有理数无理数之战

《奇妙的数王国》读书笔记《奇妙的数王国》读书笔记范文（精选5篇）当细细品完一本名著后，大家一定都收获不少，需要好好地就所收获的东西写一篇读书笔记了。

可是读书笔记怎么写才合适呢？以下是小编帮大家整理的《奇妙的数王国》读书笔记范文（精选5篇），仅供参考，大家一起来看看吧。

《奇妙的数王国》读书笔记1今天，我看了《奇妙的数王国》这本书。

里面有10篇故事，其中一篇叫奇妙的数王国，写的是小华和小强一起到数王国，他们和双数还有单数做了许多数学题，我真佩服小华和小强。

第二篇是猪八戒新传，讲的是猪八戒被孙悟空的怪题难住了。

最后，悟空帮他解开了难题……我喜欢这本书，从这本书中我了解数学的奥妙和学习数学的快乐，并且对数学会有更大的兴趣。

《奇妙的数王国》读书笔记2今天，我读了一本名叫《奇妙的数王国》，这本书非常好看，讲了许多的数学童话，寓教于乐，能激发我们对数学的兴趣，里面的故事很有趣，也很搞笑。

说了猴法官和熊警探联合破案，除暴安良，保护动物的故事，用智慧与狐狸等狡猾的动物轮番交战，最后以猴法官的机智勇敢而告终。

从这本书我懂得了：做班干部，一档尽到自己应该做的，不是拿权力来约束别人，要起带头作用。

做一个品学兼优的好孩子。

《奇妙的.数王国》读书笔记3今天我读了李毓佩教授著的《奇妙的数王国》，这本书写了十个数学故事，分别是奇妙的数王国、猪八戒新传、长鼻子大仙、熊法官和猴警探、梦游“零王国”、神秘数、有理数和无理数之战、7和8的故事和鹰击长空。

其中我对奇妙的数王国印象最深，一是它的故事最长，二是它讲到数字、分数、小数点王国发生的有趣事。

李教授用故事让我们学会数学，而且用一些高年级的知识让我们现在就知道，所以我喜欢这本书。

《奇妙的数王国》读书笔记4今天老师发给了我一本书，名字叫奇妙的数王国我感到很高兴，因为我能读到好书了，这本书对我很有帮助。

这本书写了数字的力量是无穷的，我感受到了小强和小华的聪明和数字的奇妙的快乐，小强是个善于动脑筋的孩子，小华他很聪明还很善良，1司令很善良，2司令有终身报效数字王国的精神，0国王很热心还很善良，平行四边形家族有奉献的精神，它们很棒。

数学史上的三次数学危机的成因分析数学的发展并非一帆风顺，在其漫长的历史进程中，曾经历了三次重大的危机。

这些危机不仅对当时的数学界产生了巨大的冲击，也推动了数学的不断进步和完善。

第一次数学危机发生在古希腊时期，主要源于对无理数的发现。

在古希腊，毕达哥拉斯学派深信“万物皆数”，这里的数指的是整数以及整数之比（有理数）。

他们认为，宇宙中的一切现象都可以用有理数来解释和描述。

然而，毕达哥拉斯学派的一个成员希帕索斯却发现了一个惊人的事实：边长为 1 的正方形，其对角线的长度无法用有理数来表示。

按照勾股定理，这个对角线的长度应该是根号 2。

但根号 2 既不是整数，也不是两个整数之比，这一发现直接冲击了毕达哥拉斯学派的基本信念。

这次危机的成因可以归结为以下几点。

首先，当时的数学观念和认知存在局限性。

人们过度依赖于整数和有理数来理解世界，对于无法用已有数学概念表达的量缺乏准备。

其次，数学的推理和证明体系还不够完善。

在面对根号 2 这样的新对象时，缺乏严谨的逻辑方法来处理和理解。

第一次数学危机的影响是深远的。

它促使人们重新审视数学的基础，推动了数学逻辑和证明的发展。

数学家们开始意识到，仅仅依靠直观和经验是不够的，必须建立更加严谨的数学体系。

第二次数学危机则与微积分的基础问题相关。

在 17 世纪，牛顿和莱布尼茨各自独立地发明了微积分。

微积分在解决众多科学和工程问题中显示出了强大的威力，极大地推动了科学技术的发展。

然而，微积分在创立初期却存在着逻辑上的漏洞。

例如，在求导数的过程中，无穷小量的概念含糊不清。

无穷小量有时被看作是零，有时又被当作非零的量参与运算，这引发了广泛的争议。

造成第二次数学危机的原因主要有两个方面。

一方面，微积分的发展速度过快，其应用的迫切需求超过了理论基础的完善速度。

科学家们急于利用微积分解决实际问题，而对其内在的逻辑矛盾关注不够。

另一方面，当时的数学分析方法还不够精确和严格。

对于极限、无穷小等概念的理解和定义存在模糊性。

数学史上一共发生过三次危机，都是怎么回事？在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。

第一次数学危机第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。

但是该学派的一个门徒希帕索斯发现，边长为“1”的正方形，其对角线“√2”无法写成两个整数的商，由此发现了第一个无理数。

毕达哥拉斯的其他门徒知道后，为了维护门派的正统性，把希帕索斯杀害了，并抛入大海之中，看来古人也是解决不了问题时，先解决提出问题的人。

即便如此，无理数的发现很快引起了一场数学革命，史称第一次数学危机，这危机影响数学史近两千年的时间。

第二次数学危机微积分是一项伟大的发明，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方，这遭到了一些人的强烈反对和攻击，其中攻击最强烈的是英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。

