拉普拉斯变换LAPLACE TRANSFORM

§2 Properties of Laplace Transform
例1 如果原函数为 为实函数，则 显然，若

f (t ) u(t ) iv(t ), u, v
L[ f (t )] L[u(t )] iL[v(t )]

s 为实函数，
0 0 0
L[ f (t )] e st f (t )dt e st u (t )dt i e st v(t )dt
解
s3 s3 F ( s) 2 s 3s 2 ( s 1)(s 2) 2 1 s 1 s 2
2 1 1 f (t ) L [ F ( s)] L [ ] L [ ] s 1 s2
1 1
2e e
t
2t
t0
§3 Inverse of Laplace Transform
iwt ( s wi ) t
§2 Properties of Laplace Transform
2 原函数的微分性质 如果
f (t ), f (t ),, f ( n) (t )
都是原函数，则有 或
n 1
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0)
L[ f
( n)
练习 求方程
x a 2 x sin at
x(0) x(0) 0
满足初始条件
的特解，其中 a 为非零常数 。 作业:用Laplace Transform 求 P.146 第 25, 26 题
c1L [ F1 (s)] c2 L [ F2 (s)]
1
1
§3 Inverse of Laplace Transform

拉普拉斯转换（Laplace Transform ）通常来说，一般我们日常生活中所接触到的信号，大都是以时间的函数来表示，因为这具有一般人可以理解的物理上直观的意义。

可是因为信号在系统中相关的分析与应用上的需要，常常就必须使用其它的方式来表示这些信号。

之前，在本电子报中所提到的傅立叶转换（Fourier transform ），就是以频率的形式来表示信号的有效方法。

在这篇文章中，我们将介绍另一种表示信号的方式，那就是十八世纪法国著名数学家拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace ）在他的著作“Theorie analytique des probabilities ”中所提出的拉普拉斯转换（Laplace transform ）（以下简称为拉氏转换）。

在拉氏转换相对应的空间领域里，通常惯用以变量符号s 的函数来作为信号的表述。

而在事实上，由于拉氏转换拥有一对一的对应特性，因此并不会造成信号转换之间的混淆。

换句话说，一个以时间函数)(t x 所表示的信号，就只会有一个与其相对应的拉氏转换表述函数)(s X ，但是特别要注意的是，并非所有的时间信号都会存在有与其相对应的拉氏转换。

一般在拉氏转换的定义上，我们会有下列数学积分运算的关系式﹕⎰∞-==0)()}({)(dt e t x t x s X st L 此外，我们也会把下列表述的关系式称做为一组拉氏转换对组（Laplace transform pair ）﹕)}({)()()}({1s X t x s X t x -=↔=L L其中符号}{⋅L 表示的是拉氏转换的积分运算，而符号}{1⋅-L 被称做反拉氏转换（inverse Laplace transform ），也就是拉氏转换的逆运算。

举例来说，当时间函数1)(=t x 的时候，其相对应的拉氏转换经过上述计算后，就可以被表示成ss X 1)(=；而当信号被选为一个指数函数的形式时，也就是t e t x =)(，它的拉氏转换就可以经计算而被写成11)(-=s s X 。

1 - e-s F (s) s
Re(s) -
2)展缩特性（time scaling） f (t ) L F ( s ) Re( s ) s 0 若 1 s L F ( ) a 0, Re( s ) as 0 则有 f (at ) a a
L[ f (t )] - f (at)e-st dt 0
拉普拉斯变换 (the Laplace Transform)
1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
傅里叶分析具有清晰的物理意义，但某些信号的傅里 叶变换不存在 (t<0,无意义的函数)。引入拉普拉斯变换， 从而也可以对这些信号进行分析。拉普拉斯变换实质 是将信号f(t)乘以衰减因子e-s t的傅里叶分析。
- st
L[ f1 (t ) f 2 (t )]
0

0
(

0
f1 ( ) f 2 (t - )d )e dt
f1 ( )(
0
f 2 (t - )e -st dt) d
- s
0
f1 ( ) F2 ( s)e
d F1 ( s) F2 ( s)
- skT
F1 ( s ) F1 ( s) 1 - e - sT
Re(s) 0
例：求如图所示周期方波的Laplace变换。
f(t) 1 0 t
1
2
3 4 Ü Ú ½ ¨Å Å Ö Æ ·² Ð º
5
1 - e-s L[u (t ) - u (t - 1)] s 1 - e- s 1 1 F ( s) -2 s -s s 1- e s(1 e )
2
-
-
例： L[u (t )] 1 / s

(2.9) (2.10) (2.11) (2.12)
Fresnel 正弦和余弦积分 指数、正弦、余弦积分
(2.12) (2.13) (2.14) (2.15) (3.1)
(3.2) (3.3)
(4.1) (4.2) (4.3) (4.4)
误差积分
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
Hankel 函数 1 和 2
介绍
laplace 变换有着广泛的用途，其中最重要的用途之一是求解微分呢方程。 首先定义 laplace 变换：
(1.1)
invlaplace 变换：
.
代数、三角、指数、对数、三角、反三角、双曲、和反 双曲函数
(2.1)
(2.2) (2.3) 1 (2.4) (2.5) (2.6) (2.7)
(2.8)
(10.1)
用拉普拉斯变换求解微分方程
变换是一种数学运算，它将一个函数变换为另一个新函数。在解微分方程的过程中， Laplace 变换是常用的方法。 这种方法主要用于解常系数的线性微分方程，和包含不连续 函数的微分方程。Laplace 变换的核心作用在于它将微分运算变换为乘法运算，于是一个 微分方程就被变换为代数方程。 对于特殊的微分方程，我们还可以指定 dsolve 利用积分变换方法求解，只需要在 dsolve 中 加入可选参数 method=transform 即可。其中 transform 是积分变换，可以是laplace、 fourier、fouriercos 或者 fouriersin 变换。 例子：
拉普拉斯变换 (inttrans Package)
西希安工程模拟软件（上海）有限公司，2009
工作环境：Maple 13
内容：