单因素实验

灯泡的使用寿命——试验指标 试验指标 灯丝的配料方案——试验因素 试验因素（唯一的一个） 四种配料方案（甲乙丙丁 甲乙丙丁）——四个水平 因此，本例是一个四水平的单因素试验 四水平的单因素试验。 用X ，X ，X ，X 分别表示四种灯泡的使用寿命 分别表示四种灯泡的使用寿命，即为 1 2 3 4 四个总体。假设X ，X ，X ，X 相互独立，且服从方差 1 2 3 4 2 相同的正态分布，即X ~N（ i ，s ）（i=1，2，3，4） （m i 本例问题归结为检验假设 H ：m = m = m = m 是否成立 0 1 2 3 4
3
A1
A2
A3
A4
A 5
41 39 40
ij
33 37 35
105 35
38 35 35
108 36
37 39 38
114 38
31 34 34
5 3 ij
å x
j =1
120 40
99 33
ååx
i =1 j =1
3 ij 5
= 546
15 = 36.4
x i
拒绝域
(a)右侧检验
(b)左侧检验
假设检验的步骤 假设检验的步骤
1、建立原假设和备择假设; 2、确定适当的检验统计量; 3、指定检验中的显著性水平; 4、利用显著性水平根据检验统计量的值建立拒绝原假设的规则 利用显著性水平根据检验统计量的值建立拒绝原假设的规则; 5、搜集样本数据,计算检验统计量的值 计算检验统计量的值; 6、作出统计决策 (1) 将检验统计量的值与拒绝规则所指定的临界值相比较 将检验统计量的值与拒绝规则所指定的临界值相比较,确定 是否拒绝原假设; (2)由步骤5的检验统计量计算p值 值,利用p值确定是否拒绝原假设。
若H 成立，则 0
X ij = m + e ij , j = 1, 2,...t , i = 1, 2,... r
r n i
考察统计量 ST = åå X ij - X åå
i =1 j =1
(
)
2
总变差平方和
经恒等变形，可分解为： ST = S A + S S E
r t
引例
例1 （灯丝的配料方案优选）某灯泡厂用四种配料方案制成的灯 某灯泡厂用四种配料方案制成的灯 丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中作随机抽样 在每批灯泡中作随机抽样，测量其使用寿 命（单位：小时），数据如下： ： 灯泡 寿命 灯丝 甲 乙 丙 丁
1
2
3
4
5
6
7
8
1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800 1580 1640 1640 1700 1750 1460 1550 1600 1620 1640 1740 1660 1820 1510 1520 1530 1570 1680 1600
2.检验统计量 • 用于假设检验问题的统计量称为 用于假设检验问题的统计量称为检验统计量。 与参数估计相同，需要考虑 需要考虑： 总体是否正态分布； 大样本还是小样本； 总体方差已知还是未知。 。
3.显著性水平 • 用样本推断H 是否正确，必有犯错误的可能 必有犯错误的可能。 0 原假设H 正确，而被我们拒绝 而被我们拒绝，犯这种错误的概率用a表示。 0 把a称为假设检验中的显著性水平 显著性水平( Significant level), 即决策 中的风险。 • 显著性水平就是指当原假设正确时人们却把它拒绝了的概率 就是指当原假设正确时人们却把它拒绝了的概率 或风险。 • 通常取a＝0.05或a=0.01或a=0.001 =0.001, 那么, 接受原假设时正确 的可能性(概率)为:95%, 99%, 99.9% 95%, 99%, 99.9%。
基 本 概 念
试验指标——试验结果。 可控因素——在影响试验结果的众多因素中 在影响试验结果的众多因素中，可人为 控制的因素。 。 水平——可控因素所处的各种各种不同的状态 可控因素所处的各种各种不同的状态。每个 水平又称为试验的一个处理。 水平又称为试验的一个处理 单因素试验——如果在一项试验中只有一个因素改变 如果在一项试验中只有一个因素改变， 其它的可控因素不变，则该类试验称为 其它的可控因素不变 单因素试验。 单因素试验
其中
S = åå X i - X A
i =1 j =1
(
)
2
r
= t å e i - e
i =1
(
)
2
如果H 成立，则S 较小 0 A 较小。
组间平方和（条 件变差平方和）
反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。 反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度
考察目的： 1. 试验数据之间的差异是由于随机误差 的干扰（与因素水平的变化无关 与因素水平的变化无关）引起 的， 还是由于因素水平的变化而引起的； 还是由于因素水平的变化而引起的 2. 若是随机误差引起的 若是随机误差引起的，则此差异可以 提高试验的精度来缩小或消除； 提高试验的精度来缩小或消除 若是因素水平的变化而引起的，是哪 若是因素水平的变化而引起的 些水平有显著影响。 些水平有显著影响 3. 对此试验选取因素的什么水平 对此试验选取因素的什么水平，对试 验指标最有利。
m 1比 m 0 大还是小
单侧检验（单尾）：强调某一方向性的检验 强调某一方向性的检验。
H H ì 0 : m1 ³ m0 左侧检验 í 1 îH : m1 < m0
0 右侧检验 ìH : m1 £ m
í 1 î H : m1 > m
假设检验中的单侧检验示意图
拒绝域
4.接受域与拒绝域 • 接受域：原假设为真时允许范围内的变动 原假设为真时允许范围内的变动，应该接受原假 设。 • 拒绝域：当原假设为真时只有很小的概率出现 当原假设为真时只有很小的概率出现，因而当统 计量的结果落入这一区域便应拒绝原假设，这一区域便称 计量的结果落入这一区域便应 作拒绝域。
总和 Ti å
i =1
列平均 X i = Ti ni
（水平组内平均值）
X1
X 2
...