直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。

第三次数学危机数学家总有一个梦想，试图建立一些基本的公理，然后利用严格的数理逻辑，推导和证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，让数学家们看到了曙光，法国科学家庞加莱认为：我们可以借助结合论，建造起整座数学大厦。

正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：罗素悖论通俗描述为：在某个城市中，有一位名誉满城的理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。

”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮？罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。

数学童话故事——两军之战故事发生在一个我们熟悉的国度——数学之国，这里街道上到处是熙熙攘攘的人群，鸟语花香，莺歌燕舞，阳光金灿灿铺了一地，好一片平静安详的景色，颇有时光流逝岁月静好的意境。

而在这个国家西北角昏暗的地下室里，却在密谋着一个惊天动地的阴谋。

“真的能成功吗？”一个嘶哑的男低音说到。

“呵呵，绝对没问题，”这次是一个尖细的女声，“我请来了特殊的帮手，保证万无一失。

”“哼，那就看你的了。

”斗篷一甩，留着大胡子的老头在桌上磕了磕烟斗，转身走出门口：“三日后城北坡见，不要让我失望。

”无的高跟鞋在木质的地板上发出清脆的声响，用尖细的声音朝门口喊道：“少瞧不起人了！”空荡的房间里传来低语：“呵呵，看我怎么打垮你们，有理数大军。

”三日后，数学城外，北坡。

“好！你的帮手还真不是盖的！”大胡子老头爽朗一笑，吸了口烟斗。

“那是。

”无看着眼前一大片无理数大军，露出一个危险的笑容：“不过这还不是全部。

”“哦？此话怎讲？”“呵呵，”无抽出一柄长剑，“到时候就知道了。

”大胡子老头没接话，只是冲前面前黑压压一片的大军喊道：“听我指令，战斗开始后，一队从东面进发，和从西面进发，其他的，从正北和大部队一起进发。

”“准备！”大胡子一声令下，城北的山坡上立即打出无数面π字旗，预示着战斗的开始。

“全军出击！”黑压压的军队喊着冲锋的口号一齐向城门冲去。

城门上的守卫如梦初醒般敲响了城头的警钟“duang~duang~”的声音仿佛是死神降临的声音。

训练有素有理数大军立即列队出城迎战，两方打得胶着不堪，就在战势紧张之时，有理数大军中冲出一列和，无理数前锋纷纷一愣“这不是自己人么？怎么从敌方军队里杀出来了？”趁着这短暂的几秒钟时间，有理数大军一下子占了上风，小队队长哈哈一笑“没想到吧！有理数里也有跟你们无理数长得像的！冲！”这下无理数军队一下子失去了主动的优势，开始往后退，战斗进入了白热化阶段。

远处观望的无眉头微皱：“没想到这么快。

”放下望远镜从衣兜里拿出一个小巧的铜号，吹响。

浙教版3.2实数的教案【篇一：《3.2实数》教学设计】《3.2实数》教学设计（一）教学目标1从感性上认可无理数的存在，并通过探索说出无理数的特征，弄清有理数与无理数的本质区别，了解并掌握无理数、实数的概念以及实数的分类，知道实数与数轴上的点的一一对应关系。

2让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握“逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法3培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点（二）教材分析重点：无理数、实数的意义，在数轴上表示实数。

难点：无理数与有理数的本质区别，实数与数轴上的点的一一对应关系。

（三）学生分析学生对有理数和平方根已有初步的了解，也已经了解近似数，掌握计算器的简单运用。

但对七年级学生来讲，思维仍较直观，无理数显得比较抽象，难以理解。

对2的探索是本课的关键，不仅得到无理数的概念，还有利于培养学生的分析、探索的能力。

（四）设计理念让学生主动参与合作交流，探索、发现，注重知识形成的过程（五）教学方法启发式、探索式教学（六）教学过程1 复习旧知，揭示矛盾，引入概念回顾书本 3 .1探究活动（图3.2），复习前面所学的有出现矛盾以后，本课以2为例，从2开始，来探索无理数的特征，学习实数。

1.2 联系实际创设问题情境：如果你是布料销售店的售货员，假设我要买剪2米布，你将会给我剪多少比较合适？学生能从上节的图3-2中估计2在1与2之间引导学生借助计算器进行合作学习：（1）根据上节课 1＜2＜2，确定√2=1.?（2）确定小数点后第一位数计算1.12 1.22 1.321.421.521.42 =1.96 ＜2 1.52 =2.25＞2 就不必再算下去了很明显1.4＜2＜1.5 。

