一元一次方程的应用(形积变形)

一元一次方程应用题1、积形变化问题基本数量关系：常见的几何图形的面积、周长、体积计算公式抓住两个等量关系：一是等积变形，外形、形态变化，根据体积不变列方程；二是等长变形，形状变化，围成的图形不同，根据周长不变列方程例：一圆柱形容器的内半径为3厘米，内壁高30厘米，容器内盛有15厘米高的水，先将一个地面半径为2厘米、高18厘米的金属圆柱竖直放入容容器内，问容器的水将升高多少厘米？2、行程问题基本数量关系：路程=速度﹡时间相向问题：甲走的路程+乙走的路程=两地距离（注意：出发时间、出发地点）追及问题：①同地不同时出发，前者走的路程=追着走的路程；②同时不同地出发，前者走的路程+两地距离=追着走的路程航行问题：路程=速度﹡时间，顺水速度=静水速度+水速，逆水速度=净水速度-水速例：小张和父亲预定搭乘门口的公共汽车赶到火车站，在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开后半小时到达火车站，随即下车改乘出租车，车速高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达火车站，已知公共汽车的平均速度是40千米∕时，问小张家距离火车站有多远？3、错车问题（三种情形）几个量：两车的长度及其速度，错车的方向，错车的时间①相向错车：两车行驶的路程之和=两车的长度之和②同向错车：快车与慢车行驶的路程只差=两车的长度之和③一车静止：运动一车行驶的路程=两车的长度之和例：有一客车长190米，另有一列货车长290米，客车的速度与货车的速度比为5:3，已知他们通向行驶时，两车交叉时间为1分钟，问它们相向行驶时，两车交叉的时间是多少？4、储蓄问题本金、利息、本息和、期数、利率（每个期数内利息与本金的比）储蓄：利息=本金﹡利率﹡期数例：李明以两种方式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，可得利息43.92元，已知这两种储蓄的年利率之和为3.24%，问这两种储蓄的年利率分别是多少？5、打折销售问题成本价、标价、售价、利润、利润率=利润∕成本﹡100%例：某商品将每台彩电先按进价提高40%作为标价，然后在广告中宣传以8折的优惠价出售，结果每台赚了300元，则销售这种彩电的利润率是多少？6、工程问题基本数量关系：把总工作量看作“1”，工作量=工作效率*工作时间。

一元一次方程的应用——等积变形和行程问题一、教学目标1.通过分析图形问题中数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力；2.理解行程问题中数量之间的关系，能根据行程问题中的数量关系建立方程，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；3.通过实际问题的探讨，使学生在独立思考的过程中，进一步体会数学的应用价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.二、教学重难点1.教学重点：掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.2.教学难点：分清有关数量关系，正确找出作为列方程依据的主要等量关系.三、教学方法启发式、精讲精练四、教学过程（一）导入新课【情景引入】一支牙膏出口处直径为5mm,小明每次刷牙都挤出1cm 长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次。

