奎文区第一中学2021届高三数学下学期3月月考试题〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
第I 卷(选择题 一共60分)一、选择题：(本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分．) 1.设函数y =的定义域A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,那么A B ⋂=A. 〔1,2〕B. 〔1,2]C. 〔-2,1〕D. [-2,1)【答案】D 【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x ⋂-≤≤⋂<=-≤<，选D.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或者韦恩图进展处理. 2.对于n 个复数12,,n z z z ，假如存在n 个不全为零的实数12,,n k k k ，使得11220n n k z k z k z +++=，就称12,,n z z z 线性相关，假设复数112z i =+，21z i =-32z =-，线性相关，那么123::k k k 的值可以为〔 〕 A. 2：4：3 B. 1：3：2 C. 1：2：3 D. 3：4：2【答案】A 【解析】 【分析】将三个复数代入方程得到一个三元方程组，对照选项，即可得到答案. 【详解】有题意得123(12)(1)(2)0k i k i k ⋅++⋅-+⋅-=，所以1231220,20,k k k k k ⎩+-=-⎧⎨=，因为1234,2,3k k k ===为方程组的一组解， ∴123::k k k 的值可以为2:4:3. 应选：A.【点睛】此题考察复数新定义题，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察运算求解才能，属于根底题.3.向量(1,1)a =，2(4,3)a b +=，(,2)c x =-，假设//b c ，那么x 的值是( ) A. 4 B. 4-C. 2D. 2-【答案】B 【解析】 【分析】可求出(2,1)b =，从而根据//b c 得出40x +=，解出4x =-． 【详解】∵22(2,1)b a b a =+-=，(,2)c x =-，//b c ，40x ∴+=，4x ∴=-．应选：B ．【点睛】此题考察向量坐标线性运算、向量平行的坐标运算，考察运算求解才能，属于根底题.4.函数3()x xx f x e e -=-的大致图象为〔 〕A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数的定义域和()f x -与()f x 的关系判断奇偶性，再由0x →时，()0f x →，即可得答案.【详解】∵函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且3()()()x xx f x f x e e---==-， ∴()f x 为偶函数，故排除B 、C ； 当0x →时，()0f x →，故排除A. 应选：D.【点睛】此题考察根据函数的解析式选择函数的图像，考察逻辑推理才能、运算求解才能，求解时注意函数性质的综合运用.5.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．假设1sin 3α=，那么cos()αβ-=〔 〕 A. 79-B.79C. 23-D.23【答案】A 【解析】 【分析】根据角的对称得到1sin sin 3αβ==，cos cos αβ=-，再由两角差的余弦公式即可求出 【详解】角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，1sin sin 3αβ∴==，cos cos αβ=-，222cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 119279αβαβαβααα∴-=+=-+=-=-=-. 应选：A ．【点睛】此题考察终边关于y 轴对称的三角函数值之间的关系、两角差的余弦公式、同角的三角函数的关系，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察运算求解才能.6.如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，以下结论正确的选项是〔 〕A. 这15天日平均温度的极差为15℃B. 连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天C. 由折线图能预测16日温度要低于19℃D. 由折线图能预测本月温度小于25℃的天数少于温度大于25℃的天数 【答案】B 【解析】 【分析】利用折线图的性质，结合各选项进展判断，即可得解．【详解】由某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，得： 在A 中，这15天日平均温度的极差为：381919℃℃℃-=，故A 错误；在B 中，连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天，故B 正确； 在C 中，由折线图无法预测16日温度要是否低于19℃，故C 错误；在D 中，由折线图无法预测本月温度小于25℃的天数是否少于温度大于25℃的天数，故D 错误． 应选B ．【点睛】此题考察命题真假的判断，考察折线图的性质等根底知识，考察运算求解才能、数据处理才能，考察数形结合思想，是根底题．7.