也有学生可根据以往经验马上由1.42 =1.96 ＜2 1.52=2.25＞2得到1.4＜2＜1.5。

根据以上得：2=1.4?（3）再求下一位计算1.412 1.422 等2 =1.41?到此为止，能解决上面问题，大约剪1.4 米或1.41米就可以了。

什么叫有理数和无理数
有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，不是有理数的实数称为无理数。

接下来看一下具体的内容。

有理数的定义及分类
有理数是指两个整数的比。

有理数是整数和分数的集合。

整数也可看做是分母为一的分数。

有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。

(一)按有理数的定义分类：
(1)整数：整数就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等这样的数。

整数包括正整数、0、负整数。

其中零和正整数统称自然数。

(2)分数：分数是一个整数a和一个正整数b的不等于整数的比。

分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例。

(二)按有理数的性质分类:
(1)正有理数：除了负数、0、无理数的数字都是正有理数。

正有理数还被分为正整数和正分数。

(2)0：0是介于-1和1之间的整数，是最小的自然数，也是有理数。

(3)负有理数：负有理数指小于0的有理数，就是小于零并能用小数表示的数。

什么叫无理数
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。

若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

常见的无理数
(1)无限不循环小数
0.101001000100001……、3.1415926……0.107856386510……等。

(2)含有π的数
π、4π、π/2、√7π、π+3等。

(3)开方开不尽的数
√2、√3、√5、2√2等(4)某些三角函数值sin25°、tan78°等等。

有理数与无理数的门当户对原理有理数与无理数是数学中的两个重要概念，它们在数学的发展中起着至关重要的作用。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则是不能表示为两个整数的比值的数。

虽然有理数和无理数在数学上有着明显的区别，但它们之间却存在着一种奇妙的关系，即门当户对原理。

门当户对原理最早出现在古代婚姻观念中，用来形容两个家庭的社会地位、经济条件和文化素养是否相当。

如果两个家庭的门当户对，那么他们的婚姻就会更加稳定和幸福。

同样地，有理数和无理数之间的关系也可以用门当户对原理来解释。

有理数是可以用分数或小数表示的数，它们可以精确地表示为两个整数的比值。

例如，1/2、3/4、0.25等都是有理数。

有理数具有有限的小数位数或循环小数的特点，可以被精确地计算和表示。

有理数在数学中起着重要的作用，它们可以用来解决实际问题，进行精确的计算和推理。

无理数则是不能用分数或有限小数表示的数，它们的小数位数是无限的、无循环的。

例如，π和√2都是无理数。

无理数的出现是为了填补有理数中的空白，使得数学能够更好地描述和解释现实世界中的现象。

无理数在几何学、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用，它们可以用来描述曲线、测量长度和计算面积等。

有理数和无理数之间的关系可以用门当户对原理来解释。

有理数是可以精确地表示和计算的，而无理数则是无法精确地表示和计算的。

然而，有理数和无理数之间存在着一种奇妙的关系，即无理数可以通过有理数的逼近来近似表示。

例如，我们可以用有理数来逼近π的值，如3.14、3.1416等，虽然这些值并不是π的精确值，但它们可以足够接近π的真实值。

这种逼近关系可以用数学中的极限概念来描述。

极限是数学中的一个重要概念，它可以用来描述一个数列或函数在无限接近某个值时的性质。

在有理数和无理数之间的关系中，有理数可以看作是无理数的逼近值，而无理数则可以看作是有理数的极限值。

有理数和无理数之间的这种逼近关系使得数学能够更好地描述和解释现实世界中的现象。

奇妙的王国作文奇妙的王国作文300字（精选48篇）奇妙的王国作文篇1放假了，不是做作业就是看书，无聊死了！咦，“六一”节那天，我不是买了几本书吗？不如现在拿出来回味一下，我兴致大发，津津有味的读了起来。

这本书主要讲了一对兄弟：弟弟小华和哥哥小强，在山上发现了奇数和偶数在打仗，还发现饿了他们国的国王在哭，读到这里，我的脑海中出现了两一个问号：国王为什么哭呢？真奇怪，我接着往下读，原来是这样，国王想着他们两组数如果继续吵，那么他会成为光杆国王的，于是，他和那对兄弟商量了起来，到最后，他们终于团结了。

这时，我觉得团结就是力量，我想着想着，觉得这个故事真长，真有科幻的.样子，我不由的想到了莱特兄弟。

莱特兄弟是飞机的创造着，他们由飞在天空中的风筝想到了飞机，是他们积极的想象力和团结创造了飞机，相信我和表妹也一样。

说来也巧，我和我的表妹也很团结，有一次，我和表妹去搬砖头，一个又一个的砖头沉沉的，我和表妹喊着“一二一”的口号，团结的把砖头搬完了。

读完这本书，我的假期好像也变得充实了许多。

奇妙的王国作文篇2数学是一位伟大的魔法师，它大到整个宇宙，小到一个纳米，无处不在。

今天，我从图书馆借来了一本名叫奇妙的数王国这本数学课外书，下午就沉迷在这本书里。

这本书可真有趣，有奇妙的数王国，猪八戒新传，长鼻子大仙，熊法官和猴警探，梦游“零王国”，神秘数，有理数和无理数之战，小数点大闹整数王国，七和八的故事，鹰击长空这些故事。

