第11讲 反比例函数

第11讲┃ 反比例函数
[中考点金] 利用反比例函数中 k 的几何意义时，要注意点的坐标 与线段长之间的转化，并且利用解析式和横坐标，求各点 的纵坐标是求矩形面积的关键．
第11讲┃ 反比例函数
6 变式题 如图 11－ 5，点 A 是反比例函数 y＝－ (x<0)的图 x 象上的一点，过点 A 作 ABCD，使点 B， C 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，则□ ABCD 的面积为 ( C ) A． 1 B． 3 C． 6 D． 12
第11讲┃ 反比例函数
[解析 ] 过 A 点作 AE⊥ y 轴，垂足为 E， 1 ∵点 A 在双曲线 y＝ 上， x ∴四边形 AEOD 的面积＝ xy＝ 1. 3 ∵点 B 在双曲线 y＝ 上，且 AB∥ x 轴， x ∴四边形 BEOC 的面积＝ xy＝ 3， ∴四边形 ABCD 的面积为 3－ 1＝ 2.

第11讲┃ 反比例函数
8． [2013· 扬州 ] 在温度不变的条件下，一定质量的气体的 压强 p 与它的体积 V 成反比例，当 V＝ 200 时，p＝ 50， 400 ． 则当 p＝ 25 时， V＝ ________
[解析 ]∵在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强 p k 与它的体积 V 成反比例，∴设 p＝ . V ∵当 V＝ 200 时， p＝ 50， 10000 ∴ k＝ Vp＝ 200× 50＝ 10000，∴ p＝ . V 10000 当 p＝ 25 时，得 V＝ ＝ 400. 25
第11讲┃ 反比例函数
1.
图 11－12，正比例函数 n y＝ mx 与反比例函数 y＝ x (m， n 是非零常数 )的图象 交于 A，B 两点．若点 A 的坐标为 (1， 2)，则点 B 的坐标是 ( C ) A． (－2，－ 4) B． (－ 2，－ 1) C． (－1，－ 2) D． (－4，－ 2)

－1
x≠0
k 考点2反比例函数y＝ (k≠0)的图象与性质(2017.13) x
二、四
增大
原点
1.判断点坐标是否在函数上：①将点的横坐标或者纵坐标代入函数解析式 ，
求出对应的纵坐标或横坐标，若相等，则该点在函数图象上，否则不在；②
把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在函数图象上；否则不在． 2．反比例函数的增减性，应分x＞0和x＜0两种情况讨论．
【对应训练】 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－2x的图象与反比例函 k 数y＝x的图象交于点A(－1，n)． k (1)求反比例函数y＝x的解析式； (2)若P是坐标轴上一点，且满足PA＝OA，直接写出点P的坐标．
1．解：(1)把A(－1，n)代入y＝－2x得n＝－2×(－1)＝2， ∴A点坐标为(－1，2)， k 把A(－1，2)代入y＝ 得k＝－1×2＝－2， x 2 ∴反比例函数的解析式为y＝－x；
、A，求一次函数的表达式． 【分析】(1)过点B作x轴的垂线段BD，根据已知∠AOB表示出Rt△OBD两直
角边，已知OB长，利用勾股定理列方程求解可得B点坐标，进而利用待定系
数法即可求解；(2)根据勾股定理和对称分别求出点A、M的坐标，再根据待 定系数法进行求解．
解：(1)如解图，过点 B 作 BD⊥OA 于点 D， BD 1 设 BD＝a，∵tan∠AOB＝OD＝2，∴OD＝2BD. ∵∠ODB＝90°，OB＝2 5，∴BD2＋(2BD)2＝(2 5)2， 解得 BD＝±2(舍去－2)， ∴BD＝2.∴OD＝4，∴B(4，2)，∴k＝4×2＝8， 8 ∴反比例函数表达式为：y＝k；
m＝4 3 5m＋n＝0 ，解得 ， 20 8m＋n＝4 n＝－ 3

