第4讲 有理数和无理数专项练习

有理数与无理数一、耐心填一填,一锤定音1、若太平洋最深处低于海平面11034米，记作－11034米，则珠穆朗玛峰高出海平面8848米，记作＿＿＿＿＿＿。

2、＋10千米表示王玲同学向南走了10千米，那么－9千米表示_______；0千米表示＿＿＿＿＿。

3、在月球表面上，白天阳光垂直照射的地方温度高达127℃，夜晚温度可降到－183℃，那么－183℃表示的意义为＿＿＿＿＿＿＿。

4、七（8)班数学兴趣小组在一次数学智力大比拼的竞赛中的平均分数为90分，张红得了85分,记作－5分,则小明同学行92分，可记为＿＿＿＿，李聪得90分可记为＿＿＿＿,程佳＋8分,表示＿＿＿＿＿＿。

5、有理数中,最小的正整数是＿＿＿＿，最大的负整数是＿＿＿＿。

6、在1。

5－7.5之间的整数有＿＿＿＿＿，在－7.5与－1.5之间的整数有＿＿＿＿＿7、已知下列各数：－23、－3.14、 ,其中正整数有__________，整数有______，负分数有______，分数有_________。

二、精心选一选，慧眼识金!1、把向东运动记作“+”，向西运动记作“_",下列说法正确的是( ）A、—3米表示向东运动了3米B、+3米表示向西运动了3米C、向西运动3米表示向东运动-3米D、向西运动3米，也可记作向西运动—3米。

2、下列语句中正确的是( )A、零是自然数B、零是正数C、零是负数D、零不是整数3、下列说法中，其中不正确的是（ )A、0是整数B、负分数一定是有理数C、一个数不是正数，就一定是负数D、0 是有理数4、正整数集合与负整数集合合并在一起构成的集合是( ）A、整数集合B、有理数集合C、自然数集合D、以上说法都不对5、下列说法中正确的有（ )①0是取小的自然数;②0是最小的正数;③0是最小的非负数;④0既不是奇数，也不是偶数;⑤0表示没有温度。

A、1个B、2个C、3个D、4个6、下列说法错误的是（）A、有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数B、一个有理不是整数就是分数C、正有理数分为正整数和正分数D、负整数、负分数统称为负有理数三、把下列各数填在相应的括号内：－23，0。

小学生数学练习掌握有理数与无理数的概念在数学学科中，有理数与无理数是两个重要的概念。

小学生学习数学时，需要掌握这两个概念以及它们的特点和应用。

下面将详细介绍有理数与无理数的概念及其相关知识。

一、有理数的概念有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括正负整数和分数。

有理数可以用分数形式表示，其中分子是整数，分母是非零整数。

例如，1/2、17/3、-5等都是有理数。

有理数具有以下特点：1. 可以用分数形式表示，包括正负整数和分数。

2. 有理数之间可以进行加、减、乘、除等基本运算。

3. 有理数的大小可以通过比较分数的大小来确定。

有理数在小学数学中的应用非常广泛，常见的应用有：1. 加法和减法运算：小学生可以通过计算两个有理数的和或差，帮助理解整数的加减法运算。

2. 分数运算：小学生可以通过计算两个有理数的乘积或商，帮助掌握分数的乘除运算。

二、无理数的概念无理数是不能表示为两个整数之比的数，它们的小数部分是无限不循环的。

无理数包括无限不循环小数和无限循环小数的非循环部分。

例如，π、√2都是无理数。

无理数具有以下特点：1. 无理数无法用分数形式表示，其小数部分是无限不循环的。

2. 无理数之间可以进行加、减、乘、除等基本运算，但运算结果通常是无限不循环的无理数。

3. 无理数的大小不能通过比较分数的大小来确定，需要通过近似值进行比较。

无理数在小学数学中的应用相对较少，但也有一些重要的应用，例如几何中的π和平方根等。

三、有理数和无理数的关系有理数和无理数是数学中的两个不同的概念，但它们之间存在着一些关系：1. 有理数和无理数的和、差、积、商通常是无理数。

2. 有理数和无理数的和、差、积、商的运算结果可能是有理数，但也可能是无理数。

在实际问题中，有理数和无理数通常是同时出现的，例如在测量中使用的分数和无理数的近似值。

小学生需要通过练习和实践，不断提高对有理数与无理数的理解和应用能力。

总结起来，小学生在数学学习中需要掌握有理数和无理数的概念，了解它们在数学中的特点和应用。

有理数与无理数课堂练习
一、判断题
1） 无限小数都是无理数（ ）
2） 无理数都是无限小数（ ）
3） 无理数包括正无理数和负无理数（ ）
4） 整数就是正整数和负整数（ ）
5） 0是整数但不是正数（ ）
6） 有理数包括正有理数、0和负有理数（ ）
二、选择题
1）下列关于0的说法中，不正确的是（ ）
A 0既不是正数也不是负数
B 0是最小的整数
C 0是有理数
D 0是非负数
2）下列说法中正确的是（ ）
A 正整数和负整数统称整数
B 分数包括正分数和负分数
C 正有理数和负有理数组成全体有理数
D 一个数不是正数就是负数
3）下列是无理数的是（ ）
2722
33333.0303003.0π
-D C B A
三、写出两个不同形式的无理数________________ __________________.
四、下列各数中，有理数有_______________________，无理数有___________________ 1010010001
.002722
010010001.01.02π
π-。

