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第二章投影的基本知识一、投影概念在投影面上作出物体投影的方法，称为投影法。
二、投影的分类投影法分为两类：中心投影法和平行投影法。
.中心投影法所有投影线都相交于投影中心的投影方法。
平行投影法由互相平行的投影线在投影面上作出物体投影的方法。
按投影线与投影面是否垂直，可分为斜投影法和正投影法两种。
(1)斜投影法：投影线倾斜于投影面的平行投影法。
(2)正投影法：投影线垂直于投影面的平行投影法。
特点：其投影反映了物体的真实形状和大小，并且与物体到投影面的距离无关。
所以建筑图样一般均采用这种投影法绘制，所得的投影称为正投影，简称投影。
1、正投影法概念：投影线垂直于投影面的平行投影法。
2 、正投影的基本特性：1）真实性----平行于投影面的物体，投影反映实形；2）积聚性----垂直投影面的平面或直线，其投影积聚成直线或一点；3）类似性----物体上的平面与投影面倾斜时，其投影为缩小的类似形；4）从属性---- 直线或平面上的点，其投影仍在直线或平面的投影上。
真实性、积聚性、类似性和从属性是正投影的四个重要特性，在画图和读图中将经常用到，必须牢固掌握。
三、三面投影图1、三面投影图的形成我们将形体正放在三个互相垂直的投影面之间，并分别向三个投影面进行投影，就能得到该形体在三个投影面上的投影图，将这三个投影图结合起来观察，就能准确地反映出该形体的形状和大小。
这三个互相垂直的投影面分别为水平投影面（或称H面，用字母H表示）、正立投影面（或称V 面，用字母V表示）和侧立投影面（或称W面，用字母W表示）。
这三个投影面组合起来就构成了三面投影体系（三投影面体系）。
三个投影面两两相交构成的三条轴称为OX、OY、OZ轴，且OX⊥OY⊥OZ，三条轴的交点O称为原点。
形体在三个投影面上的投影分别称为水平投影、正面投影和侧面投影。
注：OX轴的正方向为水平向左，OY轴的正方向为正对观察者，OZ轴的正方向为铅直向上。
2、三面投影图的展开因为形体的三个投影分别在三个不共面的平面上，因此无法绘制在同一平面图纸上，为此，需将三个投影面进行展开，使其共面。
第二篇投影制图第二章投影的基本知识【学习目的】掌握正投影的基本原理，掌握三视图的形成及其投影规律，掌握点、线、面的投影特性。
【学习要点】投影的基本特性；物体的三视图的绘制；点、线、面的投影特性。
第一节投影方法一、投影的概念（一）投影法的概念在日常生活中，我们看到在太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的影子，这就是一种投影现象。
投影法与自然投影现象类似，就是投影线通过物体向选定的投影面投射，并在该面上得到图形的方法，用投影法得到的图形称作投影图或投影，如图2-1所示。
图2-1 投影的产生产生投影时必须具备的三个基本条件是投影线、被投影的物体和投影面。
需要注意的是，生活中的影子和工程制图中的投影是有区别的，投影必须将物体的各个组成部分的轮廓全部表示出来，而影子只能表达物体的整体轮廓，并且内部为一个整体如图2-2所示。
(a)影子 (b)投影图2-2 投影与影子的区别二、 投影法分类根据投影线与投影面的相对位置的不同，投影法分为两种。
（一） 中心投影法投影线从一点出发，经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于有限远处），如图2-3所示。
图2-3 中心投影法缺点：中心投影不能真实地反映物体的大小和形状，不适合用于绘制水利工程图样。
优点：中心投影法绘制的直观图立体感较强，适用于绘制水利工程建筑物的透视图。
（二） 平行投影法投影线相互平行经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于无限远处），称为平行投影法。
平行投影法根据投影线与投影面的角度不同,又分为正投影法和斜投影法，如图2-4所示。
（a ）为斜投影法，（b ）为正投影法。
(b)(a)图2-4 平行投影法优点：正投影法能够表达物体的真实形状和大小，作图方法也较简单，所以广泛用于绘制工程图样。
正投影法斜投影法在以后的章节中，我们所讲述的投影都是指的正投影。
三、投影的特性（一）真实性平行于投影面的直线段或平面图形，在该投影面上的投影反映了该直线段或者平面图形的实长或实形，这种投影特性称为真实性，如图2-5所示。