我从中知道了小数点能把任何数都变成另外一个数，可是却对零毫无作用。

这是为什么呢？因为零既不是正数又不是负数，无论在零的前面或者后面都没有用，就算在零的上面也毫无作用。

上面还讲了一个叫做九宫图的，无论你是横着加还是竖着加还是斜着加，三个数之和都得15，五居中央，有四种方法可以得15，而别的数居中央则只有三种方法。

这就是我在这本名叫奇妙的.数王国的书里所学到的知识。

我爱不释手，它扎根在我心里，原来阅读数学课外书让我明白了数学书中得不到的知识。

有理数与无理数的门当户对原理门当户对原理是指两个人或两件事物在其中一种程度上能够相互适应、相互匹配、相互协调。

在有理数与无理数之间，也存在一定程度上的门当户对原理。

有理数是可以表示为整数与分数的形式的数，而无理数则是不能用有限的小数或分数表示的数。

有理数可以被精确地表示，而无理数则是无限不循环的小数。

有理数与无理数之间的门当户对原理反映了它们在数学运算中的相互关系，以及它们在现实生活中的相互作用。

首先，有理数和无理数之间存在运算的门当户对原理。

两个有理数的运算结果通常仍然是有理数。

例如，两个整数相加、相减、相乘得到的结果仍然是整数；两个分数相加、相减、相乘得到的结果仍然是分数。

而有理数与无理数进行运算，则通常得到无理数的结果。

例如，有理数与无理数相加、相减、相乘得到的结果通常是无理数。

其次，有理数与无理数之间存在数轴的门当户对原理。

数轴是一条直线上的一个有向线段，用来表示实数集。

有理数可以在数轴上准确地标出，而无理数则无法准确地标出，只能用一定的近似值表示。

有理数与无理数在数轴上形成了一个有序的整体，互相补充、相互融合。

再次，有理数和无理数之间存在功能的门当户对原理。

有理数在代数运算中具有很强的实用性，能够精确计算、推导。

无理数则在几何建模、物理计算、信号处理等领域具有重要的作用。

有理数和无理数在不同领域都有各自的优势和重要性，互相补充、相互支持。

最后，有理数与无理数之间存在思维方式的门当户对原理。

有理数通常是通过逻辑推理、数学运算等方式得到的，符合人们对数学的常规思维方式。

而无理数则是通过数学证明、数学建模等方式得到的，需要一定的抽象思维和创造性思维。

有理数和无理数在数学思维方式上具有不同的特点，互相补充、相互促进。

综上所述，有理数与无理数之间存在一定程度上的门当户对原理。

它们在数学运算、数轴表示、功能应用和思维方式上相互补充、相互匹配、相互协调。

这种门当户对原理不仅在数学领域中体现，也在其他领域中有着重要的意义，是我们对有理数与无理数关系的深入理解和应用的基础。

有理数战无理数的观念取训练之阳早格格创做 知识浑单1定义：有理数：咱们把不妨写身分数形式nm (m 、n 是整数，n≠0)的数喊干有理数.无理数：①无限②没有循环小数喊干无理数.2有理数的分类整数战分数皆不妨写身分数的形式，它们统称为有理数.整既没有是正数，也没有是背数.有限小数战无限循环小数是有理数.3无理数的二个前提条件：（1） 无限（2）没有循环4二者的辨别：（1）无理数是无限没有循环小数，有理数是有限小数或者无限循环小数.（2）所有一个有理数后不妨化为分数的形式，而无理数则没有克没有及.典范例题例1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ -3，3π，-61，0.333…，3.30303030…，42，-3.1415926,0，3.101001000……（相邻二个1之间0的个数逐个加1），里积为π的圆半径为r.例2：下列道法精确的是：（）A.整数便是正整数战背整数B.分数包罗正分数、背分数闯闭齐练一.挖空题：m(m、n是整数，n≠0)的数（1）咱们把不妨写身分数形式n喊干.（2）有限小数战皆不妨化为分数，他们皆是有理数.（3）小数喊干无理数.（4）写出一个比-1大的背有理数.（1）无理数取有理数的好皆是有理数；（2）无限小数皆是无理数；（3）无理数皆是无限小数；（4）二个无理数的战纷歧定是无理数.（5）有理数纷歧定是有限小数.问案例1：π，0，3.101001000……，（相邻二个1之间0无理数有：3的个数逐个加1）1，0.333…，3.30303030…，42，-3.1415926,0，有理数有：-3，-6里积为π的圆半径为r例2：B（A，另有0 C，另有0 D，无限没有循环）闯闭齐练一、（1）有理数（2）无限循环小数、（3）无限没有循环小数、（4）问案没有唯一，如：-0.5二、（1）错，如3π-0=3π （2）错，如：0.333…（3）对于，无理数的二个前提条件之一无限（4）对于，3π+（-3π）=0 （5）对于，如：0.333…。