该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口直径改为6mm,小明还是按习惯每次挤出1cm 长的牙膏，这样，这只牙膏能用多少次？（二）讲授新课1.等积变形问题例1：如图，用直径为200mm 的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为300mm 、300mm 和90mm 的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少（圆柱的体积公式：体积 = 底面积高线长.计算时 取3.14.要求结果误差不超过1mm ）？【想一想】问题1：题目中有哪些已知量和未知量？如何表示未知量？已知：圆钢直径（200mm ）、长方体毛胚的长宽高（300mm 、300mm 、90mm ） 未知：圆钢的高设未知数：设应截取圆钢x 毫米问题2：分析题意，你能找到什么等量关系？等量关系：圆钢体积=长方体毛胚的体积问题3：如何根据等量关系“圆钢体积=长方体毛胚的体积”列出方程？ 根据等量关系列出方程，得： 200x90 3003009030030022002⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛x π 解方程，得：258≈x答：应截取258mm 长的圆柱体钢.【点拨】等积变形就是无论物体怎么变化都存在一个等量关系，即物体变化前后面积或体积不变.【归纳总结】列方程解应用题的一般步骤：1.设未知数：弄清题意和题中数量关系，用字母（如x,y)表示问题中的未知数；2.找等量关系：分析题意，找出相等关系；3.列出方程：根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；4.解方程：解这个方程，求出未知数的值；5.检验作答：检查所得值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位名称）.2.行程问题例2：为了适应经济发展，铁路运输再次提速.如果客车行驶的平均速度增加40km/h,提速后由合肥到北京1110km 的路程只需行驶10h.那么，提速前，这趟客车平均每时行驶多少千米？【分析】行程问题中常涉及的量有路程、平均速度和时间，它们之间的基本关系为：路程=平均速度×时间.【解答】设提速前客车平均每小时行驶xkm,那么提速后客车每小时行驶（x+40)km,客车行驶路程为1110km,平均速度为（x+40)km/h,所需时间是10h.根据题意，得10（x+40)=1110解方程，得x=71答：提速前这趟客车的平均速度为71km/h.例3 甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出，每小时行140千米．(1)慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而行．问快车开出多少小时后两车相遇？(2)两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距600千米？(3)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600千米？(4)两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？【归纳总结】行程问题中一般涉及“路程”“速度”“时间”这三个量，且路程＝速度×时间．行程问题分同向而行和相向而行两种情况，找等量关系时可以画线段示意图帮助分析．例4：汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小时.已知船在静水的速度为18千米/小时，水流速度为2千米/小时，求甲、乙两地之间的距离？【分析】本题是行程问题，故有：路程=平均速度×时间；时间=路程÷平均速度.但涉及水流速度，必须要掌握：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速.【解答】方法一：直接设元法解：设甲、乙两地的距离为x 千米，等量关系：逆水所用时间－顺水所用时间=1.5方法二：间接设元法解：设汽船逆水航行从乙地到甲地需x小时，则汽船顺水航行的距离是(18+2)(x－1.5)千米,逆水航行的距离是(18－2)x千米.等量关系：汽船顺水航行的距离=汽船逆水航行的距离环形跑道问题问题1：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，他俩能相遇吗？问题2：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，经过几秒钟两人第一次相遇？变式训练：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米，两人绕跑道同时同地相背而行，则两个人何时相遇？【当堂练习】1.一个宽为3cm的长方形与一个边长为6cm的正方形面积相等，则这个长方形的周长为（）A.12cmB.18cmC.24cmD.30cm2.甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇，若甲比乙每小时多骑2.5千米，则乙的时速是（）A.12.5千米/时B.15千米/时C.17.5千米/时D.20千米/时3．一个底面直径为16厘米的圆柱形木桶内装满水，水中淹没着一个底面直径为8厘米、高为15厘米的铁质小圆柱体．当铁质小圆柱体取出后，木桶内水面下降了多少？4.一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时.已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度.（三）课堂小结（四）课后作业p1.全品作业本5354五、板书设计等积变形和行程问题列方程解应用题的一般步骤：设未知数；找等量关系；列出方程；解方程；检验作答1.等积变形问题2.行程问题。

一元一次方程的应用——形积变化问题教学目标：1.会分析图形问题中的数量关系,建立方程解决问题.2.进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系.教学重点：列一元一次方程解有关形积变化问题．教学难点：准确把握形积问题中的等量关系．教学过程:一.小测与评价1．长为a，宽为b的长方形周长C= ；面积S= ．边长为a的正方形周长C= ；面积S= ．半径为r的圆的周长C= ；面积S= ．2. 长、宽、高分别为a、b、h的长方体的体积V= ；棱长为a的正方体体积V= ；底面半径为r，高为h的圆柱体积V= ．目的:通过复习这部分的内容,为本节课的内容作好铺垫.二.引入与发现(一)探究:体积相等的问题示例1:如右图，将一个底面直径是6㎝，高为16㎝的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是8㎝的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？目的:本题主要让学生从倒水过程中,找准“体积不变”这一等量关系.(二)探究:周长相等的问题示例2:用一根长12米的铁丝围成一个长方形。

