2018年七年级专题辅导有理数与无理数含答案解析

专题01 有理数无理数的概念及运算典例精选1．（新罗区校级自主招生）对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：①（a，b）＝（c，d），当且仅当a＝c，b＝d；②运算“⊗”为：（a，b）⊗（c，d）＝（ac+bd，bc﹣ad）；③运算“θ”为：（a，b）θ（c，d）＝（a﹣c，b﹣d）．设p，q∈R，若（1，2）⊗（p，q）＝（11，2），则（1，2）θ（p，q）（ ）A．（﹣2，﹣2）B．（3，4）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）【点拨】先根据（1，2）⊗（p，q）＝（11，2），列方程组求p、q的值，再由规定运算“θ”求（1，2）θ（p，q）的结果．【解析】解：由规定②，得（1，2）⊗（p，q）＝（p+2q，2p﹣q），∵（1，2）⊗（p，q）＝（11，2），∴（p+2q，2p﹣q）＝（11，2），由规定①，得p+2q=112p―q=2，解得p=3q=4，由规定③，可知（1，2）θ（p，q）＝（1，2）θ（3，4）＝（1﹣3，2﹣4）＝（﹣2，﹣2）．故选：A．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念与运算．关键是理解规定运算，依照规定运算的要求，依次计算．2．（瓯海区校级自主招生）设a=a是（ ）A．无理数B．正整数C．分数D．负整数【点拨】根据根号里面的形式，可将里面的式子配成立方公式，然后开立方后合并即可得出答案．【解析】解：―62―1＝3×22×3×2×2―1，令x＝2，y=3x2y﹣3xy2﹣1，又∵x3﹣y3＝8﹣7＝1，∴原式＝3x2y﹣3xy2﹣（x3﹣y3）＝y3﹣x3+3x2y﹣3xy2＝（y﹣x）32）3．∴a=―2―=―2．故选：D．【点睛】此题考查了有理数无理数的运算及立方公式的知识，技巧性较强，解答本题的关键是熟练立方公式的形式，将根号里面的式子配成立方公式，然后运算．3．（新编）若自然数n使得做竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，使称n为“连绵数”，例如12是“连绵数”，因12+13+14不产生进位现象；但13不是“连绵数”．则小于1000的“连绵数”共（ ）个．A．27B．47C．48D．60【点拨】首先根据题意求出个位数和十位数满足的条件，然后根据能构成“连绵数”的条件求出小于1000的“连绵数”的个数．【解析】解：根据题意个位数需要满足要求：∵n+（n+1）+（n+2）＜10，即n＜2.3，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足：3n ＜10，∴n ＜103，∴十位可以取0，1，2，3四个数，∵百位数需要满足：3n ＜10，∴n ＜103，∴百位可以取0，1，2，3四个数，故小于1000的连绵数共有3×4×4＝48个．故选：C ．【点睛】本题主要考查整数的十进制表示法的知识点，解答本题需要从个位数和十位数需要满足的要求着手．4．（镇海区校级自主招生）有四个命题：①如果两个整数的和与积都相等，那么这两个整数都等于2；②每一个角都等于179°的多边形是不存在的；③只有一条边的长大于1的三角形的面积可以等于12；④若α，β是不相等的无理数，则αβ+α﹣β是无理数．其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【点拨】根据整数的运算，多边形的内角、三角形的面积及有理数与无理数的知识，分别判断各选项即可得出答案．【解析】解：①如果两个整数的和与积相等，那么这两个整数都等于0或2，故命题错误；②每一个角都等于179°的多边形是360边形，是存在的，故命题错误；③当三边长分别为1、1时，满足面积等于12，且只有一条边大于1，故命题正确；④只要令α＝1β＝﹣1+αβ+α﹣β为有理数，故命题错误．综上可得③正确，共1个．故选：A．【点睛】本题综合考查了有理数及无理数的运算，三角形的面积及多边形的内角与外角的知识，关键是熟练整数的四则运算，三角形的面积计算，多边形的内角和定理的理解和运用，有一点的难度．5．（南充自主招生）若a、b为非零实数，下列说法正确的是（ ）A．a2―ab+14b2是非负数B．|a+b|≥|a﹣b|C．若a＞b，则1a ＜1 bD．（a+1）x＞b的解集为x＞b a1【点拨】利用完全平方的非负性可得出A是正确的，对于B、C、D可用不等式的性质进行求解判定．【解析】解：A、a2―ab+14b2=（a―12b）2，为非负数，故本选项正确；B、若a、b同号，则|a+b|≥|a﹣b|，若a、b异号，则|a+b|≤|a﹣b|，故本选项错误；C、若a＞0，b＜0，此时1a ＞1b，故本选项错误；D、若a+1＜0，此时（a+1）x＞b的解集为：x＜ba1，故本选项错误；故选：A．【点睛】此题考查了有理数无理数的概念与运算，涉及了不等式的性质完全平方的性质，解答本题注意“赋值法”的运用，难度一般．6．（瓯海区校级自主招生）如果78＜qp＜89，p，q是正整数，则p的最小值是（ ）A．15B．17C．72D．144【点拨】根据不等式先写出q的取值范围，根据q为正整数，结合选项判断p的最小值．【解析】解：由题意得，78p＜q＜89p，如果p＝15，则此时13.325＜q＜13.33，q没有正整数值；如果p＝17，则此时14.875＜q＜15.111，q可取15；如果p＝72，则此时63＜q＜64，q没有正整数值；如果p＝144，则此时126＜q＜128，q可取127；综上可得p的最小值为17．故选：B．【点睛】此题考查了有理数无理数的概念与运算，解答本题的关键是将原不等式进行转换，因为是选择题，我们可以将选项代入判断．7．（鹿城区校级自主招生）设p是给定的奇质数，正整数k k＝ ．（结果用含p的代数式表示）【点拨】由条件可以知道k2﹣pk n，k2﹣pk﹣n2＝0，k而p2+4n2是平方数，设为m2，则（m﹣2n）（m+2n）＝p2，p是奇质数，p≥3，则m―2n=1m+2n=p2，可以得到m=p212n=p214代入就可以求出k值．n，k2﹣pk﹣n2＝0，k从而p2+4n2是平方数，设为m2，p2+4n2＝m2，则（m﹣2n）（m+2n）＝p2∵p是质数，p≥3，∴m―2n=1m+2n=p2，解得：m=p21 2n=p21 4∴k=p±m2=2p±(p21)4，∴k1k2=(p1)24（负值舍去）故答案为：(p1)24【点睛】本题考查了有理数和无理数的意义的运用，质数的性质，正整数的意义及对相关概念的理解．8．（梁子湖区校级自主招生）已知函数y=f(x)=1，则f（1）+f（2）+…+f（511）＝　7　．【点拨】把原函数关系中的无理式变形得到y=12，然后把分子分母都乘以―1，得到f（x）=―x＝1，2，…，511分别代入后求和可得到f（1）+f（2）+…+f（511）=+―+⋯+=―512与1的立方根，即可得到答案．【解析】解：∵y=f(x)=1=1231=∴f（1）=―f （2）=…f （511）=∴f （1）+f （2）+…+f （511）=+―+⋯+=8﹣1＝7．故答案为7．【点睛】本题考查了立方差公式：（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）＝a 3﹣b 3．也考查了无理式的变形能力．9．（鹿城区校级自主招生）在平面直角坐标系中，点P 的坐标是+m +n)，m 、n 都是有理数，过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，已知△OPH 的面积为1，其中O 为坐标原点，则有序数对（m ，n ）为　（﹣1，2），（2，﹣1），（﹣2，1），（1，﹣2）　（写出所有满足条件的有序数对（m ，n ））．【点拨】由△OPH ，根据三角形的面积公式可以得到：12×+m ）+n ）＝然后根据m ，n 是有理数就可以求出m ，n 的值，最后求出有序数对（m ，n ）．【解析】解：∵S △OPH 1，∴12×m ）+n∴2m +n ）+mnm +n ﹣1）+mn +2＝0m +n +1）+mn +2＝0，∵m ，n 都是有理数，∴m +n ―1=0mn +2=0或m +n +1=0mn +2=0，解得：m =―1n =2，m =2n =―1，m =―2n =1，m =1n =―2；∴有序数对（m ，n ）为：（﹣1，2），（2，﹣1），（﹣2，1），（1，﹣2）．故答案为：（﹣1，2），（2，﹣1），（﹣2，1），（1，﹣2）．【点睛】此题考查了有理数的概念，点的坐标以及三角形的面积问题．此题难度较大，解此题的关键是利用了m，n是有理数来得到关于m，n的方程．10．（瓯海区校级自主招生）如果一个数能表示成x2+2xy+2y2（x，y是整数），我们称这个数为“好数”．（1）判断29是否为“好数”？（2）写出1，2，3，…，20中的“好数”．（3）如果m，n都是“好数”，求证：mn是“好数”．【点拨】（1）根据x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2可以得到好数特征，根据“好数”定义判断29是否为“好数”．（2）根据好数的定义判断1，2，3，…，20中的“好数”．（3）设m＝x2+2xy+2y2，n＝p2+2pq+2q2，化简mn＝[（x+y）（p+q）+qy]2+[q（x+y）﹣y（p+q）]2，令u+v ＝（x+y）（p+q）+qy，v＝q（x+y）﹣y（p+q），于是可以判断出mn为“好数”．【解析】解：（1）x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2，特征：“好数”是“好数”就是两个整数的平方和，而29＝52+22，故29是“好数”，（2）1，2，3，…，20中的“好数”的有1、2、4、5、8、9，10，13，16，17，18，20，（3）m＝x2+2xy+2y2，n＝p2+2pq+2q2．则mn＝（x2+2xy+2y2）（p2+2pq+2q2）＝[（x+y）2+y2][（p+q）2+q2]＝[（x+y）（p+q）+qy]2+[q（x+y）﹣y（p+q）]2，令u+v＝（x+y）（p+q）+qy，v＝q（x+y）﹣y（p+q）．那么mn＝（u+v）2+v2＝u2+2uv+2v2，因为x，y，p，q均为整数，所以（x+y）（p+q）+qy，q（x+y）﹣y（p+q）也为整数，所以u+v，v为整数，所以u，v为整数．因此mn为“好数”．【点睛】本题主要考查有理数无理数的概念与运算，解答本题的关键是掌握“好数”的定义和完全平方式的知识，难度不大．精准预测1．定义新运算*为a*b＝a+b―a×b4，那么20*20*2005*5*5＝（ ）A．0B．25C．15625D．2005【点拨】根据新定义求出20*20＝﹣60，然后再求出﹣60*2005*5*5的值即可．【解析】解：∵a*b＝a+b―a×b 4，∴20*20＝40﹣100＝﹣60，∴﹣60*2005＝1945+30075＝32020，∴32020*5＝﹣8000，∴﹣8000*5＝﹣7995+10000＝2005．故选：D．【点睛】本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点，解答本题的关键是理解新运算，此题难度一般．2．已知|x|≤3，|y|≤1，|z|≤4且|x﹣2y+z|＝9，则x2y2011z3的值是（ ）A．432B．576C．﹣432D．﹣576【点拨】由|x|≤3，|y|≤1，|z|≤4，可得﹣3≤x≤3，﹣1≤y≤1，﹣4≤z≤4，又由|x﹣2y+z|＝9，即可得①x＝3，y＝﹣1，z＝4或②x＝﹣3，y＝1，z＝﹣4，继而求得x2y2011z3的值．【解析】解：∵|x|≤3，|y|≤1，|z|≤4，∴﹣3≤x≤3，﹣1≤y≤1，﹣4≤z≤4，∵|x﹣2y+z|＝9，∴①x＝3，y＝﹣1，z＝4或②x＝﹣3，y＝1，z＝﹣4，∴x2y2011z3的值都是负的，∴x2y2011z3＝﹣9×1×64＝﹣576．故选：D．【点睛】此题属于有理数无理数的概念与运算的知识．此题难度适中，注意根据题意得到①x＝3，y＝﹣1，z＝4或②x＝﹣3，y＝1，z＝﹣4是解此题的关键．3．如果a++b b是有理数，那么（ ）A．a是整数B．a是有理数C．a是无理数D．a可能是有理数，也可能是无理数【点拨】先把等式变形为a+b1﹣ab），再根据等式一边出现无理数则a，b中必有一个数为无理数即可进行解答．【解析】解：∵a++b=∴a+b=1﹣ab）等式一边出现无理数，若a，b均为有理数，则等式恒不成立，又∵b为有理数，∴a必为无理数．故选：C．【点睛】本题考查的是有理数及无理数的概念及运算，能把原式化为a+b=1﹣ab）的形式是解答此题的关键．4．设A为n位正整数，n≥2，B为k位正整数，k≥1，则可有n﹣1种办法把B整个地插入A的相邻两位数字之间，得到n+k位正整数C．例如A＝1991，B＝35，则有三种插法：C为135991或193591或199351．如果对每一个能被B整除的A，把B任意插入A得到的C能被B整除，就称B为协调数．则1、2、3、4、5、6、7、9、10、11、12、15、66、90这14个数中，共有（ ）个是协调数．A．6B．8C．10D．11【点拨】根据协调数所满足的条件，给每一个数赋一个A值，然后插入后得出C的值，进而可判断出这个数B是否为协调数，综合起来即可得出协调数的个数．【解析】解：（1）令A＝22，此时B＝1，C＝212，C能被B整除，故正确．（2）令A＝12，B＝2，C＝122，C能被B整除，故正确；（3）令A＝12，B＝3，C＝132，C不能被B整除，故错误；（4）令A＝12，B＝4，C＝124，C能被B整除，故正确；（5）令A＝25，B＝5，C＝255，C能被B整除，故正确；（6）令A＝18，B＝6，C＝168，C不能被B整除，故错误；（7）令A＝14，B＝7，C＝174，C不能被B整除，故错误；（8）令A＝18，B＝9，C＝198，C能被B整除，故正确；（9）令A＝20，B＝10，C＝2100，C能被B整除，故正确；（10）令A＝22，B＝11，C＝2112，C能被B整除，故正确；（11）令A＝24，B＝12，C＝2124，C能被B整除，故正确；（12）令A＝30，B＝15，C＝3150，C能被B整除，故正确；（13）令A＝132，B＝66，C＝13662，C能被B整除，故正确；（14）令A＝180，B＝90，C＝18900，C能被B整除，故正确．综上可得共有11个协调数．故选：D．【点睛】本题涉及了协调数这个新概念，比较新颖，难度一般，关键是理解协调数所满足的条件，另外在进行每一个数的判断时要细心，数比较多，很容易出错．5．设a＝1996，b＝9619，c＝1996，d＝6199，则此四个数的大小关系为（ ）A．a＞b＞c＞d B．d＞a＞b＞c C．c＜d＜a＜b D．b＞c＞d＞a【点拨】由a＝1996＝36148，可判断出a和b的大小关系，将d变成2162161993，可判断出c和d的大小，进而结合选项利用排除法即可得出答案．【解析】解：a＝1996＝36148，b＝9619，∴a＞b，又∵c＝1996，d=216199 3，∴d＞c，结合选项可得只有B符合．故选：B．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念及计算，关键是将幂指数转化为底数使底数改变，从而达到比较大小的目的，有一定的技巧，难度较大．6．在分数1567，2567，3567，…，567567中把所有的最简分数相加，和为（ ）A．284B．283C．163D．162【点拨】567＝3×3×3×3×7，从而可得只要分子中是3或7的倍数就不是最简分数，求和时去掉这些数，然后利用分组法求解即可得出答案．【解析】解：∵567＝3×3×3×3×7，∴只要分子中是3或7的倍数就不是最简分数，故简分数分子的和为：（1+2+3+...+567）﹣（3+6+9+...+567）﹣（7+14+21+...+567）+（21+42+ (567)＝（1+567）×5672―3（1+2+...+189）﹣7（1+2+...+81）+21（1+2+ (27)＝284×567﹣3（1+189）×189/2﹣7（1+81）×81/2+21（1+27）×27/2＝284×567﹣95×567﹣41×567+14×567＝162×567．所以，所有的最简分数相加，和为162．故选：D．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念与运算，解答本题的关键是根据567的约数找出所有的最简分数，难点在于将剩余的分数利用分组法求和．7．三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，ba，b，的形式，则a1992+b1993＝　2　．【点拨】根据三个有理数互不相等，又可以用两种方法表示，也就是这两组数分别对应相等，利用互斥原理，即可推理出a、b的值．【解析】解：由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，ba，b的形式，也就是说这两个三数组分别对应相等，于是可以断定，a+b与a中有一个为0，ba与b中有一个为1，但若a＝0，会使ba没意义，所以a≠0，只能是a+b＝0，即a＝﹣b，又a≠0，则ba=―1，由于0，ba，b为两两不相等的有理数，在ba=―1的情况下，只能是b＝1．于是a＝﹣1．所以，a1992+b1993＝（﹣1）1992+（1）1993＝1+1＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了有理数与无理数的概念与运算，利用互斥原理，逐步进行推理得出正确结果是解题的关键．8．设S=999999)(12110)(13110)⋯(17110)，则S的整数部分为　1　．【点拨】将原式化为乘法，再约分计算即可解答．【解析】解：S=499599999(12110)(13110)⋯(17110)=103×104×105×106×107×10899×99×99×99×99×99×110×110×110×110×110×110 103×104×105×106×107×108=10696=（109）6＝1.8816…．故答案为1．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则及约分的方法是解答本题的关键．9．计算：(244444 (111111．【点拨】观察(244444(111111，发现规律：均包含有x4+14的形式，因而对其进行因式分解得（x2﹣x+12）（x2+x+12）．将此规律运用到原式中，通过对分子、分母约分化简，最后求出原式的值．【解析】解：x4+14=[（x2）2+x2+14]﹣x2＝（x2+12）2﹣x2＝（x2+12+x）（x2+12―x），原式=52×132×252×412×592×852×1132×1452×1812×2212 12×52×132×252×412×592×852×1132×1452×1812=221212=221．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念与运算，发现规律：均包含有x4+14的形式，因而对其进行因式分解得（x2﹣x+12）（x2+x+12）是解题关键．10．计算：1+2+22+23+ (21999)【点拨】根据后项比前项都等于2，每项都乘以2，可得新代数式的和，根据两式相减，可得所求和的相反数，根据等式的性质，可得答案．。