第二章投影的基本知识和点、线、面的投影基本要求：建立投影的概念，掌握正投影的基本性质；掌握点线面的投影特性；根据投影能判断出点、线、面的关系。
主要内容：1、投影的基本知识；2、点的投影；3、直线的投影；4、平面的投影。
2.1 投影的基本知识一、内容：1、投影的基本概念；2、投影的类型；3、工程中常用的投影图。
二、要求及重点：要求掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
三、教学方式：通过实物及日常生活中的现象，使学生掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
2.1 投影的基本知识一、投影的概念1、在日常生活中，经常看到空间一个物体在光线照射下在某一平面产生影子的现象，抽象后的“影子”称为投影。
2、产生投影的光源称为投影中心S，接受投影的面称为投影面，连接投影中心和形体上的点的直线称为投影线。
形成投影线的方法称为投影法（图2-1）。
(a) (b)图2-1 中心投影法图2-2 平行投影法二、投影的类型投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。
1、中心投影法光线由光源点发出，投射线成束线状。
投影的影子（图形）随光源的方向和距形体的距离而变化。
光源距形体越近，形体投影越大，它不反映形体的真实大小。
2、平行投影法光源在无限远处，投射线相互平行，投影大小与形体到光源的距离无关，如图2-2所示。
平行投影法又可根据投射线（方向）与投影面的方向（角度）分为斜投影（a）和正投影（b）两种。
(1)斜投影法：投射线相互平行，但与投影面倾斜，如图2-2(a)所示。
(2)正投影法：投射线相互平行且与投影面垂直，如图2-2(b)所示。
用正投影法得到的投影叫正投影。
三、工程上常用的投影图1、透视图用中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视图，如图2-3。
透视图与人的视觉习惯相符，能体现近大远小的效果，所以形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性差，常用于绘制建筑效果图。
图2-3 透视图图2-4 轴测图2、轴测图将空间形体正放用斜投影法画出的图或将空间形体斜放用正投影法画出的图称为轴测图。
第2章投影的基本知识2.1 投影法各种建筑物和机械都是根据工程图样施工、制造的。
工程图样必须准确地表达它们的形状、大小、材料和技术要求2.1.1 投影概念光线（阳光活灯光）照射物体，在墙面或地面上就会产生影子，影子只能反映物体的外形轮廓，而能表达出物体的形状和内部结构，这就是日常生活中经常看到的影子现象。
人们对这种自然现象进行科学地抽象总结，逐步形成了用投影来表示物体形状和大小地方法，即投影法。
投影法就是投射线通过物体，向选定的平面投影，并在该平面上得到图形的方法。
如图2-1所示。
图中光源S称为投影中心，从光源发出的光线称为投射线，落影的平面H称为投影面，平面H上产生的图形称为投影。
投影线、被投射物体和投影面是形成投影的三个必要条件，缺一不可，称为投影三要素。
制图标准规定空间几何元素用大写字母表示，其投影用相应的小写字母表示。
投影和影子是有区别的，影子是漆黑一团的，只能反映物体的外形轮廓，而投影可以将组成物体的各个表面和各棱线进行完整清晰的表达。
如图2-2所示：2.1.2 投影法的分类根据投射线之间的相互位置关系不同，投影法可分为中心投影法和平行投影法两大类。
1.中心投影法所有的投射线均汇交于一点的投影法称为中心投影法。
如图2-1所示。
中心投影法主要用来画透视图。
如图2.4（a）所示。
2.平行投影法如果将投影中心移到无穷远处，从投影中心发射出的投影线可看作是相互平行的，投射线相互平行的投影法称为平行投影法。
如图2-3所示。
平行投影法主要用来画轴测图。
如图2-4（b）所示。
在平行投影法中，根据投影射线与投影面的相对位置不同，又分为正投影法和斜投影法两种。
（1）正投影法：相互平行的投射线与投影面垂直的投影法称为正投影法。
根据正投影法所画出的图形称为正投影图，简称正投影。
如图2-3（a）所示。
（2）斜投影法：相互平行的投影线与投影面倾斜的投影法称为斜投影法。
根据投影法所画出的图形称为斜投影图，简称斜投影。
如图2-3（b）所示。
