高中数学《2.1.1 函数的概念与图象(4)》学案 苏教版必修1

意义的实数的集合．由上可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定．例4 下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？⑴()2x y =；⑵33x y =；⑶2x y =．解：⑴()2x y =＝x （0≥x ）,0≥y ，定义域不同且值域不同，不是； ⑵33x y =＝x （R x ∈）,R y ∈，定义域值域都相同，是同一个函数；⑶2x y =＝|x |=⎩⎨⎧-xx ,00<≥x x ,0≥y ；值域不同，不是同一个函数 【解后反思】 判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同．只有完全一致时，这两个函数才算相同．例5 求函数f(x)=(x-1)2+1,x ∈{-1,0,1,2,3}的值域．略解：值域为{2,1,5,} ．注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.②符号“f ：A →B ”表示A 到B 的一个函数，它有三个要素；定义域．值域．对应关系，三者缺一不可.③集合A 中数的任意性，集合B 中数的惟一性.④f 表示对应关系，在不同的函数中，f 的具体含义不一样.⑤f (x )是一个符号，绝对不能理解为f 与x 的乘积.三．理解数学：1．求下列函数的定义域：（1）1()(12)(1)f x x x =-+；(2)()42f x x x =-++；(3) 2．求下列函数的值域：(1)y ＝1－2x （x ∈R ）；(2)y ＝｜x ｜－1 x ∈{－2，－1，0，1，2}；(3)y ＝x 2＋4x ＋3 （－3≤x ≤1）．分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”.解：(1)y ∈R(2)y ∈{1，0，－1}(3)画出y ＝x 2＋4x ＋3（－3≤x ≤1）的图象，如图所示，当x ∈[－3，1]时，得y ∈[－1，8]【课后提升】1．下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y （定义域不同） ②111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y （定义域不同） xx x f -++=211)(。

