使顶点B 和点D 重合 折痕为EF ．若AB ＝3cm BC ＝5cm 则重叠部分△DEF 的面积是（ ）cm 2．A ．2B ．3.4C ．4D ．5.1思路引领：由矩形的性质得AD ＝BC ＝5cm CD ＝AB ＝3cm ∠A ＝90° 再由折叠的性质得A 'D ＝AB ＝3cm ∠A '＝∠A ＝90° AE '＝AE 设AE ＝xcm 则A ′E ＝xcm DE ＝（5﹣x ）cm 然后在Rt △A 'DE 中 由勾股定理得出方程 解方程 进而得出DE 的长 即可解决问题．解：∵四边形ABCD 是矩形 AB ＝3cm BC ＝5cm∴AD＝BC＝5cm CD＝AB＝3cm∠A＝90°由折叠的性质得：A'D＝AB＝3cm∠A'＝∠A＝90°AE'＝AE 设AE＝xcm则A′E＝xcm DE＝（5﹣x）cm在Rt△A'DE中由勾股定理得：A′E2+A′D2＝ED2即x2+32＝（5﹣x）2解得：x＝1.6∴DE＝5﹣1.6＝3.4（cm）∴△DEF的面积=12DE•CD=12×3.4×3＝5.1（cm2）故选：D．总结提升：此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．7．（2017秋•金牛区校级月考）如图在矩形ABCD中E是AD的中点将△ABE沿BE折叠后得到△GBE 延长BG交CD于点F结果发现F点恰好是DC的中点若BC＝2√6则AB的长为？思路引领：连接EF由折叠性质得AE＝EG∠A＝∠EGB＝90°BG＝AB则∠EGF＝90°易证EG＝DE由矩形的性质得AB＝CD∠C＝∠D＝90°推出∠EGF＝∠D＝90°由HL证得Rt△EGF≌Rt△EDF得出FG＝FD求得CF＝DF＝FG=12CD=12AB BF＝BG+FG=32AB由勾股定理得出BC2+CF2＝BF2即可得出结果．解：连接EF如图所示：由折叠性质得：AE＝EG∠A＝∠EGB＝90°BG＝AB ∴∠EGF＝90°∵点E是AD的中点∴AE＝DE∴EG＝DE∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD∠C＝∠D＝90°∴∠EGF ＝∠D ＝90°在Rt △EGF 与Rt △EDF 中 {EG =ED EF =EF∴Rt △EGF ≌Rt △EDF （HL ）∴FG ＝FD∵F 点恰好是DC 的中点∴CF ＝DF ＝FG =12CD =12AB∴BF ＝BG +FG ＝AB +12AB =32AB在Rt △BCF 中 BC 2+CF 2＝BF 2即：（2√6）2+（12AB ）2＝（32AB ）2 解得：AB ＝2√3．总结提升：本题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识 熟练掌握折叠的性质 证明三角形全等是解题的关键．8．（2018春•新抚区校级期中）如图 在矩形ABCD 中 已知AD ＝10 AB ＝8 将矩形ABCD 沿直线AE 折叠 顶点D 恰好落在BC 边上的F 处 求CE 的长．思路引领：先根据矩形的性质得AD ＝BC ＝10 AB ＝CD ＝8 再根据折叠的性质得AF ＝AD ＝10 EF ＝DE 在Rt △ABF 中 利用勾股定理计算出BF ＝6 则CF ＝BC ﹣BF ＝4 设CE ＝x 则DE ＝EF ＝8﹣x 然后在Rt △ECF 中根据勾股定理得到x 2+42＝（8﹣x ）2 再解方程即可得到CE 的长．解：∵四边形ABCD 为矩形∴AD ＝BC ＝10 AB ＝CD ＝8∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠 顶点D 恰好落在BC 边上的F 处∴AF＝AD＝10 EF＝DE在Rt△ABF中∵BF=√AF2−AB2=6∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4设CE＝x则DE＝EF＝8﹣x在Rt△ECF中∵CE2+FC2＝EF2∴x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3即CE＝3．总结提升：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换它属于轴对称折叠前后图形的形状和大小不变位置变化对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．9．（2018秋•通川区校级期中）将一张边长为2的正方形纸片ABCD对折设折痕为EF（如图（1））；再沿过点D的折痕将∠A翻折使得点A落在线段EF上的点H处（如图（2））折痕交AE于点G则EG 的长度是（）A．8﹣4√3B．4√3−6C．4﹣2√3D．2√3−3思路引领：由于正方形纸片ABCD的边长为2 所以将正方形ABCD对折后AF＝DF＝1 由折叠的性质得出AD＝DH＝2 AG＝GH在Rt△DFH中利用勾股定理可求出HF的长进而求出EH的长再设EG＝x在Rt△EGH中利用勾股定理即可求解．解：∵正方形纸片ABCD的边长为2∴将正方形ABCD对折后AE＝DF＝1∵△GDH是△GDA沿直线DG翻折而成∴AD＝DH＝2 AG＝GH在Rt△DFH中HF=√HD2−DF2=√22−12=√3∴EH＝2−√3在Rt△EGH中设EG＝x则GH＝AG＝1﹣x∴GH2＝EH2+EG2即（1﹣x）2＝（2−√3）2+x2解得x＝2√3−3．∴EG＝2√3−3．故选：D．总结提升：本题考查了正方形的性质折叠的性质勾股定理关键是学会用方程的思想方法解题．10．（2020秋•新都区校级月考）如图AD是△ABC的中线∠ADC＝45°把△ADC沿着直线AD对折点C落在点E的位置．如果BC＝6 那么以线段BE为边长的正方形的面积为（）A．6B．72C．12D．18思路引领：由题意易得BD＝CD＝DE＝3 再求出∠BDE＝90°然后根据勾股定理求出BE最后由正方形的面积进行求解即可．解：∵D是BC中点BC＝6∴BD＝CD＝3由折叠的性质得：CD＝DE＝3 ∠ADC＝∠ADE＝45°即∠CDE＝90°∴BD＝DE＝3 ∠BDE＝90°在Rt△BDE中由勾股定理得：BE=√BD2+DE2=√32+32=3√2∴以BE为边的正方形面积为：（3√2）2＝18故选：D．总结提升：本题考查了折叠的性质、勾股定理、正方形的面积计算等知识熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键．。

一、选择题1．如图已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，B C ∠=∠，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v ，则当BPD ∆与CQP ∆全等时，v 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3 2．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（ ）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒 3．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是BC 边上的中线，AD 的取值范围是（ ）A ．1＜AD ＜6B ．1＜AD ＜4C ．2＜AD ＜8 D ．2＜AD ＜4 4．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA 5．如图，AP 平分∠BAF ，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AF 于点E ，则△APD 与△APE 全等的理由是（ ）A ．SSSB ．SASC ．SSAD ．AAS6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝5cm ，在AC 上取一点E ，使EC ＝BC ，过点E 作EF ⊥AC ，连接CF ，使CF ＝AB ，若EF ＝12cm ，则下列结论不正确的是（ ）A ．∠F ＝∠BCFB ．AE ＝7cmC ．EF 平分ABD ．AB ⊥CF 7．下列各命题中，假命题是（ ）A ．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等B ．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等C ．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等D ．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等8．如图，已知AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）A ．BD ＋ED ＝BCB ．∠B ＝2∠DAC C ．AD 平分∠EDC D ．ED ＋AC >AD9．如图，在Rt ABC 中，C 90∠=，AD 是BAC ∠的平分线，若AC 3=，BC 4=，则ABD ACD S :S 为( )A ．5:4B ．5:3C ．4:3D ．3:410．如图，已知∠A=∠D ， AM=DN ，根据下列条件不能够判定△ABN ≅△DCN 的是（ ）A ．BM ∥CNB ．∠M=∠NC ．BM=CND ．AB=CD 11．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1212．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 13．如图，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,,ACB AED AB AD AC AE ∠=∠===，则下列说法不正确的是（ ）A ．BC DE =B ．BAE DAC ∠=∠ C ．OC OE =D ．EAC ABC ∠=∠ 14．已知，如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，下列条件中：①∠AOC ＝∠BOC ，②PD ＝PE ，③OD ＝OE ，④∠DPO ＝∠EPO ，能判定OC 是∠AOB 的角平分线的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．如图，已知，CAB DAE ∠=∠，AC AD =．下列五个选项：①AB AE =，②BC ED =，③C D ∠=∠，④B E ∠=∠，⑤12∠=∠，从中任选一个作为已知条件，其中能使ABC AED ≌△△的条件有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题16．如图，AOP BOP ∠=∠，PD OA ⊥，C 是OB 上的动点，连接PC ，若4PD =，则PC 的最小值为_________．17．如图，ABC 中，D 是AB 上的一点，DF 交AC 于点E ，AE CE =，//CF AB ，若四边形DBCF 的面积是26cm ，则ABC 的面积为______2cm ．18．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），则当△ACP 与△BPQ 全等时，点Q 的运动速度为__cm/s ．19．如图所示，在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．则下面结论中（1）DA 平分EDF ∠；（2）AE AF =，DE DF =；（3）AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；（4）图中共有3对全等三角形．正确的有________ ．20．如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且5PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为__．21．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第____块去，这利用了三角形全等中的____原理．22．如图，AB ，CD 交于点O ，AD ∥BC ．请你添加一个条件_____，使得△AOD ≌△BOC ．23．如图，在ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知30DAC ∠=︒，75DAB ∠=︒，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠=________度．24．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ，MB ⊥OQ ，垂足为A ，B ，S △AOM =8cm 2，OA=4cm ，则MB=___．25．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．26．如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB=∠DBC=90°，E 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为F ，AB=DE ．若BD=8cm ，则AC 的长为_________．三、解答题27．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上（不与点B ，C 重合），过点C 作CE ⊥AD ，垂足为点E ，交AB 于点F ，连接DF ．（1）请直接写出∠CAD 与∠BCF 的数量关系；（2）若点D 是BC 中点，在图2中画出图形，猜想线段AD ，CF ，FD 之间的数量关系，并证明你的猜想．28．如图，AB AD =，AC AE =，CAE BAD ∠=∠．求证：B D ∠=∠．29．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B=∠C．30．如图，一条河流MN旁边有两个村庄A，B，AD⊥MN于D．由于有山峰阻挡，村庄B 到河边MN的距离不能直接测量，河边恰好有一个地点C能到达A，B两个村庄，与A，B 的连接夹角为90°，且与A，B的距离也相等，测量C，D的距离为150m，请求出村庄B到河边的距离．。