正投影法主要用来画物体的三视图。
如图2-4（c）所示。
由于正投影具有作图简便，度量准确的优点，应用相当广泛。
本书在以后各章节中所讨论的投影如无特殊说明时均指正投影，并简称投影。
2.1.3 正投影的基本特性1.真实性（全等性）：直线投影面平行时，投影反映直线的实长ab＝AB。
又称实长性。
如图2-5（a）所示。
平面与投影面平行时，投影反映平面的实形（形状、大小均不变），又称实形性。
如图2-5（b）所示。
2.积聚性：直线垂直于投影面时，投影积聚为一点，如图2-6（a）所示。
平面垂直于投影面时，投影积聚为一条直线。
如图2-6（b）所示。
3.类似性：直线倾斜于投影面时，投影为长度缩短的直线，如图2-7（a）所示。
平面倾斜于投影面时，投影为平面的类似形（形状类似，面积缩小）。
且投影形状与原图形保持四个不变（边数不变、平行性不变、凸凹性不变、直曲性不变）。
如图2-7（b）所示。
2.2 三视图的形成及投影规律作图时，通常将人们的视线看作一组相互平行且与投影面垂直的投射线，这样把物体向投影面投影所得的图形为正投影，又称为视图。
图2-8所示的三个不同形状的物体，它们在同一个投影面时投影是完全相同的。
说明在一般情况下，仅凭物体的一个投影不能完全确定物体的形状。
因此要完整准确的表达物体的形状通常需要三面正投影，又称三视图。
2.2.1 三视图的形成1.三投影面体系的位置通常采用如图2-9所示的三个两两相互垂直的平面作为投影面，构成三投影面体系。
三个投影面分别为：正立投影面，简称正面，用大写字母“V”标记。
水平投影面，简称水平面，用大写字母“H”标记。
侧立投影面，简称侧面，用大写字母“W”标记。
三个投影面的交线称为投影轴，其中V面与H面的交线称OX轴，H面与W面的交线称为OY轴，V面与W面的交线称为OZ轴，三个投影轴的交点O称为原点。
2.三视图的形成如图2-10所示，将物体置于三投影面体系中时，应注意使物体的主要表明与投影面平行或垂直，以便视图能更好地反映物体的真实形状。
为画图方便，规定OX轴方向为物体的长度方向，表示左、右方位；OY轴方向为物体的宽度方向，表示前、后方位；OZ轴方向为物体的高度方向，表示上、下方位，即将物体置于三投影面体系中后，左右为长，前后为宽，上下为高。
将物体分别向三个投影面投影，得到物体的三视图，将物体从前往后向正立投影面V 进行投影，得到的视图称主视图。
从上往下向水平投影面H进行投影，得到的视图称俯视图。
从左往右向侧立面W进行投影，得到的视图称为左视图。
在视图中，规定物体的可见轮廓线用粗实线绘制，不可见轮廓线用虚线绘制。
3.三投影面体系的展开移去物体，将投影面展开,如图2-11所示。
保持V面不动，H面绕OX轴向下旋转900，W面绕OZ轴向右旋转900，空间的三投影面体系，展开后成为一个平面。
这样就可以在一张图纸上画出物体的三视图。
展开后，OY轴分别为两部分，其中随H面向下旋转的部分标为Y h，随W面向右旋转的部分标为Y W。
2.2.2.三视图的投影规律1.三视图的投影规律投影面展开后三视图的配置位置为：主视图在OX轴的上方，在OZ轴的左方，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方。
画三视图时，必须遵守上述位置关系。
由于投影面无边界范围，所以投影面边框线一般不画，需画出投影轴，如图2-12所示。
每一个视图只能反映物体两个方向的尺寸，主视图反映长度和高度，俯视图反映长度和宽度，左视图反映宽度和高度。
同一物体在同一位置上得到的三视图之间具有如下的投影规律：主、俯视图长对正，可用垂直于OX轴的连线将两个视图的长度对应；主、左视图高平齐，可用垂直于OX轴的连线将两个视图的高度对应。
俯、左视图宽相等，可用过原点O的450斜线或以圆心的圆弧将两个视图的宽度对应。
“长对正、宽相等、高平齐”是三视图的投影规律。
如图2-13所示。
作图时，无论是物体的整体和局部，还是组成物体的几何元素点、线、面，其三视图之间必须符合这个投影规律。
视图间的投影轴可省略不画。
2.三视图与物体位置的对应关系每一个视图可以反映物体的四个方位，如图2-14所示。
主视图反映物体的左、右和上、下方位。
俯视图反映物体的左、右和前、后方位。
左视图反映物体的上、下和左、右方位。
在六个方位中，俯、左视图反映的前、后位置最易出错，应特别注意。