函数的概念和图象1一、知识与技能1.了解函数是特殊的数集之间的对应，理解函数的概念，了解构成函数的要素.2.了解“区间”“无穷大”等概念，掌握区间的符号表示.二、过程与方法1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.2.通过现实事物本质，进行数学抽象与概括，重视其经历，总结经验，体会由具体逐步过渡到符号化、代数式化的数学思想.三、情感态度与价值观1.能对以往学过的知识理性化思考，对事物间的联系有一种数学化的思考.2.函数知识是学好数学后继知识的基础和工具，通过本节的学习，培养学生的抽象思维能力、渗透静与动的辩证唯物主义观点.教学重点在对应的基础上理解函数的的概念.教学难点对函数概念的理解.教具准备多媒体.教学过程一、创设情景，引入新课师：我们生活在这个世界上，每时每刻都在感受其变化，请大家看（多媒体播放：把教科书上的三个实例制成多媒体）镜头1：教科书P17实例（1）.（旁白：随着时间t的变化，炮弹距地面的高度h在变化）镜头2：教科书P17实例（2）.（旁白：南极上空臭氧层空洞的面积随着时间的变化而变化）镜头3：教科书P18实例（3）.（旁白：我国城镇居民家庭恩格尔系数在逐年减少）……师：这些都说明了当时间变化时，另一个量也随之变化.（多媒体播放）镜头4：某人1元钱买1件商品，另一个人2元钱买1件商品.（旁白：不同的钱数买不同量的商品）镜头5：一只盒子有6只乒乓球，拿出10盒子，再拿出20盒子.（旁白：盒子增多球量增大）师：这些变化着的现象，说明当一个变量变化时，另一个变量随之变化.同学们能否再举出类似事例来?生1：我们的身高随着我们的岁数变化.生2：不对，20岁后，我们身高不长了.师：不错，但身高随着年龄的变化而变化是一个事实，这里变化是一个抽象的概念，说对应更确切.其实在初中我们已初步用函数来刻画和描述两个变量之间的依赖关系，今天我们进一步研究函数的知识.（板演函数的概念）二、讲解新课与学生共同分析、归纳上面的几个例子，寻求它们的共性，发现：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作f：A→B.由此得出函数的概念.1.函数的概念（1）函数的传统定义设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量.（2）函数的近代定义设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f （x）|x∈A｝叫做函数的值域.我们所熟悉的一次函数y =ax +b （a ≠0）的定义域是R ，值域也是R .对于R 中的任意一个数x ，在R 中都有唯一的数y =ax +b （a ≠0）和它对应.二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的定义域是R ，值域是B .当a ＞0时，B ={y |y ≥ab ac 442-}；当a ＜0时，B ={y |y ≤ab ac 442-}.对于R 中的任意一个数x ，在B 中都有唯一的数y =ax 2+bx +c （a ≠0）和它对应. 对函数概念的理解（老师和学生共同探讨得出以下结论）：①函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合与对应的观点出发.这样，就不难得知函数实质是从非空数集A 到非空数集B 的一个特殊的对应.函数的近代定义更具有一般性，例如函数f （x ）=⎩⎨⎧,0,1 ,,是无理数时当是有理数时当x x 如果用运动变化的观点来解释，会显得十分勉强，但用集合、对应的观点来解释，就十分自然.②函数的三要素：定义域、值域和对应关系f .其中核心是对应关系f ，它是函数关系的本质特征.y =f （x ）的意义是：y 等于x 在关系f 下的对应值，而f 是“对应”得以实现的方法和途径，是联系x 与y 的纽带，所以是函数的核心.至于用什么字母表示自变量、因变量和对应关系，这是无关紧要的.两个函数相同当且仅当它们的定义域与对应关系在实质上（不必在形式上）分别相同.③函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的一个不可缺少的组成部分.忽视了函数的定义域，我们将寸步难行，由此，我们也往往把函数的定义域称之为函数的“灵魂”.【例1】 判断下列对应是否为函数：（1）x →x2，x ≠0，x ∈R ；（2）x →y ，这里y 2=x ，x ∈N ，y ∈R .