人教版八年级下册数学第十七章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列数据中，哪一组不是勾股数( )A.7，24，25B.9，40，41C.3，4，5D.8，15，192、如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A.2B.2C.2D.43、如图，在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点都分别在半径OP、OM及⊙O上，且∠POM=45º，则AB=（）A.2B.C.D.4、如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝2 ，BD＝，则AB的长为( )A.2B.3C.4D.55、《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出.问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（）A. B. C.D.6、如图，的对角线与相交于点，，，，则的长为（）A. B. C. D.7、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A.7，24，25B. ，4，5C. ，1，D.40，50，608、直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）.A.34B.26C.6.5D.8.59、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝BC．边AC落在数轴上，点A表示的数是1，点C表示的数是3，负半轴上有一点B₁，且AB₁＝AB，点B₁所表示的数是（）A.﹣2B.﹣2C.2 ﹣1D.1﹣210、如图，小江同学把三角尺含有60°角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺(含有45°角)的孔洞中。

已知孔洞的最长边为2cm，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为( )A. cm 2B. cm 2C.2 cm 2D.(2+ )cm 211、如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=3 ，点E在AB上，= ，在矩形内找一点P，使得∠BPE=60°，则线段PD的最小值为（）A.4B.2C.2 -2D.2 -412、如图，四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝6，AE⊥BC于E，则AE等于( )A.4B.C.D.513、三角形的三边长分别为6，8，10，那么最长边上的高为（）A.4．8B.5C.6D.814、已知△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A.∠A＝∠C－∠BB.a 2＝b 2－c 2C.a:b:c＝2:3:4D.a＝，b＝，c＝115、如图所示，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点，分别在和上.下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中结论正确的序号是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④二、填空题(共10题，共计30分)16、如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第2017个三角形的面积为________.17、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA= ，点D是斜边AB上的动点且不与A，B重合，连接CD，点B'与点B关于直线CD对称，连接B'D，当B'D垂直于Rt△ABC的直角边时，BD的长为________．18、如图所示，直线 y=x+2 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，点 C 是 OB 的中点，D、E 分别是直线 AB、y 轴上的动点，则△CDE 周长的最小值是________．19、如图， Rt△ABC的两直角边 AC = 8cm ， BC = 6cm ， D 为 AC 上一点，将△ABC 折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE ，则CD 的长为________cm.20、如图，在长方形 ABCD中，点E为长方形ABCD的边AD上一点，若AE=2，S=6，将长方形ABCD沿BE折叠，使点A落在EC上的点F处，则BCE的面ABE积是 ________．21、如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为________．22、在Rt中，∠A=90°，AC=4，，将沿着斜边BC翻折，点A落在点处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交所在直线于点F，联结，如果为直角三角形时，那么________23、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是________．24、如图，射线PB，PD分别交⊙O于点A，B和点C，D，且AB=CD=8。

八年级数学下册《勾股定理》练习题与答案(人教版)一、选择题1.由线段a 、b 、c 组成的三角形不是直角三角形的是( )A.＝7，b ＝24，c ＝25；B.a ＝13，b ＝14，c ＝15；C.a ＝54，b ＝1，c ＝34； D.a ＝41，b ＝4，c ＝5；2.根据图形(图1，图2)的面积关系，下列说法正确的是( )A.图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式B.图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理C.图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式D.图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为( )A.13B.8C.12D.104.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.如果BC ＝3，AC ＝5，那么AB ＝( )A.34B.4C.4或34D.以上都不对5.如图所示：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是( )A. 5 ＋1B.5﹣1C.﹣ 5 ＋1D.﹣5﹣16.如图，在4×4的方格中，△ABC 的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形7.△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是( )A.∠A：∠B：∠C＝l：2：3B.三边长为a，b，c的值为1，2， 3C.三边长为a，b，c的值为11，2，4D.a2＝(c＋b)(c﹣b)8.《九章算术》第九章有如下题目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？译文是：今有墙高1丈，倚木杆于墙.使木杆之上端与墙平齐.牵引木杆下端退行1尺，则木杆(从墙上)滑落至地上.间木杆长是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)( )A.5尺5寸B.1丈1尺C.5丈5寸D.5丈5尺9.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )A.90米B.100米C.120米D.150米10.如图一只蚂蚁从长宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )A.13cmB.10cmC.14cmD.无法确定11.如图，已知∠AOB＝60°，点P是∠AOB的角平分线上的一个定点，点M、N分别在射线OA、OB上，且∠MPN与∠AOB互补.设OP＝a，则四边形PMON的面积为( )A.34a2 B.14a2 C.38a2 D.18a212.如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是( )A.8 cmB.5 2 cmC.5.5 cmD.1 cm二、填空题13.若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积．14.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为.15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若CD＝2，BD ＝4，则AE的长是_____.16.如图，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达点A处时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，此时测得∠ARL＝30°，n(s)后，火箭到达点B处，此时测得∠BRL＝45°，则火箭在这n(s)中上升的高度是 km.17.如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是.18.如图，已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB1C1；再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第三个等边三角形AB2C2；再以等边三角形AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第四个等边三角形AB3C3……记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3……则S n＝ .三、解答题19.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c根据你发现的规律，请写出(1)当a＝19时，求b、c的值；(2)当a＝2n＋1时，求b、c的值；(3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由.20.如图，已知四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积.21.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)22.如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D是AB上一点，且CD＝12，BD＝8．(1)求△ADC的面积．(2)求BC的长．23.小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．(1)如果AC＝6cm，BC＝8cm，可求得△ACD的周长为；(2)如果∠CAD：∠BAD＝4：7，可求得∠B的度数为；操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长．24.已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°.(1)如图1，连接AM，BN，求证：△AOM和△BON全等：(2)如图2，将△MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2＋AN2＝2ON2.25.如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC.已知AB ＝5，DE＝9，BD＝8，设CD＝x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长．(2)请问：点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？(3)根据(2)中的结论，请构图求出代数式x2＋4＋（12－x）2＋9的最小值．参考答案1.B.2.B3.B.4.A.5.B6.B.7.C.8.C9.B.10.B.11.A.12.A13.答案为：24.14.答案为：(1，3).15.答案为：2 3.16.答案为：(203﹣20).17.答案为：61.18.答案为：38(34)n-1.19.解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1 ∵a＝19，a2＋b2＝c2∴192＋b2＝(b＋1)2∴b＝180∴c＝181；(2)通过观察知c﹣b＝1∵(2n＋1)2＋b2＝c2∴c2﹣b2＝(2n＋1)2(b＋c)(c﹣b)＝(2n＋1)2∴b＋c＝(2n＋1)2又c＝b＋1∴2b＋1＝(2n＋1)2∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1；20.解：连接AC.∵∠ABC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2∴AC ＝ 5在△ACD 中，AC 2＋CD 2＝5＋4＝9＝AD2∴△ACD 是直角三角形∴S 四边形ABCD ＝12AB •BC ＋12AC •CD ＝12×1×2＋12×5×2＝1＋ 5.故四边形ABCD 的面积为1＋ 5.21.解：∵∠BDC ＝45°，∠ABC ＝90°∴△BDC 为等腰直角三角形∴BD ＝BC∵∠A ＝30°∴BC ＝12AC 在Rt △ABC 中，根据勾股定理得AC 2＝AB 2＋BC2 即(2BC)2＝(4＋BD)2＋BC 2 解得BC ＝BD ＝2＋23．22.解：(1)∵AB ＝13，BD ＝8∴AD ＝AB ﹣BD ＝5∴AC ＝13，CD ＝12∴AD 2＋CD 2＝AC 2∴∠ADC ＝90°，即△ADC 是直角三角形∴△ADC 的面积＝12×AD ×CD ＝12×5×12＝30；(2)在Rt △BDC 中，∠BDC ＝180°﹣90°＝90°由勾股定理得：BC ＝413，即BC 的长是413．23.解：操作一：(1)14 (2)35º操作二：∵AC ＝9cm ，BC ＝12cm∴AB ＝15(cm)根据折叠性质可得AC ＝AE ＝9cm∴BE ＝AB ﹣AE ＝6cm设CD＝x，则BD＝12﹣x，DE＝x在Rt△BDE中，由题意可得方程x2＋62＝(12﹣x)2解得x＝4.5∴CD＝4.5cm．24. (1)证明：∵∠AOB＝∠MON＝90°∴∠AOB＋∠AON＝∠MON＋∠AON即∠AOM＝∠BON∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形∴OA＝OB，OM＝ON∴△AOM≌△BON(SAS)∴AM＝BN；(2)证明：连接AM∵∠AOB＝∠MON＝90°∴∠AOB-∠AON＝∠MON-∠AON即∠AOM＝∠BON∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形∴OA＝OB，OM＝ON∴△AOM≌△BON(SAS)∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN∴∠MAN＝90°∴AM2＋AN2＝MN2∵△MON是等腰直角三角形∴MN2＝2ON2∴BN2＋AN2＝2ON2.25.解：(1)AC＋CE＝（8－x）2＋25＋x2＋81.(2)当A，C，E三点共线时，AC＋CE的值最小．(3)如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD(点A与点E在BD的异侧)，使AB＝2，ED＝3，连结AE交BD于点C设BC＝x，则AE的长即为x2＋4＋（12－x）2＋9的最小值．过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F.在Rt△AEF中，易得AF＝2＋3＝5，EF＝12∴AE＝13即x2＋4＋（12－x）2＋9的最小值为13.。