（1）使得长方形的长比宽多4米，此时长方形的长、宽各为多少米？（2）使得长方形的长比宽多2米，此时长方形的长、宽各为多少？它所围成的长方形与(1)中所围长方形相比,面积有什么变化?（3）使得长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长为多少米？它所围成6610101010的面积与(2)中相比又有什么变化?目的:作为本节的重难点题目，通过这变形,让学生明白长度不变时,形状发生改变时,面积的大小也随着发生变化,特别在围成圆时面积最大.三.巩固与提高1.一块长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm 的长方体橡成泥，要用它来捏一个底面半径为2cm 的圆柱.设这个圆柱的高为x cm ，可得方程为 .2．根据题意列出方程(不用解方程)(1)墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，如下图实线所示。

小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如下图虚线所示.小颖所钉长方形的长和宽各为多少厘米？(2)如图,小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4㎝的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5㎝的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少?目的:通过分层的练习,让学生明白等量关系,从而进一步认识“等长变形” “等面积变形”“等体积变形”的规律,使学生更好地理解本节课的内容.四.小结与与整理 1.利用一元一次方程解应用题是关键是: .2.变形: 、 .3.你的收获是什么? 目的:让学生自己说说本节的收获,理解本节的主要内容: “等长变形” “等面积变形”“等体积变形”.五.作业:详见教学案的相应练习.目的:通过配套练习,让学生对本节的内容有更深刻的了解.。

一元一次方程实际应用题之等积变形问题“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提. 常见几何图形的周长、面积、体积公式:1.等长变形问题例题1：用一根长10米的铁丝围成一个长方形．使得长方形的长比宽多1.2米，此时长方形的长是多少米？宽是多少米？分析：抓住总长度不变，也就是长方形的周长等于10米。

可设宽为未知数，进而表示出长，等量关系为：2（长+宽）=10，把相关数值代入可求得宽，进而求得长即可。

解：设长方形的宽为x米，则长为（x+1.2）米．依题意得：2（x+1.2+x）=10，解得x=1.9，∴x=1.2+1.9=3.1，答：长方形的长为3.2米，宽为1.9米。

2.等体积变形问题例题2：要锻造直径为60mm，高为30mm的圆柱形毛坯，需截取直径为40mm的圆钢长是多少毫米？分析：抓住锻造前后的体积不变，此题的等量关系为：锻造前的体积=锻造后的体积．据此列方程求解。

要注意的是，题目中已知直径，需要转化为半径。

解：设需截取直径为40mm的圆钢长xmm，60÷2=30（mm）、40÷2=20（mm）；依题意得：π×30^2×30=π×20^2×x解得：x=67.5例题3：有一段钢材可作一个底面直径 8 厘米，高 9 厘米的圆柱形零件。

如果把它改制成高是 12 厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？分析：根据“底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件”，利用圆柱体积公式，可以求出圆柱的体积，又因为把圆柱形的零件改制成圆锥形零件时，此段钢的体积不变，根据体积不变列出方程求解。

解：零件的底面积是x平方厘米。

8÷2=4（厘米）依题意得：3×π×4^2×9=x×12解得：x=36π答：零件的底面积是36π平方厘米。

3.等面积变形问题例题4：如图，某小学将一块梯形空地改成宽为30m的长方形运动场地，要求面积不变．若在改造后的运动场地，小王、小李两人同时从点A出发，小李沿着长方形边顺时针跑，小王则是逆时针跑，并且小王每秒比小李多跑2m，经过10秒钟他们相遇．（1）求长方形的长；（2）求小王、小李两人的速度分析：（1）求得原梯形的面积，利用面积不变和长方形的面积求得长方形的长即可；（2）设小李的速度是xm/s，则小王的速度是（x+2）m/s，利用10秒钟他们相遇所走的路程为长方形的周长列出方程解决问题。