江苏省上冈高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题答案

2019-2020年高二上学期期中试题 数学（理） 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色自己的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 不等式2230x x --<的解集为 （ ）A. {}|13x x -<<B.φC. RD. {}|31x x -<<2．如果,,a b c 满足c b a <<,且0ac <,那么下列选项中不一定成立的是 ( )A.ab ac >B.()0c b a ->C.22cb ab <D. ()0ac a c -> 3. 已知121,,,8a a -成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，那么122a ab 的值为（ ） A ．5- B ．5 C ．52-D ． 524 ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆一定是 ( ) A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等腰或直角三角形 5．下列各函数中，最小值为2的是 ( )A ．1y x x =+B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C．2y =D．1y x =+-6．在等比数列{}n a 中，若292369101232,a a a a a a a =则的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．-2D ．-47．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 为，若3n S =，339n S =，则4n S 等于（ ）A ．80B ．90C ．120D ．1308．已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ）A.1B. 1C. 3+D .3-9．已知等差数列{}n a 有奇数项，奇数项和为36，偶数项和为30，则项数n=( )A ．5B ．7C ．9D ． 11 10．已知数列{}n a 为等差数列，若11101a a <-且它的前n 项和有最大值，则使0n s >的n 的最大值为（ ） A ． 11B ． 19C ．20D ． 2111．已知x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+1033032y y x y x 若当且仅当30x y =⎧⎨=⎩时，()0z ax y a =+>取得最大值，则a 的取值范围是 （ ） A.1(0,)3 B.1(,)3+∞C.1(0,)2D.1(,)2+∞12．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立，则a 的最小值是 （ ）A ．0B ． –2C ．-52D ．-3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．若数列{}n a 的前n 项和为,13-=nn S 则2232221...n a a a a ++++= 。

2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷含答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上..2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷将答案写在答题卡上，在试题卷上作答，答案无效.4.考试结束，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线x－y＝0的倾斜角为( )A．45°B．60°C．90°D．135°2．若三点A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)共线，则实数m的值是( )A．6 B．－2 C．－6 D．2 3．圆ｘ2＋ｙ2＝4与圆ｘ2＋ｙ2－6x＋8y－24＝0的位置关系是（)A．相交B．相离C．内切D．外切4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱锥A1-ABCD的体积与长方体AC1的体积的比值为( )A.12B．16C.13D．155．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别为AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是( ) 6．已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是（)A.π3B.π4C.2π3D.3π47．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．2π＋12 B．π＋12 C．2π＋24 D．π＋24 8．若坐标原点在圆x2＋y2－2mx＋2my＋2m2－4＝0的内部，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．－22，22C．(－3，3) D．(－2，2)9．点P(7，－4)关于直线l：6x－5y－1＝0的对称点Q的坐标是（)A．(5,6) B．(2,3) C．(－5,6)D．(－2,3)10.过(2，0)点作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，所得切线方程为( )A．y＝0 B．x＝1和y＝0 C．x＝2和y＝0 D．不存在11．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0与x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦长等于( ) A．4 B．2 3 C．3 2 D．4 212．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝12x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( )A．－6＜k＜2 B．－16＜k＜0C．－16＜k＜12D．k＞12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。

