第1讲 单自由度振动

2
振幅与相位角：A x02
阻尼比的实验测量：
x


2

A 1 ln i 2 Ai 1
A
x0
A1
A2
t
阻尼体系固有圆频率： 建筑结构中一般有 0.01 0.1 ，故 d n 2 2 阻尼体系固有振动周期： Td 2
d n 1
Td
1 2 n
2 2 2
arctg
1 2
2 1 2

n
1.4.3 简谐稳态强迫振动中的能量平衡关系
由于阻尼的存在，系统在振动中机械能不 断耗散为热能和辐射能（如声波），只有当外 界不断给系统补充能量，并且能量输入与输出 达到平衡时，系统才能维持等幅稳态强迫振动。 这时，简谐激振力、弹性力和阻尼力在振 动周期内所做功的和恒为零。
F0eit (m 2 k ) Ae i (t ) icAe i (t ) 0
k
c
F0
2 2

xst k c
m
x o
k
c
xg (t )
dt F0 sin(t )A cos(t )dt F0 A sin W f F0 sin(t )dx F0 sin(t ) x
r cx r kxr mB 2 sin t m x
• 能量守衡：We Wd W f 0
p
1 4 2 2 (1 2 )2 (2 ) 2

k
c
xg (t )
设稳态响应： x A sin(t )
x
B k 2 c
k
2
sin(t ) B 1 2 sin(t )
2
相位：
0 1 频率比 2
120 90 60 30
放大系数
2 1 0

3 n
0 0
0
1 频率比
2

3 n
2
1.4.4 支座位移激振及被动隔振 1.4.3 简谐稳态强迫振动中的能量平衡关系
（1）弹性力的功： （2）阻尼力的功： （3）激振力的功：
dt kAsin(t )A cos(t )dt 0 We kxdx kxx
• 式中，x st 静位移， 相位： arctg 1 2 共振频率：
max
1 2

n
，频率比
2
d 0 d
共振 n 1 2 2
共振 n
共振时，强迫振动滞后相位 90 0

Байду номын сангаас
n
1.4.2 稳态响应的振幅和相位

A x st 1 (1 ) (2 )
A F0 sin / c
得
绝对位移运动方程：m cx kx kxg cx g x
cx kx kB sin t cB cos t m x
x A sin(t )
sin 1 • 当激振力的频率等于系统固有频率 n ， • 得 F x A 1 Amax 0 st 1 max c n 2 xst 2
桥梁结构振动与抗震 （结构动力学部分）
第1讲 单自由度体系的振动
第1讲 单自由度体系的振动
1.1 单自由度体系的运动方程
弹性恢复力： kx 惯性力： m x 粘性阻尼力： （c为阻尼系数） cx 外激力： f (t ) • 采用d’Alembert原理建立运动方程：
(t ) cx (t ) kx(t ) f (t ) m x
We Wd W f 0
共振 n 1 2 2
max
共振 n
振幅—频率曲线 4 3
90 0
相位—频率曲线 180 150
相位角（度）
0
0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0 2.0
0
0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0 2.0
tg
F0 k
1 (1 2 ) 2 (2 ) 2
x st

n
2 n 2 2 n 2 1 2
称为频率比
•
简谐激励下单自由度系统运动方程全解：
x x1 x2 e nt C1 cos d t C2 sin d t A sin(t )
x1 e nt C1 cos d t C2 sin d t
x2 A sin(t ) A(sin t cos cos t sin )

f
2 n
1 (1 2 ) 2 (2 ) 2 1 (1 2 ) 2 (2 ) 2
B
2

1 4 2 2 (1 2 )2 (2 )2
无论是主动隔振还是被动隔振，隔振系数 与频率比 的变化 关系是相同的，都可以用隔振系数特性曲线来表示。
1.4.4 支座位移激振及被动隔振
由隔振系数特性曲线可知 （1）无论阻尼比大小， 只有频率比才有隔振 效果； （2）频率比 2 后，随着 频率比增大，隔振系数 逐渐趋于零； 5 之后， 趋于水平，隔振效率有限 （3）频率比 2 后，隔振系 数随阻尼比 的增大而提 高，此时阻尼的增大不利 于隔振，但过小通过共振 区不利。
f (t )
x
m
1.2 无阻尼单自由度体系的自由振动 2 kx 0 n x x x0 运动方程： m x C sin t C cos nt 运动方程解： 1 n 2 k 无阻尼系统的固有圆频率： m 1 1 k 2 m，固有频率： f n 固有周期： T 2 T 2 2 m k 初始条件： x(t ) t 0 x0 , x (t ) t 0 x 0 x 无阻尼振动解： x(t ) x0 cos n t 0 sin n t A sin( n t )
a
A k c
2 2
f (t ) F0 sin t
振源
x
m
1.4.6 用复数表示的稳态响应 激振力： F0 sin t → F0 e it t cx kx F0 e i；稳态响应： m x x Ae i (t ) 运动方程： 激振力、惯性力、弹性力、阻尼力矢量平衡关系：
用 xi , xi m 表示两个相隔m个周期的振幅，可得

x x 1 d 1 ln i ln i 2m n xi m 2m xi m
1
1.4 简谐激振下单自由度体系的响应 F 2 (t ) 2 n x (t ) n 运动方程： x x(t ) 0 sin t
k
c
F kA R cA
k c A sin t
2 2
隔振后传到基础上总的力与振源的激振力有相位差 定义：主动隔振系数 a 为隔振后传到基础上的力与无隔振时传 到基础上的力幅值之比.
3
1.4.5 主动隔振（力隔振）
主动隔振系数a 为隔振后传到基础 上的力与无隔振时传到基础上的力 幅值之比
n
n
n
运动方程的标准形式：
2 (t ) 2 n x (t ) n x x(t )
k
c
f (t ) m
x x 振幅与相位角： A x02 0 , arctg n 0 0 x x n
A
x0
2
无阻尼固有圆频率： n m c c 阻尼比： 2 n m cr 临界阻尼系数： cr 2 n m
F0 sin t f sin t m
非齐次方程的特解（稳态解）
x2 A sin(t ) A(sin t cos cos t sin )
A f
2 2 2 ( n 2 ) 2 4 2 n
的解：→齐次方程的解+特解： x x1 x2
m
2 (t ) 2 n x (t ) n x x(t ) 0 齐次运动方程
1.4 简谐激振下单自由度体系的响应
f sin t
运动方程：
2 (t ) 2 n x (t ) n x x(t )
的解
x1 e nt C1 cos d t C2 sin d t
1.4.5 主动隔振（力隔振）
图示系统运动方程
mx cx kx F0 sin t 设稳态解 x A sin(t ) 传到基础上的力为 cx kx c A sin(t ) kA sin(t )


f (t ) F0 sin t
振源
x
m
1.4.2 稳态响应的振幅和相位 动力放大系数： A
x st
1
(1 2 ) 2 (2 ) 2

n
初始条件：
(t ) t 0 x 0 x(t ) t 0 x0 , x
n x0 x e n t x0 cos d t 0 sin d t x d x 过渡过程 sin cos Ae n t sin cos d t sin d t xd A sin(t ) 稳态响应
设稳态响应：
1.4.4 支座位移激振及被动隔振
mx cx kx kxg cxg mx cx kx kB sin t cB cos t B k 2 c sin t
2
m
x o
1.4.4 支座位移激振及被动隔振