从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系

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浅谈高等代数在中学数学中的活跃性探究高等代数是学习数学与研究数学的基础必备科目之一，它是初等代数的延伸。

其中，高等代数的一些思想、方法和理论观点都可以运用到中学数学中来解题；从知识方面和思想方面来讲，高等数学与中学数学的联系是紧密的，可以将高等代数中浅显的知识点直接运用到中学数学中，起到简化运算的目的，例如多项式的理论应用与矩阵等，本文笔者将从几道典例来浅析高等代数与中学数学的實质联系。

运用高等代数的视角去剖析高等数学与中学数学之间的联系是很有必要的策略，进而能使学生以中学式思维方式向高等数学思维方式转变。

作为教师，应该熟知中学教学的所有内容，能利用高等数学的一些观点灌输给学生一些思想和方法，进而能促进知识的深化。

1 高等代数与中学数学在知识方面的联系1.1 行列式的应用虽然矩阵与变换为人教版新课标高中数学课本选修模块系列中，但是，对于一些典型的问题，在许多考试中有着命题基础，例如求函数的解析式，因式分解等等，笔者就给出一道例题，已知函数，满足，，，，求.分析由已知条件得把上式看成关于，，，的方程组，它的系数行列式为范德蒙行列式，由行列式与线性方程组的理论，可得，，，，即.1.2 柯西不等式的应用在欧氏空间里，取，时，就有柯西不等式：对任意实数组和，有.当且仅当时，上式的等号成立，特别的，时，有.例已知为内一点，，，，点到的三边，，的距离分别为，，.求证：.证明由题意知，要证明结论成立，只需证，由柯西不等式得，上式显然成立，所以.1.3 二次型的应用定理设元二次型，则在条件下的大（小）值恰为矩阵的最大（小）特征值.例设，且满足，求的最大值与最小值.分析：二次型的矩阵，则，解得，，于是由以上定理可得，在下的最大值为，最小值.2 教学启示现阶段中学教师很少在课堂教学上涉及到高等数学的知识和观点，这些教师在认知上存在一些误区，比如认为高等数学的知识用不到中学数学课堂教学中，而中学数学的程度抽象化是无法与高等代数相比拟的。

浅析高等代数与中学数学的关联作者：方次军来源：《新校园·上旬刊》2013年第04期摘要：本文分析了高等代数与中学数学在知识方面的联系，找出其在知识上的众多关联。

高等代数在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展，更具抽象化和归一化。

关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；数学观念信计专业从大学一年级就开设了高等代数课程。

它是大学数学专业的重要的基础课程，也是学生感到比较抽象难学的课程，需要学生初步地掌握基本、系统的代数知识和抽象、严格的代数方法。

在近几年的教学中，笔者发现高等代数教学一直存在着如下的问题：一方面，由于高等代数的抽象性且与中学知识难以直接衔接，不少大一学生一接触到高等代数课程，就会产生畏难情绪；另一方面，由于高等数学理论与中学教学脱节，许多学生会感到有点不知所措。

不少学生普遍感到这门课程“难学”，上课能听懂，但习题“难做”，似乎无规律可循。

为了解决上述问题，笔者从知识内容和思想方法上将高等代数课程与中学数学进行比较。

通过比较后发现：高等代数课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展。

在教学中，教师要尽量注意到新旧知识的衔接和中学知识的延伸，通过具体的、深入浅出的讲解，提高学生的学习兴趣。

这样，高等数学类课程的学习难度就会大大降低。

一、高等数学类课程与中学数学在知识方面的联系中学代数中讲过多项式的加、减、乘、除运算法则和因式分解的一些常用方法，如求根法和十字相乘法等。

高等代数在第一章多项式中就拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数，在加法、乘法运算的基础上给出了多项式环的概念。