一起走近无理数在前面的学习中，我们认识了负数，使数的范围扩展到有理数．现在我们又开始学习无理数，把数的范围扩展到了实数．刚开始学习无理数，认为无理数不像有理数那样直观易懂，总有一种虚幻的感觉．那么该怎样学习无理数呢？一、明确无理数的存在无理数并不是“无理”，也不是人们臆想出来的，而是实实在在的存在．如：（1）两条直角边都为1的等腰直角三角形，它的斜边为2；（2）任何一个圆，它的周长和直径之比为常数π．像2、π这样的数在我们的身边还有很多．二、弄清无理数的定义及常见无理数无理数是指无限不循环小数，这说明无理数可以化为具有两个特征的小数：一是小数的位数时无限的，二是不循环的．我们比较常见的无理数往往具备以下几种表现形式：1．某些含有π的数，如：π，π3等；2．开方开不尽得到的数，如：3、5等；3．依某种规律构造的无限不循环小数，如0．1010010001…(两个1之间依次多一个0)．三、了解无理数的性质1．所有的无理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，并且右边的无理数总比左边的大；2．在有理数中的互为相反数的定义、绝对值得定义、大小比较法则及运算法则、运算律等，对于无理数仍然适用，如52-的相反数是25-，因为052<-，所以52-的绝对值是25-．四、澄清一些模糊认识1．无理数包括正无理数、0、负无理数0是一个整数，故它是有理数，因此无理数只能分为正无理数和负无理数两类．2．带根号的数就是无理数 由于像4、38-这样的数通过计算可以化为2和－2，因此它们是有理数，可见带根号的不一定是无理数．特别是π，它是无理数但并不是用根号形式表示的．3．无理数的数量比有理数少有些同学认为1、2、3、4、5这五个数，它们都是有理数，而开平方后得到的无理数只有2、3、5323334、35等无理数，如果再开四次方、五次方……还可以产生更多的无理数．因此无理数并不比有理数少．4．有些无理数是分数因为分数属于有理数，且无理数与有理数是两类不同的数，所以无理数不可能写成分数．当然，有些无理数可以借助分数线来表示，如32，但不能因为它具备了分数的形式就认为它是分数．七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列四个实数中最大的是（）A B．0C．1D．2【答案】A【解析】根据实数的大小比较法则排列大小，得到答案．【详解】-2＜0＜1故选：A．【点睛】本题考查的是实数的大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．将一个各面涂成红色的正方体，分割成同样大小的27个小正方体，从这些正方体中任取一个恰有3个面涂成红色的概率是（）A．1927B．1227C．23D．827【答案】D【解析】首先确定三面涂有红色的小正方体的个数在27个小正方体中占的比例，根据这个比例即可求出有3个面涂有红色的概率．【详解】将一个各面涂有红色的正方体，分割成同样大小的27个小正方体，从这些正方体中任取一个，恰有3个面涂有红色的小正方体只能在大正方体的8个角上，共8个，故恰有3个面涂有红色的概率是827．故选：D.【点睛】此题考查几何概率，解题关键在于掌握概率公式计算法则.3．将点P(3,﹣1)向左平移2个单位，向下平移3个单位后得到点Q，则点Q坐标为（）A．（1，﹣4）B．（1，2）C．（5，﹣4）D．（5，2）【答案】A【解析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．【详解】解：根据题意，3-2=1，-1-3=-4，∴点Q的坐标是（1，-4）．故答案为：A．【点睛】本题考查了平移与坐标与图形的变化，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．4．如图，将纸片沿折叠，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据翻折不变性和三角形的内角和定理及角平分线的性质解答．【详解】解：延长BD，CE交于点F，如下图：由折叠可知，△ADE≌△FDE，∴∠A=∠F，∠ADE=∠FDE=，∠AED=∠FED=∵∠1+∠ADF=180°，∠2+∠AEF=180°∴∠1+∠2=360°2∠FDE-2∠FED∴∠1+∠2=∴∠1+∠2=2∠F∴∠A=故选择：D.【点睛】本题考查了折叠的性质，邻补角的性质，三角形内角和定理，关键是把∠1+∠2看作整体，对角的和进行转化．5．下列调查中，最适合采用全面调查(普查)方式的是()A．对宜春市居民日平均用水量的调查B．对宜春一套《民生直通车》栏目收视率的调查C．对一批LED节能灯使用寿命的调查D．对某校七年级(1)班同学的身高情况的调查【答案】D【解析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【详解】解：A、对宜春市居民日平均用水量的调查适合抽样调查；B、对宜春一套《民生直通车》栏目收视率的调查适合抽样调查；C、对一批LED节能灯使用寿命的调查适合抽样调查；D、对某校七年级(1)班同学的身高情况的调查适合全面调查；故选：D．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．6．如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用(-40，-30)表示，那么(10，20)表示的位置是( )A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】B【解析】由题意知（10，20）表示向东走10米，再向北走20米，故为B点．A．﹣a＜﹣b B．a﹣3＞b﹣3 C．1﹣a＞1﹣b D．a+3＜b+2【答案】C【解析】根据不等式的3个性质找到变形正确的选项即可．【详解】解：A、由a＜b，可得：-a＞-b，错误；B、由a＜b，可得：a-3＜b-3，错误；C、由a＜b，可得：1-a＞1-b，正确；D、由a＜b，可得：a+3＜b+3，错误；故选C．【点睛】考查不等式性质的应用；用到的知识点为：不等式的两边加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；乘以或除以同一个不为0的正数，不等号的方向不变；乘以或除以同一个不为0的负数，不等号的方向改变．8．在3.14，227，3，364，π，2.01001000100001这六个数中，无理数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【详解】解：在3.14，227，-3，364，π，2.010010001……这六个数中，-3，π是无理数，共２个，故选Ｂ．【点睛】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．9．将一张长与宽的比为2:1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据图示的裁剪方式，由折叠的性质，可知此图最后剪去了两个角和一边的中间被剪，因此答案为A.故选A10．如图所示，在长方形纸片ABCD 中，E ，G 为AB 边上两点，且AE EG GB ==；F ，H 为CD 边上两点，且DF FH HC ==．沿虚线EF 折叠，使点A 落在点G 上，点D 落在点H 上；然后再沿虚线GH 折叠，使B 落在点E 上，点C 落在点F 上．叠完后，剪一个直径在EF 上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】可按照题中的要求动手操作或通过想象，进而得出结论．【详解】把一个矩形三等分，标上字母，严格按上面方法操作，剪去一个半圆，或者通过想象，得到展开后的图形实际是从原矩形最左边的一条三等分线处剪去一个圆，从矩形右边上剪去半个圆，选项B 符合题意，故选B ．【点睛】本题考查图形的展开，主要训练学生的动手操作能力或空间想象能力．二、填空题题11．如图，ABC MDE ∆∆≌，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，25D ∠=︒，105E ∠=︒，16DAC ∠=︒，则DGB ∠的度数为_________．【答案】66°【解析】根据全等三角形对应角相等可得ACB E ∠=∠，再求出ACF ∠，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：ABC ADE ∆≅∆，105ACB E ∴∠=∠=︒，18010575ACF ∴∠=︒-︒=︒，即251675DGB ︒+∠=︒+︒，解得66DGB ∠=︒．故答案为：66︒．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．12．当m =_____时，关于x 的分式方程4133x m x x -=--会产生增根． 【答案】-1【解析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x 的值，代入整式方程计算即可求出m 的值．【详解】解：去分母得：4x-x+3=-m ，由分式方程有增根，得到x-3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：m=-1，故答案为：-1．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．13．不等式组212x x m-≥⎧⎨+⎩＜有三个整数解，则m 的取值范围是__． 【答案】7＜m≤8【解析】把m 当成已知数求解不等式即可.【详解】解不等式组可得3≤x <m －2因为不等式组有三个整数解3,4,5，所以5<m －2≤6，求得7<m ≤8.【点睛】了解m －2的取值范围是解题的关键，注意端点处是否有等号，要单独考虑.14．小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距__________公里．【答案】1【解析】根据中心对称图形的性质，得出小明、小辉两家到学校距离相等，即可得出答案．【详解】解：∵小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称，∴小明、小辉两家到学校距离相等，∵小明家距学校2公里，故答案为1．【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质，根据已知得出小明、小辉两家到学校距离相等是解决问题的关键．15．有一个数值转换器，原理如下：当输入x为4时，输出的y的值是_____．2【解析】根据程序即可进行求解.【详解】解：∵x＝4时，它的算术平方根是2又∵2是有理数∴取22∴y2【点睛】此题主要考查算术平方根的定义，解题的关键是熟知算术平方根的性质.16．如果x2+kx+1是一个完全平方式，那么k的值是___________.【答案】k=±1．【解析】试题分析：这里首末两项是x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x的系数和常数1的积的1倍，故k=±1．解：中间一项为加上或减去x的系数和常数1的积的1倍，∴k=±1．故答案为k=±1．17．如图，已知△ABC中，点D在AC边上(点D与点A，C不重合)，且BC＝CD，连接BD，沿BD折叠△ABC使A落在点E处，得到△EBD．请从下面A、B两题中任选一题作答：我选择_____题.A．若AB＝AC，∠A＝40°，则∠EBC的度数为______°.B．若∠A＝α°，则∠EBC的度数为_______°(用含α的式子表示)【答案】A 或B 40 α【解析】根据AB ＝AC ，∠A ＝40°得出70ABC ACB ∠=∠=︒，因为 BC ＝CD ，所以55CBD CDB ∠=∠=︒，再根据轴对称性质得知ABD EBD ∠=∠即可求解. 【详解】AB ＝AC ，∠A ＝40°，70ABC ACB ∴∠=∠=︒，BC ＝CD55CBD CDB ∴∠=∠=︒，△EBD 沿BD 折叠△ABC 而来，705515ABD EBD ∴∠=∠=︒-︒=︒，551540EBC A ∴∠=∠=︒-︒=︒【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，轴对称性质等知识，熟悉掌握是关键.三、解答题18．（1）解分式方程：3433x x x -=--； （2）解二元一次方程组234311x y x y +=⎧⎨-=⎩【答案】（1）原方程无解；（2）21x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出方程的解，最后进行检验； （2）运用加减消元法解二元一次方程组即可.【详解】（1）去分母，得：()433x x --=，整理得：39x -=-；3x =检验：当3x =时，3x -=03x =是增根，舍去；原方程无解；代入4311x y -=，得：()433211x x --=整理，得：1020x =解得：2x =代入23x y +=，得：223y ⨯+=解得：1y =-∴21x y =⎧⎨=-⎩【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，要熟练掌握，注意加减消元法的应用．同时此题还考查了解分式方程.19．先化简，再求值：()()()2232a b ab b b a b a b --÷-+-，其中12a =，1b =-． 【答案】2ab -,1.【解析】先用平方差公式和用多项式除以单项式的法则进行计算，然后去括号，合并同类项化简，最后代入求值.【详解】解：()()()2232a b ab b b a b a b --÷-+-， ()22222a ab b a b =----，22222a ab b a b =---+，2ab =-， 当12a =，1b =-时， 原式()12112=-⨯⨯-=． 【点睛】本题考查整式的化简求值，掌握多项式除以单项式法则及平方差公式，正确计算是本题的解题关键. 20．如图所示，点C 在线段BE 上，AB CD ∥，B D ∠=∠，则DAE ∠与E ∠相等吗？阅读下面的解答过程，并填空.解：DAE E =∠∠∵AB CD ∥（已知）∴B ∠=______（______）∵B D ∠=∠（已知）∴D ∠=______（等量代换）∴____________（______）∴DAE E =∠∠（______）【答案】见解析【解析】由AB CD ∥得到∠B ＝∠DCE ，再加上B D ∠=∠即可得到∠D ＝∠DCE ，从而证明AD //BE,再由平行线的性质得到结论.【详解】DAE E =∠∠∵AB CD ∥（已知）∴B ∠=_∠DCE_____（_两直线平行，同位角相等_____）∵B D ∠=∠（已知）∴D ∠=_∠DCE _（等量代换）∴__AD //BE____（_内错角相等，两直线平行_____）∴DAE E =∠∠（_两直线平行，内错角相等_）【点睛】考查了平行线的性质和判定，关键是找准两条直线被第三条直线所截而形成的同位角、内错角． 21．计算与求解： 3987325-. (2)已知32x y =⎧⎨=-⎩是方程组37ax by bx ay +=⎧⎨+=-⎩的解，求a 、b 的值． 【答案】（1）﹣4257（2）13a b =-⎧⎨=-⎩． 【解析】（1）原式利用平方根、立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；（2）把x 与y 的值代入方程组求出a 与b 的值即可．【详解】（1）原式=﹣2+35﹣7﹣4257（2）把32x y ＝＝⎧⎨-⎩代入方程组得：323327a b b a -⎧⎨--⎩＝①＝②， ①×3+②×2 得：5a=﹣5， 解得：a=﹣1， 把 a=﹣1 代入①得：b=﹣3，则13a b =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．在平面直角坐标系xOy 中，对于给定的两点P ，Q ，若存在点M ，使得MPQ ∆的面积等于1，即1MPQ S ∆=，则称点M 为线段PQ 的“单位面积点”.解答下列问题：如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()1,0.（1）在点()1,2A ，()1,1B -，()1,2C --，()2,4D -中，线段OP 的“单位面积点”是______.（2）已知点()1,2Q -，()0,1H -，点M ，N 是线段PQ 的两个“单位面积点”，点M 在HQ 的延长线上，若2HMN PQN S S ∆∆=，直接写出点N 纵坐标的取值范围.【答案】（1）A ，C ；（2）y N ⩽2y N ⩾−2y N ⩽2y N ⩾−2【解析】(1)根据“单位面积点”的定义和点的坐标即可得结果；(2)根据“单位面积点”的定义，可得点M 、N 的横坐标，再根据2HMN PQN S S ∆∆=，即可求得点N 的坐标的取值范围．【详解】(1)∵点P 的坐标为(1,0)，点O 的坐标为(0,0)，∴线段OP 的“单位面积点”的纵坐标为2或−2，∵点A(1,2)，B(−1,1)，C(−1,−2)，D(2,−4)，∴线段OP 的“单位面积点”是A. C ．故答案为A ，C ；(2)∵点Q(1,−2)，点P 的坐标为(1,0)，点M ，N 是线段PQ 的两个“单位面积点”，∴点M ，点N 的横坐标为0或2，∵点M 在HQ 的延长线上，∴点M 的横坐标为2，当x=0时，设点N 的坐标为(0,y N )，∵HMN PQN S ∆∆=，∴12×2×|−1−y N |解得y N ⩽y N ⩾−当x=2时，设点N 的坐标为(2,y N )，∵HMN PQN S ∆∆=，∴12×2×|−3−y N |解得y N ⩽y N ⩾−【点睛】此题考查三角形的面积，坐标与图形的性质，解题关键在于注意“单位面积点”的定义和分类讨论思想的应用．23．计算题（1）()23-（2）6- ()32+-【答案】（1）12（2）-2【解析】分析：（1）先根据乘方的意义和立方根的意义化简，然后按有理数的加减法计算即可； （2）先根据绝对值的意义和乘方的意义化简，然后按有理数的加减法计算即可.详解：（1）解：（﹣3）2+=9+3=12（2）解：原式 = 6 – 8= -2点睛：本题考查了实数的运算，熟练掌握乘方的意义、立方根的意义、绝对值的意义是解答本题的关键. 24．为迎接省运会，宝应县绿化部门计划购买甲、乙两种树苗共计n棵对体育休闲公园及周边道路进行绿化，有关甲、乙两种树苗的信息如表所示．甲种树苗乙种树苗单价（元/棵）60 90成活率92% 96%（1）当n=500时，如果购买甲、乙两种树苗共用33000元，那么甲、乙两种树苗各买了多少棵？（2）实际购买这两种树苗的总费用恰好为33000元，其中甲种树苗买了m棵．①写出m与n满足的关系式；②要使这批树苗的成活率不低于95%，求m的最大值．【答案】（1）甲、乙两种树苗各买了400棵，1棵（2）①m=3n-11②1【解析】（1）根据题意可以列出相应的一元一次方程，从而可以解答本题；（2）①根据题意可以得到m与n关系式；②根据题意可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围，进而求得m的最大值．【详解】（1）设甲种树苗买了x棵，则乙种树苗买了（500-x）棵，60x+90（500-x）=33000，解得，x=400，500-x=1，答：甲、乙两种树苗各买了400棵，1棵；（2）①甲种树苗买了m棵，则乙种树苗买了（n-m）棵，60m+90（n-m）=33000，化简，得m=3n-11，即m与n满足的关系式是m=3n-11；②由题意可得，m×92%+（n-m）×96%≥95%n，∵m=3n-11，∴n=m11003+，∴92%m+96%（m11003+-m）≥95%•m11003+，解得，m≤1，答：m的最大值是1．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、函数关系式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的性质解答．25．已知在平面直角坐标系中,三角形ABC的位置如图所示.(1)请写出A、B、C三点的坐标；(2)将三角形ABC向右平移6个单位, 再向上平移2个单位,请在图中作出平移后的三角形A＇B＇C＇，并写出三角形A＇B＇C＇各点的坐标；(3)求出三角形A＇B＇C＇的面积.【答案】（1）A(－1，2)，B(－2，－1)，A(2，0)；（2）图见解析，A＇(5，4)，B＇(4，1)，C＇(8，2)；（3）5.5【解析】（1）根据直角坐标系直接写出；（2）先把各顶点进行平移，再依次连接得到三角形A＇B＇C＇，再根据直角坐标系写出坐标；（3）根据割补法即可求出面积.【详解】（1）A(－1，2)，B(－2，－1)，A(2，0)；（2）如图，三角形A＇B＇C＇为所求，A＇(5，4)，B＇(4，1)，C＇(8，2)；（3）三角形A＇B＇C＇的面积为4×3-12×4×1-12×1×3-12×3×2=5.5.【点睛】此题主要考查直角坐标系的图形平移，解题的关键是熟知坐标平移的特点.七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下图是某公司2018年度每月收入与支出情况折线统计图，下列说法中正确的是( )A ．该公司12月盈利最多B ．该公司从10月起每月盈利越来越多C ．该公司有4个月盈利超过200万元D ．该公司4月亏损了【答案】D 【解析】实线表示收入，虚线表示支出，当两条线之间的距离最大的时候就是节约最多的时候，据此解答即可．【详解】解：A ．该公司1月盈利最多，故A 错误；B ．该公司从十月起盈利越来越少，故B 错误；C ．盈利超过200万的有1月份、10月份、11月份共3个月，故C 错误；D ．四月份支出高于收入，所以亏损了，故D 正确．故选D ．【点睛】本题是复式折线统计图，要通过坐标轴以及图例等读懂本图，根据图中所示的数量解决问题． 2．已知三角形三边长分别为2，5，x ，则x 的取值范围是（ ）A ．17x <<B ．37xC ．35x <<D ．25x << 【答案】B【解析】根据三角形的三边关系，列出式子即可得到答案．【详解】解：∵三角形三边长分别为2，5，x ，根据三角形的三边关系（三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边），得到：5252x -<<+，即：37x ，故选B ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边；掌握三角形三边关系是解题的关键．3．下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（）A．对温泉河水质情况的调查B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查C．节能灯厂家对一批节能灯管使用寿命的调查D．对某班50名学生视力情况的调查【答案】D【解析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【详解】解：A、对巢湖水质情况的调查适合抽样调查，故A选项错误；B、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查适合抽样调查，故B选项错误；C、节能灯厂家对一批节能灯管使用寿命的调查适合抽样调查，故C选项错误；D、对某班50名学生视力情况的调查，适于全面调查，故D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4．下列式子从左到右变形是因式分解的是（）A．12xy2＝3xy•4y B．（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3C．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）【答案】D【解析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】此题考查因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．5．某校为了了解七年级女同学的800米跑步情况，随机抽取部分女同学进行800米跑测试，按照成绩分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，绘制了如图所示统计图. 该校七年级有400名女生，则估计800米跑不合格的约有( )A ．2人B ．16人C ．20人D ．40人【答案】C 【解析】先求出800米跑不合格的百分率，再根据用样本估计总体求出估值．【详解】400×2201216102=+++人. 故选C ．【点睛】考查了频率分布直方图，以及用样本估计总体，关键是从上面可得到具体的值．6．在下列各式中，正确的是（ ）A 2(2)2-=±B ．30.080.2-=-C 33(2)2-=-D ．233(2)(2)0-+= 【答案】C【解析】根据二次根式的性质分别计算各选项，然后对比即可得出答案．【详解】解：A 2(2)2-，故选项不正确；B 330.080.080.2-=--，故选项不正确；C 33(2)2-=-，故选项正确；D 、233(2)(2)4-+=，故选项不正确；故选C.【点睛】此题考查了二次根式的性质，立方根的定义，属于基础题，难度一般．7．下列说法中，正确的是( )A B ．0是正整数 C ．227是有理数 D【答案】C【解析】根据分数，整数，有理数，无理数的定义即可解答.【详解】解：A B 、0既不是正整数，也不是负整数．故本选项错误；C 、227是分数，属于有理数，故本选项正确；D 4故选：C ．【点睛】本题考查分数，整数，有理数，无理数的定义，熟悉掌握是解题关键.8．为了调查班级中对新班主任老师的印象，下列更具有代表性的样本是( )A ．调查前十名的学生B ．调查后十名的学生C ．调查单号学生D ．调查全体男同学【答案】C【解析】根据随机抽样的意义分析即可，随机抽样应使总体中每个个体都有相同的被抽取机会.【详解】A 、B 、D 都不具有随机性，故不具有代表性；C 具有随机性，每个同学都可能被抽调，故C 具有代表性.故选C.【点睛】本题考查了随机抽样，为了获取能够客观反映问题的结果，通常按照总体中每个个体都有相同的被抽取机会的原则抽取样本，这种抽样的方法叫做随机抽样.样本的选取应具有随机性、代表性、容量应足够大. 9．如图，在平面直角坐标系内有点A （1，0），点A 第一次跳动至点A 1（﹣1，1），…，第四次向右跳动5个单位至点A 4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A 第100次跳动至点A 100的坐标是（ ）A．( 48，47) B．(49，48) C．(50，49) D．(51，50)【答案】D【解析】通过图象可知，当跳到A2n时，坐标为（n+1，n）可得.【详解】解：由图象可知，点A每跳两次，纵坐标增加1，A2、A4、A6、A8…各点坐标依次为（2，1）、（3，2）、（4，3）、（5，4）则A2n横坐标为：n+1，纵坐标为n，则A100坐标为（51，50）.故选D.【点睛】本题为平面直角坐标系中的点坐标规律探究题，解答时注意分别观察横纵坐标的变化规律．10．下列说法正确的是（）A．等于－2 B．±等于3C．﹙－5﹚³的立方根是5 D．平方根是±2【答案】D【解析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项分析即可.【详解】A. 等于2，故不正确；B. ±等于±3，故不正确；C. ﹙－5﹚³的立方根是-5，故不正确；D. 平方根是±2，正确；故选D.【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义，正确掌握定义是解答本题的关键.二、填空题题11．如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，∠C＝80°，按如图方式沿着MN折叠，使FN ∥CD ，此时量得∠FMN ＝40°，则∠B 的度数是_____．【答案】100°【解析】根据两直线平行，同位角相等求出∠BNF ，再根据翻折的性质求出∠BMN 和∠BNM ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】∵FN ∥DC ，∴∠BNF=∠C=80°，∵△BMN 沿MN 翻折得△FMN ，∴∠BMN=∠FMN=40°，∠BNM=12∠BNF=12×80°=40°， 在△BMN 中，∠B=180°﹣（∠BMN+∠BNM ）=180°﹣（40°+40°）=180°﹣80°=100°．故答案为100°．【点睛】本题考查了平行线的性质，用到的知识点是两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．12．如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x 的值为______．【答案】1．【解析】试题分析：观察可得左下角数字为偶数，右上角数字为奇数，所以2n=20，m=2n ﹣1，解得n=10，m=19，又因右下角数字：第一个：1=1×2﹣1，第二个：10=3×4﹣2，第三个：27=5×6﹣3，由此可得第n个：2n （2n ﹣1）﹣n ，即可得x=19×20﹣10=1． 考点：数字规律探究题.13．（1）如图，在平面直角坐标系中，点A （1，1），以原点O 为圆心，OA 为半径画半圆与x 轴交于点P 20）和Q （n ，0）． 则n 的值为________；（2）若a 、b 满足37a b =，2s a b =，则s 的取值范围是____________．【答案】2 14-73s ≤≤ 【解析】（1）由圆的性质得到：2,OP OQ ==从而可得答案，（2）分别用含有b a s ，利用b a【详解】解：（1）由题意得：2,OP OQ = Q 在数轴上原点的左边，0,n ∴＜2,n ∴=- 故答案为： 2.-（2） 37a b =，73,b a ∴=-∴ 22(73)57,s a b a a a ==-=0,50,a a ≥≥577,a ∴≥-即：7,s ≥- 37a b =，7,3b a -= 14231452,333bbbs a b --∴==-= 0,b ≥50,3b ∴-≤14514.33b -∴≤ 即：14,3s ≤综上：14-73s ≤≤， 故答案为：14-73s ≤≤． 【点睛】本题考查的是数轴上利用距离相等来表示点对应的数，同时考查了利用非负数的非负性求解代数式的最大值与最小值，掌握以上知识是解题的关键．142，那么y 的值是_____．【答案】1【解析】根据算术平方根的定义解答即可．＝2，∴y 的值是：1．故答案为1．【点睛】本题考查了算术平方根的知识，正确把握算术平方根的定义是解题关键．15．一组数据的最大值与最小值的差为2.8cm ，若取相距为0.4cm ，应将数据分_________组.【答案】8【解析】根据组数确定方法即可解答．【详解】∵2.8÷04.=7，7+1=8.∴应将这组数据分8组.故答案为：8.【点睛】本题考查的是组数的有关知识，熟知组数的判定方法是解决问题的关键．16．若点()1,36P a a -+位于第二象限，则的a 取值范围是__．【答案】21a -<<【解析】根据第二象限的点的特点列出不等式组求解即可．【详解】∵点()1,36P a a -+位于第二象限∴10360a a -<⎧⎨+>⎩10a -<1a <360a +>36a >-2a >-∴21a -<<故答案为：21a -<<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的问题，掌握象限的性质、解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 17．如图所示，计划把河水引到水池A 中，先作AB ⊥CD ，垂足为B ，然后沿AB 开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是________________________________。