8．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n >1），那么它的斜边长是（ ）
A、2nB、n+1C、n2－1D、n2+1
9.在△ABC中, 若 △ABC的面积等于6，则边长c=
10.如图△ABC中， 则MN=
11.一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为10
12.若△ABC是直角三角形，两直角边都是6，在三角形斜边上有一点P，到两直角边的距离相等，则这个距离等于六根二
22.如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。
23.如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
四、综合探索（共26分）
24.（12分）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
6、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
7、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为___________。
10、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且

第十七章勾股定理一、选择题1.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，这里的水深为()A． 1.5米B． 2米C． 2.5米D． 1米2.如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6.其中S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4等于()A． 86B． 64C． 54D． 483.如图表示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若OC＝8 cm，AC＝17 cm，AB＝5 cm，BD＝10m，则C，D两辆车之间的距离为()A． 5 mB． 4 mC． 3 mD． 2 m4.如图是由三个棱长均为1的正方体箱子堆积而成的几何体，在底端的顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到顶端的顶点B处的食物，则它沿该几何体表面爬行的最短路程等于()A．B． 2＋1C．D． 55.如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深为AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵，则小动物爬行的最短路线长为()A． 40 cmB． 60 cmC． 80 cmD． 100 cm6.三角形三边长为6、8、10，那么最长边上的高为()A． 6B． 4.5C． 4.8D． 87.如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2 m，梯子的顶端B到地面的距离为7 m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3 m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′()A．小于1 mB．大于1 mC．等于1 mD．小于或等于1 m8.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前的高度是()A． 5 mB． 12 mC． 13 mD． 18 m二、填空题9.直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为________．10.一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，它的周长为120，则它的面积是________．11.如图，分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4、5、9，则△ABC________直角三角形．(填“是”或“不是”)12.如图，AD＝8，CD＝6，∠ADC＝90°，AB＝26，BC＝24，该图形的面积等于________．13.中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图1中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1，则正方形A1B1C1D1的面积为________；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面积为________(用含n的式子表示，n为正整数)．14.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD于A，AB＝8，AD＝8，BC＝7，CD＝25，则四边形ABCD的面积为__________．15.如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1＝4，S2＝8，则S3＝________.16.在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4 cm，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C 运动，速度为1 cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2 cm/s，设它们运动的时间为x(s)，当x＝__________，△BPQ是直角三角形．三、解答题17.如图所示的一块地，AD＝9 m，CD＝12 m，∠ADC＝90°，AB＝39 m，BC＝36 m，求这块地的面积．18.如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？19.在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．20.为了弘扬“社会主义核心价值观”，乐至县政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的距离分别是5米和3米．(1)求公益广告牌的高度AB；(2)求∠BDC的度数．21.阅读与应用：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．中国最早的一部数学著作－－《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识，其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵．”任务：(1)上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做__________定理；(2)请你利用以上数学原理解决问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺．答案解析1.【答案】A【解析】设水深为h米，则红莲的高(h＋1)米，且水平距离为2米，则(h＋1)2＝22＋h2，解得h＝1.5.故选A.2.【答案】C【解析】如图1，S1＝AC2，S2＝AB2，S3＝BC2，∵BC2＝AB2－AC2，∴S2－S1＝S3，如图2，S4＝S5＋S6，∴S3＋S4＝45－16＋11＋14＝54.故选C.3.【答案】D【解析】在Rt△AOC中，∵OA2＋OC2＝AC2，∴OA＝＝＝15(m)，∴OB＝OA＋AB＝20 m，在Rt△BOD中，∵BD2＝OB2＋OD2，∴OD＝＝＝10(m)，∴CD＝OD－OC＝2 m，故选D.4.【答案】A【解析】如图所示，由图可知，AB＝＝.故选A.5.【答案】D【解析】如图所示作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短．在直角△A′EG中，A′E＝80 cm，EG＝60 cm，∴AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝＝100 cm.∴最短路线长为100 cm.故选D.6.【答案】C【解析】∵62＋82＝102，∴这个三角形是直角三角形，∴最长边上的高为6×8÷10＝4.8.故选C.7.【答案】A【解析】在直角三角形AOB中，因为OA＝2，OB＝7，由勾股定理，得AB＝，由题意可知AB＝A′B′＝，又OA′＝3，根据勾股定理得OB′＝，∴BB′＝7－＜1.故选A.8.【答案】D【解析】旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12 m，旗杆离地面5 m折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，折断的旗杆为＝13 m，所以旗杆折断之前高度为13 m＋5 m＝18 m.故选D.9.【答案】6【解析】∵直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，∴另一直角边长为＝4.该直角三角形的面积S＝×3×4＝6.10.【答案】480【解析】设三边的长是5x,12x,13x，则5x＋12x＋13x＝120，解得x＝4，则三边长是20,48,52.∵202＋482＝522，∴三角形是直角三角形，∴三角形的面积是×20×48＝480.11.【答案】是【解析】由分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4、5、9，得BC2＋AC2＝AB2，则△ABC是直角三角形．12.【答案】96【解析】连接AC，在Rt△ACD中，AD＝8，CD＝6，∴AC＝＝＝10，在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝262＝AB2，∴△ABC为直角三角形；∴图形面积为S△ABC－S△ACD＝×10×24－×6×8＝96.13.【答案】55n【解析】已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△AA1B1的面积是1，新正方形A1B1C1D1的面积是5，从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5＝25＝52，…正方形AnBnCnDn的面积为5n.14.【答案】84＋96【解析】连接BD，∵AB⊥AD，∴∠A＝90°，∴BD＝24，∵BC2＋BD2＝72＋242＝625＝252＝CD2，∴△CBD为直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×8×8＋×24×7＝96＋84.15.【答案】12【解析】∵△ABC直角三角形，∴BC2＋AC2＝AB2，∵S1＝BC2，S2＝AC2，S3＝AB2，S1＝4，S2＝8，∴S3＝S1＋S2＝12.16.【答案】2或【解析】根据题意，得BP＝t cm，CQ＝2t cm，BQ＝(8－2t) cm，若△BPQ是直角三角形，则∠BPQ＝90°或∠BQP＝90°，①当∠BPQ＝90°时，Q在A点，CQ＝CA＝4 cm，4÷2＝2(s)；②当∠BQP＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝90°－60°＝30°，∴BQ＝BP，即8－2t＝t，解得t＝，故当t＝2或秒时，△BPQ是直角三角形．17.【答案】解连接AC，则在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝122＋92＝225，∴AC＝15，在△ABC中，AB2＝1521，AC2＋BC2＝152＋362＝1521，∴AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB＝90°，∴S△ABC－S△ACD＝AC·BC－AD·CD＝×15×36－×12×9＝270－54＝216.答：这块地的面积是216平方米．【解析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．18.【答案】解BM＝8×2＝16海里，BP＝15×2＝30海里，在△BMP中，BM2＋BP2＝256＋900＝1156，PM2＝1156，BM2＋BP2＝PM2，∴∠MBP＝90°，180°－90°－60°＝30°，故乙船沿南偏东30°方向航行．【解析】先根据路程＝速度×时间，求出BM，BP的长，再根据勾股定理的逆定理得到∠MBP＝90°，进一步即可求解．19.【答案】解如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14－x，由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，故152－x2＝132－(14－x)2，解之得x＝9.∴AD＝12.∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84.【解析】根据题意利用勾股定理表示出AD2的值，进而得出等式求出答案．20.【答案】解(1)在直角三角形ADC中，AC ＝＝＝4(m)，在直角三角形BDC中，BC ＝＝＝3(m)，故AB＝AC－BC＝1(米)，答：公益广告牌的高度AB的长度为1 m；(2)∵在直角三角形BDC中，BC＝CD＝3 m，∴△DBC是等腰直角三角形，∴∠BDC＝45°.【解析】(1)直接利用勾股定理得出AC的长，进而得出BC的长即可得出AB的长；(2)利用已知结合(1)中所求得出△DBC是等腰直角三角形，进而得出答案．21.【答案】解(1)上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做勾股定理；故答案是勾股；(2)如图，一条直角边(即枯木的高)长20尺，另一条直角边长5×3＝15(尺)，因此葛藤长为＝25(尺)．答：问题中葛藤的最短长度是25尺．【解析】(1)根据勾股定理的概念填空；(2)这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．。