接着讲了多项式的整除理论及最大公因式理论，用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式与唯一因式分解的存在和唯一性定理，分别给出了复数系、实数系和有理数系的因式分解中学代数讲过一元一次、二元一次、三元一次方程组的解法，特别是二元一次方程。

从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系
首先，高等代数和中学数学都是数学的一部分，它们都基于数学的基
本概念和性质展开研究。

无论是高等代数还是中学数学，都涉及因式分解、运算规则、代数方程、几何图形等基本概念。

学习中学数学的时候，学生
们已经接触过代数方程的解法、数列的求和、几何图形的性质等知识，这
些知识都包含了高等代数的基础概念和性质。

其次，高等代数提供了更为抽象和一般化的数学方法，而中学数学则
更加注重具体问题的解决。

在高等代数中，通过引入向量空间、线性映射
等概念，可以将不同学科领域的问题抽象为一个个矩阵或向量的运算问题，从而用更通用的方法来解决。

而在中学数学中，更多地是通过具体的例子
和问题来引导学生学习，注重运用知识解决实际问题。

此外，高等代数的一些概念和方法在中学数学中也有所应用。

例如，
矩阵的乘法在高等代数中是一个重要的概念和运算方法，而在中学数学中，矩阵的乘法被应用于几何变换的研究中，如平移、旋转、缩放等。

同样，
高等代数中的行列式和特征值也有在中学数学中的应用，如解二元一次方
程组、矩阵的对角化等。

最后，学习高等代数可以加深对中学数学的理解和应用。

高等代数涉
及的概念和方法更加抽象和一般化，学习高等代数可以帮助学生更好地理
解和应用中学数学中的一些基本概念和性质。

通过学习高等代数，学生可
以更深入地了解中学数学中的代数、几何和概率等知识，从而提高数学素
养和解决实际问题的能力。

高等代数与高中数学的联系与区别高等代数与高中数学（尤其是其中的代数部分）之间存在着紧密的联系和显著的区别。

以下是对二者关系的一个简要概括：联系：1. 基础概念的延续：高等代数是建立在高中数学基础上的，许多基本概念如线性方程组、矩阵、行列式、向量、群论等，在高中数学中都有初步的介绍。

例如，中学阶段会学习到一元和二元一次方程组的解法，这是高等代数中线性方程组理论的基础。

2. 函数和数列的深化：高中数学涉及函数的基本性质、运算及其图像表示，以及数列的概念、极限和递推公式等内容。

在高等代数中，这些内容将进一步拓展，包括但不限于多项式函数的更深层次分析、线性空间中的函数和序列，以及迭代方法等。

3. 几何直观到抽象结构：解析几何在高中数学中有详细阐述，这为高等代数中的坐标变换、向量空间和线性映射提供了直观背景。

在高等代数中，这些几何概念被抽象化为更一般的代数结构。

4. 问题解决策略：中学代数训练了逻辑推理能力和问题解决技巧，这些技能对于理解高等代数中的复杂概念和证明过程至关重要。

区别：1. 抽象程度加深：高等代数相较于高中数学更为抽象，它不再局限于具体的数值计算或几何图形的研究，而是研究更一般化的代数结构和系统，比如群、环、域、模等。

2. 理论体系完备：高等代数构建了一套完整的理论框架，包括集合论基础、线性代数、群论、环论和域论等，而高中数学主要关注具体操作和应用。

3. 深度和广度提升：高等代数不仅对已有的概念进行深入探讨，还引入了许多新的概念和定理，并且运用公理化方法构建整个数学分支。

比如，矩阵论在高中仅限于初等操作和简单性质，而在高等代数中则涉及到特征值、特征向量、相似变换等丰富内容。

4. 证明与推理强化：高等代数更加注重数学证明和严密的逻辑推理，要求学生具备较强的逻辑思维能力及形式化表达能力，而高中数学虽然也会涉及一些简单的证明，但通常不会像高等代数那样强调严谨性和抽象性。