2.2有理数与无理数分层练习考察题型一有理数的识别1．在5-，0，1.3 ，2.121121112⋯（每两个2之间多一个1），3.1415926中，有理数的个数有()A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【详解】解：在5-，0，1.3 ，2.121121112⋯（每两个2之间多一个1），3.1415926中，有理数有：5-，0，1.3，，3.1415926，共4个．故本题选：B ．2．在0.010010001，0.3333⋯，227-，0，2π-，43%-，0.313113111⋯（每两个3之间依次多一个1）中，有理数有()A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【详解】解：在0.010010001，0.3333⋯，227-，0，2π-，43%-，0.313113111⋯（每两个3之间依次多一个1）中，有理数有：0.010010001，0.3333⋯，227-，0，43%-，共5个．故本题选：B ．考察题型二有理数的分类1．在下列数π，1+，6.7，15-，0，722，1-，25%中，属于整数的有()A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【详解】解：在数π，1+，6.7，15-，0，722，1-，25%中，整数的有：1+，15-，0，1-，共4个．故本题选：C ．2．在10.1-，25，3.14，2π， 1.53- ，2.4224222422224⋯中，正分数有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【详解】解：在10.1-，25，3.14，2π， 1.53- ，2.4224222422224⋯中，正分数有：25，3.14，共2个．故本题选：C ．3．在数12-，π， 3.4-，0，3+，73-中，属于非负整数的个数是()A ．4B ．3C ．2D ．1【详解】解：12-、 3.4-、73-为负数，不属于非负整数；π不属于整数；0，3+属于非负整数．故本题选：C ．4．下列各数：452,1,8.6,7,0,,4,101,0.05,9563---+--中，()A ．只有1，7-，101+，9-是整数B ．其中有三个数是正整数C ．非负数有1，8.6，101+，0D ．只有42,453--，0.05-是负分数【详解】解：由题意可知：A 、整数包括：1，7-，0，101+，9-，故本选项错误；B 、正整数包括：1和101+，故本选项错误；C 、非负数包括：1，8.6，101+，0，56，故本选项错误；D 、负分数包括：45-，243-，0.05-，故本选项正确．故本题选：D ．5．把下列各数填入相应的集合中：6+，0.75，3-，0， 1.2-，8+，245，13-，9%，正分数集合：{}⋯；正整数集合：{}⋯；整数集合：{}⋯；有理数集合：{}⋯．【详解】解：正分数集合：{0.75，245，9%，}⋯；正整数集合：{6+，8+，}⋯；整数集合：{6+，3-，0，8+，}⋯；有理数集合：{6+，0.75，3-，0， 1.2-，8+，245，13-，9%，}⋯．6．把下列将数填入相应的集合中：23-，0.5，23-，28，0，4，135， 5.2-．【详解】解：如图所示：．7．将数分类：2-，0，0.1314-，11，227，143-，0.03，2%．正数：{}；非负数：{}；负分数：{}；非负整数：{}．【详解】解：正数有：11，227，0.03，2%，非负数有：0，11，227，0.03，2%，负分数有：0.1314-，143-，非负整数有：0，11．8．把下列各数填在相应的集合内：3-，4，2-，15-，0.58-，0， 3.4- ，0.618，139，3.14．整数集合：{}⋯；分数集合：{}⋯；负有理数集合：{}⋯；非正整数集合：{}⋯．【详解】解：整数集合：{3-，4，2-，0}⋯；分数集合：1{5-，0.58-， 3.4- ，0.618，139，3.14}⋯；负有理数集合：{3-，2-，15-，0.58-， 3.4}-⋯；非正整数集合：{3-，2-，0}⋯．考察题型三有理数的概念辨析1．下列关于0的说法错误的是()A．任何情况下，0的实际意义就是什么都没有B．0是偶数，也是自然数C．0不是正数也不是负数D．0是整数也是有理数【详解】解：A、0的实际意义不是什么都没有，符合题意；B、0是偶数，也是自然数，不合题意；C、0不是正数也不是负数，不合题意；D、0是整数也是有理数，不合题意．故本题选：A．2．下面是关于0的一些说法：①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的负数；⑤0既不是奇数又不是偶数．其中正确说法的个数是()个．A．0B．1C．2D．3【详解】解：①0是正数与负数的分界，所以0既不是正数也不是负数，故原说法正确；②0和正整数都是自然数，所以0是最小的自然数，故原说法正确；③0既不是正数也不是负数，故原说法错误；④0既不是正数也不是负数，故原说法错误；⑤整数按能否被2整除分为奇数与偶数，0属于偶数，故原说法错误；综上，①②正确．故本题选：C．3．下列说法错误的是()A．负整数和负分数统称负有理数B．正整数，0，负整数统称为整数C．正有理数与负有理数组成全体有理数D．3.14是小数，也是分数【详解】解：负整数和负分数统称负有理数，A正确，不合题意；整数分为正整数，0，负整数，B正确，不合题意；正有理数，0，负有理数组成全体有理数，C错误，符合题意；3.14是小数，也是分数，小数是分数的一种表达形式，D正确，不合题意．故本题选：C．4．下列说法正确的是()A．正整数、负整数统称为整数B．正分数、负分数统称为分数C．正数、0、负数统称为有理数D．整数、分数、小数都是有理数【详解】解：A．正整数、0、负整数统称为整数，故本选项错误；B．正分数、负分数统称为分数，故本选项正确；C．正有理数、0、负有理数统称为有理数，故本选项错误；D．无限不循环小数不是有理数，故本选项错误．故本题选：B．5．下列说法中正确的是()A．非负有理数就是正有理数B．有理数不是正数就是负数C．正整数和负整数统称为整数D．整数和分数统称为有理数【详解】解：A、非负有理数就是正有理数和0，故A选项不正确；B、0既不是正数也不是负数，是有理数，故B选项不正确；C、正整数、0、负整数统称为整数，故C选项不正确；D、整数和分数统称有理数，故D选项正确．故本题选：D．6．下列说法：（1） 3.56既是负数、分数，也是有理数；（2）正整数和负整数统称为整数；（3）0是非正数；（4）2023-既是负数，也是整数，但不是有理数；（5）自然数是整数．其中正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【详解】解：（1）正确；（2）错误，还有0；（3）正确；（4）错误，2023-是有理数；（5）正确．正确的有3个，故本题选：C．7．下列说法中，正确的是()A．在有理数集合中，有最大的正数B．在有理数集合中，有最小的负数C．在负数集合中，有最大的负数D．在正整数集合中，有最小的正整数【详解】解：A、在有理数集合中，没有最大的正数，故A选项错误；B、在有理数集合中，没有最小的负数，故B选项错误；C、在负数集合中，没有最大的负数，故C选项错误；D、在正整数集合中，有最小的正整数1，故D选项正确．故本题选：D．8．下面说法中正确的有()A．非负数一定是正数B．有最小的正整数，有最小的正有理数C．a-一定是负数D．0既不是正数，也不是负数【详解】解： 非负数包括0和正数，A∴选项不合题意；∴选项不合题意；没有最小的正有理数，B若a是负数，则a∴选项不合题意；-是正数，C∴选项符合题意．既不是正数，也不是负数，D故本题选：D．9．下列说法正确的是()A．最小的正有理数是1B．最小的正整数是1C．0是最小的有理数D．有理数由正数和负数组成【详解】解：A．没有最小的有理数，故本选项不合题意；B．最小的正整数是1，故本选项符合题意；C．有最小的有理数，故本选项不合题意；D．有理数由正有理数，0，负有理数组成，故本选项不合题意．故本题选：B．10．有下列说法：①最小的自然数为1；②最大的负整数是1-；③没有最小的负数；④最小的整数是0；⑤最小非负整数为0，其中，正确的说法有()A．2个B．3个C．4个D．5个【详解】解：①最小的自然数为0，故①不正确；②最大的负整数是1-，故②正确；③没有最小的负数，故③正确；④没有最小的整数，故④不正确；⑤最小非负整数为0，故⑤正确；综上，正确的说法有3个．故本题选：B．考察题型四数感问题1．有两个正数a，b，且a b<，把大于等于a且小于等于b所有数记作[a，]b，例如大于等于1且小于等于4的所有数记作[1，4]．如果m在[5，15]内，n在[20，30]内，那么nm的一切值中属于整数的有()A．1，2，3，4，5B．2，3，4，5，6C．2，3，4D．4，5，6【详解】m在[5，15]内，n在[20，30]内，515m∴，2030n，∴2030155nm，即463nm，∴nm的一切值中属于整数的有2，3，4，5，6．故本题选：B．2．设有三个互不相等的有理数，既可表示为1-，a b+，a的形式，又可表示为0，ba-，b的形式，则ab 的值为．【详解】解： 三个互不相等的有理数，既可表示为1-，a b +，a 的形式，又可表示为0，b a，b 的形式，∴这两个数组的数分别对应相等，a b ∴+与a 中有一个是0，b a-与b 中有一个是1-，若0a =，则b a无意义，0a ∴≠，0a b +=，∴a b =-，即1b a =-，b a-1=，∴1b =-，1a =，ab ∴的值为1-．故本题答案为：1-．考察题型五无理数的识别1．在数2021-，0.777⋯⋯，2π，833-，3.1415926，3π-中，无理数的个数是()A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【详解】解：在数2021-，0.777⋯⋯，2π，833-，3.1415926，3π-中，无理数有：2π，3π-，共2个．故本题选：A ．2．下列八个数：8-，2.7，2-，2π，0.6 ，0，132，0.8080080008⋯⋯（每两个8之间逐次增加一个0），无理数的个数有()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【详解】解：在实数8-，2.7，2-，2π，0.6 ，0，132，0.8080080008⋯⋯（每两个8之间逐次增加一个0）中，无理数有：2π，0.8080080008⋯⋯（每两个8之间逐次增加一个0），共2个．故本题选：C ．3．介于3和π之间的一个无理数是()A ．32π+B ．3.15C ．3.1D ．0.15π-【详解】解：介于3和π之间的一个无理数是32π+．故本题选：A ．4．（1）请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是；（2）两个无理数，它们的和为1，这两个无理数可以是．【详解】解：（1）无理数为：2π-，故本题答案为：2π-（答案不唯一）；（2）(1)1ππ+-=，故本题答案为：π，1π-（答案不唯一）．1．循环小数0.15可化分数为．【详解】解：设0.15x ⋅⋅=，则10015.15x ⋅⋅=，15.15150.15⋅⋅⋅⋅∴=+，10015x x ∴=+，解得：533x =．故本题答案为：533．2．已知有A ，B ，C 三个数集，每个数集中所包含的数都写在各自的大括号内，{2A =-，3-，8-，6，7}，{3B =-，5-，1，2，6}，{1C =-，3-，8-，2，5}，请把这些数填在图中相应的位置．【详解】解：如图所示：．3．10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数）”，则这10个有理数的和为()A．12B．1118C．76D．59【详解】解：由题意可得：这10个有理数，每9个相加，一共得出另外10个数，原10个有理数互不相等，∴它们相加后得出的另外10个数也是互不相等的，而这10个数根据题意都是分母22的既约真分数，而满足这个条件的真分数恰好正好有10个，∴这10项分别是：1/22，3/22，5/22，7/22，9/22，13/22，15/22，17/22，19/22，21/22， 它们每一个都是原来10个有理数其中9个相加的和，∴如果再把这10个以22为分母的真分数相加，得出来的结果必然是原来的10个有理数之和的9倍．∴10个真分数相加得出结果为5，故所求的10个有理数之和为5/9．故本题选：D．。