一、选择题（每题2分，共20分）1、下列几组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；⑤321，421，521；⑥4，7.5，8.5其中能构成直角三角形的有（ ）组A.2B.3C.4D.5知识的灵活运用：知道一些常见的勾股数：① 3、4、5；② 6、8、10；③ 9、12、15；④ 5、12、13；（对其进行扩大倍数包括缩小相同倍数都一样成立）⑤ 8、15、17；⑥ 7、24、25；⑦ 20、21、29 ；⑧ 12、35、372、已知△ABC 中，∠A ＝12∠B ＝13∠C ，则它的三条边之比为（ ）【等腰直角三角形三边的比例关系，三个角的比例关系】A.1∶1∶2B.1∶3∶2C.1∶2∶3D.1∶4∶1知识的灵活运用：周长、面积、三边比例、角度之比、求高、求边长、同时扩大相同倍数还是特殊三角形、给定特殊边的时候去判断角是多少度的问题、与面积结合出题的问题，求面积之比的问题、给定特殊角的时候要注意做垂直辅助线等等。

3、放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（ ）A.600米B.800米C.1000米D.不能确定4、如图1所示，要在离地面5•米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L 1＝5.2米，L 2＝6.2米，L 3＝7.8米，L 4＝10米四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（ ）A.L 1B.L 2C.L 3D.L 4AB C图25mBCAD图1BCAED 图35、如图2，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ）A.S 1＝S 2B.S 1＜S 2C.S 1＞S 2D.无法确定6、在△ABC 中，∠C ＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）A.5，4，3B.13，12，5C.10，8，6D.26，24，107、如图3所示，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝1，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AD ⊥DE ，则AE ＝（ ）A.1B.D.28、直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（ ）A.182B.183C.184D.1859、直角三角形两直角边边长分别为6cm 和8cm ，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ） A ．10cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm10、三角形的三边长满足关系：(a +b )2=c 2+2ab ，则这个三角形是（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形11、如下图，一块直角三角形的纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm二、填空题（每题3分，共30分）1、如果一个三角形的三个内角之比是1∶2∶3，且最小边的长度是8，最长边的长度是________.2、若三角形的三边满足::5:12:13a b c =，则这个三角形中最大的角为 ；3、已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm 、8cm ，那么这个直角三角形斜边上的高为 ；4、“同角(等角)的余角相等”是的逆命题_______________ ___ＣDB5、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 ；（铺地毯的题）6、在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 ．7、如图1所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，正方形A ，B ，C 的面积分别是8cm 2，10cm 2，14cm 2，则正方形D 的面积是 cm 2．8、如图2，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝60c m ，CA ＝80c m ，一只蜗牛从C 点出发，以每分钟20c m 的速度沿CA →AB →BC 的路径再回到C 点，需要 分钟的时间． 9、如图3是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两直角边分别为 和 ．（注：两直角边长均为整数） 三、解答题 (共50分)1、（8分）三个半圆的面积分别为S 1=4.5π，S 2=8π，S 3=12.5π，把三个半圆拼成如图所示的图形，则△ABC 一定是直角三角形吗？说明理由。

八年级数学下册《勾股定理》练习题及答案(人教版)班级姓名考号A．3条B．2条C．1条D．0条A．嘉嘉对，淇淇错B．嘉嘉错，淇淇对C．两人都对D．两人都错1131-A ．12mB ．13mC ．15mD ．24m若ACDA ．12B ．15C ．24D ．30A ．2B ．5C ．223+D ．256+11．如图，在ABC 中1AB AC ==，若45B ∠=︒，则线段BC 的长为__．12．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 在小正方形的顶点上，则表示ABC 重心的点是__________；13．如图，小华将升旗的绳子拉倒竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗14．如图，在Rt ABC △中90C ∠=︒，∠B=60°，按以下步骤作图：△以点A 为圆心，以任意长为半径作弧，15．如图，在△ABC 中，△C ＝90°，BA ＝15，AC ＝12，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是三、解答题．如图，ABC中，∠的平分线，交BC于点D．(1)请利用直尺和圆规作BACAD=，求10,620．定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．(1)请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；(2)你能否也从中取出若干根摆出等边“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．参考答案1．C2．C3．B4．A5．D6．C7．D8．B9．B17．（1）解：如图，AD即为所求；∠（2）解：△AB=AC，AD平分BAC ．解：如图，在AB ED=，即60AB=．10△又在Rt ABC2AB=-BC的长度是1122ABC S AC AB AB CD ∆== 238230525AC BC CD AB ⨯∴=== 20．（1）小颖摆出如图1所示的“整数三角形小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”：（2）不能摆出等边“整数三角形”．。

八年级数学下册《第十七章勾股定理的应用》练习题-附答案(人教版)一、选择题1.如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要( )A.4米B.5米C.6米D.7米2.某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC 的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为( )A.90米B.120米C.140米D.150米3.《九章算术》第九章有如下题目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？译文是：今有墙高1丈，倚木杆于墙.使木杆之上端与墙平齐.牵引木杆下端退行1尺，则木杆(从墙上)滑落至地上.间木杆长是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)( )A.5尺5寸B.1丈1尺C.5丈5寸D.5丈5尺4.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )A.2.5B.2 2C. 3D. 55.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )A.90米B.100米C.120米D.150米6.如图，有一个由传感器控制的灯A装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至距该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光，请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( )A.4 mB.3 mC.5 mD.7 m7.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水深是( )尺A.3.5B.4C.4.5D.58.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)( )A.12 mB.13 mC.16 mD.17 m9.如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( )A. 3B. 5C. 6D.710.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.若AC＝3，AB＝5，则CE的长为( )A.32B.43C.53D.8511.如图，已知线段BC，分别以B、C为圆心，大于12BC为半径作弧，两弧相交于E、F两点，连接CE，过点E作射线BA，若∠CEA＝60°，CE＝4，则△BCE的面积为( )A.4B.4 3C.8D.8 312.如图，圆柱形纸杯高8 cm，底面周长为12 cm，在纸杯内壁离杯底2 cm的点C处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )3 B.6 2 C.10 D.以上答案都不对二、填空题13.上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC＝60°，点C在点B的正西方向，海岛B与灯塔C之间的距离是海里.14.在平面直角坐标系中，点P(﹣5，2)到原点的距离是．15.如图，要做一个两条直角边的长分别是7 cm和4 cm的三角尺，斜边长应为 cm.16.如图，A，B，C，D为四个养有珍稀动物的小岛，连线代表连接各个小岛的晃桥(各岛之间也可以通过乘船到达)，四边形ABCD为长方形，如果黄芳同学想从A岛到C岛，则至少要经过________米.17.某快递公司要在街道旁设立一个派送还点，向A、B两居民区投送快递，派送点应该设在什么地方，才能使它到A、B的距离之和最短？快递员根据实际情况，以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得坐标A(﹣2，2)、B(6，4)，则派送点的坐标是.18.如图，在平面直角坐标系中，已知点P(2，1)，点A是x轴上的一个动点，当△PAO是等腰三角形时，点A的坐标为．三、解答题19.如图所示，一棵36米高的树被风刮断了，树顶落在离树根24米处，求折断处的高度AB.20.如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶50000米.飞机每小时飞行多少千米？21.如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5003m 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点.(1)求A、C两点之间的距离；(2)确定目的地C在营地A的什么方向？22.如图，∠AOB＝90°，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？23.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝∠90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)若AD＝6，BD＝8，求ED的长．24.如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAD＝90°，AB＝2，AC＝11，求BC的长．25.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m.假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？参考答案1.D2.C3.C4.D5.B.6.A.7.C8.D.9.B.10.A11.B.12.C.13.答案为：30 3.14.答案为：3.15.答案为：65.16.答案为：370.17.答案为：(23，0).18.答案为：A(4，0)，(5，0)，(﹣5，0)．19.解：设AB＝x米，则AC＝(36﹣x)米∵AB⊥BC∴AB2＋BC2＝AC2∴x2＋242＝(36﹣x)2.∴x＝10∴折断处的高度AB是10米.20.解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理可知BC＝3000(米).3000÷20＝150米/秒＝540千米/小时.所以飞机每小时飞行540千米.21.解：(1)过B点作BE∥AD如图，∴∠DAB＝∠ABE＝60°.