第11讲 反比例函数考纲要求命题趋势1．理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．2．会画反比例函数图象，根据图象和解析式探索并理解其基本性质．3．能用反比例函数解决简单实际问题.反比例函数是中考命题热点之一，主要考查反比例函数的图象、性质及解析式的确定，也经常与一次函数、二次函数及几何图形等知识综合考查．考查形式以选择题、填空题为主.知识梳理一、反比例函数的概念一般地，形如________________(k 是常数，k ≠0)的函数叫做反比例函数．1．反比例函数y ＝k x 中的kx是一个分式，所以自变量________，函数与x 轴、y 轴无交点．2．反比例函数解析式可以写成xy ＝k (k ≠0)，它表明在反比例函数中自变量x 与其对应函数值y 之积，总等于已知常数k .二、反比例函数的图象与性质 1．图象反比例函数的图象是双曲线． 2．性质(1)当k ＞0时，双曲线的两支分别在________象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而________；当k ＜0时，双曲线的两支分别在________象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而________．注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．(2)双曲线是轴对称图形，直线y ＝x 或y ＝－x 是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．三、反比例函数的应用1．利用待定系数法确定反比例函数解析式由于反比例函数y ＝kx中只有一个待定系数，因此只要一对对应的x ，y 值，或已知其图象上一个______的坐标即可求出k ，进而确定反比例函数的解析式．2．反比例函数的实际应用 解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决．自主测试1．如图，是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝4xC ．y ＝－3xD ．y ＝12x2．已知点P (－1,4)在反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象上，则k 的值是( )A ．－14B ．14C ．4D ．－43．若点A (1，y 1)，B (2，y 2)是双曲线y ＝3x上的点，则y 1__________y 2(填“＞”“＜”或“＝”)．考点一、反比例函数的图象与性质【例1】反比例函数y ＝m －1x 的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是__________．解析：∵函数的图象在第一、三象限，∴m －1＞0，∴m ＞1. 答案：m ＞1方法总结 1．.由于双曲线自变量的取值范围是x ≠0的实数，故其性质强调在每个象限内y 随x 的变化而变化的情况．2．反比例函数图象的分布取决于k 的符号，当k ＞0时，图象在第一、三象限，当k ＜0时，图象在第二、四象限．触类旁通 1 若双曲线y ＝2k －1x的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是__________．考点二、反比例函数解析式的确定【例2】如图，直线y ＝2x 与反比例函数y ＝kx的图象在第一象限的交点为A ，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，已知OB ＝1，求点A 的坐标和这个反比例函数的解析式．解：∵AB 垂直x 轴于点B ，OB ＝1，且点A 在第一象限，∴点A 的横坐标为1.又∵直线y ＝2x 的图象经过A ，∴y ＝2x ＝2×1＝2，即点A 的坐标为(1,2)．∵y ＝k x 的图象过点A (1,2)，∴2＝k1.∴k ＝2.∴这个反比例函数的解析式为y ＝2x.方法总结 反比例函数只有一个基本量k ，故只需一个条件即可确定反比例函数．这个条件可以是图象上一点的坐标，也可以是x ，y 的一对对应值．触类旁通2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－2x 的图象与反比例函数y ＝kx的图象的一个交点为A (－1，n )．(1)求反比例函数y ＝kx的解析式；(2)若P 是坐标轴上一点，且满足P A ＝OA ，直接写出点P 的坐标． 考点三、反比例函数的比例系数k 的几何意义【例3】已知点P 在函数y ＝2x(x ＞0)的图象上，P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，则矩形OAPB 的面积为__________．解析：矩形OAPB 的面积等于|xy |＝|k |＝2. 答案：2方法总结 过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k |；过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S ＝12|k |.触类旁通3 一个反比例函数的图象如图所示，若A 是图象上任意一点，AM ⊥x 轴于M ，O 是原点，如果△AOM 的面积是3，那么这个反比例函数的解析式是__________．1．(浙江台州)点(－1，y 1)，(2，y 2)，(3，y 3)均在函数y ＝6x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 1＜y 3＜y 22．(湖南常德)对于函数y ＝6x，下列说法错误的是( )A ．它的图象分布在第一、三象限B ．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C ．当x ＞0时，y 的值随x 的增大而增大D ．当x ＜0时，y 的值随x 的增大而减小3.(贵州铜仁)如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数y ＝kx的图象经过点A ，则k的值是( )A ．2B ．－2C ．4D ．－44．(兰州)如图，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝3x上，且AB ∥x 轴，点C 和点D 在x 轴上．若四边形ABCD 为矩形，则矩形ABCD 的面积为__________．5．(四川成都)如图，一次函数y ＝－2x ＋b (b 为常数)的图象与反比例函数y ＝kx(k 为常数，且k ≠0)的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(－1,4)．(1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式； (2)求点B 的坐标．6．(四川攀枝花)据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y (毫克)与燃烧时间x (分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA 和双曲线在A 点及其右侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题：(1)写出从药物释放开始，y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？