完整)七年级数学有理数(教师讲义带答案)Chapter 1 nal Numbers___ DiagramKnowledge Point 1: Basic Concepts of nal Numbers___:___.nal numbers can be represented by points on a number line。

Knowing the correspondence een real numbers and points on a number line can help compare the sizes of nal numbers.___ numbers with the help of a number line and being able to find the opposite number of a real number are essential.With the help of a number line。

understanding the meaning of absolute value and being able to find the absolute value of a real number are important。

The knowledge of absolute value can be used to simplify problems.Summary of Knowledge Points:Positive numbers。

negative numbers。

nal numbersAs students' perspectives expand。

the natural numbers。

ns。

___。

some quantities with opposite meanings。

such as e of 300 yuan and expenditure of 200 yuan。

七年级数学有理数与无理数易错题含答案一、选择1．实数π是()A．整数B．分数C．有理数D．无理数考点】无理数．分析】由于圆周率π是一个无限不循环的小数，由此即可求解．解答】解：实数π是一个无限不循环的小数．所以是无理数．故选D．π是常见的一种无理数的形式，【点评】本题主要考查无理数的概念，比较简单．2．在数。

﹣（﹣）。

0.3，0.141 041 004…（相邻两个1，4之间的的个数逐次加1），中，有理数的个数为()A．3B．4C．5D．6考点】有理数．分析】分别根据实数的分类及有理数、无理数的概念进行解答．解答】解：在数。

﹣（﹣）。

0.3，0.141 041 004…（相邻两个0.3，1，4之间的的个数逐次加1）。

中，有理数的是。

﹣（﹣），故选D．点评】本题考查的是有理数问题，关键是根据实数的分类及无理数、有理数的定义分析．3．下列语句精确的是()A．是最小的数B．最大的负数是﹣1C．比大的数是正数D．最小的自然数是1考点】有理数．分析】根据正数、天然数、负数、的定义与特点划分对每项举行分析便可．【解答】解：A、没有最小的数，故本选项错误；B、最大的负整数是﹣1，故本选项错误；C、比大的数是正数，故本选项正确；D、最小的自然数是，故本选项错误；故选：C．点评】此题考察了有理数，用到的常识点是正数、天然数、负数、的定义与特点，是一道基础题．4．下列各数中无理数的个数是()0.xxxxxxxx…（省略的为1）。

2π．A．1个B．2个C．3个D．4个考点】无理数．分析】由于无理数就是无限不循环小数，由此即可判定选择项．解答】解：下列各数中，0.xxxxxxxx…（省略的为1）。

2π．无理数是2π，共1个．应选A．点评】此题主要考查了无理数的定义．初中范围内研究的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.xxxxxxxx01…，等有这样规律的数．5．下列说法中，正确的是()A．有理数就是正数和负数的统称B．零不是自然数，但是正数C．一个有理数不是整数就是分数D．正分数、零、负分数统称分数考点】有理数．分析】根占有理数的定义和特点举行判断．解答】解：A、有理数包括正数、负数和，故A错误；B、零是自然数，但不是正数，故B错误；C、整数和分数统称有理数，因此一个有理数不是整数就是分数，故C正确；D、零是整数，不是分数，故D错误．应选C．点评】当真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意是整数，但不是正数．6．在，3.14.0.313 113 111．…，0.43五个数中分数有()个．A．1B．2C．3D．4考点】有理数．分析】利用分数的定义判断便可．解答】解：在，3.14.0.313 113 111．…，0.43五个数中分数有3.14，0.43，应选B．点评】此题考察了实数，闇练掌握分数的定义是解本题的关键．2、填空7．最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1，最小的非负整数是．考点】有理数．分析】根据正整数的定义，可得答案；根据负整数的定义，可得答案；根据非负数的定义，可得答案．解答】解：最小的正整数是1，最大的负整数是﹣1，最小的非负整数是，故谜底为：1，﹣1，．点评】本题考查了有理数，利用了有理数的分类，注意没有最小的整数，没有最大的整数．8．有理数中．是整数而不是正数的数是和负整数；是整数而不是负数的数是和正整数．考点】有理数．专题】常规题型．分析】解答本题的关键是了解掌握有理数定义，和有理数包括整数和分数，零既不是正数也不是负数．解答】解：零既不是正数也不是负数故在理数中，是整数而不是正数的数是（和负整数）；是整数而不是负数的数是：（和正整数）．点评】本题主要考查的是有理数的定义以及零既不是正数也不是负数，题型比较容易．9．若一个正方形的面积为5，则其边长可能是无理数．考点】算术平方根；无理数．分析】直接利用正方形面积公式以及算术平方根和无理数的概念得出即可．【解答】解：∵一个正方形的面积为5。

全章热门考点整合应用名师点金：本章主要学习了有理数的定义及其相关概念，有理数的运算，科学记数法与近似数等.本章内容是中考的基本考查内容之一，命题形式多以选择题和简单的计算题为主，注重对基础知识和基本技能的考查，其热门考点可概括为：七个概念，一个运算，六种运算技巧，三种思想.七个概念概念1 正数和负数1.在下列各数中：＋6，－8.25，－0.49，－23，－18，负有理数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个2.【2016·宜昌】如果“盈利5%”记作＋5%，那么－3%表示（ ） A.亏损3% B.亏损8% C.盈利2% D.少赚3%概念2 有理数3.（1）将下列各数填入相应的集合的圈内：212，5，0，1.5，＋2，－3.（第3题）（2）说出这两个圈的重叠部分表示的是什么数的集合： .概念3 数轴4.一条直线流水线上依次有5个机器人，它们站的位置在数轴上依次用点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5表示，如图所示.（第4题）（1）怎样将点A 3移动，使它先到达点A 2，再到达点A 5，请用文字语言说明. （2）若原点表示的是零件供应点，则5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少？ （3）将零件供应点设在何处，才能使5个机器人分别到达供应点取货的总路程最短？最短总路程是多少？【导学号：11972023】概念4 相反数5.【2015·菏泽】如图，四个有理数在数轴上的对应点为M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）（第5题）A.点MB.点NC.点PD.点Q概念5 绝对值6.已知a ，b 分别是两个不同的点A ，B 所表示的有理数，且|a|＝5，|b|＝2，它们在数轴上的位置如图所示.（1）试确定数a ，b.（2）表示a ，b 两数的点相距多远？（3）若C 点在数轴上，C 点到B 点的距离是C 点到A 点距离的13，求C 点表示的数.（第6题）概念6 倒数7.已知a ，－b 互为相反数，c ，－d 互为倒数，|m|＝3，求a －bm －cd ＋m 的值.概念7 科学记数法8.（1）【2016·天门】第31届夏季奥运会将于2016年8月5日－21日在巴西举行，为纪念此次体育盛事发行的奥运会纪念币，在中国发行450 000套，450 000这个数用科学记数法表示为（ ）A.45×104B.4.5×105C.0.45×106D.4.5×106 （2）下列说法正确的是（ ） A.近似数3.58精确到十分位 B.近似数1000万精确到个位 C.近似数20.16万精确到0.01 D.2.77×104精确到百位一个运算——有理数的运算9.计算下列各题：（1）2×（－5）＋23－3÷12；（2）10＋8÷（－2）2－（－4）×（－3）；（3）（－24）÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＋512×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－0.52.六种运算技巧技巧1 运用运算律 10.计算下列各题：（1）21－49.5＋10.2－2－3.5＋19；（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫142÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1114＋213－1334×24－1（－0.2）3.技巧2 逆用运算律11.用简便方法计算：（－3）×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋0.25×24.5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－512×（－25%）.技巧3 化倒数用运算律12.计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫－124÷⎝ ⎛⎭⎪⎫23－112＋16－24.技巧4 借数凑整法13.计算：89＋899＋8 999＋89 999－9－99－999－9 999－99 999.技巧5 巧妙组合法14.计算：1－3－5＋7＋9－11－13＋15＋17－…－2 013＋2 015.【导学号：11972024】技巧6 裂项相消法15.计算：12＋16＋112＋120＋130＋142＋156＋172＋190.三种思想思想1 数形结合思想16.如图，数轴上的A ，B ，C 三点所表示的数分别为a ，b ，c.根据图中各点位置，下列式子正确的是（ ）（第16题）A.（a －1）（b －1）＞0B.（b －1）（c －1）＞0C.（a ＋1）（b ＋1）＜0D.（b ＋1）（c ＋1）＜0思想2 转化思想17.下列各式可以写成a －b ＋c 的是（ ） A.a －（＋b ）－（＋c ） B.a －（＋b ）－（－c ） C.a ＋（－b ）＋（－c ） D.a ＋（－b ）－（＋c ）18.计算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤113－⎝ ⎛⎭⎪⎫－234÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－712.思想3 分类思想19.比较2a 与－2a 的大小.答案1．D 2.A 3．(1)(第3题)(2)正整数4．解：(1)先向左移动2个单位长度，再向右移动6个单位长度．(2)5个机器人分别到达供应点取货的总路程是4＋3＋1＋1＋3＝12(个)单位长度． (3)分析可得放在A 3处总路程最短，此时总路程是3＋2＋2＋4＝11(个)单位长度． 5．C6．解：(1)因为|a|＝5，|b|＝2，所以a ＝±5，b ＝±2. 由数轴可知a ＜b ＜0，所以a ＝－5，b ＝－2. (2)－2－(－5)＝3，所以表示a ，b 两数的点相距3. (3)C 点表示的数为－0.5或－2.75.7．解：由题意，知a －b ＝0，cd ＝－1，m ＝±3. 当a －b ＝0，cd ＝－1，m ＝3时，原式＝03＋1＋3＝4；当a －b ＝0，cd ＝－1，m ＝－3时， 原式＝0－3＋1＋(－3)＝－2.综上所述，a －bm －cd ＋m 的值为－2或4.8．(1)B (2)D9．解：(1)原式＝－10＋8－6＝－8. (2)原式＝10＋8÷4－12＝0.(3)原式＝(－16)×964＋112×(－16)－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＋(－1112)－14＝－4112.10．解：(1)原式＝[(21＋19)＋10.2]＋[(－49.5－3.5)－2]＝50.2－55＝－4.8. (2)原式＝116×⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋(454＋73－554)×24－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－153＝－140＋⎝ ⎛⎭⎪⎫454×24＋73×24－554×24＋125＝－140＋270＋56－330＋125＝－140＋121＝1203940.11．解：原式＝3×14＋14×492＋112×14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋492＋112×14＝33×14＝334.12．解：因为(23－112＋16－24)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－124＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－112＋16－24×(－24) ＝－16＋2－4＋12 ＝－6.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－124÷(23－112＋16－24)＝－16.13．解：方法一：原式＝(90＋900＋9 000＋90 000－4)－(10＋100＋1 000＋10 000＋100 000－5)＝99 990－111 110－4＋5＝－11 119.方法二：原式＝(89－9)＋(899－99)＋(8 999－999)＋(89 999－9 999)－(100 000－1)＝80＋800＋8 000＋80 000－(100 000－1)＝88 880－100 000＋1＝－11 119.14．解：原式＝(1－3－5＋7)＋(9－11－13＋15)＋…＋(2 001－2 003－2 005＋2 007)＋(2 009－2 011－2 013＋2 015)＝0.15．解：原式＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＋16×7＋17×8＋18×9＋19×10＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＋(15－16)＋(16－17)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－18＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－19＋(19－110)＝1－110＝910. 16．D 17.B18．解：原式＝113÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－712－⎝ ⎛⎭⎪⎫－234÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－712＝－167－337＝－7.19．解：当a ＜0时，2a ＜－2a ； 当a ＝0时，2a ＝－2a ； 当a ＞0时，2a ＞－2a.。