∵30°＋∠CBA＋∠ABE＝180°∴∠CBA＝90°.即△ABC为直角三角形.由已知可得：BC＝500 m，AB＝500 3 m由勾股定理可得：AC2＝BC2＋AB2所以AC＝1 000(m)；(2)在Rt△ABC中，∵BC＝500 m，AC＝1 000 m∴∠CAB＝30°∵∠DAB＝60°∴∠DAC＝30°.即点C在点A的北偏东30°的方向.22.解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等即BC＝CA设AC为x，则OC＝45﹣x由勾股定理可知OB2＋OC2＝BC2又∵OA＝45，OB＝15把它代入关系式152＋(45﹣x)2＝x2解方程得出x＝25(cm)．答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．23.(1)证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝∠90°∴AC＝BC，EC＝DC，∠B＝∠CAB＝45°，∠ACE＝∠BCD＝90°﹣∠ACD在△ACE和△BCD中∴△ACE ≌△BCD(SAS)；(2)解：∵△ACE ≌△BCD∴∠CAE ＝∠B ，AE ＝BD ＝8∵∠CAB ＝∠B ＝45°∴∠EAD ＝45°＋45°＝90°在Rt △EAD 中，由勾股定理得：ED ＝10．24.解：延长AD 至点E ，使AD ＝ED ，连结CE.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD.在△ABD 和△ECD 中∵⎩⎨⎧AD ＝ED ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ECD(SAS)∴EC ＝AB ＝ 2∴∠CED ＝∠BAD ＝90°.在Rt △AEC 中，∵AE 2＝AC 2﹣EC 2∴AE ＝（11）2－（2）2＝3∴AD ＝12AE ＝32. 在Rt △ABD 中，∵BD 2＝AB 2＋AD 2∴BD ＝172∴BC ＝2BD ＝17.25.解：作AB⊥MN，垂足为B在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160∴ AB＝12AP＝80∵点 A到直线MN的距离小于100m∴这所中学会受到噪声的影响.如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响那么AC＝100(m)由勾股定理得： BC2＝1002﹣802＝3600∴ BC＝60.同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响那么AD＝100(m)，BD＝60(m)∴CD＝120(m).拖拉机行驶的速度为：18km/h＝5m/s，t＝120m÷5m/s＝24s.答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒.。

17.1勾股定理一．选择题1．一个直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为（）A．B．13C．6D．252．如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）A．1B．1.4C．D．3．在锐角△ABC中，AB＝13，AC＝20，BC边上的高为12，则△ABC的面积是（）A．66B．126C．120D．684．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为S4，S5，S6.其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（）A．10B．9C．8D．75．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为48，小正方形的面积为6，则（a+b）2的值为（）A．60B．79C．84D．906．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，D是AB的中点，DF⊥AC于点F，FE⊥BC于点E，则EF的长是（）A．B．C．D．37．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是（）A．13B．C．47D．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．以点A为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，再分别以点A，D为圆心，以AB，AC的长为半径作弧交于点E，连接AE，DE，若点F为AE的中点，则DF的长为（）A．4B．5C．6D．89．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作OD⊥AB于点D，则AD的长为（）A．B．2C．D．410．勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝1，S2＝2，S3＝3，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（）A．5B．5.5C．5.8D．6二．填空题11．在直角三角形中，两直角边分别为6和8，则第三边上中线长是．12．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，BC＝6．则△ABC的面积为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若AB＝，则图中阴影部分的面积为．14．已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F是垂足，且AB＝17，BC＝15，则OF、OE、OD的长度分别是．15．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．三．解答题16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AB＝13，BD＝5，AC＝15．（1）求AD的长；（2）求BC的长．17．两块三角板如图放置，已知∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，∠ACD＝30°，BC ＝6cm．（1）分别求线段AD，CD的长度；（2）求BD2的值．18．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．参考答案一．选择题1．解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，∴斜边为＝13，∵S△ABC＝×5×12＝×13h（h为斜边上的高），∴h＝．故选：A．2．解：由勾股定理得，OB＝＝，则OA＝OB＝，∴点A表示的数是，故选：C．3．解：在锐角△ABC中，∵∠B为锐角时，如图所示，在Rt△ABD中，BD＝＝＝5，在Rt△ADC中，CD＝＝＝16，∴BC＝BD+CD＝21，∴△ABC的面积为×21×12＝126；故选：B．4．解：如右图所示，∵S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3，同理可得，S5+S6＝S4，∵S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，∴S3+S4＝（1+3）+（2+4）＝4+6＝10，故选：A．5．解：由图可知，（b﹣a）2＝6，4×ab＝48﹣6＝42，∴2ab＝42，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝6+2×42＝90．故选：D．6．解：∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝4，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵D是AB的中点，∴AD＝AB＝2，在Rt△ADF中，∠A＝60°，∴∠ADF＝30°，∴AF＝AD＝1，∴FC＝AC﹣AF＝3，在Rt△CFE中，∠C＝60°，∴∠CFE＝30°，∴EC＝FC＝，∴EF＝＝，故选：A．7．解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，由勾股定理得：x2＝32+52＝34；y2＝22+32＝13；z2＝x2+y2＝47；即最大正方形E的面积为：z2＝47，边长为z＝．故选：B．8．解：根据作图知，AD＝BC，AE＝AB，DE＝AC，∴△ADE≌△BCA（SSS），∴∠ADE＝∠BCA＝90°，AE＝AC，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∴AE＝AB＝10，∵点F为AE的中点，∴DF＝AE＝5，故选：B．9．解：过O作OE⊥CB，OF⊥AC，又∵∠BAC＝90°，∴四边形ADOF是矩形，∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∴DO＝EO＝FO，∴四边形ADOF是正方形，∴AD＝DO，∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10，∴S△ABC＝＝24，连接AO，设DO＝x，则FO＝EO＝x，∴×6x+×8x+×10x＝24，解得：x＝2，∴DO＝2，∴AD＝2．故选：B．10．解：设直角三角形的斜边长为a，较长直角边为c，较短直角边为b，由勾股定理得，a2＝c2+b2，∴a2﹣c2﹣b2＝0，∴S阴影＝a2﹣c2﹣（b2﹣S四边形DEFG）＝a2﹣c2﹣b2+S四边形DEFG＝S四边形DEFG ∴S四边形DEFG＝S1+S2+S3＝1+2+3＝6，故选：D．二．填空题11．解：已知直角三角形的两直角边为6、8，则斜边长为＝10，故斜边的中线长为×10＝5，故答案是：5．12．解：如图，过A作AD⊥BC于D，设BD＝x，则CD＝6﹣x，依题意有（2）2﹣x2＝（4）2﹣（6﹣x）2，解得x＝2，在Rt△ADB中，AD＝＝＝4，则△ABC的面积为×6×4＝12．故答案为：12．13．解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝，所以，S阴影＝S△AHC+S△BFC+S△AEB＝×（）2+×（）2+×（）2，＝（AC2+BC2+AB2），＝×（）2，＝．故答案为：．14．解：如图，连接OB，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝17，BC＝15，∴AC＝＝＝8，∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F 分别是垂足，∴OE＝OF＝OD，又∵OB是公共边，∴Rt△BOF≌Rt△BOD（HL），∴BD＝BF，同理AE＝AF，CE＝CD，∵∠C＝90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD＝OE，∴四边形OECD是正方形，设OE＝OF＝OD＝x，则CE＝CD＝x，BD＝BF＝15﹣x，AF＝AE＝8﹣x，∴15﹣x+8﹣x＝17，解得x＝3．∴OE＝OF＝OD＝3．故答案为：3．15．解：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案为：20．三．解答题16．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠CDA＝90°．在Rt△ADB中，∵∠ADB＝90°，∴AD2+BD2 ＝AB2，∴AD2＝AB2﹣BD2＝144．∵AD＞0，∴AD＝12．（2）在Rt△ADC中，∵∠CDA＝90°，∴AD2+CD2 ＝AC2 ，∴CD2＝AC2﹣AD2＝81．∵CD＞0，∴CD＝9．∴BC＝BD+CD＝5+9＝14．17．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，∴AB＝AC＝BC＝6，在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝3，由勾股定理得，CD＝＝3；（2）过点B作BE⊥AD交DA的延长线于E，由题意得，∠BAE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴BE＝AB＝3，由勾股定理得，AE＝＝3，∴DE＝AE+AD＝3+3，∴BD2＝BE2+DE2＝32+（3+3）2＝45+18．18．解：（1）梯形ABCD的面积为，也可以表示为，∴，即a2+b2＝c2；（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得；（3）如图，由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．17.2 勾股定理的逆定理一、选择题（共10小题；共60分）1. 下列各组数中，能构成直角三角形的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，2. 以下各组数据能作为直角三角形的三条边的边长的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，3. 下列命题的逆命题是假命题的是A. 等腰三角形的两底角相等B. 全等三角形的对应边相等C. 全等三角形的对应角相等D. 若，则4. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，5. 下列命题与它的逆命题都为真命题的是A. 已知非零实数，如果为分式，那么它的倒数也是分式B. 如果的相反数为，那么为C. 如果一个数能被整除，那么这个数也能被整除D. 如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数6. 以下组数据，能组成三角形的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，7. 下列命题与它的逆命题都为真命题的是A. 已知非零实数，如果为分式，那么它的倒数也是分式B. 如果的相反数为，那么为C. 如果一个数能被整除，那么这个数也能被整除D. 如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数8. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，9. 下列各命题的逆命题成立的是A. 全等三角形的对应角相等B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C. 