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高中数学经典解题技巧和方法三角变换与解三角形

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高中数学经典解题技巧：三角变换与解三角形【编者按】三角变换与解三角形是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。

因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。

好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻辑用语的经典解题技巧。

首先，解答三角变换与解三角形这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1． 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。

2． 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。

3． 能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

4． 能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。

5． 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

6． 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。

好了，搞清楚了三角变换与解三角形的上述内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。

一、三角变换及求值考情聚焦：1．利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。

2．该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与新知识的交汇题。

3．该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题。

解题技巧： 1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形（1）21sin (sin cos )22ααα±=±； （2）角的变换()βααβ=--；（3）sin cos )a b θθθϕ+=+。

2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。

例1：已知向量)2,1(),cos ,(sin -==n A A m ,且0=⋅n m(Ⅰ)求tan A 的值； (Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域解析：（Ⅰ）由题意得m ·n=sinA-2cosA=0,因为cosA ≠0,所以tanA=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x x x =+=-+=--+因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-.当1sin 2x =时，f(x)有最大值32，当sinx=-1时，f(x)有最小值-3所以所求函数f(x)的值域是33,.2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 二、正、余弦定理的应用考情聚焦：1．利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题，在近3年新课标高考中都有出现，预计将会成为今后高考的一个热点。

2．该类问题多数是以三角形或其他平面图形为背景，考查正、余弦定理及三角函数的化简与证明。

3．多以解答题的形式出现，有时也在选择、填空题中出现。

解题技巧：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。

2．在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。

例2：（2010·辽宁高考理科·Ｔ17）在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。

【思路点拨】（I ）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角（II ）由（I ）知角C ＝60°-B 代入sinB+sinC 中，看作关于角B 的函数，进而求出最值【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++即 222a b c bc =++ 由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+- 故 1cos 2A =-，A=120° （Ⅱ）由（Ⅰ）得： sin sin sin sin(60)BC B B +=+︒-1sin 22sin(60)B B B =+=︒+ 故当B ＝30°时，sinB+sinC 取得最大值1。

【方法技巧】(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a 替换sinA ，用b 替换sinB,用c 替换sinC 。

sinA,sinB,sinC 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。

(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。

象本例中B+C ＝60°三、三角函数的实际应用考情聚焦：1．有关解三角形及实际应用在高考中有时出现。

2．该类问题以实际问题为背景，其建模后为解三角形问题，与三角函数及三角变换等知识交汇。

3．多以解答题的形式出现，题目不会太难。

例3：（2010·江苏高考·Ｔ１7）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。

若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？ 【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。

【思路点拨】（1）分别利用,,H αβ表示AB 、AD 、BD ，然后利用AD —AB=DB 求解；（2）利用基本不等式求解.【规范解答】（1）tan tan H H AD AD ββ=⇒=，同理：tan H AB α=，tan h BD β=。

AD —AB=DB ，故得tan tan tan H H h βαβ-=，解得：tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H αβα⨯===--。

因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。

（2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H h d AD DB dαβ-====， 2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d dαβαβαβ----====--+⋅+-+⋅+()H H h d d -+≥，（当且仅当d =故当d =tan()αβ-最大。

因为02πβα<<<，则02παβ<-<，由tan y x =的单调性可知：当d =α-β最大。

故所求的d是m 。

例4．（2010·福建高考文科·Ｔ2）计算2012sin 22.5-的结果等于（ ） A.12B.2【命题立意】本题考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降幂公式，并进行三角的化简求值。

【思路点拨】 直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可。

【规范解答】选B ，()()20012sin 22.5cos 45-==。

【方法技巧】对于三角公式的学习，要注意灵活掌握其变形公式，才能进行灵活的恒等变换。

如倍角公式：sin 2x 2sin x cos x =⋅，2222cos 2x 12sin x 2cos x 1cos x sin x =-=-=-的逆用公式为“降幂公式”，即为1sin x cos x sin 2x 2⋅=，221cos 2x 1cos 2x sin x ,cos x 22-+==，在三角函数的恒等变形中，降幂公式的起着重要的作用。