专题01 有理数一、单选题1．下列叙述正确的是( )A ．不是正数的数一定是负数B ．正有理数包括整数和分数C ．整数不是正整数就是负整数D ．有理数绝对值越大，离原点越远【答案】D【分析】根据有理数的分类，绝对值的意义进行解答即可．【解析】A.不是正数的数是负数或零，故A 错误；B.正有理数包括正整数和正分数，故B 错误；C.整数有正整数、负整数和零，故C 错误；D.有理数绝对值越大，离原点越远，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了有理数的分类和绝对值的意义，解题的关键熟练掌握整数和分数统称为有理数．2．﹣|﹣2022|的相反数为（ ）A ．﹣2022B ．2022C ．﹣12022D ．12022【答案】B【分析】根据绝对值、相反数的概念求解即可．只有符号不同的两个数互为相反数，任何数的绝对值是非负数．【解析】Q ﹣|﹣2022|2022=-，\2022-的相反数是2022．故选：B ．【点睛】本题考查相反数、绝对值的概念，属于基础题，熟练掌握概念是解决本题的关键．3．在有理数3-，(3)--，|3|-，23-，2(3)-，5(3)-，53-中，负数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【分析】先根据相反数的定义，绝对值的性质，有理数的乘方进行计算，然后根据负数小于0进行判断即可．【解析】解：-3是负数，-（-3）=3是正数，|-3|=3是正数，-32=-9是负数，（-3）2=9是正数，（-3）5=-243是负数，-35=-243是负数，所以，负数有-3，-32，（-3）5，-35共4个．故选：C ．【点睛】本题考查了正数和负数，熟练掌握相反数的定义，绝对值的性质，有理数的乘方准确化简计算是解题的关键．4．如图所示，根据有理数a ，b ，c 在数轴上的位置，比较a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a【答案】D 【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案．【解析】解：由题意，得c >b >a ，故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键．5．若|1|a -与2b -互为相反数，则a ＋b 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．0D ．3或﹣3a＋b＝1＋2＝3，故选：A．【点睛】本题考查了非负数的性质，利用非负数互为相反数得出这两个数为零是解题关键．6．用四舍五入法按要求对0.06547分别取近似值，其中错误的是（ ）A．0.1（精确到0.1）B．0.06（精确到百分位）C．0.065（精确到千分位）D．0.0655（精确到0.0001）【答案】B【分析】根据一个近似数精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入，分别对每一项进行分析即可．【解析】解：A. 0.06547≈ 0.1（精确到0.1），正确，此选项不符合题意；B. 0.06547≈0.07（精确到百分位），不正确，此选项符合题意；C. 0.06547≈0.065（精确到千分位），正确，故本选项不符合题意；D. 0.06547≈0.0655（精确到0.0001），正确，此选项不符合题意故选：B．【点睛】本题考查了近似数，需要同学们熟记一个近似数精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入．7．截止到2021年9月17日，全球感染新冠病毒确诊共226844344例，用科学记数法表示为（保留两个有效数字）（ ）A．23×107B．22×107C．2.3×108D．2.2×108【答案】C【分析】根据科学记数法从末端开始向左数小数点跳动的次数，一直数到最前面的2右边即可，数到几，就是10的几次方，注意结果保留两位小数．【解析】226844344的小数点从最后一个4右边跳到最前面的2右边，共跳了8下，故226844344=882.2684434410 2.310´»´故选C【点睛】本题考查科学记数法的应用，熟练掌握科学记数法是本题关键．8．下列运算正确的是（）A．11303022-´=´=B．22232(32)636´=´=-C．1116636236æö¸-=¸=ç÷èøD．156215(62)5¸¸=¸¸=【答案】C9．已知点A 为数轴上表示-2的点，当点A 沿数轴移动4个单位长度到达B 时，点B 所表示的数为（ ）A ．6B ．-2C ．2或-6D ．-2或6【答案】C【分析】数轴上点的坐标变化和平移规律：左减右加．此题注意考虑两种情况：可以向左移或向右移．【解析】解：∵点A 为数轴上的表示-2的点，①当点A 沿数轴向左移动4个单位长度时，点B 所表示的有理数为-2-4=-6；②当点A 沿数轴向右移动4个单位长度时，点B 所表示的有理数为-2+4=2．综上所述，点B 所表示的数是2或-6，故选：C ．【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是注意数的大小变化和平移之间的规律：左减右加．与点A 的距离为4个单位长度的点B 有两个，一个向左，一个向右．10．如图是一个数字运算程序，当输入x 的值为1-时，输出的值为（ ）A ．8B ．4C ．4-D ．8-【答案】C 【分析】把1x =-代入程序计算得到结果.【解析】解：把1x =-代入得：()()()132éù---´-ëû=()22´-=4-故选：C.【点睛】此题考查有理数的混合运算，理解运算程序是解决问题的关键．11．一根1米长的绳子，第一次剪去绳子的14，第二次剪去剩下绳子的14，如此剪下去，第六次剪去后剩下绳子的长度是（）A．514æöç÷èø米B．534æöç÷èø米C．614æöç÷èø米D．634æöç÷èø米12．观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64…，则22018的末位数是()A．2B．4C．6D．8【答案】B【分析】由题中可以看出，以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的，故个位的数字是以4为周期变化的，用2018÷4，计算一下看看有多少个周期即可．【解析】解：以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的，∵2018÷4=504…2，∴22018的个位数字是4．故选B．【点睛】此题主要考查了找规律，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键是找到以2为底的幂的末位数字的循环规律．二、填空题13．比较大小：－23_________－34，－(+3)_________－|－3|．14．一种零件，标明的要求是0.040.0310f +-，这种零件的合格品的最大直径是________，最小直径是_______，若直径是9.96，此零件为________（选填“合格品”或“不合格品”）．【答案】 10.04 9.97 不合格品【分析】首先要弄清标明的要求是0.040.0310f +-的含义，根据具体的直径要求不难求得最大直径和最小直径，然后检验直径是9.96是否在要求的范围内，在就是合格，否则不合格．【解析】解：∵一种零件，标明直径的要求是0.040.0310f +-，∴这种零件的合格品最大的直径是：10＋0.04＝10.04；最小的直径是：10−0.03＝9.97，∵9.96＜9.97，∴直径是9.96，此零件为不合格品，故答案为：10.04，9.97，不合格品．【点睛】本题考查实际生活中符号与数学知识的联系，理解“正”和“负”的相对性，确定合格品的直径范围是解决问题的关键．15．计算：1(1)(9)9-¸-´=______．16．如果210a b -++=，那么a b ¸=__ ．17．若5a =，3b =，且a b >，则a b +=__________．18．若,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，e 的绝对值是1，则20221a b e cd-+-的值为________．19．如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣6和4，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是_____．【答案】-1【分析】先求出AB的长度，再根据点C是线段AB的中点，求出AC的长度，进一步即可求出点C表示的数．【解析】解：∵数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣6和4，∴AB＝4﹣（﹣6）＝10，∵点C是线段AB的中点，∴AC＝5，∴﹣6+5＝﹣1，∴点C表示的数是﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键．20．观察下列算式：1111212=-´，1112323=-´，1113434=-´，......用你所发现的规律计算111223++´´ (11989999100)++´´＝_____．三、解答题21．把下列各数填在相应的集合内：﹣3，4，﹣2，15-，﹣0.58，0， 3.4-&，0.618，139，3.14．整数集合：{ …}；分数集合：{ …}；负有理数集合：{ …}；非正整数集合：{ …}．22．已知下列有理数：3,0,(3),|4|,22-----．(1)画出数轴，并将这些有理数在数轴上表示出来；(2)把以上有理数用“<”连接起来．23．计算题：(1)()()()()8479--++---(2)11833æö-¸´-ç÷èø(3)()()3124102æö-´--´-ç÷èø(4)()()213142--+¸-´(5)()157362612æö+-´-ç÷èø(6)()()()324224éù-´-+---ëû24．计算题(1)﹣27+（﹣32）+（﹣8）+72；(2)（+4.3）﹣（﹣4）+（﹣2.3）﹣（+4）；(3)﹣4﹣2´32+（﹣2´32）；(4) 33(48)(2)(25)(4)(2)-¸---´-+-；(5)21151() 2.4533612éù--+´¸êúëû；(6)233122(3)(1)6||293--´-¸-.25．某服装厂一周计划生产2100件上衣，计划平均每天生产300件，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：件）星期一二三四五六日增减+3-1-4+10-9+5-4(1)根据记录可知该服装厂一周共生产上衣多少件？(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少件？(3)该服装厂实行计件工资制，每生产一件上衣40元，每天超额完成任务每个奖10元，每天少生产一个扣5元，那么该服装厂工人这一周的工资总额是多少？【答案】(1)该服装厂一周共生产上衣2100件(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产19件(3)该服装厂工人这一周的工资总额是84090元【分析】（1）由计划产量加上超过或不足的量即可得到答案；（2）直接列式()109+--计算即可；（3）由总产量乘以40，再加上奖励工资，减去扣罚工资可得答案．（1）解：300×7+3-1-4+10-9+5-4=2100（件），答：该服装厂一周共生产上衣2100件．（2）+10-（-9）=19（件），答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产19件．（3）2100×40+3×10-5-4×5+10×10-5×9+5×10-5×4=84090（元），答：该服装厂工人这一周的工资总额是84090元．【点睛】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用，解题的关键是理解正负数的实际意义．26．如图所示，数轴上点A，B，C各表示有理数a，b，c．(1)试判断：b+c，b﹣a，a﹣c的符号；(2)化简：|b+c|﹣|b﹣a|﹣|a﹣c|．【答案】(1)b+c＜0，b﹣a＜0，a﹣c＞0(2)﹣2a【分析】（1）根据数轴判断a，b，c的正负性，再进行简单的判断即可求解；（2）根据（1）中的结论以及绝对值的非负性进而得出解答．（1）解：根据题意得：c＜b＜0＜a，∴b+c＜0，b﹣a＜0，a﹣c＞0；（2）解：由（1）得b+c＜0，b﹣a＜0，a﹣c＞0；原式=﹣b﹣c+b﹣a﹣a+c=﹣2a．【点睛】本题考查了数轴的基本性质和绝对值非负性的应用，解决本题的关键是判断好各个数值的正负．27．如图，用粗线在数轴上表示了一个“范围”，这个“范围”包含所有大于1小于2的有理数．请你在数轴上表示出一范围，使得这个范围同时满足以下三个条件：（1）至少有100对互为相反数和100对互为倒数；（2）有最小的正整数；（3）这个范围内最大的数与最小的数表示的点的距离大于3但小于4．【答案】见解析(答案不唯一)【分析】任何两点之间都有无数个数，由（1）可知两点只要分别位于原点的两侧，包含原点即可；（2）最小的正整数是1，因而包含1即可；由（3）得：范围两端点之间的距离大于3但小于4．同时满足以上三个条件即可．【解析】解：答案不唯一，例如：．【点睛】本题考查了数轴的知识，任何实数均可在数轴上表示出来，注意按要求作图．28．请完成以下问题(1)有理数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示，试比较a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c，0的大小，并用“＜”连接．(2)有理数a、b、m、n、x满足下列条件：a与b互为倒数，m与n互为相反数，x的绝对值为最小的正整数，求2021（m+n）+2020x3﹣2019ab的值．【答案】(1)c＜b＜a＜0＜-a<-b<-c(2)1或－4039【分析】（1）利用相反数的意义将-a，-b，-c在数轴上表示出来，利用在数轴上右边的总比左边的大即可将各数用“<”连接；（2）利用倒数，相反数和绝对值的意义得到相关字母的式子和x的值，利用整体代入的方法代入计算即可得出结论．(1)将-a ，-b ， -c 在数轴上表示出来如下：∵在数轴上右边的总比左边的大，a ， -a ，b ， -b ，c ， -c 用“<”连接如下：c < b < a <0<-a < -b < -c ．(2)∵ a 与b 互为倒数，∴ab = 1；∵m 与n 互为相反数，∴m +n = 0；∵x 的绝对值为最小的正整数，∴x =士1，所以当x = 1时，原式=2012×0+2020×13-2019×1= 2020- 2019= 1；当x = -1时，原式=2012×0+2020×(-1)3-2019×1=-2020-2019=-4039【点睛】本题主要考查了数轴，有理数大小的比较，相反数，绝对值，倒数的意义，利用倒数，相反数和绝对值的意义得到相关字母的式子和x 的值是解题的关键．29．(1)已知a 、b 是有理数，且3a ＝3，a 与b 互为倒数，试求2a +34ab 的值．(2)|1110099-|+|11101100-|﹣|1110199-|．30．探索研究：（1）比较下列各式的大小（用“<”“>”或“=”连接）①|3||2|+-_________|32|-；②1123+_______1123+；③|6||3|+-________|63|-．（2）通过以上比较，请你归纳出当a ，b 为有理数时||||a b +与||a b +的大小关系．（直接写出结果）（3）根据（2）中得出的结论，当||20152015x x +=-时，x 的取值范围是________．若123415a a a a +++=，12345a a a a +++=，则12a a +=________．31．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____；表示3-和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于||m n -．如果表示数a 和2-的两点之间的距离是3，那么=a _____；(2)若数轴上表示数a 的点位于4-与2之间，求|4||2|a a ++-的值；(3)当a 取何值时，|5||1||4|a a a ++-+-的值最小，最小值是多少？请说明理由．32．观察下列各等式，并回答问题：1 12´=1﹣12；123´=12﹣13；134´=13﹣14；145´=14﹣15；…（1）填空：1n(n1)+=______（n是正整数）（2）计算：112´+123´+134´+145´+…+120042005´=______．（3）计算：112´+123´+134´+145´+…+1n(n1)+=______．（4）求113´+135´+157´+179´+…+120132015´的值．33．材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：na a a ×14243L 记为n a ．如328=，此时，3叫做以2为底8的对数，记为2log 8（即2log 83=）．一般地，若n ab =（0a >且1a ¹，0b >），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b n =）．如4381=，则4叫做以3为底81的对数，记为3log 81（即3log 814=）．问题：(1)计算以下各对数的值：2log 4=______，2log 16=______，2log 64=______；(2)观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式为______；2log 4、2log 16、2log 64之间又满足怎样的关系式：______；(3)由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log log a a M N +=______（0a >且1a ¹，0M >，0N >）．【答案】(1)2、4、6(2)41664´=，222log 4log 16log 64+=(3)log a MN【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，222log 4log 16log 64+=；（3）由特殊到一般，得出结论：log log log a a a M N MN +=．（1）∵22=4，42=16，62=64，∴2log 42=，2log 164=，2log 646=，故答案为：2、4、6；（2）4×16=64，由题意可得：2log 42=，2log 164=，2log 646=，∴222log 4log 16log 64+=，故答案为：4×16=64，222log 4log 16log 64+=；（3）由（2）易知log log log a a a M N MN +=，故答案为：log a MN ．【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．34．请利用绝对值的性质，解决下面问题：(1)已知a ，b 是有理数，当a ＞0时，则||a a ＝______；当b ＜0时，则||b b ＝______．(2)已知a ，b ，c 是有理数，a +b +c ＝0，abc ＜0，求||||b c a c a b +++||a b c ++的值．(3)已知a ，b ，c 是有理数，当abc ≠0时，求||||a b a b +||c c +的值．35．（阅读理解）求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：5÷5÷5，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）等，类比有理数的乘方，我们把5÷5÷5记作 5③，读作“5的圈3次方”，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）记作（-8）④，读作“﹣8的圈4次方”一般的把a a a an a¸¸¸¸L个记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．（1）直接写出计算结果：（-6）④＝____________；（2）[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：（-17）ⓝ＝____________（-1a）ⓝ＝____________（n≥2且n为正整数）（3）[实践应用]计算①11()(4)()6 43-´--¸④⑤④③②11111()((()(55555+++++L②③④⑤ⓝ（其中n=2022）。

