一元一次方程的应用(等积问题)

抚松外国语七年级数学“一元一次方程的应用等积变形问题〞师生共用导学稿审核: 序号:【学习目标】1.知识与技能：会找等积变形问题类型应用题的相等关系设未知数列方程2.过程与方法：通过学生观察、独立思考等过程，培养学生分析解决问题的能力；态度价值观：激发学生浓厚的学习兴趣，使学生有独立思考、勇于创新的精神，养成按客观规律办事的良好习惯；重点：找相等关系，设未知数列方程．难点：分析题意，找等积变形问题类型应用题的相等关系设未知数列方程。

一．自主探究〔前置性学习〕探究活动〔一〕本课内容必备：圆柱体积公式：长方体体积公式：如图，圆柱(2)的体积是圆柱(1)的体积的3倍，求圆柱(1)的高(图中φ40表示直径为40毫米)〔二〕知识盘点：〔三〕学习中还有哪些疑问没有解决？二．合作探究〔一〕交流展示〔二〕体验成功1、用直径为4cm的圆钢〔截面为圆形的实心长条钢材〕铸造3个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，那么需要截取多长的圆钢？2、某铜铁厂要锻造长、宽、高分别为260mm、150 mm、130 mm的长方体毛坯，需要截取截面积为 130 mm2的方钢多长？3、用直径为4厘米的圆钢，铸造三个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？4、某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱，下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长？5、某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？假设装不下，那么瓶内水面还有多高？假设未能装满，求杯内水面离杯口的距离。

6、将一罐满水的直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一半径为30厘米的圆柱形水桶里，问这时水的高度是多少？7、一个直径为米高为米的圆柱形水桶，已装满水，向一个底面边长为1米的正方形铁盒倒水，当铁盒装满水时，水桶中的水高度下降了多少米。

一元一次方程应用题(6)(等长变形、等积
变形)
1.假设原长方形的长为x，宽为y，则根据周长公式
2(x+y)=26，可得x+y=13.将长减少1，宽增加2后得到的正方
形的边长为y+2，因此有y+2=x-1.将这两个方程联立解得x=9，y=4，所以原长方形的长为9cm，宽为4cm。

2.圆锥体的体积为1/3πr^2h，圆柱体的体积为πr^2h，两
者相等，因此可得圆柱体的高为8×(30/10)^2=72cm，所以圆
柱体内的水高为8cm。

3.设新的长方形宽为x，则根据折叠后周长不变可得
2x+10=18，解得x=4，因此新的长方形的长为9cm，宽为4cm。

4.正方体的体积为20^3=8000cm^3，盛水量筒的容积为
12×h，其中h为水面升高的高度，因此有12h=8000，解得
h=666.67cm，所以水面升高了666.67/12≈55.56cm。

5.设大长方形面积为S，则重叠部分面积为S/6，小长方
形面积为S/4，阴影部分面积为224cm^2，因此有S/6-S/4=224，解得S=1344，所以重叠部分面积为S/6=224cm^2.
6.(1) 第一个中的水体积为π(4^2)×16=256π，第二个的底
面积为π(8^2)=64π，因此第二个中的水高为256π/64π=4cm。

2) 将1插入2后，1中的水体积为π(4^2)×10=160π，2中的水体积为π(8^2)×10=640π，因此水位上升了640π-
256π=384π，所以水面升高了384π/(π(8^2))≈1.5cm。

初一：一元一次方程应用等积变形、航程问题
一元一次方程应用之等积变形篇
物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．
一元一次方程解航行问题
要解航行问题，就要所有量之间的关系。

首先，要弄清几个速度之间的关系：
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
其次，要弄清速度、时间和路程的关系：
顺流路程＝顺流速度×顺流时间
逆流路程＝逆流速度×逆流时间
弄清这些关系后，就应该考虑怎样列方程了。

为了方便，我把列方程的规律编成了顺口溜儿：
航行问题找三量，
静速水速和路程，
一个已知一设元，
余下一个列方程；
若遇三量都具体，
时间关系列方程。

针对上面的问题，下面文章举例说明！。

课题：3.2一元一次方程的应用（等积问题）（第1课时）
班级姓名家长签名
【学习目标】
利用面积或体积相等找等量关系，列出等式。

【自主学习】（预习课本第93页）
想一想：请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变？
1、把一小杯水倒入另一只大杯中；
2、用一根15cm 长的铁丝围成一个三角形，然后把它围成长方形；
3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改变成球。

