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1.1等腰三角形一、知识点梳理1.等腰三角形的性质定理：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）②等腰三角形的两腰相等（定义）③等腰三角形等角的平分线、底边上的中线及地边上的高线互相重合（三线合一）2.等边三角形的性质定理：①等边三角形的三条边都相等②等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°3.等腰三角形的判定定理：①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）4.等边三角形的判定定理：①三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形5.反证法：证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法成为反证法。
6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
7.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半8.作图要求：掌握尺规作图用两条已知线段做等腰三角形二、经典题型总结题型一：利用等腰三角形的性质求角题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度题型三：用反证法证明简单证明题题型四：利用等腰三角形的判定定理进行证明题型五：动点与等腰三角形题型题型六：与等腰三角形相关的综合提升题三、解题技巧点睛1.在做等腰三角形类问题时可以随时“标图”，把相等的角或者相等的边用相同的小符号标注，便于我们清晰的读图。
2.若题目中需要证明两条线段相等，通常会想到：①两条线段所在的两个三角形“全等”②两条线短可以平移为某个“等腰三角形”的两个腰3.在图形中如果涉及到求边长问题，我们通常首先想到：根据欲求边构建直角三角形运用“勾股定理”4.在求角度的题目中，若思路不清晰，则本着两个计算原则去列式：①三角形内角和等于180°②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和5.特别注意几个特殊角：75°、105°、120°、135°、150°，若图形题中出现了这几个特殊角并且涉及到求线段，则很有可能需要我们做辅助线把75°角分成45°角和30°角；而把105°角分成60°角和45°角；把120°角分成90°角和30°角或两个60°角；把135°角分成90°角和45°角；把150°角分成90°角和60°角。
北师大版八年级下册数学《1.1 第3课时等腰三角形的判定与反证法》教案一. 教材分析《1.1 第3课时等腰三角形的判定与反证法》这一课时，是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形性质等知识的基础上进行学习的。
本课时主要让学生学习等腰三角形的判定方法，以及运用反证法证明等腰三角形的性质。
通过这一课时的学习，使学生进一步理解三角形的性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识，对三角形有了一定的认识。
但是，对于等腰三角形的判定和反证法的运用，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生，激发他们的思考，帮助他们理解和掌握等腰三角形的判定方法和反证法的运用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握等腰三角形的判定方法，能够运用反证法证明等腰三角形的性质。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们的观察能力、思考能力和创新能力。
四. 教学重难点1.教学重点：等腰三角形的判定方法，反证法的运用。
2.教学难点：反证法的运用，等腰三角形性质的证明。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题情境，引导学生观察、思考、交流，激发学生的学习兴趣。
2.探究式教学法：引导学生主动探究等腰三角形的性质，培养学生的探究能力。
3.小组合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识，提高他们的交流能力。
六. 教学准备1.准备等腰三角形的模型或图片，用于引导学生观察和操作。
2.准备反证法的相关案例，用于讲解和练习。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示等腰三角形的图片，引导学生观察等腰三角形的特征，激发学生的学习兴趣。
提问：你们知道等腰三角形有什么特点吗？2.呈现（10分钟）呈现等腰三角形的判定方法，引导学生思考和交流，总结出等腰三角形的判定方法。
北师大版数学八年级下册1.1.3《等腰三角形的判定及反证法》说课稿一. 教材分析《等腰三角形的判定及反证法》这一节内容是北师大版数学八年级下册第1章第1节的一部分。
在此之前，学生已经学习了三角形的基本概念和性质，对三角形有了初步的认识。
本节课主要引导学生探究等腰三角形的性质，并运用反证法进行证明。
教材通过引入等腰三角形的定义和性质，让学生体会数学的推理过程，培养学生的逻辑思维能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对三角形的相关知识有一定的了解。
但是，对于等腰三角形的性质和反证法的运用，还需要通过本节课的学习来进一步掌握。
学生在学习过程中，需要通过观察、操作、思考、推理等环节，逐步理解等腰三角形的性质，学会运用反证法进行证明。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能掌握等腰三角形的性质，学会运用反证法进行证明。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考、推理等环节，培养逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：学生体验数学的推理过程，增强对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：等腰三角形的性质，反证法的运用。