有理数的分类中，对于小数是怎样分的，它属于哪类
难易度：★★
关键词：有理数
答案：
答案：整数和分数统称有理数；有限小数和循环小数都属于分数。

【举一反三】
典例：把下列各数填到相应的集合中．6，，-2， -3，0，189，-37，2.7，-1；分数集合：{ …}，负整数集合：{ …}．
思路导引：认真掌握正数、负数、整数、分数的定义与特点，需要注意小数也是分数，应放在分数集合，这是学生容易出错的地方．按照有理数的分类填写：有理数整数分为正整数、负整数和0，非负数包括0和正数．
标准答案：小数是分数的一种表现形式，小数可化为分数，在中学有理数是只有整数和分
数，没有小数，所以小数是分数．分数集合：{ ，-3 ，2.7…}；负整数集合{-2，-37，-1…}．。

专题01正数与负数、有理数与无理数压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一正负数的意义】..................................................................................................................................1【考点二相反意义的量】..................................................................................................................................2【考点三正负数的实际应用】..........................................................................................................................3【考点四有理数的概念】..................................................................................................................................4【考点五0的意义】...........................................................................................................................................5【考点六有理数的分类】..................................................................................................................................6【考点七带“非”字的有理数】......................................................................................................................9【考点八无理数的识别】................................................................................................................................10【过关检测】.. (12)【典型例题】【考点一正负数的意义】例题：（2023·浙江·七年级假期作业）中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家.若气温上升7℃，记作：7+℃，那么气温下降10℃可记作（）A ．7℃B ．10℃C ．D ．7-℃【答案】C【分析】主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若上升记为正，则下降就记为负，直接得出结论即可．【详解】解：若气温上升7℃，记作：7+℃，那么气温下降10℃，可记作：10-℃，故选：C ．【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．【变式训练】【考点二相反意义的量】例题：（2023·江苏·七年级假期作业）气温上升5℃记为5+，则气温下降3℃记为___________．【答案】3-【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：气温上升5℃记为5+，则气温下降3℃记为：3-，故答案为：3-．【点睛】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．【变式训练】1．（2023秋·陕西宝鸡·七年级统考期末）如果零上2℃记为2+℃，那么3-℃表示__________________．【答案】零下3℃【分析】根据相反意义即可得到答案．【详解】解：由题意可得，规定了零上为正，则零下为负，故答案为：零下3℃．【点睛】本题考查相反意义量的表示：规定一方为正反方向为负，解题的关键是找到相反意义．2．（2023·四川达州·七年级校考期末）如果把收入100元记作100+，那么支出60元记作______【答案】60-【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，收入100元记作100+元，那么支出60元则为60-元，【详解】收入100元记作100+，那么支出60元应记作60-，故答案为：60-．【点睛】本题考查正数和负数，理解正负数的意义是解决问题的前提．【考点三正负数的实际应用】例题：（2023·甘肃武威·统考中考真题）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“9050+米”，那么海平面以下10907米记作“________米”．【答案】10907-【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可．【详解】解：把海平面以上9050米记作“9050+米”，则海平面以下10907米记作10907-米，故答案为：10907-．【点睛】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正确理解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江·七年级假期作业）一袋食品的包装袋上标有300g 5g ±的字样，它的含义是______．【答案】这袋食品的质量与标准质量300g 相比，超重不超过5g ，不足也不超过5g【分析】利用生活中的数学知识，利用±表示比标准质量可能多也可能少解决本题即可．【详解】解：5±表示比300g 超重不超过5g ，不足也不超过5g ．故答案为：这袋食品的质量与标准质量300g 相比，超重不超过5g ，不足也不超过5g ．【点睛】本题考查了有理数中正负数的实际应用，把正数和负数与日常生活相联系是解答本题的关键．2．（2023秋·安徽亳州·七年级统考期末）某商店出售的一种袋装大米，在包装上标有：)10kg 0.()1(kg ±，这袋大米最轻的重量是___________kg ．【答案】9.9【分析】根据正负数的意义计算即可．【详解】∵包装上标有：)10kg 0.()1(kg ±，∴这袋大米最轻的重量是10kg 0.1k ()()9.9g)g (k -=．故答案为:9.9．【点睛】本题考查了正负数的意义,正确理解是解题的关键．【考点四有理数的概念】【变式训练】【考点五0的意义】例题：（2023·浙江·七年级假期作业）下面关于0的说法，正确的是（）A．0既不是正数也不是负数B．0既不是整数也不是分数C．0不是有理数D．0的倒数是0【答案】A【分析】依据倒数，有理数相关概念以及有理数分类判断即可．【详解】A．0既不是正数，也不是负数，故此选项正确，符合题意；B．0是整数，不是分数，故此选项错误，不符合题意；C．0是有理数，故此选项错误，不符合题意；D．0不存在倒数，故此选项错误，不符合题意．故选A．【点睛】本题考查了有理数，0是重要的数字，掌握有理数的相关概念和分类是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列结论中正确的是（）A．0既是正数，又是负数B．0是最小的正数C．0是最大的负数D．0既不是正数，也不是负数【答案】D【分析】根据0这个实数的相关知识，进行判断即可．【详解】解：0既不是正数，也不是负数；0是整数，也是有理数；0是最小的自然数；0还是正数和负数的分界线；故选：D．【点睛】本题考查了有理数0的相关知识，熟知：①既不是正数，也不是负数；②是整数，也是有理数；③是最小的自然数；④是正数和负数的分界；是解本题的关键．2．（2023秋·云南昭通·七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（）A．整数就是自然数B．0不是自然数C．正数和负数统称有理数D．0是整数而不是负数【答案】D【分析】根据有理数的分类即可作出判断．【详解】A、整数为正整数，0及负整数，自然数为正整数与0，说法错误，不符合题意，此选项错误；B、0是自然数，说法错误，不符合题意，此选项错误；C、正数，0和负数统称为有理数，说法错误，不符合题意，此选项错误；D、0是整数而不是负数，说法正确，符合题意，此选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数与自然数和整数的区别，以及0的意义是本题关键．【考点六有理数的分类】【变式训练】【答案】见解析【分析】根据有理数的分类解答即可．【详解】解：如图所示：【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键．2．（2023·全国·七年级假期作业）把下列各数分别填入相应的集合内：(1)正数集合：{…}；(2)负数集合：{…}；(3)整数集合：{…}；【考点七带“非”字的有理数】【变式训练】【考点八无理数的识别】例题：（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）下列各数是无理数的是（）【变式训练】⋯相邻两个2中间依次多1个0)，等有这样规律的数．以及像0.2020020002(【过关检测】一、选择题个A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】根据负数的定义可以判断题目中的哪些数据是负数，从而可以解答本题．【详解】解：负数有2-，5-， 3.14-，11-，共4个，故选C ．【点睛】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确负数的定义，可以判断一个数是否为负数．4．（2023秋·广东佛山·七年级统考期末）下列四组量中，不具有相反意义的是（）A ．海拔“上升200米”与“下降400米”B ．温度计上“零上15℃”与“零下5℃”C ．盈利100元与亏本25元D ．长3米与重10千克【答案】D【分析】根据相反意义的量的特征逐一判断即可．【详解】解：A .海拔上升与下降是相反意义，故A 选项正确，不符合题意；B .温度计零上与零下是相反意义，故B 选项正确，不符合题意；C .盈利100与亏本25元相反意义，故C 选项正确，不符合题意；D .长3米与重10千克不是相反意义，故D 选项错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了相反意义的量，熟练掌握具有相反意义的量有两个特征：（1）表示的是同一类量；（2）意义相反，是解题的关键．5．（2023·全国·七年级假期作业）下列说法：①整数包括正整数和负整数；②分数包括正分数和负分数；③7-既是负数也是整数，但不是自然数；④0既是正整数也是负整数；⑤非负分数就是正分数．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据有理数的分类方法逐一判断即可．【详解】解：①整数包括正整数、负整数和0，故原说法错误，不符合题意；②分数包括正分数和负分数，故原说法正确，符合题意；③7-既是负数也是整数，但不是自然数，故原说法正确，符合题意；④0既不是正数也不是负数，故原说法错误，不符合题意；⑤非负分数就是正分数，故原说法正确，符合题意．∴正确的个数是3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．二、填空题三、解答题11．（2023秋·七年级单元测试）把下列各数的序号填入相应的横线内：。

知识网络结构图第一章有理数知识点 1：有理数的基本概念中考要求：有理数 理解有理数的意义会比较有理数的大小数轴 能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点的对应关系会借助数轴比较有 理数的大小相反数 会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求实数的相反 数掌握相反数的性质绝对值 借助数轴理解绝对值的意义， 会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化 简问题知识点总结： 正数、负数、有理数随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不能满足认知需要了 . 譬 如一些具有相反意义的量，收入 300元和支出 200元，向东50米和向西 30米，零上6 C 和 零下 4 C 等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量， 怎么表示它们呢？我们把一种意 义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数 . 正数：像3、1、 0.33等的数，叫做正数 .在小学学过的数， 除0外都是正数 .正数都大于 0. 负数： 像 1、 3.12、 17 、 2008等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.5负数都小于 0. 0既不是正数， 也不是负数 .一个数字前面的“＋”， “－”号叫做它的符号 . 正数前面的“＋”可以省略，注意 3与 3 表示是同一个正数 .用正、负数表示相反意义的量： 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然 . 譬如：用正数表示向南，那么向北 3km 可以用负数表示为 3km .“相反意义的量”包括两个方面的含意： 一是相反意义； 二是相反意义的基础上要有 量.有理数 : 按定义整数与分数统称有理数 .有理数 （ 按定义分类 ） 负整数正整数正有理数正分数有理数 （按符号分类 ） 零（零既不是正数 , 也不是负数 ）注：⑴正数和零统称为非负数； ⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数板块一、基本概念 例题讲解正整数整数 零自然数分数正分数 负分数负有理数负整数负分数1、选择下面是关于 0的一些说法，其中正确说法的个数是（ ）①0既不是正数也不是负数；② 0是最小的自然数；③ 0是最小的正数；④ 0是最小的非负 数；⑤ 0既不是奇数也不是偶数 .A. 0B.1C.2D.32、下面关于有理数的说法正确的是（）．A ．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 . B. 正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合 C. 整数和分数统称为有理数D. 正数、负数和零的统称为有理数 板块二、数轴、相反数、倒数、绝对值 3、 a 和 b 是满足 ab ≠0的有理数，现有四个命题：① a 2 2 的相反数是 22 a ；② a b 的相反数是 a 的相反数与 b 的相反数的差； b 2 4 b24③ ab 的相反数是 a 的相反数和 b 的相反数的乘积；④ ab 的倒数是 a 的倒数和 b 的倒数的乘积．其中真命题有 （ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 4、一个数的绝对值大于它本身，那么这个数是 A 、正有理数 B 、负有理数 C 、零 5、数轴上离开原点 2 个单位长度的点表示的数是 6、有理数 -3，0，20，-1.25 ，1.75 ，-∣-12 ∣ 非负数有 ______ 个；7、绝对值最小的有理数是 ________ ；绝对值等于 是 _____ ；绝对值等于相反数的数是 _______ 8、 -2.5 的相反数是 _______ ，绝对值是，倒数是 ___________ 。

有理数和无理数的概念与演习 【1 】常识清单1界说：有理数：我们把可以或许写成分数情势nm (m.n 是整数,n≠0)的数叫做有理数. 无理数：①无穷②不轮回小数叫做无理数.2有理数的分类整数和分数都可以写成分数的情势,它们统称为有理数.零既不是正数,也不是负数.有限小数和无穷轮回小数是有理数.3无理数的两个前提前提： （1） 无穷（2）不轮回4两者的差别：（1）无理数是无穷不轮回小数,有理数是有限小数或无穷轮回小数.（2）任何一个有理数后可以化为分数的情势,而无理数则不克不及. 经典例题例1：下列各数中,哪些是有理数？哪些是无理数？ -3,3π,-61,0.333…,3.30303030…,42,-3.1415926,0,3.101001000……（相邻两个1之间0的个数逐个加1）,面积为π的圆半径为r.例2：下列说法准确的是：（）A.整数就是正整数和负整数B.分数包含正分数.负分数闯关全练一.填空题：（1）我们把可以或许写成分数情势nm (m.n 是整数,n≠0)的数叫做. （2）有限小数和都可以化为分数,他们都是有理数.（3）小数叫做无理数.（4）写出一个比-1大的负有理数.（1）无理数与有理数的差都是有理数;（2）无穷小数都是无理数;（3）无理数都是无穷小数;（4）两个无理数的和不一定是无理数.（5）有理数不一定是有限小数.答案例1： 无理数有：3π,0,3.101001000……,（相邻两个1之间0的个数逐个加1） 有理数有：-3,-61,0.333…,3.30303030…,42,-3.1415926,0,面积为π的圆半径为r 例2：B （A,还有0 C,还有0 D,无穷不轮回） 闯关全练一.（1）有理数（2）无穷轮回小数.（3）无穷不轮回小数.（4）答案不独一,如：-0.5二.（1）错,如3π-0=3π （2）错,如：0.333…（3）对,无理数的两个前提前提之一无穷（4）对,3π+（-3π）=0 （5）对,如：0.333…。