两直线平行，同位角相等D. 如果两个角都是，那么这两个角相等10. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，里米，则该沙田的面积为A. 平方千米B. 平方千米C. 平方千米D.平方千米二、填空题（共5小题；共25分）11. 命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：．12.三边都是整数的直角三角形叫做勾股三角形．有一条边长为的勾股三角形有个．13. 命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是．14. 判定以如下的，，为边长的三角形是否是直角角形，是的打“”，不是的打“”．（），，（），，（），，（），，（），，15. 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是否成立．（）如果两个角是直角，那么它们相等；（）对顶角相等．三、解答题（共5小题；共65分）16. 写出下列命题的逆命题，并在后面的括号里判断逆命题是否正确．（1）同旁内角互补，两直线平行；（）（2）全等三角形的对应角相等．（）17. 如图，在中，，，在中，为边上的高，，的面积为，是否为直角三角形?18. 下列各命题都成立，写出它们的逆命题，并判断逆命题的真假．（1）内错角相等，两直线平行；（2）对顶角相等；（3）全等三角形的对应角相等；（4）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．19. 若的三边，，满足，试判断的形状．20. 利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题．已知：如图，，，点在上．求证：．答案第一部分1. B 【解析】A．，不能构成直角三角形，故A错误，B．，能构成直角三角形，故B正确，C．，不能构成直角三角形，故C错误，D．，不能构成直角三角形，故D错误．2. D3. C4. D 【解析】，A不能构成三角形；，B不能构成直角三角形；，C不能构成直角三角形；，D能构成直角三角形．5. B【解析】A．已知非零实数，如果为分式，那么它的倒数也是分式是假命题；B．如果的相反数为，那么为是真命题，它的逆命题是如果为，那么的相反数为，是真命题；C．如果一个数能被整除，那么这个数也能被整除是真命题，它的逆命题是如果一个数能被整除，那么这个数也能被整除，是假命题；D．如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数，是假命题．故选：B．6. B 【解析】A、，不能组成三角形；B、，能组成三角形；C、，不能组成三角形；D、，不能组成三角形．故选：B．7. B 【解析】A、已知非零实数，如果为分式，那么它的倒数也是分式是假命题；B、如果的相反数为，那么为是真命题，它的逆命题是如果为，那么的相反数为，是真命题；C、如果一个数能被整除，那么这个数也能被整除是真命题，它的逆命题是如果一个数能被整除，那么这个数也能被整除，是假命题；D、如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数，是假命题．故选：B．8. C 【解析】，三条线段不能组成直角三角形；，三条线段不能组成直角三角形；，三条线段能组成直角三角形；，三条线段不能组成直角三角形．9. C【解析】A 逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；B 绝对值相等的两个数相等，错误；C 同位角相等，两条直线平行，正确；D 相等的两个角都是，错误．10. A第二部分11. “两直线平行，同位角相等”．【解析】命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”故答案为：“两直线平行，同位角相等”．12.13. 两边上的高相等的三角形是等腰三角形14. ，，，，15. 如果两个角相等那么它们是直角，不成立，如果两个角相等，那么它们是对顶角，不成立第三部分16. （1）两直线平行，同旁内角互补；正确（2）对应角相等的三角形全等；不正确17. 在中，，．在中，，，，是直角三角形．18. （1）两直线平行，内错角相等，为真命题．（2）相等的角是对顶角，为假命题．（3）对应角相等的三角形是全等三角形，为假命题．（4）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，为假命题．19. 设，则，，，，，．又，是等腰直角三角形．20. 连接．，点在线段的垂直平分线上．，点在线段的垂直平分线上，是线段的垂直平分线（两点确定一条直线）．点在上，．。

第17章勾股定理专项训练专训1.巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．用计算法求平面中最短问题1．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．(第1题)2．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C 坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：(1)求A，C之间的距离．(参考数据21≈4.6)(2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)(第2题)用平移法求平面中最短问题3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬( )A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm(第3题)(第4题)4．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________．用对称法求平面中最短问题5．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短，求EP＋BP的最短长度．(第5题)6．高速公路的同一侧有A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B 两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．(第6题)用展开法求立体图形中最短问题类型1 圆柱中的最短问题(第7题)7．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB，CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．类型2 圆锥中的最短问题8．已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1)此图形的名称为________．(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？2·1·c·n·j·y(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．(第8题)类型3 正方体中的最短问题9．如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．(第9题)类型4 长方体中的最短问题10．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程．(第10题)专训2.巧用勾股定理解折叠问题名师点金：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律．利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x ，将此直角三角形的三边长用数或含有x 的代数式表示出来；(3)利用勾股定理列方程求出x ；(4)进行相关计算解决问题．巧用全等法求折叠中线段的长1．(中考·泰安)如图①是一直角三角形纸片，∠A ＝30°，BC ＝4 cm ，将其折叠，使点C 落在斜边上的点C ′处，折痕为BD ，如图②，再将图②沿DE 折叠，使点A 落在DC ′的延长线上的点A ′处，如图③，则折痕DE 的长为( )(第1题) A.83cm B ．2 3 cm C ．2 2 cm D ．3 cm巧用对称法求折叠中图形的面积2．如图所示，将长方形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，求△BED 的面积．(第2题)巧用方程思想求折叠中线段的长3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．(第3题)巧用折叠探究线段之间的数量关系4．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC 于点F，连接CE.(1)求证：AE＝AF＝CE＝CF；(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．(第4题)专训3.利用勾股定理解题的7种常见题型名师点金：勾股定理建立起了“数”与“形”的完美结合，应用勾股定理可以解与直角三角形有关的计算问题，证明含有平方关系的几何问题，作长为n(n为正整数)的线段，解决实际应用问题及专训一、专训二中的最短问题、折叠问题等，在解决过程中往往利用勾股定理列方程(组)，有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化斜为直来解决问题．利用勾股定理求线段长1．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．(第1题)利用勾股定理作长为n的线段2．已知线段a，作长为13a的线段时，只要分别以长为和的线段为直角边作直角三角形，则这个直角三角形的斜边长就为13a.利用勾股定理证明线段相等3．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC.(第3题)利用勾股定理证明线段之间的平方关系4．如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.求证：BP2＝BC2＋AP2.(第4题)利用勾股定理解非直角三角形问题5．如图，在△ABC 中，∠C ＝60°，AB ＝14，AC ＝10.求BC 的长．(第5题)利用勾股定理解实际生活中的应用6．在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h ⎝ ⎛⎭⎪⎫即503 m/s ，并在离该公路100 m 处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在点A 的北偏西60°方向上，点C 在点A 的北偏东45°方向上．另外一条公路在y 轴上，AO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15 s ，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速．(参考数据：3≈1.7)(第6题)利用勾股定理探究动点问题7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1 cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒．(1)求BC 边的长；(2)当△ABP 为直角三角形时，借助图①求t 的值；(3)当△ABP 为等腰三角形时，借助图②求t 的值．(第7题)答案专训11．4(第2题)2．解：(1)如图，过点C 作AB 的垂线，交AB 的延长线于点E.∵∠ABC ＝120°，∴∠BCE ＝30°.在Rt △CBE 中，∵BC ＝20 km ，∴BE ＝10 km.由勾股定理可得CE ＝10 3 km.在Rt △ACE 中，∵AC2＝AE2＋CE2＝(AB ＋BE)2＋CE2＝8 100＋300＝8 400， ∴AC ＝2021≈20×4.6＝92(km)．(2)选择乘“武黄城际列车”．理由如下：乘客车需时间t1＝8060＝113(h)，乘“武黄城际列车”需时间t2≈92180＋2040＝1190(h)． ∵113>1190，∴选择乘“武黄城际列车”．(第3题)3．C 点拨：将台阶面展开，连接AB ，如图，线段AB 即为壁虎所爬的最短路线．因为BC ＝30×3＋10×3＝120(cm)，AC ＝50 cm ，在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝16 900，所以AB ＝130 cm.所以壁虎至少爬行130 cm.5．解：如图，连接BD 交AC 于O ，连接ED 与AC 交于点P ，连接BP.(第5题)易知BD ⊥AC ，且BO ＝OD ，∴BP ＝PD ，则BP ＋EP ＝ED ，此时最短．∵AE ＝3，AD ＝1＋3＝4，由勾股定理得ED2＝AE2＋AD2＝32＋42＝25＝52，∴ED ＝BP ＋EP ＝5.6．解：如图，作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点P ，则点P 即为所建的出口．此时A 、B 两城镇到出口P 的距离之和最小，最短距离为AC 的长．作AD ⊥BB ′于点D ，在Rt △ADC 中，AD ＝A ′B ′＝8 km ，DC ＝6 km.∴AC ＝AD2＋DC2＝10 km ，∴这个最短距离为10 km.(第6题)7．2 2 点拨：将圆柱体的侧面沿AD 剪开并铺平得长方形AA ′D ′D ，连接AC ，如图．线段AC 就是小虫爬行的最短路线．根据题意得AB ＝2π×2π×12＝2.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝22＋22＝8，∴AC ＝8＝2 2.(第7题)8．解：(1)圆锥 (2)扇形(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC 为蜗牛爬行的最短路线．(4)在Rt △ASC 中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125，∴AC ＝125＝5 5.故蜗牛爬行的最短路程为5 5. (第8题)(第9题)9．解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC ′1和AC1.(2)如图，AC ′1＝42＋（4＋4）2＝4 5. AC1＝（4＋4）2＋42＝4 5.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是45. 