26.2_实际问题与反比例函数(第二课时)

详细描述
二次函数通常用于描述抛物线形状，而反比例函数用于描述 反比例关系。在实际问题中，如计算抛物线的高度，可以使 用二次函数和反比例函数来建立数学模型。通过联立方程， 可以求解出未知数，从而解决实际问题。
反比例函数与几何知识的综合应用
总结词
反比例函数和几何知识在解决实际问题时可以相互补充。例如，在计算面积或体积时，可以使用反比例函数来描 述比例关系，结合几何知识进行计算。
汽车油箱与油耗的关系
油箱容量固定，油耗越大，行驶里程越短，也呈现反比例关系。
物体落体与时间的关系
物体下落时，随着时间的增加，落下的距离越来越大，但加速度会 逐渐减小，这也是反比例关系的一个例子。
反比例函数在生活中的应用
计算最省时的方案
在一定任务量下，工作速率与所 需时间成反比，通过反比例函数
可以找到最省时的方案。
01 03
详细描述
02
给出实际问题，让学生用反 比例函数建模，并求解。
综合练习题
总结词：培养学生综合运用反比例函数 解决实际问题的能力。
让学生根据反比例函数的图像，解决实 际问题，并给出解决方案的优缺点分析 。
让学生根据实际问题的数据，画出反比 例函数的图像，并分析函数的增减性。
详细描述
给出复杂的实际问题，让学生用反比例 函数建模，并求解。
汽车耗油量问题
总结词
详细描述
汽车耗油量问题是一个与反比例函数密切 相关的实际问题，汽车的油耗量与行驶速 度之间存在反比例关系。
随着汽车行驶速度的增加，风阻和车重等 因素导致油耗量增加，反比例函数能够描 述这种速度与油耗量之间的负相关关系。
公式表示
应用意义
假设汽车行驶速度为 V，油耗量为 F，反比 例函数可以表示为 F = k/V，其中 k 为常数。

3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
v 240
t
（2）把t=5代入
v
240
，得
t
v 2404（ 8 吨）
5
答：如果货物恰好5天卸完，则平均每天卸48吨. 若货物不超过5天卸完，则平均每天至少要卸48 吨.
应用新知
1.某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每 天完成75页，需8天.设每天完成的页数为y，所需 的天数为x.问:y与x是何种函数关系？若要求在5天 内完成任务，每天至少要完成几页？
11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。2021/8/102021/8/102021/8/10Aug-2110- Aug-21
12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。2021/8/102021/8/102021/8/10Tues day, August 10, 2021
设
步骤 列
待定系数法 根据题意设出反比例函数的解析式
列出方程
解
解关于待定系数的方程
答
写出函数解析式
合作探究
青岛港工人以每天30吨的速度往一艘轮船上 装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间.
（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度ｖ （单位：吨/天）与卸货时间t（单位：天）之 间的函数关系？
分析：根据“装货速度×装货天数＝货物总量”，可以求 出轮船装载货物的总量；再根据“卸货速度×卸货天数＝货物 总量”，列出方程，得到速度ｖ与时间ｔ的函数解析式．

3.采用多元化的评价方式，如口头评价、书面评价、同伴评价等，全面、客观地评价学生的综合能力。
4.重视评价的激励作用，通过表扬、鼓励等方式，激发学生学习数学的热情和信心。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师以一个简单的实际问题导入新课：“同学们，假设我们班要组织一次郊游活动，已知车辆的速度是固定的，请问我们如何计算在不同时间能够到达的地点？这个问题与我们今天要学习的反比例函数有什么关系呢？”通过这个问题，引导学生回顾反比例函数的基本概念。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生主动探究、合作学习的良好习惯。
2.学会在解决实际问题的过程中，运用画图、列表、计算等方法，分析反比例函数的变化规律，培养解决问题的策略。
3.引导学生从实际问题中提炼出反比例函数模型，提高学生将实际问题转化为数学问题的能力。
4.在教学过程中，注重培养学生的数学思维能力，让学生在思考、探索中掌握反比例函数的知识。
2.针对不同层次的学生，设计难易适度的问题，使每个学生都能在解决问题的过程中获得成就感，提高他们的自信心。
3.引导学生通过问题解决，总结反比例函数的性质和应用，提高他们归纳、总结的能力。
（三）小组合作
小组合作是本节课的重要教学策略，旨在培养学生团队合作精神和解决问题的能力。
1.将学生分成若干小组，每组4-6人，确保每个小组成员在知识、能力等方面具有一定的互补性。