2019学年江苏省高二上期中考试数学试卷【含答案及解析】姓名 ____________ 班级 _______________ 分数 ____________题号-二二总分得分一、填空题1. 已知命题/八丁 ，贝y --是3. 若椭圆 二+二=1的一个焦点坐标为（1 , 0）,则实数耕 的值等于4. - ”是“ 「「J” 成立的件.（从“充要”、“充分不必要”、“必要 不充分”中选择一个正确的填写）5. 在正方体 一匚亠丄' 丄八 中，过 |小＜-亠则直线•与：的位置关系为 ____________________________________面”）2.命题 "若 am则a v b ”的逆命题为命题.（填“直” “假”） 的平面与底面-二，的交线为 ,（填“平行”或“相交”或“异 6. 与双曲线有共同的渐近线，且过点（2, 2）的双曲线方程为7. 设I , m是不同的直线，a , 3 , Y是不同的平面，则下列命题正确的是①若1 丄m , m 丄 a,贝y l 丄a 或1II a ② 若1 丄 Y ,a _Y,则 l II a 或 l _ a③ 若1 I I a ,m II a,则1 II m 或 1 - 与 m 相交 ④ 若1 I Ia ,a _卩，则 1丄卩或l _ 38.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 --的半圆面，则该圆锥的 高 为10. 若--是双曲线'Q 1石 |町丸4|，则 = _____11. 点|PUv ）为 椭圆§ + y 2 = 1上 的任意一点，则|x + 3v 的最大值为12. 如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体•开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径|：….JTI 毫米，滴管内液体忽略不计.如果瓶内的药液恰好ISfi 分钟滴完，则每分钟应滴下 ___________________ 滴•1—*■13.在正三棱锥 S — ABC 中，M N 分别是棱SC BC 的中点，且 MN 丄AM ，若侧棱SA9. 已知点 ---轴,是椭圆（「订为椭圆的半焦距） 上一点，厂为椭圆的一个焦点，且，则椭圆的离心率是 ___________的两个焦点, P 是双曲线上的一点，且=^3|，则正三棱锥S —ABC外接球的表面积是____________________ .14. 如图所示，扎玖C是双曲线芋-若上的三个点,丨朋经过原点ir.：i，丨点'I经过右焦点I呵，若：二厂•且•一，则该双曲线的离心率是、解答题15. 设命题# :石艺｛$| y二+2尤+ &工芒j?｝，命题口-关于x的方程有实根.(1)若匚为真命题，求拥的取值范围；2)若丨，丨”为假命题，且“”为真命题，求「I的取值范围.16. 如图：已知正方形ABCD的边长为2 ,且AE丄平面CDE , AD与平面CDE所成角为I皿:I .(2 )求三棱锥D-ACE的体积.17. 已知命题「：点■, 不在圆一一一的内部，命题•“曲线M -1表示焦点在1工1轴上的椭圆”，命题5 :“曲线c.：十」-1表示双曲线”.■m f m —t —1(1)若“ 丁且「”是真命题，求宀的取值范围;(2 )若剧|是|.叫的必要不充分条件，求l-'l的取值范围.1118. 已知椭圆Q :二+咯=1 (a>b>0)两个焦点之间的距离为2，且其离心率为(1 )求椭圆厂的标准方程；(2 )若厂为椭圆厂的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满足|茁一辰？，求庞.4HF外接圆的方程•19. 如图，已知四棱锥P —ABCD的底面是直角梯形，Z ABC = Z BCD = 90 °,AB=BC= PB= PC= 2CD= 2,侧面PBC丄底面ABCD 点M在AB上，且I讨- VR = 1-刑,E 为PB的中点.(1)求证：CE II平面ADP ;(2)求证：平面PAD丄平面PAB ;(3)棱AP上是否存在一点N,使得平面DMN丄平面ABCD，若存在，求出若不存在，请说明理由.20. 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E:二+ 注=1 >0)的离心率iTT* nM 1为工兰，直线l : y= - x与椭圆E相交于A, B两点，AB=讣,C, D是椭圆E上异7总于A, B两点，且直线AC BD相交于点M 直线AD BC相交于点N.1cf\/A\ ■Q丿*(1 )求a, b的值；(2)求证：直线MN的斜率为定值.参考答案及解析第1题【答案】圭兰盘:/ > 0【解析】试题分析；全称命题的否走，改成存在性命题，所以答素应填：金弍』乏0・第2题【答案】假【解析】试题分析：若叫则Mb的逆命題是若玄<"则期，当嘲时，不成立，所収答案SS：假.第3题【答案】【解析】试题分析；焦点在％轴上』c=l ,所決5—册=!,即叭=4 ,所以答秦应填；4.第4题【答案】必要不充分【解析】；工浪】成立』推不出C < x<L J 0<r<l成立，能推出工* 1 ,所以答案应填；必要不第5题【答案】严亍【解析】试题分析：过*心0的平面与底面ABCD的交线为J ,与底卧幼心码的交线为貝心,两底面平行，所以交無平行，所以答秦应埴；平行.