例5．（2010 ∙海南宁夏高考∙理科T16）在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，BD=12DC,ADB ∠=120°，AD=2，若ADC ∆的面积为3BAC ∠= .【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论。

列出边与角满足的关系式求解.【规范解答】设BD x =，则2CD x =，由ADC ∆的面积为31sin 6032CD AD =-1x =，由余弦定理可知 2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-∠6=，所以AB =2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-∠24=-1)AC =由222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=，及1),1)AB AC BC == 可求得60BAC ∠=【答案】60°【方法技巧】熟练三角形中隐含的角的关系，利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系，列出等式求解.例6．（2010·天津高考理科·Ｔ7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若22a b -=，sin C B =，则A= ( )（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。

【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。

【规范解答】选A ，根据正弦定理及sin C B =得：c =222222()cos 22b c a c a c A bc bc +---====， 0000180,30A A <∴=。

【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。

例7．（2010·天津高考理科·Ｔ１7）已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （Ⅱ）若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值。

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三角恒等变换与解题技巧

三角恒等变换与解题技巧

三角恒等变换与解题技巧三角函数是数学中重要的一部分，与几何、物理等学科密切相关。

在解三角函数的问题时，常常需要运用恒等变换来简化计算或将复杂的式子转化为简单的形式。

恒等变换是指在等式两边同时做相同的运算而不改变等式的值。

掌握常用的三角恒等变换并灵活运用是解题的关键。

本文将介绍一些常用的三角恒等变换，并分享一些解题技巧。

一、正弦、余弦、正切的恒等变换1. 余切的逆关系根据余切的定义，我们知道cot(A)等于tan(A)的倒数，即cot(A) = 1 / tan(A)。

这是一个重要的恒等变换，在简化复杂式子、证明等题目中经常会用到。

2. 三角函数的平方和恒等式sin^2(A) + cos^2(A) = 1这是三角函数最基本的恒等式之一，也是勾股定理的三角形形式。

该恒等式可以用来将一个三角函数转化为其他三角函数的形式。

3. 正切的平方和恒等式1 + tan^2(A) = sec^2(A)这是正切函数的平方和恒等式，也是解析几何中的一条重要公式。

运用该恒等式可以将一个正切函数的式子转化为其他三角函数的式子。

4. 余切的平方和恒等式1 + cot^2(A) = csc^2(A)这是余切函数的平方和恒等式，与正切的平方和恒等式相对应。

在解题时运用该恒等式可以将一个余切函数的式子转化为其他三角函数的式子。

二、两角和与差的恒等变换1. 正弦的两角和与差sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)这是正弦函数的两角和与差公式，可以通过将两个三角函数用另外两个三角函数来表示。

在解题时，可以通过将复杂的三角函数式子转化为正弦函数的形式来简化计算。

2. 余弦的两角和与差cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)这是余弦函数的两角和与差公式，与正弦的两角和与差公式相似。