2.教学难点：反证法的理解与运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、启发式教学法、合作学习法等。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、几何模型等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形的基本概念和性质，引出等腰三角形的定义。
2.探究等腰三角形的性质：学生分组讨论，每组尝试用反证法证明等腰三角形的性质。
3.汇报展示：各组汇报探究过程和结果，教师点评并总结。
4.练习巩固：学生独立完成教材中的练习题，教师讲解答案。
5.拓展延伸：引导学生思考等腰三角形的判定问题，学生自主探究并分享成果。
6.总结反思：学生总结本节课的收获，教师进行情感态度的评价。
七. 说板书设计板书设计如下：等腰三角形的性质1.定义：两腰相等的三角形叫等腰三角形。
a.两腰相等b.底角相等c.高线、中线、角平分线重合2.假设结论不成立3.从假设出发，推出矛盾4.矛盾说明假设不成立，结论成立八. 说教学评价1.学生能准确描述等腰三角形的性质，学会运用反证法进行证明。
北师大版数学八年级下册1.1《等腰三角形》教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册1.1《等腰三角形》是学生在学习了三角形的基本概念和性质的基础上，进一步研究等腰三角形的性质。
本节课的内容包括等腰三角形的定义、等腰三角形的性质以及等腰三角形的判定。
通过本节课的学习，学生能够掌握等腰三角形的性质，并能运用其解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的观察、操作和推理能力。
但部分学生对概念的理解不够深入，对性质的运用不够熟练，因此需要在教学过程中加强对学生的引导和启发。
三. 教学目标1.知识与技能目标：理解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的性质，并能运用其解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等方法，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：等腰三角形的性质及其运用。
2.教学难点：等腰三角形性质的推理和证明。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题和情境，引导学生主动探索和解决问题。
2.合作学习法：引导学生进行小组讨论和合作，共同解决问题。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对等腰三角形性质的理解。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、几何模型、黑板等。
2.学具准备：学生自带三角板、直尺、铅笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示等腰三角形的图片，引导学生观察和思考：这些三角形有什么共同的特点？从而引出等腰三角形的定义。
2.呈现（10分钟）呈现等腰三角形的性质，引导学生通过观察和操作，发现并证明等腰三角形的性质。
在此过程中，教师引导学生运用已学的三角形性质，培养学生的几何思维能力。
3.操练（10分钟）学生分组进行实践活动，运用等腰三角形的性质解决实际问题。
教师巡回指导，及时解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）教师选取几道练习题，让学生在课堂上完成，检验学生对等腰三角形性质的掌握程度。
北师大版数学八年级下册《三角形全等和等腰三角形的性质》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册《三角形全等和等腰三角形的性质》这一节主要让学生掌握三角形全等的判定方法，以及等腰三角形的性质。
在教材中，已经给出了三角形全等的判定方法——SSS、SAS、ASA、AAS，学生需要通过练习来熟练掌握这些方法。
等腰三角形的性质包括：等腰三角形的底角相等，等腰三角形的底边上的高、中线、角平分线重合。
学生需要通过操作活动来探索和证明这些性质。
二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了三角形、四边形的相关知识，对图形的变换、性质有一定的了解。
但是，对于三角形全等的判定方法，学生可能还不是很熟悉，需要通过练习来加深理解。
对于等腰三角形的性质，学生可能刚开始接触，需要通过操作活动来探索和证明。
三. 教学目标1.知识与技能：理解三角形全等的判定方法，掌握等腰三角形的性质。
2.过程与方法：通过操作活动，培养学生的观察能力、操作能力、证明能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，培养学生合作、探究的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：三角形全等的判定方法，等腰三角形的性质。
2.教学难点：三角形全等的判定方法的运用，等腰三角形性质的证明。
五. 教学方法采用问题驱动法、操作活动法、讲解法、讨论法等教学方法，引导学生探索、发现、证明等腰三角形的性质，通过练习让学生熟练掌握三角形全等的判定方法。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、三角板、直尺、圆规。
2.学具：每个学生准备一套三角板、直尺、圆规。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过复习三角形、四边形的相关知识，引导学生进入三角形全等和等腰三角形的性质的学习。