五、把下列各数填入相应集合：4-424242
.1-4032
1415926.324.143
2π。

-
有理数集合 无理数集合 把下列各数填在相应的大括号中722424242
.1-2-032
-1415926.333.12π。

整数{}
正分数{}
非负数{}
无理数{}
有理数{}
整数 正数。

2.2有理数与无理数分层练习考察题型一有理数的识别1．在5-，0，1.3 ，2.121121112⋯（每两个2之间多一个1），3.1415926中，有理数的个数有()A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【详解】解：在5-，0，1.3 ，2.121121112⋯（每两个2之间多一个1），3.1415926中，有理数有：5-，0，1.3，，3.1415926，共4个．故本题选：B ．2．在0.010010001，0.3333⋯，227-，0，2π-，43%-，0.313113111⋯（每两个3之间依次多一个1）中，有理数有()A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【详解】解：在0.010010001，0.3333⋯，227-，0，2π-，43%-，0.313113111⋯（每两个3之间依次多一个1）中，有理数有：0.010010001，0.3333⋯，227-，0，43%-，共5个．故本题选：B ．考察题型二有理数的分类1．在下列数π，1+，6.7，15-，0，722，1-，25%中，属于整数的有()A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【详解】解：在数π，1+，6.7，15-，0，722，1-，25%中，整数的有：1+，15-，0，1-，共4个．故本题选：C ．2．在10.1-，25，3.14，2π， 1.53- ，2.4224222422224⋯中，正分数有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【详解】解：在10.1-，25，3.14，2π， 1.53- ，2.4224222422224⋯中，正分数有：25，3.14，共2个．故本题选：C ．3．在数12-，π， 3.4-，0，3+，73-中，属于非负整数的个数是()A ．4B ．3C ．2D ．1【详解】解：12-、 3.4-、73-为负数，不属于非负整数；π不属于整数；0，3+属于非负整数．故本题选：C ．4．下列各数：452,1,8.6,7,0,,4,101,0.05,9563---+--中，()A ．只有1，7-，101+，9-是整数B ．其中有三个数是正整数C ．非负数有1，8.6，101+，0D ．只有42,453--，0.05-是负分数【详解】解：由题意可知：A 、整数包括：1，7-，0，101+，9-，故本选项错误；B 、正整数包括：1和101+，故本选项错误；C 、非负数包括：1，8.6，101+，0，56，故本选项错误；D 、负分数包括：45-，243-，0.05-，故本选项正确．故本题选：D ．5．把下列各数填入相应的集合中：6+，0.75，3-，0， 1.2-，8+，245，13-，9%，正分数集合：{}⋯；正整数集合：{}⋯；整数集合：{}⋯；有理数集合：{}⋯．【详解】解：正分数集合：{0.75，245，9%，}⋯；正整数集合：{6+，8+，}⋯；整数集合：{6+，3-，0，8+，}⋯；有理数集合：{6+，0.75，3-，0， 1.2-，8+，245，13-，9%，}⋯．6．把下列将数填入相应的集合中：23-，0.5，23-，28，0，4，135， 5.2-．【详解】解：如图所示：．7．将数分类：2-，0，0.1314-，11，227，143-，0.03，2%．正数：{}；非负数：{}；负分数：{}；非负整数：{}．【详解】解：正数有：11，227，0.03，2%，非负数有：0，11，227，0.03，2%，负分数有：0.1314-，143-，非负整数有：0，11．8．把下列各数填在相应的集合内：3-，4，2-，15-，0.58-，0， 3.4- ，0.618，139，3.14．整数集合：{}⋯；分数集合：{}⋯；负有理数集合：{}⋯；非正整数集合：{}⋯．【详解】解：整数集合：{3-，4，2-，0}⋯；分数集合：1{5-，0.58-， 3.4- ，0.618，139，3.14}⋯；负有理数集合：{3-，2-，15-，0.58-， 3.4}-⋯；非正整数集合：{3-，2-，0}⋯．考察题型三有理数的概念辨析1．下列关于0的说法错误的是()A．任何情况下，0的实际意义就是什么都没有B．0是偶数，也是自然数C．0不是正数也不是负数D．0是整数也是有理数【详解】解：A、0的实际意义不是什么都没有，符合题意；B、0是偶数，也是自然数，不合题意；C、0不是正数也不是负数，不合题意；D、0是整数也是有理数，不合题意．故本题选：A．2．下面是关于0的一些说法：①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的负数；⑤0既不是奇数又不是偶数．其中正确说法的个数是()个．A．0B．1C．2D．3【详解】解：①0是正数与负数的分界，所以0既不是正数也不是负数，故原说法正确；②0和正整数都是自然数，所以0是最小的自然数，故原说法正确；③0既不是正数也不是负数，故原说法错误；④0既不是正数也不是负数，故原说法错误；⑤整数按能否被2整除分为奇数与偶数，0属于偶数，故原说法错误；综上，①②正确．故本题选：C．3．下列说法错误的是()A．负整数和负分数统称负有理数B．正整数，0，负整数统称为整数C．正有理数与负有理数组成全体有理数D．3.14是小数，也是分数【详解】解：负整数和负分数统称负有理数，A正确，不合题意；整数分为正整数，0，负整数，B正确，不合题意；正有理数，0，负有理数组成全体有理数，C错误，符合题意；3.14是小数，也是分数，小数是分数的一种表达形式，D正确，不合题意．故本题选：C．4．下列说法正确的是()A．正整数、负整数统称为整数B．正分数、负分数统称为分数C．正数、0、负数统称为有理数D．整数、分数、小数都是有理数【详解】解：A．正整数、0、负整数统称为整数，故本选项错误；B．正分数、负分数统称为分数，故本选项正确；C．正有理数、0、负有理数统称为有理数，故本选项错误；D．无限不循环小数不是有理数，故本选项错误．故本题选：B．5．下列说法中正确的是()A．非负有理数就是正有理数B．