在解题时，也可以通过转化为余弦函数的形式来简化计算。

解三角形的技巧与方法归纳

解三角形的技巧与方法归纳

解三角形的技巧与方法归纳三角形是几何学中一个非常重要的图形，研究三角形的性质和解三角形的方法对于拓展数学应用和解决实际问题都有着重要的意义。

下面是关于解三角形的一些常用技巧和方法的归纳。

一、根据已知边长和角度解三角形1. 正弦定理：如果三角形的边长和夹角都已知，可以使用正弦定理来解三角形。

正弦定理可以表示为： a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示三角形的角度。

2. 余弦定理：如果三角形的两边和夹角或三边之间的关系已知，可以使用余弦定理来解三角形。

余弦定理可以表示为：c² = a² + b² -2abcosC，其中a、b、c分别表示三角形的边长，C表示三角形的角度。

二、根据已知边长解直角三角形1.求斜边：如果已知一个直角三角形的两个直角边，可利用勾股定理求出斜边的长度。

勾股定理可以表示为：c²=a²+b²，其中a、b分别表示直角三角形的两个直角边，c表示斜边的长度。

2.求直角边：如果已知一个直角三角形的斜边和一个直角边，可利用勾股定理求出另一个直角边的长度。

勾股定理可以表示为：a²=c²-b²或b²=c²-a²，其中a、b分别表示直角三角形的直角边，c表示斜边的长度。

三、利用特殊角度解三角形1.30-60-90三角形：当一个三角形的角度为30度、60度和90度时，称为30-60-90三角形。

在30-60-90三角形中，斜边的长度是短边的两倍，短边的长度是斜边的一半。

2.45-45-90三角形：当一个三角形的两个角度都为45度时，称为45-45-90三角形。

在45-45-90三角形中，两条直角边的长度相等，斜边的长度是直角边的根号2倍。

四、利用相似三角形解三角形1.比较边长比例：如果两个三角形的相应边长比例相等，那么这两个三角形是相似的。

高中数学中的三角函数与解三角形方法

高中数学中的三角函数与解三角形方法

高中数学中的三角函数与解三角形方法在高中数学学习中，三角函数和解三角形方法是重要的内容之一。

本文将介绍三角函数的概念和常见的解三角形方法，以帮助同学们更好地掌握这些知识点。

一、三角函数的概念1. 正弦函数（sin）：正弦函数是一个周期函数，表示直角三角形中对边与斜边的比值。

用sin表示，公式为sinθ=对边/斜边。

2. 余弦函数（cos）：余弦函数也是一个周期函数，表示直角三角形中邻边与斜边的比值。

用cos表示，公式为cosθ=邻边/斜边。

3. 正切函数（tan）：正切函数用来表示直角三角形中对边与邻边的比值。

用tan表示，公式为tanθ=对边/邻边。

4. 正割函数（sec）、余割函数（csc）和余切函数（cot）是对应于正弦函数、余弦函数和正切函数的倒数函数。

二、常见的解三角形方法解三角形是指已知某些角度或边长，求解其余角度或边长的过程。

在高中数学中，常见的解三角形方法有以下几种。

1. 三角形的两边和夹角法（SAS法）：已知三角形的两条边和它们之间的夹角，可以利用余弦定理来求解第三边和其余角。

2. 三角形的两角和边法（ASA法）：已知三角形的两个角和它们之间的一条边，可以利用正弦定理和余弦定理求解其余边长和第三个角度。

3. 三角形的两边和一个对应角法（SSA法）：已知三角形的两条边和一个对应的角度，可以利用正弦定理来求解第三边和另外两个角度。

但要注意，SSA法可能有多解或无解的情况，需要根据具体情况进行讨论。

4. 直角三角形的特殊情况：如果已知三角形是直角三角形，可以直接根据已知边长关系来求解其余边长和角度。

在解三角形时，可以通过使用辅助线、引入辅助角等方法来简化问题，提高解题效率。

三、示例题以一个具体的示例来说明三角函数和解三角形方法的应用。

例题：已知直角三角形的一条直角边长为6cm，另一条直角边长为8cm，求解其余角度和斜边长。

解题过程：1. 根据已知条件，我们可以得知一个直角角度为90度，两条直角边的长度分别为6cm和8cm。

2023年高考数学解题技巧及规范答题：三角函数大题

2023年高考数学解题技巧及规范答题：三角函数大题

202 年高考数学解题技巧及规范答题三角函数大题【规律方法】1、正弦定理、余弦定理：正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分基本量的情况下求解其余基本量，基本思想是方程思想.正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.正弦定理、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，其解题方法主要有： （1）化边为角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，如：，等，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时要注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如：，或等．（2）化角为边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，如，等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．注意：（1）注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．（2）在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．2、三角恒等变换综合应用的解题思路(1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；(2)构造；(3)和角公式逆用，得(其中φ为辅助角)；(4)利用研究三角函数的性质；2sin a R A =2222cos a b c ab C +-=sin sin A B A B =⇔=sin 2sin 2A B A B =⇔=2A B π+=sin 2a A R =222cos 2b c a A bc+-=())f x x x =+())f x x ϕ=+())f x x ϕ=+3(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【核心素养】以三角形为载体，以正弦定理、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段考查解三角形问题是高考一类热点题型，考查的核心素养主要有“逻辑推理”、“数学运算”、“数据分析”．