9 第九章 力矩分配法(渐近法)

i l k
Mki=ql2/12
2012-9-7
21
练习
4m
100kNm
i i 12kN/m i i
50kNm
4m
4m i 2Δ l
2012-9-7
4m i Δ l
22
练习
§9-4
A MAB
多结点的力矩分配
B MBA MB mBA mBC -MB mCB MC’ MBC
B
C MCB MC
C
MCD
2
AC
M AB
2 4 0.4 2 3 2 4 1.5 4 1 30 16 60kNm 8 100 2 3 2 5
2
M AD
48kNm
AB AC AD 0.3 0.4 0.3 A 60 -48 -3.6 -4.8 -3.6
M DA
4、不建立方程组的渐近解法有：
(1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。 (2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。 (3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。
2012-9-7
它们都属于位移法的渐近解法。
2
§9-2 力矩分配法
力矩分配法的基本原理
理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
一、转动刚度S：
表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=4i
1
SAB=3i
1
SAB=i
1
SAB=0
SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及 远端支承有关， 而与近端支承无关(不对)。
2012-9-7 3
二、分配系数
D M A
设A点有力矩M，求MAB、MAC和MAD B
8
根据平衡条件
M 0
1
M 12 M 13 M 14 M 1 M i13 3i14
M 21 1 M 12 2
4i12
M 12 M 13 M 14
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4i12 4i12 4i12
4i12 M i13 3i14 i13 M i13 3i14 3i12 M i13 3i14
M BC
B
-MB A
M AB
B M BC M BA
BA ( M B ) M BA
最后杆端弯矩：
MBA = MBAP+ M BA
MBC = MBCP+ M BC
BC ( M B ) M BC
MAB= MABP+ M 然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。 AB 2012-9-7 6
例1. 用力矩分配法作图示连续梁 （1）B点加约束 的弯矩图。 167.2 M图(kN· m) 200 6 115.7 200kN 150kN m MAB= 20kN/m 90 8 300 150kN m EI EI C MBA= B A 20 62 90kN m MBC= 3m 6m 3m 8 MB= MBA+ MBC= 60kN m 200kN 60 20kN/m （2）放松结点B，即加-60进行分配 C 设i =EI/l B A 计算转动刚度： -150 150 -90 SBA=4i SBC=3i + -60 4i 0.571 0.429 BA 0.571 分配系数： 4i 3i C A -17.2 -34.3 B -25.7 0 0.571 A -150 -17.2 -167.2
2i
固端弯矩 分配、传递 杆端弯矩
0
M图
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Pl/2
15
例题
100kN 30kN/m D B 4m i=2 A i=2 C 4m i=1.5
3m
2m
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16
AB AD
23 0.3 2 3 2 4 1.5 4 1.5 4 0.3 2 3 2 4 1.5 4 100 2 2 5
(c)开B锁C
1 F B
C 1 M B C
1 1 M ( F F ) C C P C
1 M C B
1 M C D
(d) 开C锁B
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25
2 1 M F B B C 2 2 M A B M 2 B A M B C
2 F C
C 2 M C B
(e) 开B锁C
l l
ql2/60
ql2/60
M图
7ql2/60
2012-9-7
-ql2/12 -2ql2/60 -7ql2/60 A
19
练习
i k
Sik=4iik
k
i
k
Sik=3iik Sik=0
Sik=Kl2
i
Sik=4iik
k
i
k
i
Sik=4iik
i K l
k
i
k
Sik=4iik
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20
q
Mik=-ql2/12
A
1
M
i
0
M ( S AB S AC S AD ) A
M AC
S AC M S
A
M M A S AB S AC S AD S
M AD
Aj
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S
A
S Aj
A
S AD M S
A

M Aj Aj M
分配系数
4
Aj 1
——渐近运算
D
放松，平衡了
固定
固定
-MC’
放松，平衡了
放松，平衡了
固定
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23
F P
(a)原结构
F B P
F M B C
F P
F C P
F M C B
(b) M 图
F
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24
1 M F B B P
C 1 1 M M B AM A B
1
1 F C
B C
C 1 M C B
← 4ql2/56 ← 4ql2/56
3ql2/56 -4ql2/56
4ql2/56
→ →
0 0
M图
2012-9-7
4ql2/56
12
①求固端弯矩； ②将会交于结点的固端弯矩之和按分配系数， 分配给每一个杆端。
③各杆按各自的传递系数向远端传递。
④将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加， 得杆端最后弯矩。
Fs图（kN）
求支座反力
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28
上题若列位移法方程式，用逐次渐近解法：
10 B 3 C 240 0 (1) B 3 C 200 0
将上式改写成
第一次 近似值
B
24
C
-66.67 -8 -6.67
20
2.4
B 24 0.3C C 66.67 0.334 B
三、传递系数 MAB = 4 iAB A
近端 A A l
MBA = 2 iAB A
远端 B
C AB
M BA 1 M AB 2
MAB = 3iABA
A
A
MAB= iABA
B
C AB
M BA 0 M AB
MBA = - iAB A
B
A
A
C AB
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M BA 1 M AB
ik
S ik S ik
i