围棋棋盘一共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3613种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作?梦溪笔谈?中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二〞种，即5210000，以下最接近36152310000的是( )lg30.477A. 2610-B. 3510-C. 3610-D. 2510【答案】C 【解析】 【分析】对36152310000求对数分析即可. 【详解】因为361523lg 361lg352lg1000010000=⨯-⨯ 3610.477524172.19720835.80336≈⨯-⨯=-=-≈-故361365231010000-≈. 应选：C【点睛】此题主要考察了对数的根本运算,属于根底题型.8.抛物线22y px =上不同三点A ，B ，C 的横坐标成等差数列，那么以下说法正确的选项是( )A. A ，B ，C 的纵坐标成等差数列B. A ，B ，C 到x 轴的间隔 成等差数列C. A ，B ，C 到点(0,0)O 的间隔 成等差数列D. A ，B ，C 到点(2pF ，0)的间隔 成等差数列 【答案】D 【解析】 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，因为A ，B ，C 的横坐标成等差数列，所以2132x x x =+，①，由抛物线的定义，得点A ，B ，C 到焦点(2pF ，0)的间隔 ，进而得出结论． 【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，因为A ，B ，C 的横坐标成等差数列，所以2132x x x =+，① 由抛物线的定义，得点A ，B ，C 到焦点(2pF ，0)的间隔 ： 1||2p AF x =+，2||2pBF x =+，3||2p CF x =+， 22||2BF x p =+，12||||AF CF x x p +=++，又因为①，得2||||||BF AF CF =+， 所以A ，B ，C 到点(2pF ，0)的间隔 成等差数列． 应选：D ．【点睛】此题考察等差数列等差中项的性质、抛物线的定义、焦半径公式，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.二、多项选择题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分. 9.设正实数a ，b 满足1a b +=，那么〔 〕A.11a b+有最小值4 121D. 22a b +有最小值12【解析】 【分析】由1a b +=，根据22ab a b a b +≤≤≤+【详解】对A ，正实数a ，b 满足1a b +=，即有a b +≥，可得104ab <≤， 即有1114a b ab +=≥，即有a b =时，11a b+获得最小值4，无最大值，故A 正确；对B ，由102<≤12，故B 错误；对C ==≤=a b =，故C 错误；对D ，由222a b ab +≥可得2222()()1a b a b +≥+=，那么2212a b +≥，当12a b ==时，22a b +获得最小值12，故D 正确． 应选：AD ．【点睛】此题考察根本不等式及其应用，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能，求解时注意22ab a b a b +≤≤≤+. 10.菱形ABCD 中，∠BAD =60°，AC 与BD 相交于点O ．将△ABD 沿BD 折起，使顶点A 至点M ，在折起的过程中，以下结论正确的选项是〔 〕 A. BD ⊥CMB. 存在一个位置，使△CDM 为等边三角形C. DM 与BC 不可能垂直D. 直线DM 与平面BCD 所成的角的最大值为60°【解析】 【分析】画出图形，利用直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系判断选项的正误即可．【详解】对A ，菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 相交于点O ．将ABD ∆沿BD 折起，使顶点A 至点M ，如图：取BD 的中点E ，连接ME ，EC ，可知ME BD ⊥，EC BD ⊥，所以BD ⊥平面MCE ，可知MC BD ⊥，故A 正确；对B ，由题意可知AB BC CD DA BD ====，三棱锥是正四面体时，CDM ∆为等边三角形，故B 正确；对C ，三棱锥是正四面体时，DM 与BC 垂直，故C 不正确；对D ，平面BDM 与平面BDC 垂直时，直线DM 与平面BCD 所成的角的最大值为60︒，故D 正确． 应选：ABD ．【点睛】此题考察空间几何体的直线与直线、直线与平面的位置关系的综合判断、命题的真假的判断，考察转化与化归思想，考察空间想象才能．11.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个顶点分别是A 1,A 2,左、右两个焦点分别是F 1,F 2,P 是双曲线上异于A 1,A 2的任意一点，给出以下命题，其中是真命题的有〔 〕 A. 122PA PA a -=B. 直线12,PA PA 的斜率之积等于定值22b aC. 使得12PF F ∆为等腰三角形的点P 有且仅有8个D. 12PF F ∆的面积为212tan2b A PA ∠【答案】BC 【解析】 【分析】结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解.