10．解：分为三种情况：(1)如图①，连接EC ，在Rt △EBC 中，EB ＝12＋8＝20(cm)，BC ＝12×30＝15(cm)． 由勾股定理，得EC ＝202＋152＝25(cm)．(2)如图②，连接EC.根据勾股定理同理可求CE ＝673 cm>25 cm. (3)如图③，连接EC.根据勾股定理同理可求CE ＝122＋（30＋8＋15）2＝ 2 953(cm)>25 cm. 综上可知，小虫爬行的最短路程是25 cm.(第10题)专训21．A2．解：由题意易知AD ∥BC ，∴∠2＝∠3.∵△BC ′D 与△BCD 关于直线BD 对称，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB ＝ED.设EB ＝x ，则ED ＝x ，AE ＝AD －ED ＝8－x.在Rt △ABE 中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2.∴x ＝5.∴DE ＝5.∴S △BED ＝12DE ·AB ＝12×5×4＝10. 解题策略：解决此题的关键是证得ED ＝EB ，然后在Rt △ABE 中，由BE2＝AB2＋AE2，利用勾股定理列出方程即可求解．2-1-c-n-j-y3．(1)证明：在正方形ABCD 中，AD ＝AB ，∠D ＝∠B ＝90°.∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，∴AD ＝AF ，DE ＝EF ，∠D ＝∠AFE ＝90°.∴AB ＝AF ，∠B ＝∠AFG ＝90°.又∵AG ＝AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG(HL)．(2)解：∵△ABG ≌△AFG ，∴BG ＝FG.设BG ＝FG ＝x ，则GC ＝6－x ，∵E 为CD 的中点，∴CE ＝DE ＝EF ＝3，∴EG ＝3＋x.∴在Rt △CEG 中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x ＝2.∴BG ＝2.4．(1)证明：由题意知，AF ＝CF ，AE ＝CE ，∠AFE ＝∠CFE ，又四边形ABCD 是长方形，故AD ∥BC ，∴∠AEF ＝∠CFE.∴∠AFE ＝∠AEF.∴AE ＝AF ＝EC ＝CF.(2)解：由题意知，AE ＝EC ＝a ，ED ＝b ，DC ＝c ，由∠D ＝90°知，ED2＋DC2＝CE2，即b2＋c2＝a2.专训3(第1题)1．解：如图，连接BD.∵等腰直角三角形ABC 中，点D 为AC 边的中点，∴BD ⊥AC ，BD 平分∠ABC(等腰三角形三线合一)，∴∠ABD ＝∠CBD ＝45°，又易知∠C ＝45°， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠C.∴BD ＝CD.∵DE ⊥DF ，BD ⊥AC ，∴∠FDC ＋∠BDF ＝∠EDB ＋∠BDF.∴∠FDC ＝∠EDB.在△EDB 与△FDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠C ，BD ＝CD ，∠EDB ＝∠FDC ，∴△EDB ≌△FDC(ASA)，∴BE ＝FC ＝3.∴AB ＝7，则BC ＝7.∴BF ＝4.在Rt △EBF 中，EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝25，∴EF ＝5.2．2a ；3a3．证明：∵CD ⊥AD ，∴∠ADC ＝90°，即△ADC 是直角三角形．由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.又∵AD2＝2AB2－CD2，∴AD2＋CD2＝2AB2.∴AC2＝2AB2.∵∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，∴AB2＋BC2＝2AB2，故BC2＝AB2，即AB＝BC.方法总结：当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明，应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：①找出图中证明结论所要用到的直角三角形；②根据勾股定理写出三边长的平方关系；③联系已知，等量代换，求之即可．(第4题)4．证明：如图，连接BM.∵PM⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形．∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.同理可得BC2＋CM2＝BM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.∴BP2＝BC2＋AP2.(第5题)5．思路导引：过点A 作AD ⊥BC 于D ，图中出现两个直角三角形——Rt △ACD 和Rt △ABD ，这两个直角三角形有一条公共边AD ，借助这条公共边可建立起两个直角三角形之间的联系．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D.∴∠ADC ＝90°.又∵∠C ＝60°，∴∠CAD ＝90°－∠C ＝30°，∴CD ＝12AC ＝5. ∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC2－CD2＝102－52＝5 3. ∴在Rt △ABD 中，BD ＝AB2－AD2＝11.∴BC ＝BD ＋CD ＝11＋5＝16.方法总结：利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合条件，采用推理或列方程的方法解决问题．【来源：6．思路导引：(1)要求点B 和点C 的坐标，只要分别求出OB 和OC 的长即可．(2)由(1)可知BC 的长度，进而利用速度公式求得汽车在这段限速路上的速度，并与503比较即可． 解：(1)在Rt △AOB 中，∵∠BAO ＝60°，∴∠ABO ＝30°，∴OA ＝12AB. ∵OA ＝100 m ，∴AB ＝200 m.由勾股定理，得OB ＝AB2－OA2＝2002－1002＝1003(m)．在Rt △AOC 中，∵∠CAO ＝45°，∴∠OCA ＝∠OAC ＝45°.∴OC ＝OA ＝100 m ．∴B(－1003，0)，C(100，0)． (2)∵BC ＝BO ＋CO ＝(1003＋100)m ，1003＋10015≈18>503， ∴这辆汽车超速了．7．解：(1)在Rt △ABC 中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，∴BC ＝4 cm.(2)由题意知BP ＝t cm ，①如图①，当∠APB 为直角时，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ，即t ＝4；②如图②，当∠BAP 为直角时，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3 cm ，在Rt △ACP 中，AP2＝32＋(t －4)2，在Rt △BAP 中，AB2＋AP2＝BP2，即52＋[32＋(t －4)2]＝t2，解得t ＝254. 故当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或t ＝254.(第7题(2))(3)①如图①，当BP ＝AB 时，t ＝5；②如图②，当AB ＝AP 时，BP ＝2BC ＝8 cm ，t ＝8；(第7题(3))③如图③，当BP ＝AP 时，AP ＝BP ＝t cm ，CP ＝|t －4|cm ，AC ＝3 cm ，在Rt △ACP 中，AP2＝AC2＋CP2，所以t2＝32＋(t －4)2，解得t ＝258. 综上所述：当△ABP 为等腰三角形时，t ＝5或t ＝8或t ＝258.第17章 勾股定理 专项训练专训1.证垂直在解题中的应用名师点金：证垂直的方法：(1)在同一平面内，垂直于两条平行线中的一条直线；(2)等腰三角形中“三线合一”；(3)勾股定理的逆定理：在几何中，我们常常通过证垂直，再利用垂直的性质来解各相关问题．利用三边的数量关系说明直角1．如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，且AB ＝10，BD ＝6，AD ＝8，AC ＝17，求CD 的长．(第1题)利用转化为三角形法构造直角三角形2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝5，CD＝5，AD＝4，求S四边形ABCD.(第2题)利用倍长中线法构造直角三角形3．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，求证：AB⊥AD.(第3题)利用化分散为集中法构造直角三角形4．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连接AD.(1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求∠BPC的度数；(2)如图②，当α＝90°时，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求∠BPC的度数．(第4题)利用“三线合一”法构造直角三角形5．如图①，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC 上的点，且DM⊥DN.(1)求证：CM＋CN＝2BD；(2)如图②，若M，N分别在AC，CB的延长线上，探究CM，CN，BD之间的数量关系．(第5题)专训2.全章热门考点整合应用名师点金：本章主要学习了勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系．它把直角三角形的“形”的特点转化为三边长的“数”的关系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角形的依据之一．本章的考点可概括为：两个概念，两个定理，两个应用．两个概念a．互逆命题1．有下列命题：①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；④相等的角都是直角；⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；⑥两直线平行，内错角相等．(1)③和⑤是互逆命题吗？(2)你能说出③和⑤的逆命题各是什么吗？(3)请指出哪几个命题是互逆命题．b．互逆定理2．下列四个定理中，存在逆定理的有( )个．(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形；(2)全等三角形的对应角相等；(3)同位角相等，两直线平行．A．0 B．1 C．2 D．33．写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理．(1)全等三角形的对应边相等；(2)同角的补角相等．两个定理a．勾股定理4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD.若AB＝8，BD＝5，求CD的长．(第4题)b．勾股定理的逆定理5．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状(按角分类)．(1)请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为________三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为________三角形．(2)小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2＋b2>c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2<c2时，△ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a＝2，b＝4时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？2-1-c-n-j-y两个应用a．勾股定理的应用6．如图，在公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处爆破．已知C与公路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上的另一停靠站B的距离为400 m，且CA⊥CB.为了安全起见，爆破点C周围半径250 m范围内(包括250 m)不得有人进入．问：在进行爆破时，公路AB 段是否有危险？需要暂时封锁吗？(第6题)b．勾股定理逆定理的应用7．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5 n mile的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行40 n mile，乙巡逻艇每小时航行30 n mile，航向为北偏西37°，问：甲巡逻艇的航向？(第7题)答案专训11．解：∵AD2＋BD2＝100＝AB2，∴△ABD为直角三角形，且∠ADB＝90°.在Rt△ACD中，CD2＋AD2＝AC2，∴CD ＝AC2－AD2＝172－82＝15.2．解：连接AC.在Rt △ACB 中，AB2＋BC2＝AC2，∴AC ＝3，∴AC2＋AD2＝CD2.∴△ACD 为直角三角形，且∠CAD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝12×2×5＋12×3×4＝6＋ 5.(第3题)3．证明：如图，延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接CE ，BE.∵D 为BC 的中点，∴CD ＝BD.又∵AD ＝DE ，∠ADC ＝∠BDE ，∴△ADC ≌△EDB ，∴BE ＝AC ＝13.在△ABE 中，AE ＝2AD ＝12，∴AE2＋AB2＝122＋52＝169.又∵BE2＝132＝169，∴AE2＋AB2＝BE2，∴△ABE 是直角三角形，且∠BAE ＝90°，即AB ⊥AD.点拨：本题运用倍长中线法构造全等三角形证明线段相等，再利用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直．4．解：(1)如图①，连接DP ，易知△DCP 为等边三角形，易证得△CPB ≌△CDA ，∴∠BPC ＝∠ADC，∠CDP＝60°，AD＝6，DP＝8，∴AD2＋DP2＝AP2，∴∠ADP＝90°，∴∠ADC＝150°，∴∠BPC＝150°.