i
ik
1
3 传递系数：近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值.
M ki Cik M ik
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1 2 远端为固定端 0 远端为铰支端 1 远端为平行支链杆
10
9.2 单结点的力矩分配——基本运算
7
9.1 力矩分配法的基本概念
4i12Δ1 2 i12 i13 3 1 i14 2i12Δ1 i13Δ1 3i14Δ1
4
M 12 4i12 1 M 13 i13 1 M 14 3i14 1
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M 21 2i12 1 M 31 i13 1 M 41 0
2012-9-7
13
12kN/m
16kN
例题
i
2i
6m 0.4 0.6 3m 3m
固端弯矩 -36 分配、传递 -3.6 最后M -39.6 39.6
←
36 -18 -7.2 -10.8 28.8 -28.8
→
0
0
28.8
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M图 (kNm)
14
P
例题
l
i
l 1 0 -Pl Pl/2 Pl/2 Pl Pl 0 -Pl Pl
结构力学
土木与水利工程学院
2012-9-7
道路桥梁工程系
1
§9-1 渐近法概述 1、线性代数方程组的解法: 直接法 2、结构力学的渐近法
渐近法

力学建立方程，数学渐近解 不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其 突出的优点是每一步都有明确的物理意义。
3、位移法方程的两个特点:
(1)每个方程最多是五项式； (2)主系数大于副系数的总和，即 rii > rij， 适于渐近解法。 rik rij rii ris rir
M
例题
ii 4/7 3/7
ii
固端弯矩 分配、传递 杆端弯矩 2M/7 2M/7 ←
-M 4M/7 3M/7 4M/7 3M/7 → 0 0
4M/7
M图
2012-9-7
2M/7
3M/7
11
q
例题 i
l 4/7 3/7 固端弯矩 -ql2/8 l
i
分配、传递 2ql2/56 杆端弯矩 2ql2/56
SAB = 4i 1 于是可得 SAB= 3i SAB= i
如用位移法求解：
iAD
A
iAB
M AB 4iAB A S AB A
M AC i AC A S AC A
iAC
C M
MAD MAC MAB
M AD 3iAD A S AD A
A

S AB M AB M 1 S
21.9
B
1 0.667 CB 1 1 227 CD 0.333
20kN/m A EI=1 6m 92.6 43.6 A
100kN
B
EI=2 4m 4m
C
EI=1 6m
D
41.3
21.9
56.4
B 133.1
C
D
M图（kN· m）
51.8 A
6.9 B 68.2 B 56.4 68.2 124.6 43.6 C D
1 6 2 1 8 4 1 6
B
92.6 -92.6 92.6
41.3
-41.3
0
2 3 0.4 BA 2 1 3 0.6 BC 1 S 4 1 CB 4 S 3 1 1 CD 6 2
C
41.3 C 133.1 D M图（kN· m）
在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远 端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。
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§9-3 单结点的力矩分配
B A MAB MBA MB A MABP MBAP MBCP C MBC
——基本运算
固端弯矩带本身符号
C
MB MBA MBC
=
+
0 C
M BA
MB= MBA+ MBC -MB
2012-9-7
0.429 B -90 -25.7 -115.7
BC
150
-34.3 115.7
分配力矩: C 0.571 (60) 34.3 M BA 0 0
3i 0.429 7i
=
0.429 (60) 25.7 M BC
(3) 最后结果。合并前面两个过程
2 F B
2 2 M F C C
2 M C D M
M
C 2 B C
2 C B
(f) 开C锁B
F B P
F C P
(g)
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例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。 100kN 20kN/m A EI=1 6m B 0.4 0.6 60 -100 -33.4 29.4 44 -7.3 2.9 0.3 4.4 -0.7 0.4 EI=2 4m 4m 0.667 0.333 100 C EI=1 6m
72kNm
B
D
73 -1.8
→
56.4 -4.8 51.6
C
2012-9-7
→
70.2
↓ -2.4
17
56.4
51.6 4.8
70.2
2.4
M图(kNm)
2012-9-7
18
例题
B q i A i C
0.8 0.2 ql2/12 -4ql2/60 -ql2/60 -ql2/60
C
ql2/60 ql2/60
i AB
D
iBC iCD
m -60
分 14.7 配 与 传 1.5 递 0.2 Mij -43.6 43.6 A
2012-9-7
-66.7 -33.3 22 -14.7 -7.3
2.2 -1.5 -0.7
1 2 S 4 BA 6 3 S 4 1 1 BC 4
M 31 M 13 M 41 0 M 14
9
1 转动刚度：梁端发生单位转角产生的弯矩。
4iik 远端为固定端 3iik 远端为铰支端 S ik iik 远端为平行支链杆 0 远端为自由端
M ik S ik 1
2 分配系数：与转动刚度成正比