有理数不是正数就是负数C．正整数和负整数统称为整数D．整数和分数统称为有理数【详解】解：A、非负有理数就是正有理数和0，故A选项不正确；B、0既不是正数也不是负数，是有理数，故B选项不正确；C、正整数、0、负整数统称为整数，故C选项不正确；D、整数和分数统称有理数，故D选项正确．故本题选：D．6．下列说法：（1） 3.56既是负数、分数，也是有理数；（2）正整数和负整数统称为整数；（3）0是非正数；（4）2023-既是负数，也是整数，但不是有理数；（5）自然数是整数．其中正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【详解】解：（1）正确；（2）错误，还有0；（3）正确；（4）错误，2023-是有理数；（5）正确．正确的有3个，故本题选：C．7．下列说法中，正确的是()A．在有理数集合中，有最大的正数B．在有理数集合中，有最小的负数C．在负数集合中，有最大的负数D．在正整数集合中，有最小的正整数【详解】解：A、在有理数集合中，没有最大的正数，故A选项错误；B、在有理数集合中，没有最小的负数，故B选项错误；C、在负数集合中，没有最大的负数，故C选项错误；D、在正整数集合中，有最小的正整数1，故D选项正确．故本题选：D．8．下面说法中正确的有()A．非负数一定是正数B．有最小的正整数，有最小的正有理数C．a-一定是负数D．0既不是正数，也不是负数【详解】解： 非负数包括0和正数，A∴选项不合题意；∴选项不合题意；没有最小的正有理数，B若a是负数，则a∴选项不合题意；-是正数，C∴选项符合题意．既不是正数，也不是负数，D故本题选：D．9．下列说法正确的是()A．最小的正有理数是1B．最小的正整数是1C．0是最小的有理数D．有理数由正数和负数组成【详解】解：A．没有最小的有理数，故本选项不合题意；B．最小的正整数是1，故本选项符合题意；C．有最小的有理数，故本选项不合题意；D．有理数由正有理数，0，负有理数组成，故本选项不合题意．故本题选：B．10．有下列说法：①最小的自然数为1；②最大的负整数是1-；③没有最小的负数；④最小的整数是0；⑤最小非负整数为0，其中，正确的说法有()A．2个B．3个C．4个D．5个【详解】解：①最小的自然数为0，故①不正确；②最大的负整数是1-，故②正确；③没有最小的负数，故③正确；④没有最小的整数，故④不正确；⑤最小非负整数为0，故⑤正确；综上，正确的说法有3个．故本题选：B．考察题型四数感问题1．有两个正数a，b，且a b<，把大于等于a且小于等于b所有数记作[a，]b，例如大于等于1且小于等于4的所有数记作[1，4]．如果m在[5，15]内，n在[20，30]内，那么nm的一切值中属于整数的有()A．1，2，3，4，5B．2，3，4，5，6C．2，3，4D．4，5，6【详解】m在[5，15]内，n在[20，30]内，515m∴，2030n，∴2030155nm，即463nm，∴nm的一切值中属于整数的有2，3，4，5，6．故本题选：B．2．设有三个互不相等的有理数，既可表示为1-，a b+，a的形式，又可表示为0，ba-，b的形式，则ab 的值为．【详解】解： 三个互不相等的有理数，既可表示为1-，a b +，a 的形式，又可表示为0，b a，b 的形式，∴这两个数组的数分别对应相等，a b ∴+与a 中有一个是0，b a-与b 中有一个是1-，若0a =，则b a无意义，0a ∴≠，0a b +=，∴a b =-，即1b a =-，b a-1=，∴1b =-，1a =，ab ∴的值为1-．故本题答案为：1-．考察题型五无理数的识别1．在数2021-，0.777⋯⋯，2π，833-，3.1415926，3π-中，无理数的个数是()A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【详解】解：在数2021-，0.777⋯⋯，2π，833-，3.1415926，3π-中，无理数有：2π，3π-，共2个．故本题选：A ．2．下列八个数：8-，2.7，2-，2π，0.6 ，0，132，0.8080080008⋯⋯（每两个8之间逐次增加一个0），无理数的个数有()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【详解】解：在实数8-，2.7，2-，2π，0.6 ，0，132，0.8080080008⋯⋯（每两个8之间逐次增加一个0）中，无理数有：2π，0.8080080008⋯⋯（每两个8之间逐次增加一个0），共2个．故本题选：C ．3．介于3和π之间的一个无理数是()A ．32π+B ．3.15C ．3.1D ．0.15π-【详解】解：介于3和π之间的一个无理数是32π+．故本题选：A ．4．（1）请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是；（2）两个无理数，它们的和为1，这两个无理数可以是．【详解】解：（1）无理数为：2π-，故本题答案为：2π-（答案不唯一）；（2）(1)1ππ+-=，故本题答案为：π，1π-（答案不唯一）．1．循环小数0.15可化分数为．【详解】解：设0.15x ⋅⋅=，则10015.15x ⋅⋅=，15.15150.15⋅⋅⋅⋅∴=+，10015x x ∴=+，解得：533x =．故本题答案为：533．2．已知有A ，B ，C 三个数集，每个数集中所包含的数都写在各自的大括号内，{2A =-，3-，8-，6，7}，{3B =-，5-，1，2，6}，{1C =-，3-，8-，2，5}，请把这些数填在图中相应的位置．【详解】解：如图所示：．3．10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数）”，则这10个有理数的和为()A．12B．1118C．76D．59【详解】解：由题意可得：这10个有理数，每9个相加，一共得出另外10个数，原10个有理数互不相等，∴它们相加后得出的另外10个数也是互不相等的，而这10个数根据题意都是分母22的既约真分数，而满足这个条件的真分数恰好正好有10个，∴这10项分别是：1/22，3/22，5/22，7/22，9/22，13/22，15/22，17/22，19/22，21/22， 它们每一个都是原来10个有理数其中9个相加的和，∴如果再把这10个以22为分母的真分数相加，得出来的结果必然是原来的10个有理数之和的9倍．∴10个真分数相加得出结果为5，故所求的10个有理数之和为5/9．故本题选：D．。