【典例】【2020年全国II 卷】中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求周长的最大值.【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：，，，. （2）由余弦定理得：，即.ABC ABC cos A A ()29AC AB AC AB +-⋅=AC AB +222BC AC AB AC AB --=⋅2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅()0,A π∈ 23A π∴=222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=()29AC AB AC AB +-⋅=第二步，用定理、公式、性质：利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式等进行三角形中边角（当且仅当时取等号），，解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为【解题方法与步骤】1、解三角形问题的技巧：（1）解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． ①应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍；②求角时易忽略角的范围而导致错误，因此需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图进行判断．(2)三角形解个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角规则进行判断．2、三角恒等变换要遵循的“三看”原则:一看“角”：通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式; 二看“函数名称”：看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”;三看“结构特征”：分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等.3、解三角形与三角函数综合问题一般步骤：第一步，转化：正确分析题意，提炼相关等式，利用等式的边角关系合理将问题转化为三角函数的问题； 22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭AC AB =()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭AC AB +≤AC AB =ABC ∴ 3L AC AB BC =++≤+ABC ∴ 3+的的关系的互化；第三步，得结论：利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等知识求函数解析式、角、三角函数值，或讨论三角函数的基本性质等.【好题演练】1.（2021·河南中原高三模拟）在中，，，所对的角分别为，，，已知. （1）求；（2）若，为的中点；且，求的面积.【分析】（1）根据题意，由正弦定理得出，再由两角和的正弦公式化简得，由于，从而可求得，最后根据同角三角函数的平方关系，即可求出；（2）法1：在中由余弦定理得出，再分别在和中，由余弦定理得出和，再由，整理ABC a b c A B C 3cos 3a b A c +=sin B 3a =D AC BD =ABC sin 3sin cos3sin A B A C +=sin 3sin cos A A B =sin 0A >1cos 3B =sin B ABC 221936c b c+-=ABD △BCD △2cos ADB ∠=2cos CDB ∠=cos ADB cos DB 0∠+∠=C化简的出边，最后根据三角形的面积公式，即可求出结果. 法2：由平面向量的加法运算法则得出，两边平方并利用平面向量的数量积运算化简得，从而可求出边，最后根据三角形的面积公式，即可求出结果.【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为， 所以，因为，所以，所以，因为，所以（2）法1：在中，由余弦定理得，即， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得因为，c 1sin2ABC S ac B =△12BD BA BC →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()213294c c =++c 1sin 2ABC S ac B =△3cos 3a b A c +=sin 3sin cos 3sin A B A C +=()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin 3sin cos A A B =()0,A π∈sin 0A >1cos 3B =()0,B π∈sin B ===ABC 222cos 2a c b B ac +-=221936c b c+-=ABD △2cos ADB ∠=BCD △2cos CDB ∠=πADB CDB ∠+∠=220=即，所以， 整理得，解得：或（舍去）， 所以. 法2：因为为的中点，所以，两边平方得，即，即，解得或（舍）， 所以. 2.记中内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求；（2）点，位于直线异侧，，.求的最大值.【分析】（1，利用正弦定理化边为角结合利用两角和的正弦公式展开整理可求得的值，即可得角； （2）结合（1化角为边可得，即，在中由余弦定理求，利用三角恒等式变换以及三角函数的性质可得最大值.2262b c =+()222296219366c c c b c c+-++-==2230c +c -=1c =3c =-11sin 3122ABC S ac B ==⨯⨯=△D AC 12BD BA BC →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222124B BD B BA C BC A →→→→→⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭()213294c c =++2230c +c -=1c =3c =-11sin 3122ABC S ac B ==⨯⨯=△ABC A B C a b c a =3cos sin B b A =+A A D BC BD BC ⊥1BD =AD cos sin B b A =+sin sin()C A B =+tan A A cos sin sin C A B B A =+cos sin B a B =+sin c B B =ABD △2AD（1）求 A ；【详解】（1，.. 