【详解】在12A PA ∆中，两边之差小于第三边，即12122PA PA A A a -<=，所以A 不是真命题；设点22(,),0,P x y y x a ≠≠，有22221(0,0)x y a b a b -=>>，2222)1(x y b a-=， 直线12,PA PA 的斜率之积1222222222221()PA PA y y y k k x a x a x a x a x b b a a⋅=⋅===+----，所以B 是真命题； 根据双曲线对称性分析：要使12PF F ∆为等腰三角形，那么12F F 必为腰，在第一象限双曲线上有且仅有一个点P 使122,22PA c PA c a ==-，此时12PF F ∆为等腰三角形， 也且仅有一个点P '使212,22P A c P A c a ''==+，此时12P F F '∆为等腰三角形，同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一一共八个， 所以C 是真命题；12120222A PA F PF π∠∠<<<，根据焦点三角形面积的二级结论12212tan 2PF F b F F S P ∆∠=，所以D 不是真命题. 应选：BC【点睛】此题考察双曲线的几何性质和相关计算，对根底知识的掌握和代数式化简运算才能要求较高，解题中假设能记住常见的二级结论，可以简化计算.12.函数()f x 在[a ，]b 上有定义，假设对任意1x ，2[x a ∈，]b ，有12121()[()()]22x x f f x f x ++，那么称()f x 在[a ，]b 上具有性质P ．设()f x 在[1，3]上具有性质P ，以下命题正确的有〔 〕 A. ()f x 在[1，3]上的图象是连续不断的 B. 2()f x 在[1上具有性质PC. 假设()f x 在2x =处获得最大值1，那么()1f x =，[1x ∈，3]D. 对任意1x ，2x ，3x ，4[1x ∈，3]，有123412341()[()()()()]44x x x x f f x f x f x f x ++++++【答案】CD 【解析】 【分析】根据题设条件，分别举出反例，说明A 和B 都是错误的；同时证明C 和D 是正确的．【详解】对A ，反例1,13()22,3x x f x x ⎧<⎪=⎨⎪=⎩在[1，3]上满足性质P ，但()f x 在[1，3]上不是连续函数，故A 不成立；对B ，反例()f x x =-在[1，3]上满足性质P ，但22()f x x =-在[1上不满足性质P ，故B 不成立；对C ：在[1，3]上，41(2)()[()(4)]22x x f f f x f x +-=+-， ∴()(4)2()()(2)1(4)()(2)1max max f x f x f x f x f f x f x f +-⎧⎪==⎨⎪-==⎩，故()1f x =，∴对任意的1x ，2[1x ∈，3]，()1f x =， 故C 成立；对D ，对任意1x ，2x ，3x ，4[1x ∈，3]，有1234123411()()22()()42x x x x x x x x f f ++++++= 34121[()(222x x x x f f ++≤+ )]123411[(()())(()())]22f x f x f x f x ≤+++ 12341[()()()()]4f x f x f x f x =+++， 123412341()[()()()()]44x x x x f f x f x f x f x +++∴+++，故D 成立．应选：CD.【点睛】此题考察函数新定义题，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能，求解时说明一个结论错误时，只需举出反例即可，说明一个结论正确时，要证明对所有的情况都成立．三、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.如下图，一名男生扔铅球，铅球上升高度y (单位：m )与程度间隔 x (单位：m )之间的关系是21251233y x x =-++，那么铅球落地时，铅球速度方向与地面所成的角是______.【答案】4π【解析】 【分析】求出二次方程的根，从而得到铅球落地点的坐标，再利用导数求出切线的斜率，即可得答案. 【详解】当212501233x x -++=时，解得：10x =或者2x =-〔舍去〕， ∴铅球落地时，铅球速度方向，即为曲线在10x =处的切线方向， ∵'3612y x =-+，∴切线的斜率'(10)1k y ==-， ∵铅球速度方向与地面所成的角为锐角或者直角，∴铅球速度方向与地面所成的角是4π.故答案为：4π. 【点睛】此题考察一元二次函数的实际应用、导数的几何意义，考察函数与方程思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能，求解时注意夹角为锐角或者直角.14.人的某一特征〔如单双眼皮〕是由他的一对基因决定的，以D 表示显性基因，d 表示隐性基因，那么具有DD 基因的人是显性纯合子表现为双眼皮，具有dd 基因的人是隐性纯合子表现为单眼皮，具有Dd 基因的人为杂合子，显性纯合子与杂合子都显露显性基因决定的某一特征.孩子从父母身上各得一个基因，假定父母都是杂合子.那么一对双眼皮夫妇生一个双眼皮的男孩概率是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法将孩子的4种基因情况一一列举出来，再利用古典概型的概率计算公式，即可得答案. 【详解】由题意知：父母基因都是杂合子，记为1122,D d D d ， 那么孩子的基因情有4种情况，即12121212,,,D D D d d D d d ， 其中双眼皮孩子的概率34P =， ∵孩子要求是男孩，∴130.37524P =⨯=. 故答案为：0.375.