XX教育学科教师辅导讲义组长签字：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~二、课前自主学习检查上次作业，让学生讲解错题，知识反馈。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~三、知识梳理+经典例题课题1.有理数的加减乘除混合运算(30min.)考点一：有理数的加法 1．有理数的加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数。

2．有理数加法的运算律：（1）加法交换律：a b b a +=+；（2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++。

点拨：灵活运用运算律的几条规则：①“相反数结合法”―互为相反数的两个数先相加；②“同号结合法” ―符号相同的两个数相加；③“同分母结合法”―分母相同的数先相加；④“凑整法”―几个数相加得到整数，先相加；⑤“同形结合法”―整数与整数，小数与小数相加。

考点二：有理数的减法1．有理数减法的意义：有理数减法的意义与小学学过的减法意义相同。

已知两个数的和与其中一个加数，求另一个数的运算叫做减法。

减法是加法的逆运算。

2．有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

考点三：有理数的乘法 1．有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。

任何数与零相乘都得零。

（2）几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。

（4）已知a 的相反数是123，b 的相反数是-212，求代数式32a b a b +-的值．例2.计算：（1）41233(4)(5)(7)9234---+--+(2) )53(143)3161(611-÷⨯-⨯（3）（－36）×［+（）］（4）（－2）×（）×（）×.(5) (－521－251)÷332.（6）125.0]324)65()21()83[(75.3-+---+--例3.计算(1) ×(－)×(－) (2)(－)×(－)×0×(3)(51－31)×(51+31)÷51×(－31) （4）()3135127822322⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-+⨯-+÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（5）（-1117）×15+（+517）×15+（-13713）÷5+（+11313）÷592-125-183-721-212-9754625107132471634课题二实数（40min.）一．实数的分类例4（1）(新疆中考)下列各数中，属于无理数的是( )A. 3 B．－2 C．0 D.1 3（2)(常德中考改编)下列各数：13，π，38，0，3，其中无理数的个数是( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(3)有六个数：0.142 7，(－0.5)3，3.141 6，227，－2π，0.102 002 000 2……，若无理数的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，求x＋y＋z的值．二.平方根的概念和性质例5(1)(通辽中考)4的算术平方根是( )A．－2 B．±2 C. 2 D．2(2)若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a－b的值为( )A．－2 B．±5 C．5 D．－5(3)－27的立方根与81的平方根之和是________．(4)若|a－2|＋b－3＋(c－4)2＝0，则a－b＋c＝________.三、估算无理数的大小例6(1)(杭州模拟)如图，数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点表示的数与4－26最接近？( )A．A B．B C．C D．D(2)下列无理数中，在－2与1之间的是( )A．－ 5 B．－ 3 C. 3 D. 5 (3)设a＝19－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是( )A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 四、实数的概念和意义例7(1）(福州中考)a的相反数是( )A．|a| B.1aC．－a D. a（2) (广安中考)实数a在数轴上的位置如图所示，则|a－1|＝________．(3)如图，数轴上A、B两点对应的实数分别是1和3，若点A关于B点的对称为点C，则点C所对应的实数为( )A．23－1 B．1＋ 3 C．2＋ 3 D．23＋1(4)计算：||3－π＝________．五、二次根式有意义的条件例8(1）(随州中考)若代数式1x－1＋x有意义，则实数x的取值范围是( )A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1【方法归纳】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，有时需要注意二次根式是否位于分母．(2)若3－m为二次根式，则m的取值范围是( )A．m≤3 B．m＜3 C．m≥3 D．m＞3(3)式子x2－x有意义的x的取值范围是________．六、二次根式的运算例9.(1)计算：(－3)0－8＋|1－2|＋3(2－3)．(2)计算412＋313－8的结果是( )A.3＋ 2B. 3C.33D.3－ 2 (3）(泰安中考)化简：3(2－3)－24－|6－3|例10.(1) (2). (3).(4) （5）6×6-5; （6）323;6⨯ （7）()()1616-+； （8）23273+. （9）；（10） 5322-⨯ （11）12－ 31 （12）6)334(⨯-（13）(6－215)×3－612；课题三、二元一次方程组的解法（25min.)5312-⨯236⨯)75)(57(+-2)62(+3231-+-二元一次方程组的解法加减法代入法消元一、知识概要1.代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另外一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫代入消元法，简称代入法；2.加减法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

【巩固练习】一、选择题1．下列说法错误的是（）A．负整数和负分数统称负有理数B．正整数，0，负整数统称为整数C．正有理数与负有理数组成全体有理数D．3.14是小数，也是分数2．（2016春•文昌校级月考）下列说法：①﹣2.5既是负数、分数，也是有理数；②﹣22既是负数、整数，也是自然数；③0既不是正数，也不是负数，但是整数；④0是非负数．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个D．4个3．0这个数是( ）A．正数 B．负数 C．整数 D．无理数4．对于有理数a，下列说法中正确的是（）A．a表示正有理数 B．-a表示负有理数C．a与-a中，必有一个是负有理数 D．a×a是非负数5．下列说法正确的是（）A．不循环小数是无理数B．无限不循环小数是无理数C．无理数大于有理数D．两个无理数的和还是无理数6．把循环小数6.142&化成分数是（）A．1426999B．7645C．26999D．326225二、填空题7．和统称有理数．8．写出一个比-4大的负无理数．9．已知a为有理数，b为无理数，你们a+b为．10.在﹣1，0.2，，3，0，﹣0.3，中，负分数有，整数有．11．（2016春•丰城市期末）在，3.14159，，﹣8，，0.6，0，，中是无理数的个数有个．12．0.2666…化为分数是．三、解答题13.下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置．﹣28%，，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0.14．把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：-2．4，3，2.004，- 103，114，-0.15&&，0，-（-2.28），3.14．正有理数集合：{ …}，负有理数集合：{ …}，整数集合：{ …}，负分数集合：{ …}．15．试验与探究我们知道13写为小数即0.3&，反之，无限循环小数0.3&写成分数即13．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以0.7&为例进行讨论：设0.7&=x，由0.7&=0．7777…，可知，10x-x=7，解方程得x=79，于是得0.7&=79．请仿照上述例题完成下列各题：（1）请你把无限循环小数0.5&写成分数，即0.5&= ．（2）你能化无限循环小数0.73&&位分数吗？请仿照上述例子求之．【答案与解析】一、选择题1．【答案】C【解析】正有理数与0，负有理数组成全体有理数，C错误．2．【答案】C【解析】解：①﹣2.5既是负数、分数，也是有理数，正确；②﹣22既是负数、整数，但不是自然数，错误；③0既不是正数，也不是负数，但是整数，正确；④0是非负数，正确；故选C．3. 【答案】C4．【答案】D【解析】当a＜0是，a表示负有理数， -a表示正有理数，故A、B选项错误；当a=0时，a和-a都不表示负有理数，故C选项错误；所以选D．5．【答案】B【解析】无限小数也可能是有理数如0.333…，无理数大于有理数也不一定如果无理数是负数有理数是正数就不成立，两个无理数的和可能为0如π+（-π）=0．6．【答案】D。

有理数的概念与运算题目1. 选择题：以下哪个数是有理数？A. √2B. πC. √3D. 2√32. 填空题：有理数包括____________和____________。

3. 选择题：以下哪个数是无理数？A. √2B. πC. √3D. 2√34. 填空题：无理数不能表示为____________。

5. 选择题：以下哪个数是有理数？A. √3B. πC. √46. 填空题：有理数的定义是____________。

7. 选择题：以下哪个数是无理数？A. √2B. πC. √3D. 2√38. 填空题：无理数的例子有____________和____________。

9. 选择题：以下哪个数是有理数？A. √2B. πC. √3D. 2√310. 填空题：有理数的运算包括____________、____________和____________。