第6题【答案】了13 \1【解析】试题分析；与双曲线x；-2- = l有共同的^近绻设所求艰曲方程为F-斗、代入点4 4(Z 2)；得：X =3 *所以答案应填；二一十二1 .3 12第7题【答案】【解折】證飆鑑碇丁’钿与询顺'◎时'杀件都槌第8题【答案】J3【解析】试题分析；设圆锥母线为/ ,底面圆的半径尸,圆锥侧面积$ =咄=2兀」所t).r}=2f又半圆面积£詁卅，耐』",尸二1,故^#37=71'所以答案应埴：71-第9题【答案】2【解析】试题另护：由題青兀庁弋入樨圆鬥呈得：二亠二一「罪头，土竺*币a b2,所以笞棄应埴：①-2 2第10题【答案】713【解析】试题分折：由双曲线定义知『巧M尸巧卜士J在空召兀中，由盒途理得：小毗—尸巩”尸兀卜】00_(|眄卜尸耳『+2『可甘兀卜】00_北+皿一100_1 少 1 :=2\PF}[\PF2\ =2阿|旳=—12S —=2件啓三所以耀应旬f ”第11题【答案】3-J1试题分帕由桶圆万程得/ +吋=9 ,因^2(<+9y)>(x+3^，所以顶k 如对二,当且仅为％= 3y时等号成立，即盟二芈』y二大值3迈,所以答案应埴：伍■亠时』兀十力有最【解析】第12题【答案】75【解析】试题分析；设毎分钟滴下兀鬲则共有出弘滴，每滴,禾厢访积相等」斗0空曲斗\9十2*3»川=15心k刁二，解得兀“匚所以答秦应填；码第13题【答案】9^-【解析】试题分析；擔已和可得册丄酬，又在IE三棱稚中易知詔丄AC故胡丄平面SAC,从而刃丄W 故正三檯锥是侧g两两垂直且边长为击,其可视为球的内接边长为书的正方体从同一顶点引出的三条接构成的几何体，由于其体对甬线即为球的直径#所以心3「很二朽，从而24茫疋二加,所以答案应:瞋；9托・第14题【答案】Vio【解析】试趣分析：由题青可得在直角三角® A3F 中，OF 対斜边AB 上的中线，即育A 耳= 2|OA =2|OF|=2J ?,设A(w?”)则肿+才=t 2 r 又—〒=1 j 解得；m =d ,理匚一,即a b c c中/F 十，b\班 --------- —)*由双曲^对称性知：B (-朋+沪厂兰"又片也叭设怒八根据盯丄M 且廖冃b | c c有 y b [工_匚匚丄+ + i ■亠 ” 口&丄 + b g+ -------------- I c ______條 r+r —妙化简得：j 盯+珂，一小二左,再由护二 於a 可得：,解得口 = 迺,所以答案应骨 迺 ・ 2 2⑴［OJ ］ J ⑵［一；.斗【解析】试题分折；⑴ 弊电题戸〜利二次的数削方枣》的取值范围戈 ⑵由r 八为假命题，且 w “‘为算斋题得z F 即-B —假，芬刑肘论. 试题解析：(J 由题意得，》二丘匸茁E 二后二F 巨打队马>故卩为真命题时卫的取值范围为［03］.(3)故§为算命题时住的収値范围为"二,由题意得，去与© ―頁一假，从而斗当P 真Q 假时有 1 口无解；「 5解得：* y+』y=(TfE+』弋E 曲线方"fl! < --I 4fa V Q或a > 3 ［当戸假可直时有［ 1 /.C7>3^--<C7<0 .\Q>一一4i 4「■实数口的取值范围是・斗(1)证明见解析；⑵存.【解析】试题分析：(1)要证线面平行，霜萝找^线平行，又已知屈"3 ; (2)求三檯锥的体积，可厲考虑?議顶点，高与底面积较容易求岀.试题解折；证明：⑴ 正方形ABB中』ABf/CD t又廊疋平面CDE, CDu平面吨，所以AB丁平鲫E *(2)因为AE丄平面BE, AD与平面CDE所成甬为灯…厶4DE =二AE =1因为卫E丄和ik?D百，且3匚t\hiCDE,所以,一城丄CP ,只正方脛磁D CD 1 AD S.AE\ AD^A , AE. ADE ,所臥丄T-\iiiADE ? XDE 二乎面,所以CD _L DE . D 3 = ZQ£ = J?L=T=I42第17题【答案】(1) <-1或剛 >斗：(2) -4 </<-3 > 4 .【解析】试题分析：⑴'仃且是直命倾，所以P真Q真、得8不等式组；⑵可杲，的必墓不充分条件得：御I f < wi <f + l} i {刑一4 c携吒—2或用>4},从而求解.试题解析：〔"若戸为真：(1+耐'+0—唧尸上1务解得w< -l或战空3I 存 > 2^i + S若"为真：则仁….解得一4<^<-2或拥、4 ,2m+8 >0m £—1或删> 3若且号耀是專命题，则[J ―,，解得一4€助<一2或胡>4一斗< 一2惑1那A斗笹)若^为直，则(旳―00-『一0 ，即rc册Cf十1 ,由9是&的必要不充分条件‘贝|冋得初r < w < f +1] S (w| -4 < m< —2 或冊 a 斗；t亘—4即一一■.或冷4，解得TG—3或圧斗-第18题【答案】<i）斗十才二i ；<2）工―天二1或仕一扌y+3-扌严=£.【解析】试题分析；⑴由已知条件可翫和土的值，利用/"+/可得沪的值，进而可得椭圆C的方程,（2）由BA-BF=2.和止在帼上'得迩 T或点牛,分别分祈3戸;根据特点目出其外接圆. ''SSSMStfl：⑴日2u=2左=二=车,:一£ = \卫二、扛$ _ .b- 4a1-c1= 1 j£f 2椭圆C的标准方程杲手十y1= 1 j⑵ 由已知可得缈QMS，设心片）；则51=（■-功丽=亿-1》,®BA BF = I、[_4yr2[jQ = 0 §即甩・1+W ,代入得：「：或「2 血Z v -1I" 3即卫（0厂1）或一力亍二：.当A为（0-1）时，|创=爾卜|0戸| = 1 ,述F的外接圆是以。

数学理工类本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.考生作答时，须将★答案★答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.选择题必须使用2B 铅笔将★答案★标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.2.填空题和解答题用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知直线1:l y x =，若直线21l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为（ ） A.4π B. ()4k k Z ππ+∈C.34π D.3()4k k Z ππ+∈ 【★答案★】C 【解析】 【分析】根据直线垂直，则可求得2l 的斜率，再根据斜率求得倾斜角，即可选择. 【详解】因为直线1:l y x =，直线21l l ⊥，故可得21l k =-. 设直线2l 倾斜角为θ，则1tan θ=-，又[)0,θπ∈，故可得34πθ=. 故选：C.