专题2.3 有理数与无理数（基础检测）一、单选题1．下列实数是无理数的是（ ） A ．2021- B ．πC ．3.14159D ．12021【答案】B【分析】根据无理数的概念判断即可． 【详解】12021,3.14159,2021-是有理数，π是无理数， 故选：B ．【点睛】本题主要考查无理数，掌握无理数的概念是关键． 2．实数0，1-，4，π中，无理数是（ ）． A ．4 B ．πC ．0D ．1-【答案】B【分析】根据无理数的定义，逐一判定各个选项，是解题的关键． 【详解】解：实数0，1-，4，π中，π是无理数， 故选B ．【点睛】本题主要考查无理数的定义，掌握“无限不循环小数，是无理数”是解题的关键． 3．在3，0，1，﹣5四个数中，最小的数是（ ） A ．3 B ．0C ．1D ．﹣5【答案】D【分析】根据有理数的大小即可求解． 【详解】∵-5＜0＜1＜3 故最小的数是-5 故选D ．【点睛】此题主要考查有理数的大小比较，解题的关键是熟知有理数的性质． 4．下列说法错误的是（ ） A ．最小自然数是0 B ．最大的负整数是1- C ．没有最小的负数 D ．最小的整数是0【答案】D【分析】按照有理数的分类填写．【详解】解：A、0是最小的自然数，故A说法正确，不符合题意；B、-1是最大的负整数，故B说法正确，不符合题意；C、没有最小的负数，故C说法正确，不符合题意；D、没有最小的整数，故D说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．5．身份证号码告诉我们很多信息，身份证号码是320584************的人的生日是（）A．8月10日B．10月12日C．1月20日D．12月8日【答案】C【分析】根据身份证的特点即可求解．【详解】∵身份证号码是320584************∴生日是1月20日故选C．【点睛】此题主要考查有理数的性质应用，解题的关键是熟知身份证号码的特点．6．从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3，．．．；为了表示“没有”引入了数0古希腊著名数学家毕达哥拉斯相信“哪里有数，那里就有美”．数仅仅因为它的寓意，就可以给人以丰富的美感．正是由于这种美感，才使人们在各种场合有选择性的使用数．一个数字既表示万物之始，又表示一个整体，这个数字是（）A．10 B．100 C．1 D．9【答案】C【分析】依据题意，为了表示“没有”引入了数0，与一个数字既表示万物之始，又表示一个整体，这两句话，可得答案【详解】解：依据题意：0表示“没有”而这个数字又既表示万物之始，又表示一个整体，即这个数是题意中数的开始，又可以表示一个整体可得该数为1故答案为：C【点睛】本题实际考查自然数的定义，准确理解题意是解题的关键二、填空题7．_____、______和______统称为整数；_____和_____统称为分数；_______和______统称为有理数；______和______统称为非负数；______和______统称为非正数；______和______统称为非正整数；______和______统称为非负整数．【答案】正整数负整数零正分数负分数整数分数正数零负数零负整数零正整数零【分析】根据整数的分类、分数的分类、有理数的定义、非负数的定义、非正数、非正整数、非负整数的定义解题即可．【详解】正整数；负整数；零；正分数；负分数；整数；分数；正数；零；负数；零；负整数；零；正整数；零．故答案为：正整数；负整数；零；正分数；负分数；整数；分数；正数；零；负数；零；负整数；零；正整数；零．【点睛】本题考查整数、正整数、非负整数、非负整数、分数等知识，是基础考点，掌握相关概念、理解数轴上数的特征、学会数形结合的方法是解题关键．8．李老师的身份证号码是210202************，根据这个身份证号，可以看出李老师在_______年出生．【答案】1968【分析】根据身份证号码编排的规则可得答案．【详解】解：根据身份证号码编排的规则，从左面开始第7-14位表示出生日期的年、月、日可得，李老师1968年出生，故答案为：1968．【点睛】本题考查用数字表示事件，掌握数字表示事件的意义是正确判断的关键．9．下列各数中：127，-3.1416，0，58-，10%，17，••3.21-，-89，分数有_____个；非负整数有_______个．【答案】5 2【分析】根据有理数的分类可直接进行解答．【详解】由下列各数中：127，-3.1416，0，58-，10%，17，••3.21-，-89，分数有127，-3.1416，58-，10%，••3.21-，共5个；非负整数有0，17，共2个；故答案为5，2．【点睛】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的概念是解题的关键．10．在数322180.27520 1.048100473++----，，，，，，，，，中，负分数有______________________，非负整数有__________________________．【答案】11.04,3--8,2,0+【分析】按照有理数的分类填写．【详解】解：负分数有1 1.04,3 --，非负整数有8,2,0+，故答案为：11.04,3--；8,2,0+．【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握负分数和非负整数的定义．11．把下列各数填入相应的大括号里：﹣1，3.55，﹣0.5，﹣13，8.7，0，﹣95%，﹣3，2018．负整数集：{}；非负整数集：{}；正分数集：{}；负分数集：{}．【答案】－1，－3；0，2018；3.55，8.7；－0.5，13-，－95%【分析】利用有理数的分类，负整数、非负整数、正分数、负分数的定义判断即可．【详解】负整数集：{﹣1，﹣3…}；非负整数集：{0，2018…}；正分数集：{3.55，8.7…}；负分数集：{﹣0.5，13-，﹣95%…}．【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．12．请把下列各数填入相应的集合中1 2，5.2，0，2π，227，﹣22，53-，2005，﹣0.030030003…正数集合：{________________…}；分数集合：{________________…}；非负整数集合：{________________…}；有理数集合：{________________…}． 【答案】12，5.2，2π，227，2005 12，5.2，227，53- 0，2005 12，5.2，0，227，﹣22，53-，2005【分析】根据正数的意义，分数包括分数、有限小数、无限循环小数，非负整数包括正整数和0，有理数是整数和分数的统称，根据以上内容判断即可． 【详解】正数集合：{12，5.2，2π，227，2005，…} 分数集合：{12，5.2，227，53-，…} 非负整数集合：{0，2005，…}有理数集合{12，5.2，0，227，﹣22，53-，2005，…}， 故答案为：12，5.2，2π，227，2005；12，5.2，227，53-；0，2005；12，5.2，0，227，﹣22，53-，2005．【点睛】本题考查了对分数，非负数，有理数，正数等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．13．把下列各数填入相应的大括号内：-20%，-2014，0，2.5，1，94- ，15，-3 负数集：{__________________}； 负整数集：{__________________}；自然数集：{__________________}；． 【答案】{920%,20143,4⎫----⎬⎭，， }{20143--，， }{0115，，， 【分析】由正数，负数的含义，有理数的分类，自然数的含义，逐一分析每个数，从而可得答案． 【详解】解：根据有理数的分类可得：负数集：{920%,20143,4⎫----⎬⎭，，； 负整数集：}{20143--，，； 自然数集：}{0115，，，；故答案为：{920%,20143,4⎫----⎬⎭，，，}{20143--，，，}{0115，，，． 【点睛】本题考查的是正数与负数的定义，自然数的含义，有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键．14．学习了有理数的相关内容后，张老师提出了这样一个问题：“在8，－0.5，13+，0，－3.7这五个有理数中，非负数有哪几个？”同学们经过思考后，小明举手回答说：“其中的非负数只有8和13+这两个．”你认为小明的回答是否正确：__________（填“正确”或“不正确”），理由是：_______________________________． 【答案】不正确 0也是非负数【分析】根据大于或等于零的数是非负数，可得答案．【详解】在8，－0.5，13+，0，－3.7这五个有理数中，非负数有8，13+，0，共3个．故小明的回答是不正确的．理由如下： 0也是非负数．故答案为：不正确；0也是非负数．【点睛】本题考查了非负数，大于或等于零的数是非负数．三、解答题15．在了解了正、负数概念之后，你认为正数有没有最大的？有没有最小的？负数有没有最大的？有没有最小的？【答案】没有 没有 没有 没有 【分析】利用正、负数的概念即可完成.【详解】正数没有最大的，没有最小的；负数有没有最大的，没有最小的. 故答案为：没有 没有 没有 没有【点睛】本题考查正、负数的概念，难度低，掌握该知识点是解题关键. 16．有理数的两种分类方法：有理数 有理数【答案】（1）正整数，正分数，0，负整数，负分数；（2）正整数，0，负整数，正分数，负分数 【分析】根据“有理数”的两种分类方法进行分析解答即可. 【详解】有理数的两种分类方法：有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负分数 有理数0正整数整数负整数正分数分数负分数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩ 故答案为：（1）正整数，正分数，0，负整数，负分数；（2）正整数，0，负整数，正分数，负分数 【点睛】熟记“有理数的两种分类方法”是解答本题的关键. 17．把下列各数分别填入相应的集合内 －2，8，102，－47，0，12，0.62，－2.2，－52，13正有理数集合{ } 负有理数集合{ } 整数集合{ } 正分数集合{ } 负分数集合{ } 【答案】见解析. 【分析】根据有理数的分类即有理数0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎩正整数负整数正分数负分数整分数数进行解答即可． 【详解】解：正有理数集合{ 8，102， 12，0.62，13} 负有理数集合{－2，－47，－2.2，－52} 整数集合{ －2，8，102，－47，0，12 }正分数集合{ 0.62，1 3 }负分数集合{－2.2，－52 }．【点睛】本题考查有理数的分类，掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、正分数、负分数的定义与特点．注意整数和正数的区别．18．在下列适当的空格里打上“√”：【答案】详见解析【分析】根据整数、正数、负数、分数、自然数的定义即可判断.【详解】解：如表所示.【点睛】考查有理数的分类，解题的关键是掌握整数、正数、负数、分数的定义.19．请你把下列各数填入表示它所在的数集的圈里：﹣2，﹣20%，﹣0.13，﹣734，10，14，21，6.2，0，4.7，﹣8.【答案】【分析】根据正整数，负整数，正分数，负分数的概念解答．【详解】【点睛】本题考查了有理数的分类，熟记相关概念是解题的关键，要注意小数也属于分数．20．已知有A，B，C三个数集，每个数集中所含的数都写在各自的大括号内，•请把这些数填入图中相应的部分．A．{-5，2．7，-9，7，2．1}B．{-8．1，2．1，-5，9．2，-1 7 }C．{2．1，-8．1，10，7}【答案】如图所示：【解析】试题分析：根据有理数的分类依次分析即可得到结果.如图所示：考点：有理数的分类点评：本题是有理数的分类的基础应用题，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，难度一般.。

有理数和无理数的概念与练习
知识清单
1定义：有理数：我们把能够写成分数形式n
m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做有理数。

无理数：①无限②不循环小数叫做无理数。

2有理数的分类
整数和分数都可以写成分数的形式，它们统称为有理数。

零既不是正数，也不是负数。

有限
-3，（2）有限小数和 都可以化为分数，他们都是有理数。

（3） 小数叫做无理数。

（4）写出一个比-1大的负有理数 。

二. 判断题
（1）无理数与有理数的差都是有理数；
（2）无限小数都是无理数；
（3）无理数都是无限小数；
（4）两个无理数的和不一定是无理数。

（5）有理数不一定是有限小数。

答案
例1： 无理数有：3
π，0，，（相邻两个1之间0的个数逐个加1） 有理数有：-3，-6
1，0.333…，，42，-3.1415926,0，面积为π的圆半径为r。

专题2.4 有理数与无理数（拓展提高）一、单选题1．下列各数中，无理数是（）A．πB．0 C．19-D．3.14【答案】A【分析】根据无限不循环小数为无理数即可求解．【详解】A选项：π为无理数，故A选项正确；B选项：0为有理数，故B选项错误；C选项：19-为有理数，故C选项错误；b选项：3.14为有理数，故D选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了无理数的概念，解题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．2．下列各数中最小非负数是（）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】C【分析】根据非负数的意义和有理数的大小比较求解．【详解】解：∵-2、-1是负数，0、1是非负数，且0<1，∴题中最小非负数是0，故选C．【点睛】本题考查非负数的应用和有理数的大小比较，熟练掌握非负数的意义是解题关键．3．在下列各数：2.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），0，0.333，3π，0.101101101中，无理的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：无理数有：3π， 2.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）共有2个． 故选：B.【点睛】本题考查了无理数的定义，掌握无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是解题的关键．4．下列各数中，既是分数又是负数的是（ ） A ．31-. B ．4-C ．0D ．2.8【答案】A【分析】根据小于零的分数是负分数，可得答案．【详解】解：A 、-3.1既是分数又是负数，故本选项符合题意； B 、-4是负整数，故本选项不合题意；C 、0不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；D 、2.8是正分数，故本选项不合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查了有理数，利用小于零的分数是负分数判断是解题的关键． 5．小强在笔记上整理了以下结论，其中错误的是（ ） A ．有理数可分为正数、零、负数三类 B ．一个有理数不是整数就是分数 C ．正有理数分为正整数和正分数 D ．负整数、负分数统称为负有理数【答案】A【分析】根据有理数的分类逐一分析即可．【详解】解：A ．有理数可分为正有理数、零和负有理数，故该项结论错误； B ．整数和分数统称为有理数，所以一个有理数不是整数就是分数，故该项结论正确； C ．正有理数分为正整数和正分数，故该项结论正确； D ．负整数、负分数统称为负有理数，故该项结论正确； 故选：A ．【点睛】本题考查有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键．6．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④2π-不仅是有理数，而且是分数；⑤237是无限循环小数，所以不是有理数；⑥绝对值等于本身的数是正数；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【答案】B【分析】根据有理数的定义、分类依此作出判断，即可得出答案． 【详解】解：①没有最小的整数；错误； ②有理数包括正有理数数、0和负有理数；错误； ③非负数就是正数和0；错误； ④2π-是无理数；错误；⑤237是无限循环小数，所以是有理数；错误；⑥绝对值等于本身的数有正数和0；错误；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．正确； 故选：B ．【点睛】本题考查有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．二、填空题7．在有理数3-，7，2，123，43-，0，0.01-，10.1%-中，属于非负数的有________个． 【答案】4【分析】根据大于或等于零的数是非负数，可得答案． 【详解】解：7，2，123，0，是非负数，共4个， 故答案为：4．【点睛】本题考查了非负数，大于或等于零的数是非负数． 8．有六个数：5，0，132，0.3-，14-，π-，其中分数有a 个，非负整数有b 个，有理数有c 个，则a b c +-=______．【答案】0【分析】根据分数、非负整数和有理数的定义得到a ，b ，c 的值，即可求解． 【详解】解：分数有132，0.3-，14-，∴3a =，非负整数有0，5，∴2b =， 有理数有5，0，132，0.3-，14-，∴5c =， ∴3250a b c +-=+-=， 故答案为：0．【点睛】本题考查有理数的定义，掌握分数、非负整数和有理数的定义是解题的关键． 9．若三个互不相等的有理数，既可以表示为3，a b +，b 的形式，也可以表示为0，3ab，a 的形式，则4a b -的值________． 【答案】15【分析】根据分母不等于0，可得b≠0，进而推得a+b=0，再求出3ab=-3，解得b=-3.a=3，然后代入4a b -进行计算即可．【详解】解：∵三个互不相等的有理数，既可以表示为3、a b +、b 的形式，也可以表示为0、3ab、a 的形式 ∴0b ≠， ∴a b +＝0， ∴3a3b=-， ∴b ＝3-，a ＝3， ∴4a b -＝123+＝15． 故答案为15．【点睛】题考查了代数式求值及其有理数的相关概念，根据题意推得b≠0、 a+b=0、3ab=-3是解答本题的关键．10．（1）、字母a 没有“-”号，所以a 是正数．（_______） （2）、任何一个有理数都可以在数轴上表示出来．（_______） （3）一个数的绝对值必是正数．（_______） （4）符号不同的两个数互为相反数．（_______） （5）有理数就是自然数和负数的统称．（_______）【答案】（1）错，（2）对，（3）错，（4）错，（5）错．【分析】（1）根据0既不是正数，也不是负数，可得凡是前面没有“-”号的数不一定都是正数，据此判断即可；（2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案；（3）根据绝对值的定义进行判断即可；（4）符号不同、且绝对值相等的两个数互为相反数；（5）根据有理数的定义、分类进行判断求解．【详解】解：（1）错误，比如：a=0，或a=-3时；（2）任何一个有理数都可以在数轴上找到对应的点，所以说法正确；（3）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，可得绝对值是非负数≥0，故错误；（4）只有符合不同的两个数互为相反数，故原题错误；（5）有理数就是正有理数、负有理数和零的统称，故原题错误．【点睛】本题考查有理数分类、相反数，绝对值的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．11．把下列各数填在相应的大括号内：－5，34-，－12，0，0.12．．，－3.14，＋1.99，＋6，227．（1）正数集合：{ …}；（2）负数集合：{ …}；（3）分数集合：{ …}；（4）非负整数集合：{ …}．【答案】（1）0.12．．，＋1.99，＋6，227；（2）－5，34-，－12，－3.14；（3）34-，0.12．．，－3.14，＋1.99，227；（4）0，＋6【分析】利用正数，负数，非负整数，以及分数的定义判断即可．【详解】解：（1）正数集合：{ 0.12．．，＋1.99，＋6，227…}；（2）负数集合：{ －5，34－，－12，－3.14 …}；（3）分数集合：{34－，0.12．．，－3.14，＋1.99，227…}；（4）非负整数集合：{ 0，＋6 …}.【点睛】此题考查了正数，负数，非负整数，以及分数的定义，弄清各自的定义是解本题的关键．12．将下列各数填入相应的括号内： ﹣2.5，152，0，8，﹣2，2π，﹣1.121121112…… 正数集合：{ }； 负数集合：{ }； 整数集合：{ }； 无理数集合：{ }； 【答案】正数集合：{152，8，2π}；负数集合：{﹣2.5，﹣2，﹣1.121121112……}；整数集合：{0，8，﹣2}；无理数集合：{2π，﹣1.121121112……}； 【分析】直接利用正数、负数、整数、无理数的定义分别分析得出答案． 【详解】﹣2.5，152，0，8，﹣2，2π，﹣1.121121112…… 正数集合：{152，8，2π}； 负数集合：{﹣2.5，﹣2，﹣1.121121112……}； 整数集合：{0，8，﹣2}；无理数集合：{2π，﹣1.121121112……}． 故答案为：152，8，2π；﹣2.5，﹣2，﹣1.121121112……；0，8，﹣2；2π，﹣1.121121112……．【点睛】本题考查了实数的分类，正确掌握相关定义是解题的关键．13．观察下面一列数：—1，2，—3，4，—5，6，—7，…，将这列数排成下列形式.按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是______；数—201是第______行从左边数第______个数【答案】90， 15， 5．【分析】根据数的排列，每一行的最后一个数的绝对值等于行数的平方，并且奇数都是负数，偶数都是正数，求出第9行的最后一个数的绝对值，然后加上9即为第10行从左边数第9个数；求出与201最接近平方数为196，即可得解．【详解】∵第9行的最后一个数的绝对值为92=81，∴第10行从左边数第9个数的绝对值是81+9=90，∵90是偶数，∴第10行从左边数第9个数是正数，为90，∵142=196，201-196=5，∴数-201是第15行从左边数起第5个数．故答案为90，15，5．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出每一行的最后一个数的绝对值等于行数的平方是解题的关键．14．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6…如图所示有序排列，4所在位置为峰1，﹣9所在位置为峰2…．（1）处在峰5位置的有理数是_____；（2）2022应排在A，B，C，D，E中_____的位置上．【答案】24 A【分析】根据图示信息找出A，B，C，D，E各个位置数据的表达式，代入即可【详解】解：（1）观察发现：峰n中，A位置的绝对值可以表示为：5n﹣3；B位置的绝对值可以表示为：5n﹣2；C位置（峰顶）的绝对值可以表示为：5n﹣1；D位置的绝对值可以表示为：5n；E位置的绝对值可以表示为：5n+1；∴处在峰5位置的有理数是5×5﹣1＝24；（2）根据规律，∵2022＝5×405﹣3，∴2022应排在A的位置．故答案为：（1）24；（2）A．【点睛】此题属于找规律题，考查提取信息和总结的能力．三、解答题15．下列各数填入它所在的数集中：18-，227，3.1416，0，2001，35，0.142-，95%，π． 正数集：{ …}； 整数集：{ …}； 自然数集：{ …}； 分数集：{ …}． 【答案】见解析【分析】根据有理数的分类即可求出答案． 【详解】解：正数集：{227，3.1416，2001，95%，π} 整数集：{-18，0，2001 } 分数集：{227，3.1416，35，-0.142，95% } 非负整数集：{0，2001}【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练运用有理数的分类，本题属于基础题型，注意：π不是有理数．16．将下列各数填入它所属于的集合的圈内：20，-0.08，-213，4.5，3.14，-1，+43，+5．【答案】见解析【分析】分别判断题干中的8个数字是否符合四个圆圈的内容，相应填入数字即可 【详解】负整数，即既是负数，也是整数； 正整数，即既是正数，也是整数； 负分数，即既是负数，也是分数； 正分数，即既是正数，也是分数； 故负整数集合为：－1； 正整数集合：20、+5；负分数集合为：－0.08、1 23 -正分数集合为：4.5、3.14、﹢4 3【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是细心，切勿遗漏或重复填写数字17．把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开）6，-3，2.4，34-，0，-3.14，29，＋2，－312，－1.414，－17，23．正数：{ …}非负整数：{ …}整数：{ …}负分数：{ …}【答案】6，2.4，29，+2，23；6，0，+2；6，-3，0，+2，-17；-34，-3.14，-312，-1.414．【分析】根据大于零的数是正数，可得正数集合；根据大或等于零的整数是非负整数，可的非负整数集合；根据分母为1的数是整数，可得整数集合；根据小于零的分数是负分数，可得负分数集合．【详解】正数：{6，2.4，29，+2，23…}非负整数：{6，0，+2 …}整数：{6，-3，0，+2，-17 …}负分数：{-34，-3.14，-312，-1.414 …}【点睛】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解本题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．18．把下列各数填入相应的数集中：+125、-5％、200、-3、6.8、0、－215、0.12003407、1、-43.555、77％、-334（1）非负数集合：______________________（2）负有理数集合：________________________ （3）正整数集合：______________________（4）负分数集合：___________________________【答案】（1）+125、200、6.8、0、0.12003407、1、77％；（2）-5％、-3、－215、-43.555、-334；（3）200、1；（4）-5％、－215、-43.555、-334.【分析】根据有理数的分类，可得答案【详解】解：（1）非负数集合：+125、200、6.8、0、0.12003407、1、77％；（2）负有理数集合：-5％、-3、－215、-43.555、-334；（3）正整数集合：200、1；（4）负分数集合：-5％、－215、-43.555、-334.【点睛】本题考查了有理数，熟知有理数的分类是解题关键．19．把下列各数填在相应的横线处：115 , 0.81 -3 25% -3.1 -4 , 171 , 0 , 3.142，，，，，正数集合：_____；负数集合：_____；整数集合：_____；负分数集合：_____；有理数集合：_____．【答案】见解析【分析】根据有理数的分类进行填空即可．【详解】解：正数集合：115 0.81 25% 171 , 3.142，，，，；负数集合：-3，-3.1，-4；整数集合：15，-3，-4，171，0；负分数集合：-3.1；有理数集合：1115 0.81 -3 -3.1 -4 171 , 0 3.1424，，，，，，，，．【点睛】本题考查了有理数的分类．掌握有理数的分类是解题的关键．20．任何一个有理数都能写成分数的形式(整数可以看作是分母为1的分数)．我们知道：0.12可以写成123,0.12310025=可以写成1231000，因此，有限小数是有理数．那么无限循环小数是有理数吗？下面以循环小数2.615454542.6154••=为例，进行探索： 设 2.6154x ••=，①两边同乘以100得： 100261.54x ••=，②②-①得：99261.54 2.61258.93x =-= 25893287799001100x ∴== 因此，••261.54是有理数．（1）直接用分数表示循环小数1.5•=（2）试说明3.1415••是一个有理数，即能用一个分数表示．【答案】（1）149；（2）见解析 【分析】（1）设 1.5x •=，两边乘10，仿照例题可解；（2）设 3.1415x ••=，两边乘100，仿照例题可化简求解．【详解】解：（1）设 1.5x •=，①两边乘10得：1015.5x •=，②②-①得：914x =， ∴149x =， ∴141.59•=； （2）设 3.1415x ••=，①两边同乘以100得：••100314.15x =，②②-①得：314.15 3.1499311.1105x ••••=-= 311011036799003300x ∴==，因此3.1415••是有理数【点睛】本题需理解题中的例子，将一个循环小数化为分数的方法，需要学生有很好的分析理解能力．。