(第4题)(2)如图②，连接DP，易得△DCP为等腰直角三角形，易证得△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，∠CDP＝45°，AD＝1，DP＝2CD＝22，∴AD2＋DP2＝AP2，∴∠ADP＝90°，∴∠ADC＝135°，∴∠BPC＝135°.5．(1)证明：如图①，连接CD，∵DM⊥DN，∴∠MDC＋∠CDN＝90°.∵∠ACB＝90°，AC＝CB，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CDN＋∠NDB＝90°.∴∠MDC＝∠NDB.∵CD⊥AB，∠BCD＝45°，∴CD＝BD.在△CMD和△BND中，∵∠MDC＝∠NDB，∠MCD＝∠NBD，CD＝BD，∴△CMD≌△BND，∴CM＝BN.∴CM＋CN ＝BN＋CN＝BC.在Rt△CBD中，∠B＝45°，∠CDB＝90°，∴BC＝2BD.∴CM＋CN＝2BD.(2)解：CN－CM＝2BD，如图②，连接CD，证法同(1)．(第5题)专训二1．解：(1)由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结论得到的，所以③和⑤不是互逆命题．(2)能．③的逆命题是如果a>0，b>0，那么a＋b>0.⑤的逆命题是如果ab>0，那么a>0，b>0.(3)①与④，②与⑥分别是互逆命题．2．C3．解：(1)逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等．原命题与其逆命题都是真命题且都是定理，所以它们是互逆定理．2·1·c·n·j·y(2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．原命题是真命题，但其逆命题是假命题，所以它们不是互逆定理．4．解：设CD＝x，在Rt△ABC中，有AC2＋(CD＋BD)2＝AB2，整理，得AC2＝AB2－(CD＋BD)2＝64－(x＋5)2.①在Rt△ADC中，有AC2＋CD2＝AD2，整理，得AC2＝AD2－CD2＝25－x2.②由①②两式，得64－(x＋5)2＝25－x2，解得x＝1.4，即CD的长是1.4.点拨：勾股定理反映了直角三角形三边长之间的数量关系，利用勾股定理列方程思路清晰、直观易懂．5．解：(1)锐角；钝角(2)a2＋b2＝22＋42＝20，∵c为最长边，2＋4＝6，∴4≤c<6.①由a2＋b2>c2，得c2<20，0<c<25，∴当4≤c＜25时，这个三角形是锐角三角形；②由a2＋b2＝c2，得c2＝20，c＝25，∴当c＝25时，这个三角形是直角三角形；③由a2＋b2<c2，得c2>20，c>25，∴当25<c<6时，这个三角形是钝角三角形．6．思路导引：要判断公路AB 段是否需要暂时封锁，只需要判断点C 到公路l 的距离是否大于250 m ．若大于250 m ，则不需要暂时封锁；若小于或等于250 m ，则需要暂时封锁． 解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D.在Rt △ABC 中，因为BC2＋AC2＝AB2，BC ＝400 m ，AC ＝300 m ，(第6题)所以AB2＝4002＋3002＝5002，所以AB ＝500 m.因为SRt △ABC ＝12AB ·CD ＝12BC ·AC ， 所以500×CD ＝400×300，所以CD ＝240 m.因为240<250，所以公路AB 段有危险，需要暂时封锁．7．解：AC ＝40×0.1＝4(n mile)，BC ＝30×0.1＝3(n mile)．因为AB ＝5 n mile ，所以AB2＝BC2＋AC2，所以∠ACB ＝90°.因为∠CBA ＝90°－37°＝53°，所以∠CAB ＝37°，所以甲巡逻艇的航向为北偏东53°.。

第十七章勾股定理一、选择题1.铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30 cm，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为()A． 26 cmB． 52 cmC． 78 cmD． 104 cm2.由以下三边不能组成直角三角形的是()A． 5,13,12B． 2,3，C． 4,7,5D． 1，，3.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是()A．CD、EF、GHB．AB、EF、GHC．AB、CD、GHD．AB、CD、EF4.下列命题中是假命题的是()A．△ABC中，若∠B＝∠C－∠A，则△ABC是直角三角形B．△ABC中，若a2＝(b＋c)(b－c)，则△ABC是直角三角形C．△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形D．△ABC中，若a∶b∶c＝5∶4∶3，则△ABC是直角三角形5.在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C，②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，③∠A＝90°－∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有()A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个6.已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是()A． 5B．C．D．或57.长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为16 cm、6 cm和6 cm，在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形ABCD中心的正上方2 cm处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少cm.()A． 7B．C． 24D．8.如图：一个长、宽、高分别为4 cm、3 cm、12 cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为()A． 11 cmB． 12 cmC． 13 cmD． 14 cm9.如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，则平板车的长最多为()A． 2B． 2C． 4D． 410.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则AB的长为()A． 4B．C．D． 5二、填空题11.如下图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为________．12.等腰△ABC中，AB＝AC＝5，△ABC的面积为10，则BC＝________.13.如图，△ABC中，D是AC边上的一点，AD＝9，BD＝12，BC＝13，CD＝5，那么△ABC的面积是__________．14.甲船以每小时16海里的速度从港口A出发向北偏东50°的方向航行，乙船以每小时12海里的速度同时从港口A出发向南偏东方向航行，离开港口2小时后两船相距40海里，则乙船向南偏东________方向航行．15.如图，△AOB是等腰三角形，OA＝OB，点B在x轴的正半轴上，点A的坐标是(1,1)，则点B的坐标是________．16.如图，四边形ABCD中，AD＝3，AB＝4，BC＝12，CD＝13，∠A＝90°，计算四边形ABCD的面积__________．17.如图，在等腰△ABC中，AD是角平分线，E是AB的中点，已知AB＝AC＝15 cm.BC＝18 cm，则△ADE的周长是________ cm.18.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，若AB＝4，BC＝3，则CD的长为________．19.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是斜边AB的中点，连接CD，则CD长为________．20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD 于点E，交CB于点F，则CF的长是________．三、解答题21.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．(1)求AB的长；(2)求△ABC的面积；(3)求CD的长．22.东明县是鲁西南的化工基地，有东明石化集团，洪业化工集团，玉皇化工集团等企业，化学工业越来越成为东明县经济的命脉，化工厂里我们会经常看到如图储存罐，根据需要，在圆柱形罐的外围要安装小梯子，如果油罐的底面半径为6米，高24米，梯子绕罐体半圆到达罐顶，则梯子至少要多长？23.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，AE是高，AC＝6，AD＝5，求AE的长．24.如图，在△ABC中，AC＝AB，底边BC＝10，点D是腰AB上一点，且CD＝8，BD＝6，求△ABC的周长．25.如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号)26.如图，一幢居民楼与马路平行且相距9米，在距离载重汽车41米处(图中B点位置)就会受到噪音影响，试求在马路上以4米/秒速度行驶的载重汽车，给这幢居民楼带来多长时间的噪音影响？若影响时间超过25秒，则此路禁止该车通行，那么载重汽车可以在这条路上通行吗？27.如图，△ABC中，AC＝13，AB＝12，BC＝5，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于E，连结EB.(1)求证：∠ABC＝90°；(2)求证：∠CBE＝∠CEB.28.如图，在8×8网格纸中，每个小正方形的边长都为1.(1)已知点A在第四象限，且到x轴距离为1，到y轴距离为5，求点A的坐标；(2)在(1)的条件下，已知点B(a＋1，－2a＋10)，且点B在第一、三象限的角平分线上，判断△OAB 的形状．答案解析1.【答案】C【解析】设长为3a cm，宽为2a cm.由题意30＋3a＋2a≤160，解得a≤26，∴a的最大值为26,3a＝78，∴该行李箱的长的最大值为78 cm，故选C.2.【答案】C【解析】A.∵52＋122＝132，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；B．∵22＋()2＝32，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；C．∵42＋52≠72，∴此三角形不是直角三角形，符合题意；D．∵12＋()2＝()2，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；故选C.3.【答案】B【解析】设小正方形的边长为1，则AB2＝22＋22＝8，CD2＝22＋42＝20，EF2＝12＋22＝5，GH2＝22＋32＝13.因为AB2＋EF2＝GH2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH.故选B.4.【答案】C【解析】A.∠B＋∠A＝∠C，所以∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．B．若a2＝(b＋c)(b－c)，所以a2＋c2＝b2，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．C．若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，最大角为75°，故本选项符合题意．D．若a∶b∶c＝5∶4∶3，则△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．故选C.5.【答案】C【解析】①因为∠A＋∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；②因为∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，设∠A＝x，则x＋2x＋3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形；③因为∠A＝90°－∠B，所以∠A＋∠B＝90°，则∠C＝180°－90°＝90°，所以△ABC是直角三角形；④因为∠A＝∠B＝∠C，所以三角形为等边三角形．所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个．故选C.6.【答案】A【解析】设斜边长为c，由勾股定理可得：c2＝32＋42，则c＝5，故选A.7.【答案】B【解析】①若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过，蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：H′E＝＝＝7，②若蚂蚁从平面ABCD和平面BCEH经过，则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：H′E＝＝.故选B.8.【答案】C【解析】∵侧面对角线BC2＝32＋42＝52，∴CB＝5 m，∵AC＝12 m，∴AB＝＝13(m)，∴空木箱能放的最大长度为13 m，故选C.9.【答案】C【解析】设平板手推车的长度为x米，当x为最大值，且此时平板手推车所形成的△CBP为等腰直角三角形．连接PO，与BC交于点N.∵直角通道的宽为2m，∴PO＝4 m，∴NP＝PO－OO＝4－2＝2(m)．又∵△CBP为等腰直角三角形，∴AD＝BC＝2CN＝2NP＝4(m)．故选C.10.【答案】C【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，由勾股定理，得AB＝＝＝；故选C.11.【答案】8π【解析】在Rt△ABC中，AB＝＝＝8，所以S半圆＝×42＝8π.12.【答案】2或4【解析】作CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠BDC＝90°，△ABC的面积＝AB·CD＝×5×CD＝10，解得CD＝4，∴AD＝＝＝3；分两种情况：①等腰△ABC为锐角三角形时，如图1所示：BD＝AB－AD＝2，∴BC＝＝＝2；②等腰△ABC为钝角三角形时，如图2所示：BD＝AB＋AD＝8，∴BD＝＝＝4；综上所述：BC的长为2或4.。