解：（1）对于任意一个非零实数x ，x 2被唯一确定，所以当x ≠0时，x →x2是函数，这个函数也可以表示为f （x ）=x2（x ≠0）. （2）当x ＝4时，y 由y 2=4给出，得y ＝2和y ＝－2，即给定一个x =4，有两个y 的值（±2）和它对应，所以x →y （y 2=x ）不是函数.（自己输入一个x 的值试一试）方法引导：判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A 、B ，一个对应关系f ，A 中任一对B 中唯一.【例2】 求下列函数的定义域：（1）f （x ）=1-x ； （2）g （x ）=11+x . 解：（1）因为当x －1≥0，即x ≥1时，1-x 有意义；当x －1＜0，即x ＜1时，1-x 没有意义，所以这个函数的定义域是{x |x ≥1}.（2）因为当x ＋1≠0，即x ≠－1时，11+x 有意义；当x ＋1＝0，即x ＝－1时，11+x 没有意义，所以这个函数的定义域是{x |x ≠－1，且x ∈R }.方法引导：求函数的定义域开偶次方其根号里面需非负，分母不为零.2.区间研究函数时常用到区间的概念. （1）区间的概念设a 、b 是两个实数，而且a ＜b ，我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为；［a ，b ］；②满足不等式a ＜x ＜b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a ，b ）；③满足不等式a ≤x ＜b 或a ＜x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为；［a ，b ］，（a ，b ）.注意：按照国际标准前闭后开区间记作；［a ，b ），前开后闭区间记作（a ，b ］.区间符号里面两个字母（或数字）之间用“，”间隔开.（2）区间的端点和长度区间定义中的实数a 与b 叫做相应区间的端点，其中a 叫左端点，b 叫右端点.称b －a 为区间长度.注意：①区间是集合的又一种表示方法，这样某些以实数为元素的集合就有三种表示法：集合表示法（列举法，描述法）、不等式表示法和区间表示法.例如大于－1小于2的实数的集合可以表示为如下三种形式：｛x |－1＜x ＜2｝；－1＜x ＜2；（－1，2），至于用哪一种形式，可根据习惯或简明的原则来选用.在数轴上，区间可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，（如下表）在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.（3）无穷大的概念①实数集R 也可以用区间表示为（－∞，+∞），其中“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.注意：无穷大是一个符号，不是一个数.②关于用－∞，+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间，它的定义和符号如下表：特别说明： ①区间是集合；②区间的左端点必小于右端点；③区间中的元素都是点，可以用数字表示； ④任何区间均可在数轴上表示出来；⑤以“－∞”或“+∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号. 三、课堂练习1.反比例函数y =xk（k ≠0）的定义域、对应关系和值域各是什么?请用上面的函数定义描述这个函数.2.教科书P 22练习题1.答案：1.定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），对应关系f ：y =xk（k ≠0），值域为（－∞，0）∪（0，+∞）.对于任意一个非零实数x ，x k 被唯一确定，所以当x ≠0时，y =xk（k ≠0）是函数. 2.（1）因为4x +7≠0，得x ≠－47，所以，函数f （x ）=741+x 的定义域为{x ∈R |x ≠－47}. （2）因为1－x ≥0，且x +3≥0，得－3≤x ≤1，所以，函数f （x ）=x -1+3+x －1的定义域为{x ∈R |－3≤x ≤1}，定义域用区间也可表示为［－3，1］.四、课堂小结1.本节学习的数学知识：（1）函数的概念和函数的定义域、值域等概念；（2）区间与无穷大的概念. 2.本节学习的数学方法：观察与归纳的思想方法、定义法、渗透了静与动的辩证唯物主义观点. 五、布置作业 2.求下列函数的定义域. （1）f （x ）=21-x ； （2）f （x ）=23+x ； （3）f （x ）=1+x +x-21.板书设计1.2.1 函数的概念（1）函数的概念 函数的传统定义 函数的近代定义 对函数概念的理解 例1 例2区间的有关概念 课堂练习 课堂小结。