1．某反比例函数的图象经过点(－1,6)，则下列各点中，此函数图象也经过的点是( ) A ．(－3,2) B ．(3,2) C ．(2,3) D ．(6,1)2．若函数y ＝m ＋2x的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是( )A ．m ＞－2B ．m ＜－2C ．m ＞2D ．m ＜23．对于反比例函数y ＝1x，下列说法正确的是( )A ．图象经过点(1，－1)B ．图象位于第二、四象限C ．图象是中心对称图形D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大4．已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)是反比例函数y ＝－4x的图象上的三点，且x 1＜x 2＜0，x 3＞0，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 3＜y 2＜y 15．反比例函数y ＝kx的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A (1,2)，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P ，你选择的点P 的坐标为__________．6．在直角坐标系中，有如图所示的Rt △ABO ，AB ⊥x 轴于点B ，斜边AO ＝10，sin ∠AOB ＝35，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ，则点D 的坐标为__________．7．如图，已知点A 在反比例函数图象上，AM ⊥x 轴于点M ，且△AOM 的面积是1，则反比例函数的解析式为__________．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 分别与x 轴、y 轴交于点B ，A ，与反比例函数的图象分别交于点C ，D ，CE ⊥x 轴于点E ，tan ∠ABO ＝12，OB ＝4，OE ＝2.(1)求该反比例函数的解析式； (2)求直线AB 的解析式．参考答案导学必备知识 自主测试1．B 因为图象的两个分支在第一、三象限，所以k ＞0，A ，D 选项不是反比例函数，故选B.2．D k ＝xy ＝－1×4＝－4.3．＞ 因为当x ＝1时，y 1＝3；当x ＝2时，y 2＝32，所以y 1＞y 2. 探究考点方法触类旁通1．k ＜12 ∵图象经过第二、四象限，∴2k －1＜0，∴k ＜12.触类旁通2．分析：(1)把A 的坐标代入函数解析式即可求得k 的值，即可得到函数解析式；(2)以A 为圆心，以OA 为半径的圆与坐标轴的交点就是P . 解：(1)∵点A (－1，n )在一次函数y ＝－2x 的图象上， ∴n ＝－2×(－1)＝2.∴点A 的坐标为(－1,2)．∵点A 在反比例函数y ＝kx的图象上，∴k ＝－2.∴反比例函数的解析式为y ＝－2x .(2)点P 的坐标为(－2,0)或(0,4)．触类旁通3．y ＝6x 设反比例函数为y ＝kx(k ≠0)．∵△AOM 的面积可表示为S △AOM ＝12|k |，又∵S △AOM ＝3，∴12|k |＝3.∴|k |＝6.∵双曲线在第一、三象限，∴k ＞0.∴k ＝6.∴反比例函数的解析式为y ＝6x.品鉴经典考题1．D 因为k ＝6＞0，所以函数图象的的两个分支分别在第一、三象限，各象限内y 随x 的增大而减小，所以0＜y 3＜y 2，点(－1，y 1)在第三象限，所以y 1＜0＜y 3，所以y 1＜y 3＜y 2.2．C 因为k ＝6＞0，所以函数图象的的两个分支分别在第一、三象限，各象限内y 随x 的增大而减小，图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，所以A ，B ，D 正确，C 错误．3．D 因为正方形ABOC 的边长为2，所以面积为4，根据反比例函数系数k 的几何意义，又图象在第二象限，所以k ＝－4.4．2 延长BA 交y 轴于点E ，则矩形EBCO 的面积为3，矩形EADO 的面积为1，所以矩形ABCD 的面积为3－1＝2.5．解：(1)把A (－1,4)代入y ＝kx 得k ＝－4，∴反比例函数的解析式为y ＝－4x .把A (－1,4)代入y ＝－2x ＋b 得－2×(－1)＋b ＝4， 解得b ＝2.∴一次函数解析式为y ＝－2x ＋2.(2)将y ＝－4x和y ＝－2x ＋2组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4x，y ＝－2x ＋2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，所以B 点坐标是(2，－2)．6．解：(1)药物燃烧后，设y 与x 的函数关系式为y ＝k 1x .把B (25,6)代入得6＝k 125，解得k 1＝150.∴药物燃烧后，y 与x 的函数关系式为y ＝150x.令y ＝150x ＝10，解得x ＝15.∴A (15,10)．药物燃烧时，设y 与x 的函数关系式为y ＝k 2x . 把A (15,10)代入得10＝15k 2，解得k 2＝23.∴药物燃烧时y 与x 的函数关系式为y ＝23x (0≤x ＜15)，药物燃烧后y 与x 的函数关系式为y ＝150x(x ≥15)．(2)把y ＝2代入y ＝150x ，得150x＝2，解得x ＝75，∴从消毒开始，至少在75分钟内，师生不能进入教室．研习预测试题1．A 因为反比例函数图象上所有点的横纵坐标乘积相等，－3×2＝－1×6，故选A. 2．B 因为在象限内y 的值随x 值的增大而增大，所以图象两分支在第二、四象限，得m ＋2＜0，即m ＜－2，故选B.3．C 因为k ＝1＞0，所以双曲线两分支位于第一、三象限，y 随x 的增大而减小，图象关于原点中心对称，故选C.4．A ∵k ＝－4，∴图象两分支在第二、四象限，在每个象限y 随x 增大而增大．∵x 1＜x 2＜0，∴0＜y 1＜y 2.∵x 3＞0，∴y 3＜0，∴y 3＜y 1＜y 2，故选A.5．(－1，－2)(答案不唯一) 因为图象过点A (1,2)，所以k ＝2，只需点P 的横纵坐标均为负数且乘积为2即可．6．⎝⎛⎭⎫8，32 ∵AO ＝10，sin ∠AOB ＝35，∴AB ＝6， ∴OB ＝8.∵点C 是OA 中点，∴OC ＝5，∴C 点的坐标为(4,3)，∴k ＝12.∵D 点横坐标为8，∴纵坐标为128＝32.7．y ＝－2x8．解：(1)∵OB ＝4，OE ＝2，∴BE ＝2＋4＝6. ∵CE ⊥x 轴于点E ，∴tan ∠ABO ＝CE BE ＝12，∴CE ＝3.∴点C 的坐标为(－2,3)．设反比例函数的解析式为y ＝mx (m ≠0)．将点C 的坐标代入，得3＝m－2，m ＝－6.∴该反比例函数的解析式为y ＝－6x .(2)∵OB ＝4，∴B (4,0)．∵tan ∠ABO ＝OA OB ＝12，∴OA ＝2，∴A (0,2)．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．将点A ，B 的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，4k ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝2.∴直线AB 的解析式为y ＝－12x ＋2.。