综上所述，高等代数是在高中数学的基础上进一步发展的，它更加强调抽象思考、理论体系的构建以及严格的逻辑推理，旨在培养学生的高级数学思维和解决问题的能力。

高等代数在中学数学中的一些应用
高等代数是一门研究变量、函数和关系的数学，用于探索和解决复杂的问题，主要涉及分析、几何和代数的基本原理，是应用数学的有效工具之一。

高等代数在中学数学中有着广泛的应用。

高等代数在中学数学中最广泛的应用是分析函数。

函数是一种多变量表示内容，这种表示可以帮助学生更好地理解结构和语义，从而用来求解问题。

使用高等代数可以更好地应用函数。

例如，中学学生可以使用高等代数的技术来求函数的导数和定义域，以及了解函数的性质和行为。

此外，高等代数在中学数学中还有广泛的应用。

当学生学习几何时，可以使用高等代数的技术求解凸包和若干几何问题，进而推导几何变换。

在解非线性方程组问题时，学生也可以运用高等代数的技巧，有助于理解抽象性和复杂性道理。

另外，高等代数还可以让学生更好地理解统计和概率。

其中，概率理论是有多变量分布等复杂模型的数学建模，可以用线性代数和高等代数解决复杂问题。

此外，学生还可以学习多元分析中的多项式，从而帮助他们了解数据的方差和相关性等。

总之，高等代数是中学数学的重要组成部分，它的应用场景非常广泛，能够为学生解决许多问题。

当学生要求解复杂的函数、凸包或分析多变量分布时，都能使用高等代数的基本原理，有效的解决问题，辅助理解抽象性和复杂性的道理。

例谈高等数学与中学数学的联系高等数学与中学数学是一个相互衔接、相互联系的体系，它们之间的联系有以下几个方面：一、基础知识的延续高等数学是在中学数学基础上进行的深化和拓展，大量的数学基础知识来自中学数学。

例如，微积分的基础是函数的概念和极限的求解，而这些都是在中学数学中学习的；线性代数课程中的矩阵行列式、线性方程组、特征值等都是中学数学里矩阵的相关知识的拓展。

二、思维方式的转变高等数学需要运用更为深入的数学思维，这要求学生具备较为广泛的数学素养。

而这些素养是在中学数学学习中培养起来的，例如数学思维方法、解决问题的科学方法等。

对于高等数学学习而言，这种思维方法的转变尤为必要，在这个过程中，中学数学对学生有着不可或缺的作用。

三、方法技巧的运用高等数学中有许多需要掌握的技巧和方法，这些技巧和方法也在中学数学课程中被广泛讲解和运用，例如极值问题、本质上等式的问题等。

这些技巧和方法是帮助学生更好地理解更深入的数学知识的，同时能够帮助学生将更高难度的数学问题化为较为简单的问题来解决。

四、举一反三的思维方式在高等数学的学习过程中，一个重要的能力就是能够将一个问题解决的方法运用到另外一个问题上，这就需要学生具有举一反三的思维方式。

而这种思维方式不是突然形成的，而是在中学数学学习这个过程中慢慢培养的。

因此，学习中学数学有助于学生成为具备举一反三能力的综合性数学思维者。

五、探索和发现高等数学不仅仅是中学数学知识的补充和晋升，还需要学生具备科学的探索和发现能力。

这种能力的培养在中学的数学课程中得到体现，例如数学竞赛、奥数培训等都能够帮助学生探索和发现数学规律。

总体而言，高等数学与中学数学是密不可分的，它们之间存在着深厚的联系和互动，它们共同构成了一套完整的数学知识体系。

因此，中学数学的学习对于高等数学的学习具有重要作用，具备稳扎稳打、细节把控、坚实基础的中学数学学习过程是学生成功掌握高等数学的明确保障。

高等代数对中学数学的指导意义
高等代数对中学数学的指导意义主要体现在以下几个方面：
1. 培养抽象思维能力：高等代数是数学中的一个重要分支，它通过抽象的符号和概念，研究代数结构及其性质。