奇妙的数学王国读后感（通用7篇）奇妙的数学王国篇1这本书的作者是著名科普作家李毓佩，这本书还是一套丛书中的一本，一套共22本呢！这本里包含《奇妙的数王国》、《猪八戒新传》、《长鼻子大仙》、《熊法官和猴警探》、《梦游“零王国”》、《有理数和无理数之战》、《小数点大闹整数王国》、《7和8的故事》和《鹰击长空》十篇故事。

这本书的故事一个个都既形象又生动，这使得我废寝忘食地看它。

看完这本书后，我对数学的兴趣更浓厚了，更爱看李毓佩的数学故事了，更想要数学故事书了。

你想要这本书吗？如果想，就去买一本吧！奇妙的数学王国读后感篇2假期里我读了《奇妙的数王国》这本书，书中有很多数学故事，使我受到了启发，我的数学成绩不是很好，看了这本书，我渐渐的对这些数字有了很大的兴趣，并和数字们交上了朋友。

小华，小强，小毅等个个都是数学天才，整数王国、分数王国、小数点王国，三角形家族、四边形家族，创造了一个又一个的数字故事，数字7和数字8度过了一个奇妙的历险。

在这里孙悟空竟然也有数学问题，孙悟空学好了数学，师徒四人乘着数学往西天取经去。

这些数字真是太神奇了！我喜欢小小的字母a。

因为它什么数字都能变得出来，连最奇妙的∏都拿它没办法，字母a的小尾巴一翘一翘的，真可爱，我也想变成小小的字母a。

小数点王国里居住着无限循环小数，零国王的国家里，发生了许多奇妙的事件。

数学王国可真奇妙，它让我了解了方程，让我懂得了有理数、无理数，偶数、奇数，更让我懂得了生活中处处都离不开数学。

此外，我还认识了相亲数。

220和284就是一对相亲数。

220的所有真因数相加就是284，284的所有真因数相加就是220。

相亲数让我知道了：你中有我，我中有你，相亲相爱，永不斗争。

看了这本书，我了解了数学的许多奥秘，数学在我眼里变得更奇妙了，我对数学的兴趣又增加了一层。

奇妙的数学王国读后感篇3寒假里，我和妈妈一起读了李毓佩教授写的《奇妙的数王国》这本书，这是一本数学童话故事书。

史上的三次数学危机第一次数学危机历史背景毕达哥拉斯（约公元前572年——公元前492年）是一位古希腊的数学家及哲学家，他曾有一句名言「凡物皆数」，意思是万物的本原是数，数的规律统治万物。

不过要注意的是，在那个年代，他们相信一切数字皆可以表达为整数或整数之比——分数，简单而言，他们所认识的只是「有理数」。

有趣的有理数当时的人只有「有理数」的观念是绝不奇怪的。

对于整数，在数在线我们可以知道是一点点分散的，而且点与点之间的距离是一，那就是说，整数不能完全填满整条数线，但有理数则不同了，我们发现任何两个有理数之间，必定有另一个有理数存在，例如：1与2之间有1/2，1与1/2之间有1/4等，因此令人很容易以为「有理数」可以完全填满整条数线，「有理数」就是等于一切数，可惜这个想法是错的，因为……勾股定理、毕氏铁拳伟大的时刻来临了，毕达哥拉斯发现了现时众所周知的勾股定理（其实中国于公元前一千一百年已有此定理），从这个定理中，毕达哥拉斯发现了一件不可思议的事，就是腰长为１的等腰直角三角形的斜边长度，竟然是一个无法写成为有理数的数。

亦即是说有理数并非一切数，存在有理数以外的数，有理数不可以完全填满整条数线，他们心中的信念完完全全被破坏了，他们所恃和所自豪的信念完全被粉碎。

在当时的数学界来说，是一个极大的震撼，也是历史上的「第一次数学危机」。

新的一页原来「第一次数学危机」是「无理数」的发现，不过它还说出了「有理数」的不完备性，亦即有理数不可以完全填满整条数线，在有理数之间还有「罅隙」，无疑这些都是可被证明的事实，是不能否定的。

面对着事实，数学家展开广阔的胸襟，把「无理数」引入数学的大家庭，令数学更丰富更完备，加添了无理数，数线终于被填满了。

第二次数学危机「飞矢不动」的吊诡古代的希腊是研究哲学的人聚集的地方，在云云的哲学学派之中，其中一派主张「存在是静止的，不变的，永恒的，变化与运动只是幻觉。

」至于这个主张的理念，不是我们的讨论范围，不过，这个学派的学者之一——芝诺，为了论证运动是幻象，提出了「飞矢不动」的「理论」：箭在每一瞬间都要占据一定的空间位置，即箭在每一瞬间存在，即箭在每一瞬间都是静止的，又怎可能动呢？数学——打破吊诡的武器当然我们完全明白「飞矢不动」是一个歪论，但数学是一个讲究严谨的学科，数学家们要从问题的核心「动」作为开始，要证明「飞矢必动」。