＝
＝－.
，解得
，∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度
＋＝.
＝
y与时间x的函数表达式为y＝－2.5x＋12.
12)，(3，x≥3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式.
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天内降到最高允许的1.0mg/L内?为什么?
函
数
反
比
例
函
数
反
比
例
函
数
基础知识逐点练
巩固基础·提升能力
反比例函数的图象和性质
考查角度1：反比例函数的图象及其对称性
1.(2023·荆州)已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻

R(单位：Ω)是反比例函数关系(I＝ ).下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致

是(
B两点.已知点A的坐标为(1，3)，点C为x轴上任意一点.如果S△ABC＝9，那么点C的坐
标为( D )
A.(－3，0)
B.(5，0)
C.(－3，0)或(5，0)
D.(3，0)或(－5，0)

10.(2022·烟台)如图，A，B是双曲线y＝ (x＞0)上的两点，连接OA，OB.过点A作

AC⊥x轴于点C，交OB于点D.若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为(m，
2)，则m的值为 6
.
一次函数与反比例函数的综合
考查角度1：一次函数与反比例函数图象的共存


11.(2022·滨州)在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx＋1与y＝－ (k为常数且k≠0)的
图象大致是( A )


12.在同一直角坐标系中，若k＞0，则函数y＝kx－k与y＝ 的图象可能是( B )