2. 呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现三角形全等的判定方法和等腰三角形的性质，让学生初步了解这些知识。
3. 操练（10分钟）学生分组，每组用三角板、直尺、圆规拼出两个全等的三角形，然后用这些工具证明两个三角形全等。
课题：1.1.4等腰三角形课型：新授课年级：八年级教学目标：1.探究并掌握等边三角形的判定方法.2.探究并掌握含有30°角的直角三角形的性质.3.在探究过程中，使学生进一步体会分类讨论、转化、逆向思维等数学思想方法，提高学生的能力.教学重点与难点：重点：1.等边三角形判定定理的发现与证明.2.含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.难点：含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.教法与学法指导：教法：启发探究式教学．通过创设丰富的问题情境，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生进行探究活动．在师生互动、生生互动的探究活动中，提高学生解决问题的能力．学法：引导学生“自主探究——合作交流——自我提高”．通过动手操作三角板，拼接等腰及等边三角形改变学生被动接受的学习方式，倡导学生自主参与，小组合作，积极互动，主动获取新知识，培养学生良好的学习习惯．课前准备：多媒体课件.教学过程：一、激趣导入，提出问题活动内容：欣赏几组图片(多媒体展示):同学们这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志.(1)图中的三角形有什么特点？(2)等边三角形与等腰三角形有什么关系？(3)等边三角形有哪些特点？(4)一个三角形满足什么条件时是等边三角形呢？（教师板书课题）处理方式:先让学生观察，给学生1分钟思考的时间,然后找学生回答. 教师可让同学代表充分发表自己的看法．设计意图: 通过生活中的图片引入等边三角形，使学生在愉快的氛围中激发学生学习数学的兴趣，体现了学生走进生活感受数学的高涨热情.并提出等边三角形的判定问题．明确重点的同时，激发学生的求知欲，精美的图片非常吸引学生,使学生很自然的进入本节的学习，进而顺利引入新课． 二、自主合作，解决问题探究活动1：探究等边三角形的判定方法问题1：除了三边相等的三角形是等边三角形.还有其他的判定方法吗？你能证明吗？ 问题2：一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形?问题3：你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流．问题4：完成表格问题5：总结等边三角形的判定方法.处理方式: 生积极思考，通过老师的点拨，认识到有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，并且需要分类讨论:当这个角分别是底角和顶角的情况, 等腰三角形中，如果顶角是60°，那这个等腰三角形是等边三形;等腰三角形中，如果有一个底角是60°，那这个等腰三角形也是等边三角形．学生合作完成证明.师以顶角为例写出已知和求证.另一个证明要求学生到黑板上完成．在问题3中，同学们总结等边三角形的判定方法：方法一：三边相等的三角形是等边三角形；方法二：三个角相等的三角形是等边三角形；方法三：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.（附证明过程）（顶角是60°时）已知:如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A =60°. 求证：ABC 是等边三角形. 证明：如图 ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵∠A =60°BC∴∠B=∠C =26018000-=60°∴∠A=∠B=∠C ∴△ABC 是等边三角形. （底角是60°时）已知: 如图，△ABC 中AB=AC ，∠B =60°. 求证：ABC ∆是等边三角形. 证明：如图 ∵AB=AC ，∠B=60° ∴∠B=∠C =60° ∴∠A =180°-60°×2=60° ∴∠A=∠B=∠C ∴△ABC 是等边三角形. （附表格答案）（教师板书）设计意图: 等边三角形的判定方法是本节课的重点．通过对不同的三角形加“边”或“角”两方面不同的条件，使学生体会、融合等边三角形的性质和判定的有关知识．条件加在不同的位置也要分情况讨论，这样在探究过程中充分体现了分类的作用，这对学生提高对数学思想方法的认识起到了渗透作用．探究活动2：含30°角的直角三角形的性质问题1：请同学们用两个含30°角的全等三角尺，拼成一个三角形．你能拼成怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？（学生分组合作完成，并展示所拼图形）问题2：在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．BC问题3：在一个含30°角的三角尺中，你能发现什么结论？能用语言形式叙述吗？能证明这个结论吗？处理方式：问题1要给学生足够的时间动手操作，然后分组展示自己的成果，第（1）个三角形是等边三角形，第（2）图形是等腰三角形.并说明第（1）个三角形为什么是等边三角形的，因为△ABD ≌△ACD ，所以AB=AC ．又因为Rt △ABD 中，∠BAD =60°，所以∠ABD =60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．问题2中根据等边三角形的性质，发现线段间的等量关系有：（1）AB=AC=BC ，（2）BD=CD ；倍数关系有：（1）BC=2BD=2CD ，（2）AB =2BD =2CD ,(3) AC =2BD =2CD .由此就得出在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．