例1 如图,用直径为200ｍｍ的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为300mm 、
300mm 和90mm 的长方体毛坯，
结果精确到1mm) ?
分析：把圆柱体钢锻造成长方体毛坯，虽然形状发生
改变
，但锻造前后的体积是相等。

圆柱体体积=长方体体积
圆柱体体积= 长方体体积=
根据题意列出方程：
例2、一个梯形下底比上底多2cm ，高是5cm ，面积是40cm2,
求上底。

练习：1、用一根长60m 的绳子围成一个矩形，使它的长是宽的1.5倍，长和宽
各是多少？
2、如图，有A 、B 两个圆柱形容器，A 容器的底面积是B 容器底面积的2倍，
B 容器的壁高为22cm.已知A 容器内装有高为10cm 的水，若把这些水倒入B 容器，
水会溢出吗？ B
A。

一、学习目标：1、通过分析图形中的数量关系，建立方程解决问题，进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系；2、认识方程模型的重要性．二、重难点：重点：运用方程解决实际问题难点：寻找图形问题的数量关系三、学习过程（一）复习回顾1．列方程解应用题应注意哪些事项?（1）_________________．（2）_________________．（3）_________________．2．列出方程解应用题的5个步骤是什么?（1）________________．（2）________________．（3）________________．（4）________________．（5）________________.3．填空：长方形的周长=_________．面积=__________ ．长方体的体积=_________．正方体的体积=__________．圆的周长=___________．面积=_______________．圆柱的体积=_______________．（二）问题解决：类型一：等积变形问题1．将一个底面直径是20厘米、高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径为l0厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少?假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么在这个问题中有=锻压后的体积．我们可完成下表：锻压前锻压后底面半径高体积解：设锻压后圆柱的高为x 米，则可列方程为：_______________________________________．解得=x _______________．答：高变成了__________厘米．类型二：等长变形问题2．用一根长为l0米的铁丝围成一个长方形．（1）使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长为________米，宽为_________米．（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长为_______米，宽为_____米，它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化?（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是______米，它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化?（4）由上面（1）（2）（3），你可得出什么结论？类型三：工程问题3．某工人在一定时间内加工一批零件，如果每天加工44个，就比规定任务少加工20个；如果每天加工50个，就可超额完成10个，求规定加工零件的个数．（试用不同的方法解下列问题）（三）学以致用 1．请根据图5—3—2中给出的信息，可得正确的方程是 ( )A. 2286()()(5)22x x ππ=+ B ．2286()()(5)22x x ππ=- C ．2286(5)x x ππ=+ D ．22865x ππ= 2．长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了4 m ，而长减少了5 m ，那么面积增加15 ㎡，设长方形原来的宽为x m ，则所列方程是( )A．2+--=(4)(35)153x x x x x x(4)(35)153+-+=B．2C．2x x x(4)(35)153-++=x x x-+-=D．2(4)(35)1533．如图5—3—3，把一个长方形分成大小不等的6个小正方形，已知中间的最小的正方形的边长为1厘米，求这个长方形的面积．解：设正方形A的边长为x厘米，则正方形B的边长为________厘米；正方形C的边长为________厘米；正方形D的边长为________厘米；正方形E的边长为________厘米．由题意可得方程：______________________．解得x= ________，答：长方形的面积为___________平方厘米．4．某工人原计划用26天生产一批零件，工作两天后，因改变了操作方法，每天比原来多生产5个零件，结果提前4天完成任务，问原来每天生产多少个零件？这批零件共有多少个？5．某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标,现有甲,乙两个工程队竞标,竞标资料上显示：若单独完成此项工程,甲10天可完成,乙15天可完成,担甲队每天的工程费用比乙队多300元,若两队合作,共需工程费用10200元,工程指挥站决定从两队中选一队单独完成,若从节省资金的角度考虑,应该选哪个工程队?为什么?6. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元。