对有理数和无理数的认识摘要：本文将对有理数和无理数的由来、概念及性质作一介绍，试图对数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。

关键词：有理数 无理数 代数无理数与超越无理数一、 有理数1、有理数的由来在远古时候人们的生活经历探索，由模型到符号的演变发展成现在数及其符号，算术运算和早期代数也随之发展起来，在这里不做详细说明(大家可以参考由［英国］ 蒂莫西·高尔斯的《数学史》译:刘熙文献)，今日的算术和维叶塔以前的算术的区别在于对“不可能”到可能“可能”态度的转变，17世纪以前的代数家赋予这个名词有绝对的意义，认定了自然数是一切算术运算的特有数域，他们把可能性或者说，限制了的可能性，视为这些运算的内在性质。

也既是算术的直接运算乘法(ab)、加法（a+b ）、自乘(ba )在自然数域中是全可能的，然而逆运算除法（ba ），减法（a-b ）、开方（b a ）要在只在有限制的条件下成立。

维塔娜以前的代数学家只满足于陈述这些事实，他们不能对这些问题做更深入的分析。

然而算术直接运算之所以全可能，是因为这些运算只不过是一系列重复运算，一步步深入到自然数中，然自然数我们先验假定为无限。

若要除去这个假定，我们把算术域限于一个有限集合（比如1000以内自然数）因此998+456>1000、600 X 50>1000就变的没意义了，然而相对式子也就失去意义。

或者限于奇数，对乘法还是全可能(奇数之积任为奇数)，然而加法就不成立了。

因此在自然数域中算术运算是全可能的。

那么问题来了，能否把把数域扩大使得算术逆运算也成立，然而对于减法，我们只要把负数和0加进去就可以了。

对于除法，只要把正负分数加进去就使得除法也全可能。

因此由正负整数，正负分数和0组成的数域称为有理数域。

（希腊文称为λογος，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。

《奇妙的数王国》读后感《奇妙的数王国》读后感1读了《奇妙的数王国》这本书，我知道了很多数学知识。

如：组成相亲数条件是甲数的所有真因数之和等于乙数，而乙数所有真因数之和又恰好等于甲数，这就是一组相亲数了；古埃及分数是包括2/3和所有分子是1的分数；6是最小的完全数；无限循环小数0.66767……可以简写成0.67；2=1。

在这本书里，我觉得最有趣的是有理数和无理数之战。

故事中，因为无理数要求改名字，而有理数不答应，无理数一气之下就跟有理数打了起来。

经过Л司令和1司令的同意，司令们来了一场决斗。

后来经过两场决斗，Л司令自知不是1司令的对手就撤回了自己的疆土，再也不来侵犯了。

《奇妙的数王国》里的故事也很好看，这本书以讲故事的形式说了很多数学原理。

比如：“大战野牛山”这个小故事让我明白了三角形具有稳定性；“孙悟空遇到难题”的故事让我知道0.9=1；“重建小数城”让我学会了宽除以长等于0.618的长方形是黄金长方形。