【点睛】本题考查直线垂直的斜率关系，以及由斜率求解倾斜角，属综合基础题.2. 如图是某学生在七次周考测试中某学科所得分数的茎叶图，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）7983463793A. 84，86B. 84，84C. 83，86D. 83，84【★答案★】D 【解析】 【分析】根据茎叶图将数据一一列举，即可得到众数和中位数；【详解】解：由茎叶图可得，这几个数据分别是79,83,83,84,86,87,93； 故众数为83，中位数为84； 故选：D【点睛】本题考查茎叶图，考查学生分析解决问题的能力，确定众数与中位数是关键，属于基础题． 3. 准线方程为2x =的抛物线的标准方程为（ ） A. 24y x =- B. 28y x =-C. 24y x =D. 28y x =【★答案★】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，抛物线28y x =-，可得4p =，且开口向左，其准线方程为2x =. 故选B ．考点：抛物线的几何性质．4. 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ） A. 123p p p =< B. 231p p p =< C. 132p p p =< D. 123p p p ==【★答案★】D 【解析】试题分析：根据随机抽样的原理可得，简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p 1＝p 2＝p 3.注意无论是哪种抽样，每个个体被抽到的概率均是相同的. 考点：随机抽样5. 如图是2018年第一季度五省GDP 情况图，则下列描述中不正确．．．的是（ ）A. 与去年同期相比2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长B. 2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省C. 2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D. 去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元【★答案★】C【解析】【分析】根据柱型图与折线图的性质，对选项中的结论逐一判断即可，判断过程注意增长量与增长率的区别与联系.【详解】由2018年第一季度五省GDP情况图，知：在A中, 与去年同期相比，2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长，A正确；在B中，2018年第一季度GDP增速由髙到低排位第5的是浙江省，故B正确；在C中，2018年第一季度总量和增速由髙到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个,故C不正确；在D中，去年同期河南省的总量增长百分之六点六后达到2018年的4067.6亿元，可得去年同期河南省的总量不超过4000亿元,故D正确，故选C.【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查折线图、柱形图等基础知识，意在考查阅读能力、数据处理能力，考查数形结合思想的应用，属于中档题.6. 已知点(2,1)在双曲线2222:1(0,0)x yE a ba b-=>>的渐近线上，则E的离心率等于A.32B. 52C. 5D. 52或5【★答案★】B 【解析】由题意得：点()2,1在直线by x a=上， 则12b a = 2252a b e a +∴==故选B7. 从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ） A. B 与C 互斥 B. 任何两个均互斥 C. A 与C 互斥 D. 任何两个均不互斥【★答案★】C 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义可判断出结果.【详解】事件C 包含事件B ，故A 、B 错误； 事件A 与事件C 没有相同的事件，故C 正确，D 错误. 故选：C .【点睛】本题考查互斥事件的判断，属于基础题.8. 在区间[1,1]-上随机取一个数k ，则直线(5)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A.14B.12C.23D.34【★答案★】B 【解析】 【分析】这是一个几何概型长度类型，先得到直线(5)y k x =+与圆221x y +=相交时的k 的范围，再由k 是取自区间[1,1]-上的一个数，代入公式求解. 【详解】若直线(5)y k x =+与圆221x y +=相交， 则圆心到直线的距离小于半径， 即2511<+k k，解得1122k -<<， 又因为在区间[1,1]-上随机取一个数k ，所以直线(5)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为()11122112⎛⎫-- ⎪⎝⎭==--p . 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的x 等于（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【★答案★】C 【解析】执行程序框图，x 1,y 2==-；2,3x y ==；4,1x y ==；8,x = 结束循环，输出8,x =故选C. 【方法点睛】本题主要考查程序框图的条件结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10. 