2019-2020年苏教版高中数学（必修1）2.1《函数的概念和图象》教案教学目标：使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法；使学生理解静与动的辩证关系.教学重点：函数的概念，函数定义域的求法.教学难点：函数概念的理解.教学过程：Ⅰ.课题导入［师］在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的？ （几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述）.设在一个变化的过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量.［师］我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题：问题一：y ＝1（x ∈R ）是函数吗？问题二：y ＝x 与y ＝x 2x是同一个函数吗？ （学生思考，很难回答）［师］显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念（板书课题）.Ⅱ.讲授新课［师］下面我们先看两个非空集合A 、B 的元素之间的一些对应关系的例子.在（1）中，对应关系是“乘2”，即对于集合A 中的每一个数n ，集合B 中都有一个数2n 和它对应.在（2）中，对应关系是“求平方”，即对于集合A 中的每一个数m ，集合B 中都有一个平方数m 2和它对应.在（3）中，对应关系是“求倒数”，即对于集合A 中的每一个数x ，集合B 中都有一个数 1x和它对应. 请同学们观察3个对应，它们分别是怎样形式的对应呢？［生］一对一、二对一、一对一.［师］这3个对应的共同特点是什么呢？[生甲]对于集合A 中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B 中都有惟一的数和它对应.［师］生甲回答的很好，不但找到了3个对应的共同特点，还特别强调了对应关系，事实上，一个集合中的数与另一集合中的数的对应是按照一定的关系对应的，这是不能忽略的. 实际上，函数就是从自变量x 的集合到函数值y 的集合的一种对应关系.现在我们把函数的概念进一步叙述如下：（板书）设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ︰A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：y ＝f (x )，x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y （或f (x )）值叫做函数值，函数值的集合{y |y ＝f (x )，x ∈A }叫函数的值域.一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)的定义域是R ，值域也是R .对于R 中的任意一个数x ，在R 中都有一个数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)和它对应.反比例函数f (x )＝k x(k ≠0)的定义域是A ＝{x |x ≠0}，值域是B ＝{f (x )|f (x )≠0}，对于A 中的任意一个实数x ，在B 中都有一个实数f (x )＝ k x(k ≠0)和它对应. 二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的定义域是R ，值域是当a ＞0时B ＝{f (x )|f (x )≥4ac －b 24a }；当a ＜0时，B ＝{f (x )|f (x )≤4ac －b 24a}，它使得R 中的任意一个数x 与B 中的数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)对应.函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题.y =1（x ∈R ）是函数，因为对于实数集R 中的任何一个数x ，按照对应关系“函数值是1”，在R 中y 都有惟一确定的值1与它对应，所以说y 是x 的函数.Y ＝x 与y ＝x 2x不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y ＝x 的定义域是R ，而y ＝x 2x 的定义域是{x |x ≠0}. 所以y ＝x 与y ＝x 2x不是同一个函数. ［师］理解函数的定义，我们应该注意些什么呢？（教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结）注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.②符号“f :A →B ”表示A 到B 的一个函数，它有三个要素；定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.③集合A 中数的任意性，集合B 中数的惟一性.④f 表示对应关系，在不同的函数中，f 的具体含义不一样.⑤f (x )是一个符号，绝对不能理解为f 与x 的乘积.［师］在研究函数时，除用符号f (x ）表示函数外，还常用g (x ) 、F （x )、G （x )等符号来表示Ⅲ.例题分析［例1］求下列函数的定义域.(1)f (x )＝1x －2 (2)f (x )＝3x ＋2 (3)f (x )＝x ＋1 ＋12－x分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y ＝f (x )，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x 的集合.解：(1)x －2≠0，即x ≠2时，1x －2有意义 ∴这个函数的定义域是{x ｜x ≠2}(2)3x ＋2≥0，即x ≥－23时3x ＋2 有意义∴函数y ＝3x ＋2 的定义域是[－23，＋∞） (3) ⎩⎨⎧x ＋1≥02－x ≠0 ⇒⎩⎨⎧x ≥－1x ≠2∴这个函数的定义域是{x ｜x ≥－1}∩{x ｜x ≠2}＝[－1，2）∪（2，＋∞）.注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.从上例可以看出，当确定用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f （x ）是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；(4)如果f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；(5)如果f (x )是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.例如：一矩形的宽为x m ，长是宽的2倍，其面积为y ＝2x 2，此函数定义域为x ＞0而不是全体实数.由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定.［师］自变量x 在定义域中任取一个确定的值a 时，对应的函数值用符号f (a )来表示.例如，函数f (x )＝x 2＋3x ＋1，当x ＝2时的函数值是f (2)＝22＋3·2＋1＝11注意：f (a )是常量，f (x )是变量 ，f (a )是函数f (x )中当自变量x ＝a 时的函数值.下面我们来看求函数式的值应该怎样进行呢？[生甲]求函数式的值，严格地说是求函数式中自变量x 为某一确定的值时函数式的值，因此，求函数式的值，只要把函数式中的x 换为相应确定的数（或字母，或式子）进行计算即可.［师］回答正确，不过要准确地求出函数式的值，计算时万万不可粗心大意噢![生乙]判定两个函数是否相同，就看其定义域或对应关系是否完全一致，完全一致时，这两个函数就相同；不完全一致时，这两个函数就不同.［师］生乙的回答完整吗？［生］完整!（课本上就是如生乙所述那样写的）.［师］大家说，判定两个函数是否相同的依据是什么？［生］函数的定义.［师］函数的定义有三个要素：定义域、值域、对应关系，我们判定两个函数是否相同为什么只看两个要素：定义域和对应关系，而不看值域呢？（学生窃窃私语：是啊，函数的三个要素不是缺一不可吗？怎不看值域呢？）（无人回答）［师］同学们预习时还是欠仔细，欠思考!我们做事情，看问题都要多问几个为什么!函数的值域是由什么决定的，不就是由函数的定义域与对应关系决定的吗!关注了函数的定义域与对应关系，三者就全看了!（生恍然大悟，我们怎么就没想到呢？）[例2]求下列函数的值域(1)y ＝1－2x （x ∈R ） (2)y ＝｜x ｜－1 x ∈{－2，－1，0，1，2}(3)y ＝x 2＋4x ＋3 （－3≤x ≤1）分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域. 对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”.解：(1)y ∈R(2)y ∈{1，0，－1}(3)画出y ＝x 2＋4x ＋3（－3≤x ≤1）的图象，如图所示，当x ∈[－3，1]时，得y ∈[－1，8]Ⅳ.课堂练习课本P 24练习1—7.Ⅴ.课时小结本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.（本小结的内容可由学生自己来归纳） Ⅵ.课后作业课本P 28，习题1、2.函数的概念和图象（二）教学目标：使学生掌握函数图像的画法.教学重点：函数图像的画法.教学难点：函数图像的画法.教学过程：Ⅰ.复习回顾［师］上节课，我们学习了函数的概念，请同学们回忆一下，函数的定义是怎样的？它有几个要素？分别是什么？［生］设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ︰A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.函数有三要素：定义域、值域、对应关系.［师］函数的定义域由什么确定？［生］函数的定义域由数学运算规律决定，即函数的定义域是使函数的表达式有意义的自变量的集合.［师］同学们对上节课的内容掌握得很好.Ⅱ.新课讨论在初中，我们已学过函数的图象，并能作出函数y ＝2x －1，y ＝1x（x ≠0）以及y ＝x 2的图象.社会生活中还有许多函数图象的例子，如心电图、示波图等。