【点睛】此题考察古典概型的应用，考察运算求解才能，属于根底题.15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，728S =，记[]n n b lga =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[99]1lg =，那么20192020b b =_________. 【答案】9 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式可得n a ，再利用[]n b lgn =，可得12390b b b b ===⋯==，101112991b b b b ===⋯==，⋯，即可得出．【详解】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，4728a =． 可得44a =，那么公差1d =，∴n a n =，∴[]n b lgn =，那么1[1]0b lg ==，2390b b b ==⋯==，101112991b b b b ===⋯==，1001011021039992b b b b b ====⋯==，100010011002100399993b b b b b ====⋯==∴201920209b b =. 故答案为：9.【点睛】此题考察等差数列的通项公式与求和公式、对数运算性质、取整函数，考察推理才能与计算才能，属于中档题．16.正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点P 在正方体的外表上运动，且与点A 的间隔 为233.动点P 的集合形成一条曲线，这条曲线在平面CDD 1C 1上局部的形状是_____，整条曲线的周长是_________【答案】 (1). 圆弧53【解析】 【分析】画出图形观察出曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．【详解】由题意得，此问题的本质是以A 23为半径的球在正方体1111ABCD A B C D -各个面上交线的长度计算，正方体的各个面，根据与球心位置关系分成两类：ABCD 、11AA DD 、11AA BB 为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为6π、1111D C B A 、11B BCC 、11D DCC 为与球心间隔 为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为33r =，故各段弧圆心角为2π．∴这条曲线长度为233533363236πππ⋅⋅+⋅⋅=．故答案为： 圆弧；536π.【点睛】此题考察立体几何与解析几何知识的交汇，考察函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考察逻辑推理才能、空间想象才能、运算求解才能，求解时注意正方体的直观性进展解题． 四、解答题：本小题一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 17.等差数列{}n a 满足124a a =+且182012a a +=，等比数列{}n b 的首项为2，公比为q . 〔1〕假设3q =，问3b 等于数列{}n a 中的第几项？ 〔2〕假设2q ，数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别记为n S 和n T ，n S 的最大值为M ，试比拟M 与9T 的大小.【答案】〔1〕3b 等于数列{}n a 中的第16项〔2〕9M T < 【解析】 【分析】〔1〕先求出等差数列的通项公式，再求出等比数列的通项公式123n n b -=⋅，求出3b 实在代入等差数列通项公式，即可得答案；〔2〕求出9T 的值，二次函数的性质求出M 的值，比拟大小即可得到答案.【详解】(1)因为等差数列{}n a 满足124a a =+，即214a a -=-，所以等差数列{}n a 的公差4d =-， 又182012a a +=，得11171912a d a d +++=，代入可得178a =，所以1(1)78(1)(4)482n a a n d n n =+-=+--=-+. 当等比数列{}n b 的首项为2，公比为q . 当3q =时，11123n n n b b q --==⨯, 所以 22312318b b q ==⨯=, 所以当18482n =-+时, 解得16n =,即3q =时，3b 等于数列{}n a 中的第16项. (2)等比数列{}n b 的首项为2，假设2q ,由()111n n qT a q -=-可得91092(12)22102212T ⨯-==-=-,又等差数列{}n a 中1(1)2n n n dS na -=+代入可得: 22(1)(4)782802(20)8002n n n S n n n --=+=-+=--+,所以当20n =时，n S 的最大值为800M =, 所以9M T <.【点睛】此题考察等差数列、等比数列通项公式和前n 项和公式的应用，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察运算求解才能.18.,在ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,()sin cos ,sin p A C A =+,()cos sin ,sin q C A C =--,假设1cos 22Bp q +⋅=. 〔1〕求角B ;〔2〕假设3b =,求ABC 面积的最大值.