设12,F F 为椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在此椭圆上，且122PF PF ⋅=-，则12PF F △的面积为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 2【★答案★】C 【解析】 【分析】 由122PF PF ⋅=-，可得1212cos 2PF PF F PF ⋅∠=-，再由124PF PF +=及余弦定理计算可得121cos 2F PF ∠=-，再根据同角三角函数的基本关系，可得123sin 2F PF ∠=，最后由面积公式计算可得；【详解】解：因为2214x y +=，所以124PF PF +=，1223F F =因为122PF PF ⋅=-，所以1212cos 2PF PF F PF ⋅∠=-在12F PF △中由余弦定理可得222121212122cos F F F P PF F P PF F PF =+-⋅∠， 即()22121222F P PF =+-⨯-又221212216FP PF F P PF ++⋅=， 即22128F P PF +=，124F P PF ⋅=所以121cos 2F PF ∠=-，再由221212sin cos 1F PF F PF ∠+∠= 所以123sin 2F PF ∠=所以121212113sin 43222PF F S PF PF F PF =⋅∠=⨯⨯=△ 故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的应用、椭圆的简单性质和椭圆的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．11. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点O 为坐标原点，点P 在双曲线左支上，12PF F △内切圆的圆心为Q ，过2F 作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则||OB 为（ ） A. aB. bC.2a b+ D. ab【★答案★】A 【解析】 【分析】利用切线长定理，结合双曲线的定义，把12||||2PF PF a -=，转化为12||||2AF AF a -=，从而求得点A 的横坐标．再在三角形2PCF 中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在△12F CF 中，利用中位线定理得出OB ，从而解决问题．【详解】解：根据题意得1(,0)F c -，2(,0)F c ，设12PF F △的内切圆分别与1PF ，2PF 切于点1A ，1B ，与12F F 切于点A ， 则11||||PA PB =，111||||F A F A =，212||||F B F A =， 又点P 在双曲线右支上，12||||2PF PF a ∴-=，12||||2F A F A a ∴-=，而12||||2F A F A c +=，设A 点坐标为(,0)x ， 则由12||||2F A F A a -=， 得()()2x c c x a +--=， 解得x a =，||OA a =，∴在△12F CF 中， 1111()22OB CF PF PC ==-1211()222PF PF a a =-=⨯=， ||OB ∴的长度为a ．故选：A ．【点睛】本题考查两条线段长的求法，解题时要熟练掌握双曲线简单性质的灵活运用，属于中档题． 12. 下列说法正确的个数是（ ）①设某大学的女生体重(kg)y 与身高(cm)x 具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)(1,2,3,,)i i x y i n =，用最小二乘法建立的线性回归方程为0.8585.71y x =- ，则若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ；②关于x 的方程210(2)x mx m -+=>的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；④已知F是椭圆221 43x y+=的左焦点，设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于3，则直线OP（O为原点）的斜率的取值范围是3333(,)(,)282-∞-.A. 1B. 2C. 3D. 4【★答案★】C【解析】【分析】根据回归方程的意义判断①；先推出方程的一根大于1 , 一根大于0小于1,结合椭圆与双曲线离心率定义可判断②；利用参数法求出动点P的轨迹可判断③；由题意画出图形，得到满足直线FP 的斜率大于3的P所在的位置，求出直线OP的斜率的取值范围可判断④.【详解】①根据回归方程的意义，结合回归方程为0.85 5.1ˆ87y x=-，可得该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；②关于x的方程210(2)x mx m-+=>的两根之和大于2 , 两根之积等于1, 故两根中，一根大于1 , 一根大于0小于1,可分别作为椭圆和双曲线的离心率,正确；③设定圆C的方程为()()222x a x b r-+-=，定点()00,A x y，设()cos,B a r b rsinθθ++，(),P x y，由()12OP OA OB=+，得cos22x a rxy b rsinyθθ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，消去参数θ，得()()2220022x x a y y b r--+--=，即动点P的轨迹为圆，③错误.④由22143x y+=，得22224,3,1a b c a b===-=，则()1,0F-，如图：过F 作垂直于x 轴的直线，交椭圆于331,,1,22A B ⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过F 斜率为3的直线与椭圆交于()8330,3,,55M N ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，当P 在椭圆弧上,AM BN 上时，符合题意， 又32OA k =-，32OB k =，338ON k =，当P 在椭圆弧AM 上时，直线OP 的斜率的取值范围是 3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，当P 在椭圆弧BN 上时， 直线OP 的斜率的取值范围是333,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，即满足直线FP 的斜率大于3，直线OP 的斜率的取值范围是3333,,282⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正确，综上可知正确命题个数为3，故选C. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查回归方程的意义、椭圆与双曲线的离心率、动点的轨迹以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1.必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效. 二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)13. 我国古代数学算经十书之一《九章算术》有一衰分问题（即分层抽样问题）：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人.凡三乡，发役五百人，则北乡遣___________人.【★答案★】180 【解析】 【分析】根据分层抽样原理计算抽样比例，从而求出北乡应遣人数． 【详解】解：根据分层抽样原理，抽样比例为500181007488691245=++，∴北乡应遣1810018045⨯=（人)． 故★答案★为：180．【点睛】本题考查了分层抽样方法应用问题，属于基础题．14. 双曲线224160x y -+=的渐近线方程为_________.【★答案★】2y x =± 【解析】 【分析】首先将双曲线方程化为标准式，再只需要令其右边为0即可求双曲线的渐近线方程．【详解】解：因为224160x y -+=，所以221164y x -=所以220164y x -=，解得2y x =±故双曲线的渐近线方程为2y x =± 故★答案★为：2y x =±【点睛】本题考查双曲线的简单性质，利用方程右边为0得渐近线方程是解题的关键，属于基础题．15. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，且||||AF BF >，若||2||BC BF =，则||AF =_________. 【★答案★】4 【解析】 【分析】分别过A 、B 作准线的垂线，利用抛物线定义将A 、B 到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知即可得到||AF .【详解】作AM 、BN 垂直准线于点M 、N ， 则BN BF =，又||2||BC BF =，得||2||BC BN =23BN p ∴= ，43BN ∴=，83BC =， 48433CF ∴=+=， BC p AM CA =， 244AF AF∴=+，解得4AF =. 故★答案★为：4【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，掌握定义是解题的关键，考查了基本运算求解能力，属于基础题.16. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，过点(2,0)Q a -且斜率为11(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点,P M ，点M 关于原点的对称点为N ，设直线PN 的斜率为2k ，则12k k 的值为_________. 【★答案★】12- 【解析】 【分析】设()11,P x y ，()22,M x y ，则()22,N x y --，求得12112y y k x x -=-，12212y y k x x +=+，由题意可得22a b c ==，则椭圆的方程可化为22222x y b +=，采用点差法即可求得★答案★．【详解】解：设()11,P x y ，()22,M x y ，则()22,N x y --，∴12112y y k x x -=-，12212y y k x x +=+，∵椭圆的离心率22c e a ==， ∴2a c =，又222a b c =+， ∴22a b c ==，∴椭圆的方程可化为22222x y b +=， ∵直线l 与椭圆C 交于两点,P M ，∴2221122x y b +=，2222222x y b +=，作差得()()2222121220x x y y -+-=，即()()222212122x x y y -=--，∴12121212122122221212y y y y y x y k k x x x x x -+=⋅-=--=-+， 故★答案★为：12-． 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，考查点差法求斜率，考查计算能力，属于中档题． 三、解答题：(17题10分，其余每小题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 先后抛掷一枚骰子两次，将出现的点数分别记为,a b . （1）设向量(,)m a b =，(2,1)n =-，求1m n ⋅=的概率；（2）求在点数,a b 之和不大于5的条件下，,a b 中至少有一个为2的概率.【★答案★】（1）112；（2）12【解析】 【分析】首先求出先后抛掷一枚骰子两次包含的基本事件个数.（1）利用向量数量积的坐标运算可得21a b -=，再求出满足条件的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）列出点数,a b 之和不大于5的基本事件个数，再列出,a b 中至少有一个为2的基本事件个数，利用条件概率计算公式即可求解. 