高一数学导学案函数的图像教学目标：1. 通过实际情景了解图像法是描述两个变量之间函数关系的一种重要方法，进一步理解函数的概念。

2. 会用描点法和图像变换法作函数的图像，并能根据图像比较函数值的大小。

3. 培养运用数形结合思想解题的能力。

重点难点：认识函数图像的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图像，利用图像变换作出所求函数的图像。

一、知识归纳：将 的一个值0x 作为横坐标，相应的 作为纵坐标，就可以得到坐标平面上的一个点 ，当自变量取遍函数定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点。

所有这些点组成的集合为 ，所有这些点组成的图形就是函数)(x f y =的图像。

二、例题讲解考点一：求作函数的图像例1：作出下列函数的图像（1）1,≤=x x y（2）1+=x y（3）)3,1[,1)1(2∈+-=x x y （4）xx y 3=例2：作出函数112-+=x x y 的图像学点二：函数图像的应用例3：试画出函数1)(2+=x x f 的图像，并根据图像回答下列问题。

（1） 比较)3(),1(),2(f f f -的大小。

（2） 若,021x x <<试比较)(),(21x f x f 的大小。

例4：已知定义在R 上的函数图像关于原点对称，它在),0(+∞上的图像如图所示，则不等式0)(<x f 的解集为三、针对训练1. 课本28页练习2. 若函数)(x f y =的图像经过点（0，1），那么函数)4(+=x f y 的图像经过点3．已知函数112)(--=x x x f 的图像经过点),4,(p 求p 值，并画出该函数的图像4.作出下列函数的图像(1)2)(=x f(2))22,(1)(≤≤-∈-=x Z x x x f(3)43)(2-+=x x x f5.若)(,x f R x ∈是22-=x y 与x y =这两个函数的较大者，则)(x f 的最小值为 四、课后小结。