【答案】〔1〕23B π=〔2 【解析】 【分析】〔1〕因为()sin cos ,sin p A C A =+,()cos sin ,sin q C A C =--,1cos 22Bp q +⋅=可得: 222cos sin sin sin cos p q C A A C B ⋅=--=,根据正弦定理可得222a c ac b ++=,即可求得答案.〔2〕由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,2293a c ac ac =++≥,那么3ac ≤,根据三角形面积公式即可求得答案. 【详解】〔1〕()sin cos ,sin p A C A =+,()cos sin ,sin q C A C =--,1cos 22Bp q +⋅=∴ 222cos sin sin sin cos p q C A A C B ⋅=--=,可得:2221sin sin sin sin 1sin C A A C B ---=-,∴ 222sin sin sin sin sin A C A C B ++=.由正弦定理:222a c ac b ++= 故:2222cos a c b ac ac B +-=-=∴ 1cos 2B =-,0B π<<,∴23B π=.〔2〕由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,∴2293a c ac ac =++≥,∴3ac ≤,当且仅当a c =时,()max 3ac =,∴1sin 2ABCSac B ==≤.∴ABC 面积的最大值为.【点睛】此题主要考察正弦定理,余弦定理解三角形和三角形面积公式,解题关键是利用正弦定理sin sin sin a b cA B C==边化角,再利用和角的正弦公式化简所给式子,属于根底题. 19.在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为长方形，SB ⊥底面ABCD ，其中BS =2，BA =2，BC =λ，λ的可能取值为：①14λ=；②12λ=；③32λ=；④32λ=；⑤λ=3〔1〕求直线AS 与平面ABCD 所成角的正弦值；〔2〕假设线段CD 上能找到点E ，满足AE ⊥SE ，那么λ可能的取值有几种情况？请说明理由； 〔3〕在〔2〕的条件下，当λ为所有可能情况的最大值时，线段CD 上满足AE ⊥SE 的点有两个，分别记为E 1，E 2，求二面角E 1－SB －E 2的大小.【答案】〔1〕22〔2〕λ可以取①②③，见解析〔3〕30° 【解析】 【分析】〔1〕由SB ⊥底面ABCD ，得SAB ∠即为直线AS 与平面ABCD 所成的角，由此能求出直线AS 与平面ABCD 所成角的正弦值．〔2〕以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BS 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，根据SE EA ⊥得到2(2)x x λ=-，再根据x 的取值范围得到λ的取值；〔3〕利用向量法能求出12,BE BE 夹角的余弦值，进而求得二面角12E SB E --的大小． 【详解】〔1〕因为SB ⊥底面ABCD ，所以∠SAB 即为直线AS 与平面ABCD 所成的角，在Rt SBA 中，2sin sin 452SAB ︒∠==〔2〕以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BS 的方向分别为x 轴、y 轴z 轴正方向建立如下图的空间直角坐标系，那么各点坐标分别为：B (0，0，0)，A (0，2，0)，D (λ，2，0)，S (0，0，2).设(,,0)(02)E x x λ≤≤，所以，(,,2),(,2,0)SE x EA x λλ=-=--22(2)0(2)SE EA x x x x λλ⊥⇒-+-=⇒=-因为x ∈[0，2]， 2(2)[0,1]x x λ=-∈，所以在所给的数据中，λ可以取①②③〔3〕由〔2〕知32λ=，此时，12x =或者32x =，即满足条件的点E 有两个，根据题意得，其坐标为131(,0)22E 和233(,,0)22E ， 因为SB ⊥平面ABCD ，所以SB ⊥BE 1， SB ⊥BE 2， 所以，∠E 1BE 2是二面角E 1−SB −E 2的平面角由12121233344cos ,213BE BE BE BE BE BE +⋅===⨯⋅ 由题意得二面角E 1−SB −E 2为锐角， 所以二面角E 1−SB −E 2的大小为30°【点睛】此题考察线线面角的正弦值、二面角的大小的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．20.高铁和航空的飞速开展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的宏大开展，据统计，在2021年这一年内从A 到B 乘坐高铁或者飞机出行的成年人约为50万人次．为理解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本．得到下表(单位：人次)：〔1〕在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；〔2〕在2021年从A 到B 乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X ．以频率作为概率．求X 的分布列和数学期望；〔3〕假如甲将要从A 出发到B ，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是 飞机？并说明理由.