2.创设趣味性问题情景，如“一个神秘的数学森林，每前进一步，距离目的地就减少一半，请问同学们如何用数学知识描述这个现象？”通过这些问题，激发学生的好奇心，引导他们主动探究反比例函数的奥秘。
（二）问题导向
本节课以问题为导向，引导学生通过解决问题来学习反比例函数的知识。

26.2实际问题与反比例函数第二课时一、教学目标1．核心素养通过本课的学习，培养学生的模型思想和应用意识．2．学习目标（1）运用反比例函数的知识解决实际问题．（2）经历“实际问题—建立模型—拓展应用”的过程，发展学生分析问题和解决问题的能力．（3）经历运用反比例函数解决实际问题的过程，进一步体会数学建模思想，培养学生数学应用意识．3．学习重点运用反比例函数的概念、性质，分析和解决一些简单的实际问题4．学习难点抽象出实际问题中的反比例函数关系二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P14－P15，杠杆平衡原理指的是什么？任务2电功率、电阻、电压之间的关系是什么？任务3请列举你了解的本课中未列举的三种或三种以上满足反比例函数关系的例子．2．预习自测1．如图，点B 、P 在函数)0(9>=x xy 的图象上，四边形COAB 是正方形，四边形FOEP 是长方形，下列说法不正确的是( )．A ．长方形BCFG 和长方形GAEP 的面积相等B ．点B 的坐标为(9，9)C ．xy 9=的图象关于过O 、B 的直线对称 D ．长方形FOEP 和正方形COAB 面积相等【知识点：反比例函数的性质；数学思想：数形结合】 【答案】B 2．反比例函数xmy =在第一象限的图象如图所示，则m 的值可能是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4【知识点：反比例函数的性质；数学思想：数形结合】 【答案】C3．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流强度I （A ）与电阻R （Ω）成反比例函数关系，如图，则电流强度I （A ）与电阻R（Ω）之间的函数解析式为 ．【知识点：反比例函数的图象及性质；数学思想：数形结合】 【答案】6I R=(R>0) （二）课堂设计 1．知识回顾（1）杠杆平衡原理：阻力臂阻力动力臂动力⨯=⨯．（2）电阻、电功率、电压之间的关系：电阻电压电功率2=．（3）在以前的学习中，还有哪些与反比例函数有关的知识，请举例说明．2．问题探究问题探究一 对比分析 构建模型●活动一 对比分析，构建反比例函数模型问题1：下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？（1）某住宅小区要种植一个面积为1000 m 2的矩形草坪，草坪的长y （单位：m ）随宽x （单位：m ）的变化而变化；（2）已知北京市总面积为1．68⨯104 km 2，人均占有面积S （单位：km 2/人）随全市总人口n （单位：人）的变化而变化 ． 【知识点：反比例函数的定义】教师提出问题，学生小组讨论、交流，引导学生写出解析式，思考并解答下列问题：（1）在每个问题中，谁是常量，谁是变量？ （2）两个变量之间具有函数关系吗？并说明理由． （3）它们的解析式有什么共同特点？问题探究二 反比例函数与杠杆原理●活动一 复习旧知 学科融合公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德提出一个观点：“给我一个支点，我可以撬动地球． ”这种说法中用到了什么原理？教师创设情境，引发学生回忆杠杆平衡原理：阻力臂阻力动力臂动力⨯=⨯，请画图并用数学语言表述这一关系．●活动二 引入实例 突出应用例1.小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N 和0．5m ． （1）动力F 和动力臂l 有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m 时，撬动石头至少需要多大的力？（2）若想动力F 不超过题（1）中的一半，则动力臂至少要加长多少？ 【知识点：反比例函数定义与性质；数学思想：数形结合】 阅读与思考：阅读教材P13-14，解决下列问题：（1）杠杆原理的内容是什么？怎样用数学语言表示？在日常生活中还有哪些用到杠杆原理的例子？请举例说明．（2）此例中的k 是如何确定的？当阻力与阻力臂一定时，动力与动力臂之间是什么函数关系？（3）第（2）问中的不等关系能否转化为相等关系来进行解答？怎样转换？请说说你的做法．详解：（1）根据“杠杆原理”得：Fl 12000.5=⨯ ∴F 关于l 的函数解析式为lF 600= 当l =1．5m 时，600F 1.5==400（N ） ∴此时撬动石头至少需要400N 的力． （2）对于函数600F l=，F 随l 的增大而减小． 只要求出F=200N 时对应的l 的值，就能确定动力臂至少应该加长的量．当F=40021⨯=200N 时，由600200l=，解得l =3（m ） 3-1.5 1.5=（m ） 对于函数600F l=，当l >0时，l 越大，F 越小 因此，若想用力不超过400N 的一半，则动力臂至少应加长1．5m ． 