X r
r
（总平均值）
1 r X = å ni X i n i =1
其中诸
n 可以不一样 n = å ni i 可以不一样，
i =1
例：五个水稻品种单位产量的观测值 五个水稻品种单位产量的观测值——P 165 品种 重复 1 2 3
假设检验的一些基本概念 假设检验的一些基本概念
1.原假设和备择假设 • 原假设：用H0表示，即虚无假设 即虚无假设、零假设、无差异假设； 备择假设：用H1表示，是原假设被拒绝后替换的假设 是原假设被拒绝后替换的假设。 • 若证明为H0为真，则H1为假 为假； H0为假，则H1为真。 • 对于任何一个假设检验问题所有可能的结果都应包含在 两个假设之内，非此即彼。 。
åa
i= i=1
i
= 0
X ij = m + a i + e ij , j = 1, 2,...t , i = 1, 2,... = r
于是检验假设： H 0 : m1 = m 2 = ... = m p =
(= m )
等价于检验假设： H 0 : a1 = a 2 = ... = a p = 0 =
从而各子样也相互独立。 2. X 1 , X 2 ,... p 相互独立，从而各子样也相互独立 X 由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差， 由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差 所以设：
X ij = mi + e ij , j = 1, 2,...t , i = 1, 2,... 线性统计模型 r
其中 即
e ij 为试验误差，相互独立且服从正态分布 相互独立且服从正态分布
e ij ~ N ( 0, s 2 )
1 p 总平均值。 m = å i 称为总平均值 m p i =1
a i = mi - m 称为因素A的第 i 个水平 A 的效应。 第 i
p p
显然有： 则线性统计模型变成
单因素试验资料表
重复 1 ... n i
n i
水平 试验结果
A1
X 11 ... X 1n1
A2
X 21 ... X 2 n2
...
... ... ...
A r
X r 1 ... X rn r
r
列和 i = å X ij T
j =1
T1
T 2
...
T r
例：a＝0.05时的接受域和拒绝域 时的接受域和拒绝域
5.双侧检验与单侧检验 假设检验根据实际的需要可以分为 ： 双侧检验（双尾）: 指只强调差异而不强调方向性的检验 指只强调差异而不强调方向性的检验。
H 0 : m 1 = m 0 H 1 : m 1 ¹ m 0 只关注 m 1 m 0 是否有差异，不关心 ， 不关心
假设检验中的小概率原理 假设检验中的小概率原理
• 小概率原理:指发生概率很小的随机事件在一次试验中是几乎 指发生概率很小的随机事件在一次试验中是几乎 不可能发生的。小概率指p<5%。 。 • 假设检验的基本思想是应用小概率原理 是应用小概率原理。 • 例如:某厂产品合格率为99%,从一批 从一批(100件)产品中随机抽取 一件,恰好是次品的概率为1%。随机抽取一件是次品几乎是不 随机抽取一件是次品几乎是不 可能的, 但是这种情况发生了,我们有理由怀疑该厂的合格率为 我们有理由怀疑该厂的合格率为 99%.这时我们犯错误的概率是1% 1%。
两个独立样本正态总体方差显著检验
通过比较两个样本方差．从而判断两总体方差是否相等的 从而判断两总体方差是否相等的 2 2 2 问题，即s 12 = s 。自然地，应用它们的估计量 s 和 s 的比值 应用它们的估计量 1 2 2 2 2 来进行判断。如果比值远大于 如果比值远大于1或远小于1，说明 s 和 s 之 2 1 值相差甚大。 为了要具体明确“远大于 远大于1或小于1”的数值及其意义， 就要研究统计量 s 2 F = 1 2 s2 的分布。可以证明，在原假设成立的条件下 在原假设成立的条件下，