【详解】解：先后抛掷一枚骰子两次，“将出现的点数分别记为,a b ”包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)， (1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36个. （1）记“向量(,)m a b =，(2,1)n =-，且1m n ⋅=”为事件A ， 由1m n ⋅=得：21a b -=，从而事件B 包含(1,1),(2,3),(3,5)共3个基本事件， 故31()3612P A ==. （2）设“点数,a b 之和不大于5”为事件B ，包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)， (2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个基本事件； 设“,a b 中至少有一个为2”为事件C ，包含(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，共5个基本事件， 故“在点数,a b 之和不大于5的条件下，,a b 中至少有一个为2” 的概率：()51()102n BC P n B ===. 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、条件概率计算公式、列举法求基本事件个数，属于基础题.18. 已知圆221240C x y x y m ++=：－－，（1）求实数m 的取值范围；（2）若直线240l x y +=：－与圆C 相交于M N 、两点，且OM ON ⊥，求m 的值.【★答案★】（1）5m <；（2）85【解析】 【分析】（1）将圆配凑成标准方程，利用20R >，解出即可．（2）设出直线，联立方程，利用韦达定理求出12y y ，再计算出12x x ，由OM ON ⊥，即12120x x y y +=，解出即可．【详解】解：（1）配方得22(1)(2)5x y m -+-=-,所以50m ->,即5m <.（2）设()()1122,,M x y N x y 、，OM ON ⊥，所以12120x x y y +=，由22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩得251680y y m -++=， 因为直线与圆相交于M N 、两点,所以()2162080m ∆=-+>,即245m <. 易得1212168,55m y y y y ++==， ()()12124242x x y y ∴=-⋅-()12121684y y y y =-++，从而由12120x x y y +=得8416055m m +-+=， 解得85m =，满足5m <且245m <，所以m 的值为85. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理及运算能力，属于基础题．19. 已知高中学生的数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，在一次考试中某班7名学生的数学成绩与物理成绩如下表： 数学成绩()x8883 117 92 108 100 112物理成绩()y 94 91 108 96 104 101 106（1）求这7名学生的数学成绩的极差和物理成绩的平均数；（2）求物理成绩y 对数学成绩x 的线性回归方程；若某位学生的数学成绩为110分，试预测他的物理成绩是多少？ 下列公式与数据可供参考：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式：1221ˆni ii nii x ynx y b xn x==-⋅=-⋅∑∑，ˆˆa y bx =-⋅； 222222288831179210810011270994++++++=，222222294911089610410110670250++++++=，88948391117108929610810410010111210670497⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【★答案★】（1）极差是34分，平均数为100分；（2）1ˆ502yx =+，105分 【解析】 【分析】（1）根据极差和平均值的定义计算可得★答案★；（2）根据公式计算出ˆb和ˆa ，代入ˆˆˆy bx a =+即可得到回归方程，将110x =代入回归方程可得★答案★.【详解】（1）7名学生的数学成绩的最大值为117分，最小值为83分，所以7名学生的数学成绩的极差是11783-=34分； 7名学生的物理成绩的平均数为9491108961041011067++++++=100分.（2）∵数学成绩的平均分为100x =，物理成绩的平均分为100y =∴27049771001001ˆ7099471002b-⨯⨯==-⨯，从而1ˆ100100502a =-⨯= ∴y 关于x 的线性回归方程为1ˆ502y x =+ 当110x =时，105y =，即当他数学成绩为110分时，预测他物理成绩为105分. 【点睛】本题考查了求极差、平均数，回归直线方程，属于基础题.20. 某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（1）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当3w =时，估计该市居民该月的人均水费．【★答案★】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元. 【解析】试题分析：（1）根据水量的频率分布直方图知月用水量不超过3立方米的居民占0085，所以w 至少定为3；（2）直接求每个数据用该组区间的右端点值与各组频率的乘积之和即可. 试题解析：（1）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[](](](](]0.5,1,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,3内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15．所以该月用水量不超过3立方米的居民占0085，用水量不超过2立方米的居民占0450．依题意，w 至少定为3（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表： 组号 12345678分组 []2,4 (]4,6 (]6,8 (]8,10 (]10,12 (]12,17 (]17,22 (]22,27频率 0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.0510.