点拨：（1）在实际学习生活中，有很多跨学科的综合性题目，需要同学们有一双发现的眼睛；（2）生活中的实例往往受到实际情况的限制，如长度不能为负数等；（3）由于自变量的取值范围受到实际情况的限制，它的图象往往只是其中的一部分，有时得到的图象甚至不是连续的曲线，而只是其中的一些点．问题探究三 反比例函数与电学例2 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110~220欧姆，已知电压为220伏，这个用电器的电路图如右所示． （1）功率P 与电阻R 有怎样的函数关系？ （2）这个用电器功率的范围是多少？【知识点：反比例函数的定义与性质；数学思想：数形结合】 探索与思考：（1）怎样理解“~”的含义？怎样解答这类问题？（2）为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节？是通过调节什么实现的？（3）功率、电阻、电压之间的关系是什么？当电压固定不变时，功率与电阻成什么函数关系？详解：（1）由电学知识可知：当U=220v 时，得RP 2220=（2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小． 把电阻的最小值R=110代入得功率的最大值：2220110P ==440（W ）把电阻的最大值R=220代入得功率的最小值：2220220P ==220（W ）因此用电器的电功率的范围为220~440W ．R点拨：此题中得到的函数图象只是第一象限的这一部分．问题探究三学以致用例3 六一儿童节，小文到公园游玩．看到公园的一段弯道MN（不计宽度），如图，它与两面互相垂直的围墙OP、OQ之间有一块空地MPOQN（MP⊥OP，NQ⊥OQ）．他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等，比如：A、B、C是弯道MN上的三点，矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI 的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系（如图），图中三块阴影部分的面积分别记为S1、S2、S3，并测得S2=6（单位：平方米），OG=GH=HI．（1）求S1和S3的值；（2）设T（x，y）是弯道MN上的任一点，写出y关于x的函数关系式；（3）公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木（区域边界上的点除外），已知MP=2米，NQ=3米．问一共能种植多少棵花木？【知识点：反比例函数的应用】参考答案：（1）S1=18，S3=12；（2）36 yx（3）一共可种8+4+2+2+1=17棵．点拨：（1）分别表示出每块阴影部分的面积，再去寻找其规律；（2）准确理解题意是关键，特别注意“区域的边界上的点除外”这名话对结果的影响．3．课堂总结【知识梳理】(1)杠杆平衡原理：阻力臂阻力动力臂动力⨯=⨯．(2) 电阻、电功率、电压之间的关系：电阻电压电功率2=．(3)在日常的学习生活中，会遇到很多与反比例函数有关的综合性问题，如当行程一定时，行驶的速度与行驶时间之间成反比例函数关系；当压力为定值时，压强与受力面积之间也成反比例函数关系等等． 【重难点突破】(1)在实际问题中，要注意哪些是常量，哪些是变量；当给定的条件发生改变时，变量之间呈现的关系也会发生变化．(2)在求函数的解析式时，常常用到待定系数法．(3)如果在表示变量之间的关系时，未明确告诉 k 值，我们需要根据已知条件确定k 的值，才能进一步得到函数的解析式． (4)不等关系常常转化为等量关系进行解答．4．随堂检测1．若点(－1，y 1)，(2，y 2)，(3，y 3)都在反比例函数xy 7=的图象上，则( )． A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 1＜y 3＜y 2答案：D 解析：2．如图，A 、B 是函数xy 2=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则( )．A ．S ＝2B ．S ＝4C ．2＜S ＜4D ．S ＞4答案：B 解析：3．在温度不变的条件下，通过不断对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y 与x 之间的关系的式子是( )． A ．y ＝3000x B ．y ＝6000x C ．x y 3000= D ．6000y x= 答案：D 解析：4．如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线xmy =交OB 于点D ，且BD ：BO=2：3，若△OBC 的面积等于3，则m 的值为（ ）A ．2B ．34C ．245D ．无法确定 答案：B 解析：5．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流强度I （A ）与电阻R （Ω）成反比例函数关系，如图，则电流强度I （A ）与电阻R （Ω）之间的函数解析式为 ．答案：6I R=（R>0）。