11. 选择题：以下哪个数是无理数？B. πC. √3D. 2√312. 填空题：无理数的特点是____________。

13. 选择题：以下哪个数是有理数？A. √2B. πC. √3D. 2√314. 填空题：有理数的分类包括____________和____________。

15. 选择题：以下哪个数是无理数？A. √2B. πC. √3D. 2√316. 填空题：无理数的运算包括____________、____________和____________。

17. 选择题：以下哪个数是有理数？A. √2B. πC. √3D. 2√318. 填空题：有理数的性质包括____________、____________和____________。

19. 选择题：以下哪个数是无理数？A. √2B. πC. √3D. 2√320. 填空题：无理数的应用包括____________和____________。

21. 选择题：以下哪个数是有理数？A. √2B. πC. √3D. 2√322. 填空题：有理数的运算规则包括____________、____________和____________。

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:0是 ( )A．最小的正数 B．最大的负数 C．最小的有理数 D．整数试题2:下列判断中，你认为正确的是 ( )A．0的倒数是0 B．是分数 C．－1.2大于1 D．0.555…是分数试题3:下列各数是正整数的是 ( )A．－1 B．2 C．0.5 D．π试题4:下列分数中，能化为有限小数的是 ( )A． B． C． D．试题5:在0，1，1.010010001…，3.1415 926中，无理数的个数为 ( )A．0个 B．1个 C． 2个D．3个试题6:根据下图所示，对a、b、c三种物体的质量判断正确的是 ( )A．a<c B．a<b C． a>c D．b<c试题7:把下列各数填在相应的集合中：－7，3.5，－3.14，π，0，，0.03%，－3，10．自然数集合：{ …}；整数集合：{ …}；负数集合：{ …}；正分数集合：{ …}；正有理数集合：{ …}；无理数集合：{ …}．试题8:在下表适当的空格里画上“√”．试题9:某机器零件的长度设计为100 mm，加工图纸的标准尺寸为(100±0.5)mm，这里±0.5代表什么意思？合格新产品的长度范围是多少？试题10:学校对七年级男生进行立定跳远测试，以1.7 m及以上为达标，超过1.7 m的厘米数用正数表示，不足1.7 m的厘米数用负数表示，第一组10名男生成绩如下(单位：cm)：问第一组有百分之几的学生达标？试题11:在有理数中举出三个整数________，_______，_______．试题12:请写出一个大于1且小于2的无理数：_______．试题13:在－1.313313331，－，0，π，4中，无理数有_________个．试题14:观察下面一列数：－1，2，－3，4，－5，6，－7，…，将这列数排成下图的形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边起第9个数是________．试题15:搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要________根钢管．试题16:观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有________个★．试题17:某综合性大学拟建校园局域网络，将大学本部A和所属专业学院B、C、D、E、F、G之间用网线连接起来，经过测算，网线费用如图所示(单位：万元)，每个数字表示对应网线(线段)的费用，实际建网时，部分网线可以省略不建，但本部及所属专业学院之间可以传递信息，那么建网所需的最少网线费用为________万元．试题18:在明尼苏达州的一个城市，1月1日上午6：00的温度是－30华氏度，在接下来的8h里，温度上升了38华氏度，在紧接之后的12 h里，温度下降了12华氏度，最后4h内，温度上升了15华氏度，那么在1月2日上午6：00的温度是多少？试题19:邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2 km到达A村，继续向南骑行3 km到达B村，然后向北骑行9 km到达C村，最后回到邮局．(1)C村离A村有多远？(2)邮递员一共骑行了多少千米？试题1答案:D试题2答案:D试题3答案:B试题4答案:B试题5答案:B试题6答案:C试题7答案:0，10 －7，0，10 －7，－3.14，－33.5，，0.03% 3.5，，0.03%，10 π试题8答案:略试题9答案:与标准尺寸的差在0.5 mm以内99.5~100.5 mm 试题10答案:70%试题11答案:答案不唯一，如：1，2，3 试题12答案:(答案不唯一)试题13答案:1试题14答案:90试题15答案:83试题16答案:28试题17答案:9试题18答案:11华氏度试题19答案:(1)6km (2)18 km。

2.2有理数与无理数基础检测1、_____、______和______统称为整数；_____和_____统称为分数；______、______、______、______和______统称为有理数； ______和______统称为非负数；______和______统称为非正数；______和______统称为非正整数；______和______统称为非负整数.2、下列不是正有理数的是（ ）A 、-3.14B 、0C 、37 D 、3 3、既是分数又是正数的是（ ）A 、+2B 、-314C 、0D 、2.3拓展提高4、下列说法正确的是（ ）A 、正数、0、负数统称为有理数B 、分数和整数统称为有理数C 、正有理数、负有理数统称为有理数D 、以上都不对5、-a 一定是（ ）A 、正数B 、负数C 、正数或负数D 、正数或零或负数6、下列说法中，错误的有（ ）①742-是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数。

A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、把下列各数分别填入相应的大括号内：24,10,213,03.0,1713,0,1415.3,5.3,7---- 自然数集合｛ …｝；整数集合｛ …｝；正分数集合｛ …｝；非正数集合｛ …｝；8、简答题：（1）-1和0之间还有负数吗？如有，请列举。

（2）-3和-1之间有负整数吗？-2和2之间有哪些整数？（3）有比-1大的负整数吗？有比1小的正整数吗？（4）写出三个大于-105小于-100的有理数。

基础检测1、 正整数、零、负整数；正分数、负分数；正整数、零、负整数、正分数、负分数；正有理数、零；负有理数、零；负整数、零；正整数、零；有理数；无理数。

2、A ．3、D ．拓展提高4、B ．5、D6、C7、0，10；-7，0，10，24-；03.0,1713,5.3；24,213,1415.3,7----； 24,32.0,10,213,03.0,1713,0,1415.3,5.3,7----- 。