主、俯视图和左视图中以主视图为参照物，远离主视图的一边是物体的前面，靠近主视图的一边是物体的后面，即“远前近后”。
2.3 点、直线和平面的投影基础点、直线和平面是构成物体的最基本的几何元素，研究和掌握它们的投影知识，可提高对物体视图的分析和表达能力。
2.3.1 点的投影点的投影仍然是点，通过空间点A的投射线与投影面H只有一个交点，即点的投影a。
同一投射线上的A1、A2等点在H面上的投影也是a。
由此可知，点的一个投影不能确定该点在空间的位置，如图2-15所示。
和用点的三面投影可以确定其空间位置。
1.点的三面投影如图2-16（a）所示，将点A置于三投影面体系中，过点A分别向H、V、W三个投影面作正投影，投影线分别与三个投影面相交，得点A的三个投影a、aˊ、a〞，分别称为A的水平（H面）投影、正面（V面）投影、和侧面（W面）投影。
空间点及点的投影均用小圆圈表示。
如图2-16（b）所示。
空间点用大写字母标记（如A、B）；H面投影用相对应的小写字母标记（a、b）；v 面投影用相对应的小写字母加一撇标记（aˊ、bˊ）；W面投影用相对应的小写字母加两撇标记（a〞、b〞）。
2.点的坐标在三投影面体系中，点的空间位置取决于该点到三个投影面的距离，可以用坐标来表示，可将三投影面体系作为坐标系，三个投影面H、V、W作为3个坐标面,三条投影轴OX、OY、OZ作为坐标轴，三轴交点O作为坐标原点，如图2-16所示。
空间点A至W面的距离为x坐标，Aa〞＝aa YH＝aˊa Z＝x；空间点A至V面的距离为y坐标，Aaˊ＝aa x＝a〞a Z＝x；空间点A至H面的距离为z坐标，Aa＝aˊa x＝a〞a YW＝x；空间点A用坐标表示，可写成A（x、y、z），其三面投影与坐标间的关系为：A点的水平投影a由x和y坐标确定，a（x、y、o）；A点的正面投影aˊ由x和z坐标确定，aˊ（x、o、z）；A点的侧面投影a〞由y和z坐标确定，a〞（o、y、z）；在三投影面体系中，点的每一个投影只能反映出点的两个坐标，点的任意两个投影才能反映出点的三个坐标，可以确定点在三投影面体系中的空间位置。
3.点的三面投影规律由图2-16可知，Aa垂直于H面，Aaˊ垂直于V面，则平面Aaa x aˊ必垂直于H面和V面且垂直于交线OX轴，因此aa x垂直于OX轴，aˊa x也垂直于OX轴，即aa x⊥OX，aˊa x⊥OX，同理可得aˊa z、a〞a z同时垂直于OZ轴。
投影面展开后，得aˊax⊥OX，aˊa〞x⊥OX。
由此可得点得投影规律：（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即aaˊ⊥OX；（2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即aˊa〞⊥OX；（3）点的水平投影到OX轴的距离等于该点的侧面投影到OZ轴的距离，即a a x⊥a〞a z；点的三面投影规律体现了“长对正、宽相等、高平齐”的投影规律。
根据点的三面投影规律，已知带你的任意两面投影，可求点的第三面投影。
已知点的坐标，可求点的三面投影及点的立体图，反过来，已知点的两面（或三面）投影，可求点的坐标（点到投影面的距离）。
例2-1 如图2-17（a）所示，已知点A的两面投影a及aˊ，试求a〞。
分析：根据点的三面投影规律可知，a〞必定在过aˊ所作的垂直于OZ轴的直线上，同时a〞至OZ轴的距离a〞a z等于a至OX轴的距离aa x。
作图：如图2-17（b）所示。
（1）过aˊ作OZ轴的垂线，并相交于a z。
（2）取a〞a z＝aa x，即得所求a〞。
例2-1 已知点B的坐标为（20，15，18），试作其三面投影。
分析：根据点的坐标与投影的关系，可得点的三面投影。
作图：如图2-18所示。
（1）作相互垂直的投影轴（用细实线）；（2）分别在各投影轴上截取ob X＝20，ob YH＝ob YW＝15，ob Z＝18；（3）由b X、b YH、b YW和b Z各点分别作所在投影轴的垂线，并分别交于b、bˊ、b〞三点，即得B点得三面投影。
4. 特殊点的位置（1）点在某一投影面上，它的坐标必有一个为零；（2）点在某一投影轴上，它的坐标必有两各为零；（3）点在坐标原点上，它的坐标均为零。
如图2-19（a）所示，点A在H面上，Z A＝0，点A的水平投影a与A重合，a落在OX轴上，a〞落在Y W轴上。
如图2-19（b）所示，X B＝Z B＝0，b落在OY H轴上, b〞落在OY W轴上, bˊ落在原点O上。
