2020学年高中数学初高中衔接教材第37课时二次函数与一元二次方程学案无答案苏教版

二次函数与一元二次方程、不等式教案新人教A版必修第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【素养目标】1．理解一元二次方程与二次函数的关系．(数学抽象)2．掌握图象法解一元二次不等式．(直观想象)3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(数学抽象)4．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．(数学运算) 5．会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式．(逻辑推理)6．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算)【学法解读】在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习中，可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境，使学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式的概念；然后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序．2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式一、必备知识·探新知基础知识知识点1：一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________________.一元二次不等式的一般形式是：_________________________或_________________________.知识点2：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系思考2：如何用图解法解一元二次不等式？提示：图解法解一元二次不等式的一般步骤：(1)将原不等式化为标准形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)；(2)求Δ＝b2－4ac；(3)若Δ<0，根据二次函数的图象直接写出解集；(4)若Δ≥0，求出对应方程的根，画出对应二次函数的图象，写出解集．基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．()(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()(3)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，且x10的解集不可能为{x|x1(4)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则方程ax2＋bx＋c＝0无实根．()[解析](1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根．则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅.(3)当二次项系数小于0时，不等式f(x)>0的解集为{x|x1(4)当Δ<0时，一元二次不等式的解集为空集，此时方程无实根．2．不等式2x≤x2＋1的解集为()A．∅B．RC．{x|x≠1}D．{x|x>1或x[解析] 将不等式2x≤x2＋1化为x2－2x＋1≥0，∴(x－1)2≥0，∴解集为R，故选B．3．不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集为_____________________.二、关键能力·攻重难题型探究题型一解一元二次不等式例题1：解下列不等式．(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；(3)－x2＋2x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0.[分析] 根据三个二次之间的关系求解即可．[归纳提升] 解一元二次不等式的步骤(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式．(2)计算相应的判别式．(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．【对点练习】❶不等式6x2＋x－2≤0的解集为______________________.题型二三个“二次”的关系例题2：已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1[分析] 给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和方程ax2－bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系可求a，b的值．【对点练习】❷若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．题型三解含有参数的一元二次不等式例题3：解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0.[分析] 二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}．④当－4(1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a>0，a＝0，a<0；(2)关于不等式对应方程的根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)；(3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x10.WORD模版源自网络，仅供参考！如有侵权，可予删除！文档中文字均可以自行修改。

分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型 ＞0(<0)或 ≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可．
例2.解关于x的不等式（1）ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R).（2）2x2＋ax＋2>0(a∈R).
例3.设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围．
章节
2．3
课题
二次函数与一元二次方程、不等式
教
学
目
标
1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．
2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．
教学重点
二次函数与一元二次方程、不等式的联系，借助二次函数求解一元二次不等式。
教学难点
含参一元二次不等式的解法，不等式恒成立、能成立问题的解决思路。
【新知探究】
一、三个二次及其关系
1．一元二次不等式的概念
我们把只含有一个未知数，并且未知数的的不等式，称为一元二次不等式．
2．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使方程的实数x叫做
二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点
8、已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是 ，求ax2－bx＋c＞0的解集．
9、解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3>0.
10、已知f(x)＝x2＋2(a－2) >0恒成立，求实数a的取值范围。
3．三个二次的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根

课题 2.3二次函数与一元二次方程、不等式一、教学目标：1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系，培养数学抽象的核心素养。

2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，提升数学运算的核心素养。

3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系强化直观想象的核心素养。

二、学习重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；学习难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用.三、教学过程学习过程本页，完成右一、一元二次不等式的定义：一般地，我们把只含有未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均为常数， .【即时训练1】下列不等式是否是一元二次不等式？（1）−4x2+3x+1>0; (2)ax2+x−4<0;（3）x2−y2>0;（4）2x+5≤0二、完成50P页【思考】：能否通过画出二次函数20122+-=xxy的图像，通过图像得到020122<+-xx及020122>+-xx的解集吗?三、二次函数的零点：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使的实数叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的．注意：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.四、二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的{x| }{x|x≠－b2a}解集ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集 {x | }注意：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．【即时训练2】完成教材53P 练习第一题（1）、（2）、（5）三、课堂诊断：【A 层】1、课本53P 练习题第1题（2）、（3）、（4）、（6），第2题（日清）【B 层】三个二次之间的关系:2.已知关于x 的不等式ax2＋bx ＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x 的不等式cx2＋bx ＋a<0的解集．3.已知x 2＋px ＋q ＜0的解集{⎭⎬⎫<<-3121x x 是,解关于x 的不等式qx 2＋px ＋1＞0.【C 层】4.解关于x 的不等式，ax 2＋(1－a )x －1＞05. 已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．01k ≤≤B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >【闯关题】6.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？。

二、学情分析
在本章节的教学中，我们需要面对的是初三学生，他们在前两年的数学学习中，已经积累了一定的数学基础，掌握了函数、一元一次方程等基本知识。然而，二次函数与一元二次方程作为数学知识的一个难点，对学生而言，理解和运用上可能存在一定困难。
学生在学习过程中可能出现以下情况：对二次函数图像特征的理解不够深入，对一元二次方程求解方法的掌握不够熟练，以及在解决实际问题时不能灵活运用所学知识。因此，在教学过程中，我们要关注以下几点：
（3）鼓励学生进行合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
3.教学步骤：
（1）导入新课：通过生活中的实际问题，引出二次函数与一元二次方程的概念。
（2）探究新知：引导学生观察二次函数的图像，总结图像特征；教授一元二次方程的求解方法，并分析各种求解方法的适用条件。
（3）巩固练习：设计不同难度的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
（2）一元二次方程的求解方法有哪些？它们之间的优缺点是什么？
2.小组汇报
各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习
1.设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
（1）求解给定二次函数的顶点、开口方向和对称轴。
（2）利用一元二次方程求解实际问题的最优解。
2.教师巡回指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
3.鼓励学生分组讨论和合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
4.通过一元二次方程的求解过程，让学生体会数学的转化思想，培养学生解决问题的策略和方法。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生积极主动学习的态度。
2.引导学生体会数学在实际生活中的应用价值，增强学生的数学意识。
1.充分了解学生的知识储备，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。