第四讲 第一章 有理数 单元测试（提高）一、单选题1．下列说法正确的有 （ ）①0是绝对值最小的有理数； ②－a 是负数；③任一个有理数的绝对值都是正数； ④数轴上原点两侧的数互为相反数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】根据绝对值，可判断①③，根据正负数可判断②，根据相反数，可判断④．解：①|0|=0，任何非0的绝对值都大于0，故①正确；②当a≤0时，-a 是非负数，故②错误；③0的绝对值是0，0无正负之分，故③错误；④数轴上原点两侧的数符号相反，但不一定是互为相反数，此结论错误正确的结论只有1个，故选：A【点睛】本题主要考查数轴，有理数，相反数，解题的关键是掌握有理数的有关概念、数轴的概念等知识点． 2．已知数轴上的四点P ，Q ，R ，S 对应的数分别为p ，q ，r ，s ．且p ，q ，r ，s 在数轴上的位置如图所示，若10r p -=，12s p -=，9s q -=，则r q -等于（ ）．A ．7B ．9C ．11D ．13 【答案】A【解析】根据数轴判断p 、q 、r 、s 四个数的大小，得出r q -=（r−p ）−（s−p ）＋（s−q ），整体代入求解． 解：由数轴可知：p ＜r ，p ＜s ，q ＜s ，q ＜r ，∵r−p ＝10，s−p ＝12，s−q ＝9，∴ r−q ＝（r−p ）−（s−p ）＋（s−q ）＝10−12＋9＝7．故选：A ．【点睛】本题考查了数轴及有理数大小比较．由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 3．下面的说法中，正确的个数是（ ）①0是整数；②2-是负分数；③3.2不是正数；④自然数一定是非负数；⑤负数一定是负有理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】根据有理数的定义与分类进行解答便可．解：①因为0是整数，故①正确；②因为2-是负整数，故②错误；③因为3.2是正数，故③错误；④因为0，1，2，3，是自然数，所以自然数一定是非负数，故④正确； ⑤负数包括负有理数和负无理数，所以⑤错误．综上所述，正确的说法有①④，共2个，故选:B ．【点睛】本题考查了对有理数的定义与分类，解题的关键是正确掌握有理数的有关概念与分类方法．4．如图，在数轴上，点A 表示数1,现将点A 沿数轴作如下移动，第一次将点A 向左移动3个单位长度到达点1A ，第二次将点1A 向右移动6个单位长度到达点2A ，第三次将点2A 向左移动9个单位长度到达点3A，…，按照这种移动规律进行下去，第2021次移动到点2021A ，那么点2021A 所表示的数为（ ）A ．3029-B ．3032-C ．3035-D ．3038-【答案】C【解析】 从A 的序号为奇数的情形中，寻找解题规律求解即可.∵A 表示的数为1，∴1A =1+（-3）×1=-2， ∴2A =-2+（-3）×（-2）=4，∴3A =4+（-3）×3=-5= -2+（-3），∴4A =-5+（-3）×（-4）=7，∴5A =7+（-3）×（-5）=-8= -2+（-3）×2， ∴2021A = -2+（-3）×1011=-3035，故选C.【点睛】本题考查了数轴上动点运动规律，抓住序号为奇数时数的表示规律是解题的关键.5．如图A 、B 、C 、D 、E 分别是数轴上五个连续整数所对应的点，其中有一点是原点，数a 对应的点在B 与C 之间，数b 对应的点在D 与E 之间，若3a b +=，则原点可能是（ ）A ．点AB ．点B 或点C C ．点ED ．点B 或点E【答案】D【解析】 逐个点作为原点，分别验证是否可能|a|+|b|=3，进而作出判断．【详解】解：由a 、b 在数轴上的位置可知，表示数a 、b 两点之间的距离小于3，因此原点不可能在a 、b 之间，故原点不可能为点C 、D ，若原点为点A ，则1＜a ＜2，3＜b ＜4，此时|a|+|b|＞3，故原点不能为点A ，若原点为点B ，则0＜a ＜1，2＜b ＜3，此时|a|+|b|可能等于3，故原点可能为点B ，若原点为点E ，则-3＜a ＜-2，-1＜b ＜0，此时|a|+|b|可能等于3，故原点可能为点E ，故选：D ．【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握有理数的符号和绝对值是确定有理数的必要因素．6．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n+q=0，则m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最小的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n【答案】C【解析】根据n+q=0可以得到n 、q 的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最小，本题得以解决．【详解】解：∵n+q=0，∴n 和q 互为相反数，0在线段NQ 的中点处，∴绝对值最小的点M 表示的数m ，故选：C ．【点睛】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．7．小红和她的同学共买了6袋标准质量为450g 的食品，她们对这6袋食品的实际质量进行了检测，检测结果（用正数记超过标注质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）如下： 第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 第五袋 第六袋 25- 10+ 20- 30+ 15+ 40-食品质量最接近标准质量的是第几袋，最重的是第几袋． （ ）A ．二，四B ．六，四C ．一，六D ．二，六【答案】A【解析】求出各袋高于或低于标准质量的绝对值，根据绝对值的大小做出判断，绝对值最小的最接近标准，超出标准最多的就是最重的．【详解】解：∵|+10|＜|+15|＜|-20|＜|-25|＜|+30|＜|-40|，∴第2袋最接近标准质量．∵-40＜-25＜-20＜+10＜+15＜+30∴第四袋最重，故选：A．【点睛】考查正数、负数的意义以及有理数大小比较，理解绝对值的意义是正确判断的前提．8．下列四个式子，正确的是（）①33.834⎛⎫->-+⎪⎝⎭；②3345⎛⎫⎛⎫-->--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③ 2.5 2.5->-；④125523⎛⎫-->+⎪⎝⎭．A．③④B．①C．①②D．②③【答案】D【解析】利用绝对值的性质去掉绝对值符号，再根据正数大于负数，两个负数比较大小，大的数反而小，可得答案．【详解】①∵33 3.754⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，33.83 3.754>=，∴33.834⎛⎫-<-+⎪⎝⎭，故①错误；②∵33154420⎛⎫--==⎪⎝⎭，21335502⎛⎫--==⎪⎝⎭，1512 2020>，∴3345⎛⎫⎛⎫-->--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②正确；③∵ 2.5 2.5-=，2.5 2.5>-，∴ 2.5 2.5->-，故③正确；④∵111523623⎛⎫--==⎪⎝⎭，217533346+==，333466<， ∴125523⎛⎫-->+ ⎪⎝⎭，故④错误． 