学习高等代数可以培养学生的抽象思维能力，帮助他们建立起抽象概念和符号的联系，从而更好地理解和应用数学知识。

2. 深化对数学概念的理解：高等代数中的概念和理论往往是中学数学的深化和延伸，通过学习高等代数可以更深入地理解中学数学中的一些概念，如向量、矩阵等，并且为后续学习提供更加坚实的基础。

3. 培养逻辑思维和证明能力：高等代数中的定理和证明是数学思维的重要组成部分，学习高等代数可以培养学生的逻辑思维和证明能力。

通过解决高等代数中的问题和证明定理，学生可以锻炼自己的推理和证明能力，提高解决问题的能力。

4. 拓宽数学应用领域：高等代数是应用数学的重要工具，在物理、工程、计算机科学等领域有广泛的应用。

学习高等代数可以帮助学生了解和掌握一些数学工具和方法，为将来的学习和职业发展打下基础。

总之，高等代数对中学数学的指导意义主要体现在培养学生的抽象思维能力、深化数学概念的理解、培养逻辑思维和证明能力以及拓宽数学应用领域等方面。

通过学习高等代数，学生可以更好地理解和应用数学知识，为将来的学习和职业发展奠定坚实的基础。

高等代数在中学数学解题中的若干应用的论文人们常有一种片面的观点，认为高校里所学的专业知识在中学数学中几乎无用，其理由是从初等数学到高等数学，在研究问题和处理问题的方式上存在着较大的区别．其实这是一种误解，正因为有这样的区别，才使我们从中学数学的解题思维定式中走出来，用一种更深远的眼光来看中学数学问题．高等代数不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等代数的基础知识才能适应数学发展和教材改革．高等代数知识在开阔视野，指导中学解题等方面的作用尤为突出．下面就来探讨一些高等代数知识在中学数学解题中的应用．初等数学中的某些问题看起来比较复杂，甚至难以下手，但用线性相关的方法却显得比较简单，通过从多方面多角度的思考能提高分析问题解决问题的能力．2.1求代数式的取值范围初等数学中某些线性相关问题，若采用一般的初等解题方法不相关地去看待，则会使计算繁难，且容易出错;利用高等数学中线性相关的思想方法来处理，则会使问题简单明了，易于解决．运用线性相关知识研究函数性质的问题，研究对象常以复合函数的形式出现，解决这一类型的问题往往采用新旧结合，或以新方法解决旧问题．2.2解决某些二元不定方程例3利有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，购乙7件，丙1件，共需315元，若购甲4件，乙10件，丙4件，共需420元，现购甲、乙、丙各1件，共需多少元？答:甲乙丙各购1件，共需105元．中学数学中有很多题涉及到了对一些因式的分解，虽然中学数学中有很多方法可以解决．但对于某些问题如果构造与之对应的行列式，然后用行列式的性质去解决，会起到事半功倍的效果．3.1应用于因式分解从上面两个例子可以看出，解此类数学问题的关键是构造行列式，以行列式为桥梁，把原型变形为不同的行列式，再利用行列式的性质加以解题．利用矩阵的性质和定理，可以很好的解决某些数列问题．在此例题中引入矩阵作为工具使用了矩阵的性质，轻而易举地求出了通项公式．从上例可知，使用柯西—施瓦兹不等式重要的是构造一个合适的欧氏空间，特别是构造内积运算，并找到两个合适的向量．高等代数在中学数学解题中的应用远不止上述几个方面，但通过上述问题的解决不难看出高等代数完全可以作为一种工具来解决中学数学中的问题，从而为解决中学数学问题提供了别开生面的思路．但我们也要了解高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解，而是一种知识的融会贯通．只有我们掌握好高等代数的课程，才能将它更好的用于将来所从事的中学数学教学工作中．内容仅供参考。