【答案】〔1〕2950〔2〕见解析〔3〕乘坐高铁，见解析 【解析】 【分析】〔1〕根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；〔2〕依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以1~(2,)5X B ，即2211()()(1)55k kk P x k C -==-，即可求出X 的分布列和数学期望；〔3〕可以计算满意度均值来比拟乘坐高铁还是飞机．【详解】〔1〕设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人〞为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==； 〔2〕由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2，因为在2021年从A 到B 乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人 为老年人概率是151755=， 所以022116(0)(1)525P X C ==⨯-=， 12118(1)(1)5525P X C ==⨯⨯-=，22211(2)()525P X C ==⨯=，所以随机变量X 的分布列为：故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=； 〔3〕从满意度的均值来分析问题如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++，乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++，因为11622155>， 所以建议甲乘坐高铁从A 到B ．【点睛】此题主要考察分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率模型的判断，属于中档题． 21.函数()ln f x x x =.〔1〕求()f x 的单调区间与极值；〔2〕假设不等式23ln 0322x x x e x λλ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+对任意[]1,3x ∈恒成立，求正实数λ的取值范围. 【答案】〔1〕单减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭,()f x 的单增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,()1e f x =-极小值,无极大值.〔2〕127ln 32λ≤ 【解析】【分析】〔1〕因为()ln f x x x =,定义域为()0,∞+,那么()1ln f x x '=+,即可求得()f x 的单调区间与极值;〔2〕223e ln 0322x x x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+,故2302x x +>,将其化简可得2233ln e 22x x x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+⋅+≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()23e 2x f x x f λ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,由〔1〕知()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增,23e 2x x x λ+≥,23ln 2x x xλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤,即可求得正实数λ的取值范围. 【详解】〔1〕 ()ln f x x x =∴ ()1ln f x x '=+,定义域为()0,∞+,又∴()0f x '>,1e x >,()0f x '<,10ex <<. ∴()f x 的单减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()f x 的单增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭∴()1111ln e e ee f x f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭极小值,无极大值. 〔2〕 223e ln 0322x x x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+,故2302x x +> ∴将223e ln 0322x x x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+化简可得: 2233ln e 22x x x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+⋅+≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴()23e 2x f x x f λ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. 2322x x +≥,0e e 1x λ>=,∴由〔1〕知()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增, ∴23e 2x x x λ+≥, ∴23ln 2x x x λ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,即23ln 2x x xλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤. 