综上，正确的有：②③．故选：D ．【点睛】本题考查了绝对值的化简以及有理数大小比较，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．9．如图，数轴上的,,,A B C D 四点所表示的数分别为a b c d ,,,，且O 为原点．根据图中各点位置，下列式子：①||||a b c b -+-；②||||||a d c d +-+；③||||a d d c ---；④||||||a d c d +--中与||c a -的值相同的有（ ）个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【解析】根据绝对值的性质计算出各绝对值表示的线段长，与|a -c |的长AC 进行比较即可．【详解】解：由题意得||c a -=AC ， ①|a -b |+|c -b |=AB +BC =AC ；②|a |+|d |-|c +d |=OA +OD -OC -OD ≠AC ；③|a -d |-|d -c |=AD -DC =AC ；④|a |+|d |-|c -d |=AO +DO -CD =AC ．故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值和数轴等知识，熟练掌握并结合数轴理解绝对值的意义是解题的关键．10．已知有理数,,a b c 在数轴上的位置如图所示，且满足a c b <<．则下列各式：①b a c ->->-；②0ab ac ab ac-=；③+=+a b a b ；④0a b c b a c ---+-=．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【答案】B【解析】根据数a 、b 、c 在数轴上的位置和绝对值的意义，进行逐一计算即可判断．【详解】解：∵|a|＜|b|＜|c|，∴①−b ＞−a ＞−c ，故①正确； ②ab ac ab ac ab ac ab ac-=--＝1+1＝2，故②错误； ③+=+a b a b ，故③正确；④|a −b|−|c -b|＋|a−c|＝a−b−(c−b)＋(c−a)=a -b-c+b+c-a=0，故④正确：所以正确的个数有①③④，共3个．故选：B ．【点睛】本题考查了数轴、绝对值，解决本题的关键是掌握数轴和绝对值．二、填空题11．在4-，112-，0， 3.2-，0.5-，5，1-，2.4中，若负数共有M 个，正数共有N 个，则M N -=______． 【答案】3【解析】根据大于0的数是正数，小于零的数是负数，可得答案．【详解】解：在4-，112-，0， 3.2-，0.5-，5，1-，2.4中，正数有5，2.4共2个，负数有4-，112-， 3.2-，0.5-，1-共5个，M 5∴=，N 2=，M N 523∴-=-=．故答案为：3．【点睛】本题考查了正数和负数，小于0的数是负数，注意带负号的数不一定是负数，注意，0不是正数，也不是负数． 12．已知a ＞0，b ＜0，|b |＞|a |，比较a ，﹣a ，b ，﹣b 四个数的大小关系，用“＜”把它们连接起来_____．【答案】b ＜﹣a ＜a ＜﹣b【解析】先在数轴上标出a 、b 、a -、b -的位置，再比较即可．【详解】解：0a >，0b <，||||b a >，b a a b ∴<-<<-，故答案为：b a a b <-<<-．【点睛】本题考查了数轴，相反数和有理数的大小比较，借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．13．三个互不相等的有理数，既可以表示为1、a ＋b 、a 的形式，也可以表示为0、b a 、b 的形式，则这三个有理数是__________________．【答案】–1,0,1【解析】首先根据分数的分母不为0判断a 不等于0，则a ＋b ＝0，则a 与b 是一对相反数，知分数b a ＝－1，再比较三个数，可求出a,b 的值，可求解.【详解】解：∵b a中，b 为分母 ∴b 不等于0∴a+b=0∴a ，b 互为相反数 ∴b a不能为正数∴ba不等于1∴a=1∵a，b互为相反数∴b=-1∴a的值为1，b的值为-1 故答案为-1，0，1.【点睛】此题主要考查了有理数的概念.根据题意的出“a+b与a中有一个是0，ba与b中有一个是1”是解决问题的关键.14．有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列结论：①a＞b；②|b+c|＝b+c；③|a﹣c|＝c﹣a；④﹣b＜c＜﹣a．其中正确的是_____．（只填序号）【答案】②③④【解析】根据有理数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置，逐个进行判断即可．【详解】解：依题意有a＜﹣2＜﹣1＜b＜0＜1＜c，则①a＜b，原来的说法错误；②|b+c|＝b+c是正确的；③|a﹣c|＝c﹣a是正确的；④﹣b＜c＜﹣a是正确的．故其中正确的是②③④．故答案为：②③④．【点睛】考查数轴，绝对值，根据点在数轴上的位置，确定该数的符号和绝对值是正确判断的前提．15．如果4231=,5374A B C D⨯⨯=⨯=⨯则,,,A B C D中最大的是__________，最小的是____________．【答案】D A【解析】 令4231=125374A B C D ⨯⨯=⨯=⨯=，分别计算出A 、B 、C 、D 的值进行比较即可． 【详解】 令4231=125374A B C D ⨯⨯=⨯=⨯= 可得15,18,28,48A B C D ====∴D C B A >>>则,,,A B C D 中最大的是D ，最小的是A故答案为：D ，A ．【点睛】本题考查了实数的大小比较问题，掌握实数大小比较的方法是解题的关键．16．有理数a 和b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论中：（1）0a b ->（2）0ab >（3）0a b -<<（4）a b a -<-<（5）a b a b +=-其中正确的结论有______个．【答案】4【解析】根据数轴上点的位置关系，可得a 、b 的大小，根据绝对值的意义，判断即可．【详解】解：由数轴上点的位置关系，得0a b >>，a b >． （1）0a b ->，正确；（2）0ab <，错误；（3）0a b -<<，正确；（4）a b a -<-<，正确；（5）a b a b +=-，正确．故答案为：4． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，利用数轴确定a 、b 的大小即a与b 的大小是解题关键．17．已知数轴上三个点A ，B ，C 对应的有理数分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c ，abc ＜0，0a b c ++=、O 为原点，则下列说法正确的有________________A ．0a b c <<<B ．AO CO <C ．AO BO CO =+D ．OB BC = 【答案】AC 【解析】由已知确定a 、b 、c 中有一个负数，则有a<0，c>b>0；再由-c=b+a ，可 得OC ＞AO ，OC=OB+OA ． 【详解】 解：∵abc ＜0∴a 、b 、c 中有一个负数或三个负数， ∵a+b+c=0，∴a 、b 、c 中有一个负数， ∵a<b<c ， ∴a<0，c>b>0， 故A 正确； ∵a+b+c=0， ∴-c=b+a ，∴OC>AO ，b 、为正数， 故B 不正确； ∵-c=b+a ， ∴OC=OB+OA, 故C 正确； ∵BC=b-c ，OB=b ，若b-c=b 时，c=0，不符合题意， 故D 错误；故选:A 、C ． 