《奇妙的数王国》这本书让我学会了很多很多的数学知识，我推荐大家看这本书。

《奇妙的数王国》读后感2《奇妙的数王国》非常好看，里面有很多小故事。

每个故事里可少不了数学，否则，这本书的书名怎么可能叫奇妙的数王国呢?里面的故事像点缀在夜空中的星星，有很多。

其中一颗最明亮，最可爱，也是我最喜欢的。

这是关于小强和小华在数王国的历险记。

有一个暑假里小华和他哥哥小强来到了数王国。

当小强帮零国王去找十分之一王国时，小华遇到了一只丑陋的乌龟，其实是仙鹤王子。

数王国的2司令心胸太狭窄。

仙鹤王子休息时身体摆成了一个2字形。

2司令逼他换个姿势，人家仙鹤王子当然不愿意，两人越说越僵后来2司令就把仙鹤王子变成了丑乌龟。

并且还用一个数谜把他封印住了。

最后小华还是帮仙鹤王子解开了咒语。

这本书非常有趣，人物也很生动，还结合了平时的生活还教会了我新的数学知识，比如：有无理数和有理数、小数点除法等等。

推荐大家去看！《奇妙的数王国》读后感3上星期肖老师发给全班同学一人一本数学知识课外书。

1.3.2. 实数及其近似数〇．无理数战有理数故事:无理数的由来.一. 有理数与无理数1. 有理数定义①整数与分数的统称.m(m,n都是整②分数n数,且n≠0)叫做有理数.③有限小数与无限循环小数统称为有理数.2. 无理数定义无限不循环小数叫做无理数.例证明2是无理数.证: 用反证法，见教材.3. 无理数的种类(1) 开不尽的方根：如2; (2) 特殊意义的数：如π和e;(3) 人造无理数：如0.1010010001…; (4) 三角函数值：如sin1º; (5) 对数：如lg2; 等等.例求证:连分数是无理数.证:1=x，x2+2x=1，(x+1)2=2,则2x∴ x=2-1，是无理数.1．判断:① 正数,负数和零统称有理数.( ) ② 有理数都是有限小数. ( ) ③ 有根号的数都是无理数. ( ) ④ 无理数就是开不尽的数. ( )⑤ 所有小数都属于有理数集合. ( ) ⑥ 形如q/p(p ≠0)的数都是有理数. ( ) ⑦ 有理数与无理数之和是无理数( ) ⑧ 有理数与无理数之积是无理数. ( ) ⑨ 无理数与无理数之和是无理数 ( ) ⑩ 无理数与无理数之积是无理数. ( )． 2．下列数中无理数有 .39,3512-,0)5(,841,13-, 0, 3.14159265,3π, 0.101001000…, -1.87 . 3．无理数就是( ).A ．开方开不尽的数 B. 无限小数C. 无限循环小数D.实数中不能化成分数的数 4. 7的小数部分b 是一个无理数,则(4+b)b 是一个( ).A. 整数B. 无限小数C. 无限循环小数D. 无理数 5．设a 是非零有理数,β是无理数,则下列数中一定是无理数的是( ). A. a 3+β3 B. (a+β)3 C. β(a+β) D. a(a+β)二. 实数与数轴 1. 定义 有理数与无理数统称为实数. 数的范围还可以扩充.实数+虚数=复数.2. 实数与数轴上的点一一对应 数轴上的点不都是有理数. 如π、2都可以在数轴上表示.例 数轴上任意两个点之间必有( C ). A. 整数点 B. 有限个有理点 C. 无数个有理点 D. 有限个无理点 解: 线段上两个点之间必有无限个点. 有理数点是稠密的,实数点是连续的. 3. 在数轴上画开不尽的无理数例 在数轴上作出13的对应点.解: 利用勾股定理,可如图作出(图中A 点).1. 判断:① 3-是实数. ( ) ② 所有小数都是实数. ( ) ③ 两个实数的和,差,积是实数. ( ) ④ 两个实数的商是实数. ( )⑤ 实数乘方还是实数. ( ) ⑥ 实数开方还是实数. ( ) ⑦ 算术根开方一定是实数. ( ) ⑧ 算术根开方一定是正实数. ( ) ⑨ 实数和数轴上的点一一对应. ( ) ⑩ 数轴上任意两个点之间必有无数个无理点.( )2. 如果a 是实数,那么在-a ,a1,|a |,a ,3a 中一定是实数的有 . 3. 实数a,b 在数轴上的位置如图,化简|a-b|-2a 的结果是 . 4. 用作图法在数轴上作出-5与3的对应点.5. 右图是由边长为1的小正方形拼成的方格纸,组成很多矩形，这些矩形的对角线对应的数可以是整数或者无理数.(1) 画出一条矩形对角线,对应的数是整数;(2) 画出4条彼此不相交的长度不同的对角线,对应的数都是无理数; (3) 在更大的正方形方格纸上,矩形对角线可以对应哪些无理数?(写出10个)三. 实数的大小比较在实数范围内,相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同. 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用.1. 一般方法 用近似的有理数代替无理数,再用有理数的比较方法. 例 比较101-,31-,π1-的大小.解: ∵≈10 3.162,310>>π, ∴101->π1->31-.2. 利用性质法 若a >b >0,则ba >;若a >b,则33b a >.例 比较 33310034--. 解: ∵-34<-3100, ∴填<. 3. 两边平方法例 比较|-42| 33. 解: ∵|-42|2=32, (33)2=27, ∴填>.4. 放缩法 例 5514131211++++.解: ∵514131211>>>>,∴填>.5. 特值法 例6554++++a a a a .解: 取a =1, ∴填<.1. 大于7-,小于17的整数有 个.2. 从5,6,…,19各数中,有 个在3和4之间的数.3. 比15小但比-10大的所有整数和是 .4. 实数511-,711-,2π-由小到大的顺序是 .5. 比较大小:(1) 3+1 (2) 333-(3) 2989-1 (4) 4131+a a (a >0)四．近似数1. 运算规律 有理数的运算律与运算性质在实数范围内仍然成立. 例2(2+1)-(-2)2=2+2-2=2.2. 近似数例 12000,1.2×104,1.20×104的精确位数与有效数字相同吗? 请比较. 解: 12000精确到个位,有5个有效数字;1.2×104精确到千位,有2个有效数字; 1.20×104精确到百位,有3个有效数字. 3. 近似数的计算例 用计算器根据要求计算(精确到0.01): 7-π-1.3≈ -0.80 .1. 由四舍五入得到的下列近似数,分别精确到哪一位?各有几个有效数字? (1) 某同学身高1.60m: 精确到 位,有 个有效数字.(2) 地球半径约为6.4×103km: 精确到 位,有 个有效数字. 2. 按要求用科学记数法表示下列四舍五入得到的近似数:(1) 某人一天饮水1950Ml,如果精确到百位,应≈ , 如果精确到千位,应≈ .(2) 某种光的波长为0.0000705cm, 如果精确到百万分位,应≈ , 如果精确到十万分位,应≈ .3. 用科学记数法表示下列四舍五入得到的近似数,并指出它的精确度: (1) 中国人口近似有13.7亿= 人,精确到 位.(2) 某种电子显微镜的分辨率为0.000000014cm = cm,精确到 位. 4. 根据要求用计算器计算: (1) 精确到0.01,2π511-≈ . (2) 精确到0.001, 316≈ .5. 计算(保留根号): (1) 3(3-2)3278⨯-(-3)-1+2|3-2|=(2) (5-3)0-(2-5)2-3(5-3)-3125=。