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． 考点：1、频率分布直方图的应用；2、根据频率分布直方图求平均值.21. 在平面直角坐标系内，已知点()2,0A，圆B 的方程为()22216x y ++=，点P 是圆B 上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线BP 相交于点Q .（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（2）过点()1,1M -能否作一条直线m ，与点Q 的轨迹交于,C D 两点，且点M 为线段CD 的中点？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.【★答案★】（1）22142x y +=；（2）能，230x y -+=. 【解析】 【分析】（1）由题意4QA QB QP QB BP +=+==，224BA BP =<=.由椭圆的定义可得Q 的轨迹方程；（2）当直线m 的斜率不存在时，不符合题意. 当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为()11y k x -=+，代入Q 的轨迹方程. 设点()()1122,,,C x y D x y ，由点M 为线段CD 的中点，可得122x x +=-，可求k ，即求直线m 的方程. 【详解】（1）连接QA ，由题意QA QP =，||||||||4QA QB QP QB BP ∴+=+==. 又点A 在圆内，224BA BP ∴=<=.根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,B A 为焦点，4为实轴长的椭圆. 其中222,24c a ==，2,2c a ∴==，2222b a c ∴=-=，所以Q 的轨迹方程为22142x y +=.（2）易知当直线m 的斜率不存在时，不符合题意.设经过点(1,1)M -的直线m 的方程为()11y k x -=+，即1y kx k =++把1y kx k =++代入轨迹方程22142x y+=，得222(12)4(1)2(1)40k x k k x k +++++-= ()*设点()()1122,,,C x y D x y ，则()12241212k k x x k++=-=-+，解得12k = 此时()*方程为23610x x ++=，方程根的判别式为3612240∆=-=>，所以()*方程有实数解.所以直线m 的方程为230x y -+=.【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题.22. 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且||8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）点P 是抛物线C 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 与抛物线C 的准线分别交于点M 、N ，求证：FM FN ⋅为定值.【★答案★】（1）24y x =；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，设直线:2AB pl y x =-，与抛物线方程联立，再利用抛物线定义，由128AB AF BF x x p =+=++=求解.（2）设00(,)P x y ，得到直线101110:()y y PA y y x x x x --=--，令1x =-，得到011010(1)(1)y x y x y x x +-+=-，再根据点,,A B P 均在抛物线2:4C y x =上 ，将2004y x =，2114y x =，代入化简得到01014M y y y y y -=+，同理可得点N 的纵坐标为02024N y y y y y -=+，然后由数量积坐标运算求解.【详解】（1）由题意知(,0)2p F ，则直线:2AB pl y x =-， 代入抛物线2:2(0)C y px p =>，化简得22304p x px -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212123,4p x x p x x +==，因抛物线C 的准线方程为2p x =-， 由抛物线的定义得128AB AF BF x x p =+=++=，∴382p p p +=⇒=，故抛物线C 的方程为24y x =.（2）设00(,)P x y ，则直线101110:()y y PA y y x x x x --=--， 当1x =-时，101011011010()(1)(1)(1)y y x y x y x y y x x x x ---+-+=+=--，∵点,,A B P 均在抛物线2:4C y x =上∴2004y x =，2114y x =∴22010101220101(1)(1)44444y y y y y y y y y y y +-+-==+-， 即点M 的纵坐标为01014M y y y y y -=+，同理可得点N 的纵坐标为02024N y y y y y -=+，∴2010********010*******444()16()M N y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ---++⋅=⋅=+++++， 由（1）知121212124,44y y x x p y y x x +=+-==-=-， ∴4M N y y ⋅=- ∴(2,)(2,)40M N M N FM FNy y y y ⋅=⋅=+=，为定值.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系，焦点弦以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。