然后学生尝试证明，小组内交流，教师巡视对证明有困难的小组给予指导. （附证明过程）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°． 求证：BC =12AB ．证明：延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ． 在△ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°∠B =60°. 延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD (如图所示)． ∵∠ACB =90° ∴∠ACD =90° 又∵AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC (SAS)．∴AB=AD (全等三角形的对应边相等)．∴△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)． ∴BC =12 BD =12 AB ．（教师板书）D(2)(1)BCACBA几何语言：∵∠C＝900 ∠A＝300BC＝AB21在证明性质之后，教师追问：该定理的作用是什么？该定理可以用来证明线段之间的倍数关系，也可以求线段的长度.老师可以举例，给BC的长，让学生求AC、AB的长；给AB的长，让学生求BC、AC的长；给AC的长，让学生求BC、AB的长.让学生通过计算感知，在直角三角形中，当一个角为300时，再给一条边便可求其余两边.设计意图：“直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”是本课的难点，在难点的突破上主要采取两种方法：（1）通过三角尺操作的实践活动，（2）对问题的分步引导的方法．这样在难点的突破更具有直观性和可操性．三、展示汇报，反馈点拨已知：在△ABC中，已知AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高．求证：CD=12 AB．处理方式：学生思考，并解决问题．因为此三角形为等腰三角形，底角为15°，顶角为150°，所以为等腰钝角三角形，此时强调高应在三角形外部，由此可构造出特殊的直角三角形，进而解决问题，可让一名同学黑板板演，教师纠正学生出现的问题，强调步骤的规范性.（附证明过程）证明：在△ABC中，∵AB=AC，∠B=15°∴∠ACB=∠B=15°（等边对等角）．∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC=90°．∴CD=12AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．∴CD=12AB．BAD设计意图：在有一个角是30°的直角三角形的性质的证明上，则采取延续探究的练习题的再深入探究，很直观地展示了两边的关系和证明思路，学生口述证明，节约了时间.在点拨了例题之后，规范板书，了解解题步骤，给学生以书写指导，同时给学生消化吸收的时间，为接下来巩固练习的解决搭好台阶．四、巩固训练，拓展提高A 类：1．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④2．如图，△ABC 中AB=AC ，AO 平分∠BAC ，若∠BOC=60°,则△BOC 的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形3.已知，如图，在△ABC 中,∠ACB ＝90°,∠A =30°,CD ⊥AB 于D . 求证: AB BD 41. B 类：4．已知：一块形如△ABC 的空地，AB =2a 米,AC =3a 米,∠A =150°，若在其中种上单价20元/平方米的草皮，需要多少钱？处理方式：学生先独立思考在练习本上写出答案,然后相互交流各自的想法,最后小组展示结果.待学生全部完成后学生进行分析讲解,有问题的让学生之间相互进行纠错,评判,反思. 可以由几名学生到黑板板演，其他学生在练习本上完成．然后借助多媒体配合教师巡视并适时点拨，及时点评，展示矫正、规范理解，关注并评价同伴表现，检查自己的完成情况，拓展学生的思路.设计意图：通过展示结果,及时巩固所学知识,同时教师巡视,有利于查缺补漏,个别辅导,保证学生把基础 知识掌握透彻.对于班额大的班级,充分发挥小组的作用,保证小组学习的顺利进行. 通过设置不同层次的题目，检测纠错并提高认识知识的效率，同时也强化了学生的学习重点，进一步巩固、提升学生所学知识.五、当堂测试，课堂小结（一）课堂小结师:学习如逆水行舟，不进则退.只有不断反思自我,充实自我,才能取得更大的进步!所以每一节课大家都要用心反思,查缺补漏,保证自己的小船稳稳前进!现在谁愿意先来反思一下自己本节课学习的体会?学生反思自己课堂的表现及所学习的知识和方法等内容，大家相互补充.设计意图：学生在学习的过程中会有遗忘,因此必要的反复至关重要,每节课的小结更是必不可少.因为良好的课堂小结，可以再次激起学生思维的高潮，起到余味无穷、启迪智慧的效果。
能使一堂课所讲的知识体现出的数学思想、数学方法系统化.（二）当堂检测基础题：1.课本12页习题1.4第1、2、3题．提升题：2.助学10页自主评价．处理方式：学生先独立完成，教师巡视.做的快的可以边巡视边批改,绝大多数完成后,根据批改情况找学生错的比较多的问题讲解,由做错的学生进行纠错.留半分钟的时间纠错反思.设计意图：让学生独立完成,有利于把握学生对本节课的掌握情况.同时老师面批,有利于查缺补漏,因材施教.最后留给学生反思,将错题真正改正,落实到实处.让学生最大程度地获得新知，同时针对本节课的重点，有目的的设计习题，以检测教学目标达成情况、纠正错误、熟练知识，发现与弥补遗漏；同时可以让学生全面了解自己的学习过程，感受自己的成长和进步，促进学生对学习及时进行反思，为教师全面了解学生的学习状况，改进教学，实施因材施教提供重要依据．结束语：师：同学们，本节课的学习你们给我留下了深刻的印象，同时也给了我太多的感动与惊喜，谢谢你们！同时送给你们一句话共勉：在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.---达哥拉斯六、板书设计。