有理数无理数之战有理数、无理数之战小毅的小脑袋瓜里，整天琢磨着数学问题。

一天晚上，他正在一道又一道地演算数学题，忽然听到屋后“乒乒叭叭”响起枪声。

“深更半夜，哪来的枪声,”小毅爬上屋后的小山一看，啊呀，山那边摆开了战场，两军对垒打得正凶。

一方的军旗上写着“有理数”，另一方的军旗上写着“无理数”。

小毅记得老师讲过，整数和分数合在一起，构成有理数。

无理数则是无限不循环小数。

“奇怪，有理数和无理数怎么打起仗来了,” 小毅攀着小树和藤条，想下山看个究竟。

突然，从草丛中跳出两个侦察兵，不容分说就把他抓起来。

小毅一看，这两个侦察兵胸前都佩着胸章，一个上面写着“,”，另一个上面写着“31”。

噢，他们都是有理数。

“你们为什么抓我,”小毅喊着。

“你是无理数，是个奸细～”侦察兵气势汹汹地说。

“我不是无理数，我是人～”小毅急忙解释。

侦察兵不听他的申辩，非要带小毅去见他们的司令不可。

小毅问:“你们的司令是谁,”“大名鼎鼎的整数,～”侦察兵骄傲地回答。

“那么多有理数，为什么偏偏让,当司令呢,”小毅不明白。

侦察兵回答说:“在我们有理数当中，,是最基本、最有能力的了。

只要有了,，别的有理数都可以由,造出来。

比如,吧，2=1+1;我是31，111131++=;再比如0，0,1-1。

”小毅被带进,司令所在的一间大屋子里。

这里有许多被捉的俘虏，屋子的一头，摆着一架,光机模样的奇怪的机器。

“押上一个～”,司令下命令。

两个士兵押着一个被俘的人走上机器。

只见荧光屏“啪”的一闪，显示出“20502”。

“整数，我们的人。

”,司令说完，又叫押上另一个。

荧光屏显示为“133355”。

“分数，也是有理数，是你们的人～”小毅憋不住地插嘴。

司令满意地点点头。

屏上显示出“0.35278=10000035278”。

“有限小数;有理数，是你们的人～”小毅继续说。

接着押上的一个在荧光屏上显示出是“0.787 878……,78 \99”.“也是你们的人。

”小毅兴奋地说，“循环小数，可以化成分数的。

押1.在文书、契约上签名或画记号：画～。

签～。

2把财物交给人作保证：～租。

～金。

～当（dàng）。

典～。

3拘留：看（kān ）～。

拘～。

～禁。

4跟随看管：～送。

～运。

5同“压”，用于“押宝”、“押队”、“押韵”。

6姓。

憋1气不通：～气。

～闷（心里不痛快）。

～屈。

2勉强忍住：他心里有话～不住。

琢磨[zhuómó]琢和打磨[玉石]通过润色加以修改(指文章等) 琢磨[zuómo] 思考;研究这事我琢磨了很久对垒duì lěi指两军相持,也用于下棋、赛球等。

两国乒乓球队的双方名将对垒,打得十分精彩。

构成[gòu chéng]凑成,组成;造成构成房屋、构成威胁、构成句子无限[wú xiàn]没有尽头;没有限量前程无限你知道你的潜能是无限的吗？循环[xún huán]以环形、回路或轨道运行;沿曲折的路线运行;特指运行一周而回到原处侦查[zhēn公安机关为了确定犯罪事实和犯罪人而进行调查奸细[jiān xì]为敌人刺探情报的人，奸诈的人他们总是向世界许多国家派遣奸细申辩[shēn biàn]申述辩解被告有权申辩俘虏[fú lǔ]1战争中活捉的敌方从事战争的人员。

即战俘2非本意地受(义务、责任或财产)约束的人这名被俘虏的将军说：“他已经杀红了眼了。

”俘虏[fúlǔ] 虏获俘虏敌军三百人插嘴[chā zuǐ]不待别人把话说完即发表己见大人讲话，谁要你来插嘴？调停[tiáo tíng]居间调解,平息争端通过调停达成了双方都满意的解决办法.协商[xié shāng]为了取得一致意见而共同商量还得跟其他队协商一下吧?荧光屏[yíng guāng píng]一种涂有能产生荧光物质的屏幕。

示波器和电视机等都有此装置，用来显示波形或图像。