因为，，所以，，，又因为， 可得：，所以； （2）由（1，， 即，由余弦定理得，所以当且仅当时，取得最大值，所以.3.在中，内角的对边分别为，且满足. 3cos sin B b A =+a =cos sin B b A =+cos sin sin C A B B A =+πA B C ++=,,(0,π)A B C ∈sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+cos s cos sin s i in n A B A B A B B A +=+sin sin sin A B B A =sin 0B ≠sin A A =tan A =0πA <<π3A =cos sin sin C AB B A =+cos sin B a B =+cos sin c a B B B =+=+2222cos AD c BD c BD ABD =+-⋅∠()()()2sin 12sin sin B B B B B =+--222sin 3cos 212sin 2B B B B B =+++++42B =+π4B =2AD )241+=+AD 1+ABC 、、A B C ,,a b c 2sin cos b A B ()2sin c b B =-（2）若l 的取值范围.【分析】（1）由正弦定理得，化简得， 利用的范围可得答案；（2）由正弦定理得，利用的范围和三角函数的性质可得答案.【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以，即，解得，因为，所以.（2）由正弦定理得， 所以，所以，因为，所以， a =()2sin sin cos 2sin sin sin B A B CB B =-1cos2A =A 4sin ,4sin bB cC ==()4sin sin l B C =++B ()2sin sin cos 2sin sin sin BA B C B B=-0B π<<sin 0B ≠2sincos 2sin sin A BC B =-2sin cos 2sin cos 2sin cos sin A B A B B A B =+-1cos 2A =0A π<<3A π=4sin sin sin a b cAB C===4sin ,4sin b B c C ==()24sin sin sin sin 3l B C B B π⎡⎤⎛⎫=+++-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦314sin cos 22B B B B ⎛⎫⎫=+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以， 所以.4.（2021·天津高考）在，角所对的边分别为，已知． （I ）求a 的值；（II ）求的值；（III ）求的值．【分析】（I ）由正弦定理可得（II ）由余弦定理即可计算；（III ）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I ）因为，由正弦定理可得，；（II ）由余弦定理可得； （III ），， ，， 所以. 1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦(l ∈ABC ,,A B C ,,a bc sin:sin :sin 2A B C =b =cos C sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭::2a b c =2C sin :sin :sin 2A B C =::2:1:ab c=b =2a c ∴==2223cos 24a b c C ab +-===3cos 4C =sin C ∴==3sin 22sin cos 24C C C ∴===291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1182=⨯=5.（2021·南京市中华中学）在中，分别为内角的对边，且满足． （1）求的大小；（2）从①，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决问题．问题：已知___________，___________，若存在，求的面积，若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再结合辅助角公式化简运算，可求出角的范围.（2）若选择条件①②，由余弦定理可计算的值，面积公式计算面积；若选择条件②③，正弦定理计算边，两角和的正弦计算，可求面积；若选择条件①③，由大边对大角可知三角形不存在. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得因为即因为所以因为即ABC ,,a b c ,,A B C b a =B 2a c =2b =4A π=ABC ABC ABC a c 、a sin C b a =sin sin B A =sin 0A ≠cos 1B B -=1sin()62B π-=0B π<<5666B πππ-<-<66B ππ-==3B π第 11 页 共 11 页（2）若选择条件①②，由余弦定理可得，解得， 故所以若选择条件②③由正弦定理可得，可得所以若选择条件①③这样的三角形不存在，理由如下： 在三角形中，， 所以， 所以，所以又因为所以与矛盾，所以这样的三角形不存在.2222cos b a c ac B=+-222442c c c +-=c =a =11sin sin 223ABC S ac B π=== sin sin a b A B =sin sin b A a B ==11sin 2sin 2234ABC S ab C ππ⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭ ABC 43A B ππ==，53412C ππππ=--=A C <a c <2a c=a c >a c <。