第02课时 第2章第2节 有理数与无理数[学习目标]1.知道有理数与无理数的概念。

2.能正确区分有理数和无理数.[活动方案]活动一 有理数的概念及其分类1.问题导学：所有的整数都可以化成分母为1的分数，如3= ，0= ，-5= ；一些小数也可以化成分数，如0.6= ，-1.2= ，0.333…= 。

2.概念形成：我们把能写够成分数形式m n（m 、n 是整数，n ≠0）的数叫做有理数． 3．想一想：小学里学过的有限小数和无限循环小数是有理数吗？4.有理数的分类：根据有理数的定义，有理数可以进行如下的分类：或 活动二 无理数的概念 1.议一议：是不是所有的数都是有理数呢？2.问题导学：将两个边长为1的小正方形，沿图中红线剪开，重新拼成一个大正方形，它的面积为2．如果大正方形的边长为a ，那么a 2＝2．a 是有理数吗？⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数3.归纳：事实上，a 不能写成分数形式m n（m 、n 是整数，n ≠0），a 是无限不循环小数，它的值是1.414 213 562 373…．4.概念形成：无限不循环小数叫做无理数．特别提醒：小学学过的圆周率π是无限不循环小数，它的值是3.141 592 653 589…，π是无理数．此外，像0.101 001 000 1…、－0.101 001 000 1…这样的无限不循环小数也是无理数．活动三 有理数与无理数的判断1.将下列各数填入相应括号内：169.36--，，，42，0，-0.33，0.333， 1.414 213 56，－2π，3.303 003 000 3，-3.141 592 6．正数集合：{ …}；负数集合：{ …}；正有理数集合：{ …}； 负有理数集合：{ …}；无理数集合：{ …}．2. 判断题.(1)无理数都是无限小数. ( )(2)无限小数都是无理数. ( )(3)有理数与无理数的差都是有理数. ( )(4)两个无理数的和是无理数. ( )3.以下各正方形的边长是无理数的是（ ）（A ） 面积为25的正方形；(B) 面积为16的正方形；(C) 面积为3的正方形；(D) 面积为1.44的正方形.[检测反馈]1.把下列各数填在相应的大括号内：35，0，π3，3.14，－23，227，49，－0.55，8，1.121 221 222 1…(相邻两个１之间依次多一个２)，0.211 1，999正数集合：｛ …｝；负数集合：｛ …｝；有理数集合：｛ …｝；无理数集合：｛ …}.2.下列数中，是无理数的是（ ） A. -1 B.12- C.π D.3.14 3.下列说法错误的是（ ）A.负整数和负分数统称负有理数B.正整数、0、负整数统称为整数C.正有理数与负有理数组成全体有理数D.3.14是小数, 也是分数4.写出一个负无理数： 。

有理数讲义1、了解有理数的分类。

2、掌握数轴的定义和性质以及它的作用。

3、掌握有关有理数和数轴的典型题目的解题方法。

有理数1、有理数的概念⑴______、______、______统称为整数（0和正整数统称为______自然数）⑵______和______统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2、有理数的分类总结：①正整数、0统称为______（也叫自然数）②负整数、0统称为______③正有理数、0统称为______④负有理数、0统称为______数轴3、数轴的概念规定了______，______，______的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的______；⑵______、______、______是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要______；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

4、数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是______关系。

（如，数轴上的点π不是有理数）5、利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数______；⑵正数都______0，负数都______0，正数______负数；⑶两个负数比较，距离原点______的数比距离原点______的数小。

6、数轴上特殊的最大（小）数⑴最小的自然数是______，无最大的自然数；⑵最小的正整数是______，无最大的正整数；⑶最大的负整数是______，无最小的负整数7、a可以表示什么数⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=08、数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

有理数与无理数知识点以及专项训练知识点1：有理数有理数：有理数是整数和分数的统称；正整数：1、2、3、4、5···整数： 0负整数：-1、-2、-3、-4、-5····分数：正分数：12、65、83···负分数：−12、−56、−38、−215···注意分数：只要能够写成分子、分母都是整数且分子不是分母倍数的数都是分数。

有限小数、无限循环小数由于都能够写成这种形式，所以它们都是分数。

非正整数：0、-1、-2、-3、-4···非负整数：0、1、2、3、4、5···最小的正整数：1最大的负整数：-1有理数的划分：（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：知识点2：无理数无理数：无限不循环小数叫做无理数。

我们初中接触到的数中，不是有理数就是无理数。

无理数常见的特征：①看似循环实际不循环： 0.1010010001…（每两个1之间0的数量逐渐增加）、0.12345678910111213…（数字按照规律逐渐增加）②含π类的数：2π、12π、-10π等等③含√类：√2、√3、√5、2√2、√10等等；但是注意：√4=2、√9=3、√16=4、√25=5等等，这些属于整数。

知识点3：循环小数化分数定义：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．纯循环小数：从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、0.2·等等纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如 0.3=39=13，0.189=189999=737．混循环小数：如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：0.1·2·、0．3456456…．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．0.918=918−9990=101110，0.239=239−23900=625，0.35135=35135−3599900=3510099900=1337注意： （1）任何一个“循环小数”都可以化为“分数”．（2）“混循环小数”化“分数”也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．【有理数和无理数】1. 下列各数是正整数的是（ ）A ．－1B ．2C ．0．5D ．√22. 下面说法中正确的是（ ）．A ．非负数一定是正数．B ．有最小的正整数，有最小的正有理数．C ．−a 一定是负数．D ．正整数和正分数统称正有理数． 3. 下列四种说法，正确的是（ ）.A. 所有的正数都是整数B. 不是正数的数一定是负数C. 正有理数包括整数和分数D. 0不是最小的有理数4. 下列说法正确的是（ ）A ．整数就是正整数和负整数B ．分数包括正分数、负分数C ．正有理数和负有理数统称有理数D ．无限小数叫做无理数5. 下列说法：①一个有理数不是整数就是分数；②有理数包括正有理数和负有理数；③分数可分为正分数和负分数；④存在最大的负整数；⑤不存在最小的正有理数．其中正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 6.112是（ ）A ．整数B ．有限小数C ．无限循环小数D ．无限不循环小数7. 在实数√5、227、0、π2、√36、﹣1.414，有理数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8. 下列实数中，是无理数的为（ ）A ．﹣4B ．0.101001C ．13D ．√29. 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）A.面积为25的正方形；B.面积为16的正方形；C.面积为8的正方形；D.面积为1.44的正方形． 10. 下列说法正确的是（ ）A ．不循环小数是无理数B ．无限不循环小数是无理数C ．无理数大于有理数D ．两个无理数的和还是无理数 11. 下列说法：①﹣2.5既是负数、分数，也是有理数；②﹣22既是负数、整数，也是自然数；③0既不是正数，也不是负数，但是整数；④0是非负数． 其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12. 已知a 为有理数，b 为无理数，你们a +b 为___________．13. 在﹣1、0.2、−15、3、0、﹣0.3、12中，负分数有_______________________，整数有_____________________．14. 在227、3.14159、√7、﹣8、√23、0.6、0、√36、π3中是无理数的个数____________．15. 在有理数−23、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有_________． 16. 请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1、0.0708、 -700、 -3.88、 0、3.14159265、 −723、0.2·3·正整数集合:{ }； 负整数集合:{ }； 整数集合:{ }； 正分数集合:{ }； 负分数集合:{ }； 分数集合:{ }； 非负数集合：{ }； 非正数集合：{ }. 17. 将下列各数填入相应的括号内3π、-2、−12、3．020020002…、0、227、2、2012、-0.2·3·整数集合：{ } 分数集合：{} 负有理数集合：{ } 无理数集合：{}18. 下面两个圆圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置．﹣28%、−（−37）、﹣2014、3.14、﹣（+5）、﹣0.3·【循环小数化分数】1. 把循环小数6.142化成分数是（ ） A ． 6142999B ． 6745C ． 62999D ． 6322252. 在6.4040…、3.333、9．505，三个数中，6.4040…是循环小数，把这个数化为分数可以写作________________． 3. 0.2666…化为分数是_______________．4. 把下列循环小数化分数 （1）0.6·（2）3.1·02·（3）0.21·5·（4）6.353·（5）0.7·8· （6）1. 7·8·（7）0.17·8·（8）1.17·8·5. 试验与探究我们知道13写为小数即0.3·，反之，无限循环小数0.3·写成分数即13．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以0.7·为例进行讨论：设0.7·= x ，由0.7·=0．7777…，可知，10x −x =7，解方程得x =79，于是得0.7·＝79．请仿照上述例题完成下列各题： （1）请你把无限循环小数0.5·写成分数，即0.5·=_____________． （2）你能化无限循环小数0.7·3·为分数吗？请仿照上述例子求之．有理数与无理数知识点以及专项训练（含有答案解析）知识点1：有理数有理数：有理数是整数和分数的统称；正整数：1、2、3、4、5···整数： 0负整数：-1、-2、-3、-4、-5····分数：正分数：12、65、83···负分数：−12、−56、−38、−215···注意分数：只要能够写成分子、分母都是整数且分子不是分母倍数的数都是分数。

一、有理数1、我们把能够写成分数形式mn（m,n是整数，n≠0）的数叫做有理数．（1）有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数．（2）所有整数都可以写成分母是1的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数．（3）整数和分数统称有理数.(有理数也叫可比数)（4）整数：正整数、零和负整数统称为整数。

（5）自然数：正整数和零。

（6）分数：正分数和负分数统称为分数。

注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，它们都是有理数。

例：0.333 ……可以化为3例题11．下列各数中是有理数的是（）A．2B．32C．13D．π【答案】C 【分析】根据无理数的定义2与32开方开不尽，是无理数，π是无限不循环小数，是无理数，得到答案．【详解】解：A、2开方开不尽，是无理数，不符合题意；B、32开方开不尽，是无理数，不符合题意；C、13-是负分数，是有理数，符合题意；D、π是无限不循环小数，是无理数，不符合题意；故选：C．二、有理数分类1、有理数：整数与分数统称为有理数。

整数包括三类：正整数、零、负整数。

分数包括两类：正分数和负分数。

2、注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除和与有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。

3、按整数、分数的关系分类：4、按正数、负数、零的关系分类：5、有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.6、分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．7、正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．例题22．下列说法错误的是（）A．最小自然数是0B．最大的负整数是1-C．没有最小的负数D．最小的整数是0【答案】Dπ310.393==，1890.189999==．混循环小数）如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：0.12、0．3456456…）混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．9181010.918990110-=，239230.239900-=351350.3513599900-=11000|,,1.2312--，3216,0.303003000…（两个3.14，2+3根据无限不循环小数是无理数即可解答.3.14，2+3）表示的数一定是负数。

七年级数学上册2.2有理数与无理数已知一个数的绝对值怎样求这个数？素材（新版）苏科版
难易度：★★★★
关键词：一个数绝对值这个数
答案：
一般地，一个数的绝对值是在数轴上表示这个数的点到原点的距离，当绝对值已知时，即这个距离已知，这样的点有两个，从而表示的数也有两个，他们互为相反数；绝对值为零的数是零；没有绝对值为负数的数。

【举一反三】
典例：（1）已知一个数的绝对值是5，求这个数？
（2）已知一个数的绝对值是0，求这个数？
（3）绝对值是-9的数是否存在？
思路导引：绝对值是正数的数有两个，他们互为相反数；绝对值为零的数是零；没有绝对值为负数的数。

标准答案：
（1）这个数是5或-5；
（2）这个数是0
（3）不存在。