令()23ln 2x x h x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭=, ()223232ln 322x x x x h x x +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+'∴= 令()23232ln 322x k x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭+, 那么()22332223322x k x x x x +'=-⎛⎫++ ⎪⎝⎭3321223322x x x x ⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪++⎝⎭29231403322x x x x x ---=⋅<⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭, ∴ ()k x 在[]1,3上单减,()751ln 052k =->,()5273ln 032k =-<, ∴()01,3x ∃∈,()00k x =且在()01,x 上,()0k x >,()0h x '>,()h x 单增,在()0,3x 上,()0k x <,()0h x '<,()h x 单减.()()(){}()()min 27ln 52min 1,3,1ln ,323h x h h h h ===∴= ∴()()13h h > ∴127ln 32λ≤. 【点睛】此题主要考察导数在函数中的综合应用和不等式恒成立问题.对于恒成立问题,通常利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的不等关系式.着重考察了转化与化归思想、逻辑推理才能与计算才能.22.给定椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>),称圆心在原点O ,C 的“卫星圆〞.假设椭圆C的离心率2,点(在C 上. (1)求椭圆C 的方程和其“卫星圆〞方程;(2)点P 是椭圆C 的“卫星圆〞上的一个动点,过点P 作直线1l ,2l 使得1l ⊥2l ,与椭圆C 都只有一个交点,且1l ,2l 分别交其“卫星圆〞于点M ,N ,证明:弦长MN 为定值.【答案】(1)22184x y +=,2212x y +=;(2)证明见解析. 【解析】【分析】(1)根据题意列出22421c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩再结合222a b c =+即可解出a =，2b =，从而得到椭圆C 的方程和其“卫星圆〞方程；(2) 根据1l ⊥2l 分类讨论，当有一条直线斜率不存在时(不妨假设1l 无斜率)，可知其方程为x =者x =-这样可求出MN =当两条直线的斜率都存在时，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公一共点的直线为()00y t x x y =-+，与椭圆方程联立，由0∆=可得()2200122200328123281648648x y t t x x ---⋅===---，所以线段MN应为“卫星圆〞的直径，即MN =得证．【详解】(1)由条件可得:222421c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得a =2b =所以椭圆的方程为22184x y +=， 卫星圆的方程为2212x y +=(2)①当1l ，2l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l与椭圆只有一个公一共点，那么其方程为x =x =-，当1l方程为x =1l与“卫星圆〞交于点()和()2-，此时经过点()()2-且与椭圆只有一个公一共点的直线是 2y =或者2y =-，即2l 为2y =或者2y =-，∴12l l ⊥∴线段MN 应为“卫星圆〞的直径，∴MN =②当1l ，2l 都有斜率时，设点()00,P x y ，其中220012x y +=，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公一共点的直线为()00y t x x y =-+，那么，()0022184y tx y tx x y ⎧=+-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得到()()()2220000124280t x t y tx x y tx ++-+--=， ∴()2220000648163280x t x y t y ∆=-++-= ∴()2200122200328123281648648x y t t x x ---⋅===--- 所以121t t ⋅=-，满足条件的两直线1l ，2l 垂直．∴线段MN应为“卫星圆〞的直径，∴MN =综合①②知：因为1l ，2l 经过点()00,P x y ，又分别交“卫星圆〞于点MN ，且1l ，2l 垂直，所以线段MN是“卫星圆〞220012x y +=的直径，∴MN【点睛】此题主要考察椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，两直线垂直的斜率关系的应用，韦达定理的应用，意在考察学生运用分类讨论思想的意识以及数学运算才能，属于中档题．本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