【点睛】本题考查数轴上点的特点;熟练掌握数轴上点的特点,能够根据数的特点确定两点间距离是解题的关键． 18．一质点P 从距原点1个单位的A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点1A 处，第二次从1A 点跳动到1OA 的中点2A 处，第三次从2A 点跳动到2OA 的中点3A 处，如此不断跳动下去，则第7次跳动后，该7A A 的长度为__________．【答案】127128【解析】根据题意可得第一次跳动到OA 的中点1A 处时，11122OA OA ==；第二次从1A 点跳动到1OA 的中点2A 处时，2211122OA OA ⎛⎫== ⎪⎝⎭；第三次从2A 点跳动到2OA 的中点3A 处时，3321122OA OA ⎛⎫== ⎪⎝⎭，进而得到一般的规律第n 次从1n A -点跳动到1n OA -的中点n A 处时，11122nn n OA OA -⎛⎫== ⎪⎝⎭，根据规律即可求得第七次从6A 点跳动到6OA 的中点7A 处时，7761122OA OA ⎛⎫== ⎪⎝⎭，最后结合线段的和差即可求得答案．【详解】 解：∵1OA =∴第一次跳动到OA 的中点1A 处时，11122OA OA == 第二次从1A 点跳动到1OA 的中点2A 处时，2211122OA OA ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 第三次从2A 点跳动到2OA 的中点3A 处时，3321122OA OA ⎛⎫== ⎪⎝⎭第n 次从1n A -点跳动到1n OA -的中点n A 处时，11122nn n OA OA -⎛⎫== ⎪⎝⎭∴第七次从6A 点跳动到6OA 的中点7A 处时，7761122OA OA ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∴第7次跳动后，777112712128A A OA OA ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭ ．故答案是：127128【点睛】本题考查了数轴上的找规律问题，此类题目在中考中经常出现，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．能够确定第n 次从1n A -点跳动到1n OA -的中点n A 处时，11122nn n OA OA -⎛⎫== ⎪⎝⎭是解决问题的关键．19．“数形结合”思想在数轴上得到充分体现，如在数轴上表示数5和2-的两点之间的距离，可列式表示为()52--，或25--；表示数x 和3-的两点之间的距离可列式表示为()33x x --=+．已知31239x x y y ++-+++-=，则x y +的最大值为______．【答案】4 【解析】 根据题意分别得到31x x ++-和23y y ++-的最小值，结合31239x x y y ++-+++-=得到31x x ++-=4，23y y ++-=5，根据x 和y 的范围得到x+y 的最大值．【详解】解：由题意可得：31x x ++-表示x 与-3的距离和x 与1的距离之和， 23y y ++-表示y 与-2的距离和y 与3的距离之和，∴当-3≤x≤1时，31x x ++-有最小值，且为1-（-3）=4，当-2≤x≤3时，23y y ++-有最小值，且为3-（-2）=5，∵31239x x y y ++-+++-=，∴31x x ++-=4，23y y ++-=5，∴x+y 的最大值为：1+3=4，故答案为：4． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，，用几何方法借助数轴来求解，数形结合是解答此题的关键． 20．若0ab ≠，0a b +≠，则||||||||a b ab a b a b ab a b++++=+______． 【答案】-2或0或4 【解析】对a 和b ，以及+a b 的正负进行分类讨论，然后去绝对值求出对应的值． 【详解】解：①当0a >，0b >时，0ab >，0a b +>， 原式11114a b ab a ba b ab a b+=+++=+++=+； ②当0a <，0b <时，0ab >，0a b +<， 原式()11112a b a b ab a b ab a b-+--=+++=--+-=-+； ③当0a >，0b <，且0a b +>时，0ab <， 原式11110a b ab a b a b ab a b--+=+++=--+=+； ④当0a >，0b <，且0a b +<时，0ab <， 原式()11112a b a b ab a b ab a b-+--=+++=---=-+； ⑤当0a <，0b >，且0a b +>时，0ab <， 原式11110a b ab a b a b ab a b--+=+++=-+-+=+； ⑥当0a <，0b >，且0a b +<时，0ab <， 原式()11112a b a b ab a b ab a b-+--=+++=-+--=-+． 故答案是：-2或0或4． 【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想去化简绝对值．三、解答题21．有一批袋装食品，标准质量为每袋505克，现抽取样品10袋，测得它们的实际质量（单位：克）如下：505，504，505，498，505，502，507，505，503，506；若把超过标准质量的克数用正数表示，不足的用负数表示，列出这10袋食品与标准质量的差值表为：（1）将以上表格补充完整；（2）这10袋食品的总质量是多少？【答案】（1）0 ，－7，＋2；（2）5040克【解析】（1）每袋的实际质量减505克就是表格中填的数；（2）法一；首先求出表格中10个数据的平均数，再加上505克，即可求得平均每袋食品的质量，再乘总袋数10即可求解或10袋食品质量相加；法二：将10个数据的实际质量直接相加即可．【详解】解：（1）505-505=0，498-505=-7，507-505=2，故答案为：0，-7，2．（2）法一：这10袋食品与标准量差值的和为0＋（－1）＋0＋（－7）＋0＋（－3）＋（＋2）＋0＋（－2）＋（＋1）＝－10（克）因此，这10袋食品的总质量为505⨯10+（－10）=5040（克）答：这10袋食品的总质量是5040克．法二：这10袋食品的总质量为505+504+505+498+505+502+507+505+503+506=5040（克）答：这10袋食品的总质量是5040克．【点睛】本题主要考查正负数在实际生活中的应用，有理数的加法运算，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性．22．已知数轴上点A表示的数1-比6大，点B、C表示互为相反数的两个数，且点C与点A间的距离为2，求B、C表示的数-，当点C表示的数是7时，点B表示的数为7-．【答案】当点C表示的数是3时，点B表示的数为3【解析】数轴上点C 与点A 间的距离为2，则可得点C 表示的数；再根据点B 、C 表示互为相反数的两个数，可得点B 表示的数． 【详解】解：因为点A 表示的数比1-大6， 所以点A 表示的数是5， 因为点C 与点A 间的距离为2， 所以点C 表示的数为3或7，因为点B 、C 表示互为相反的两个数，所以当点C 表示的数是3时，点B 表示的数为3-， 当点C 表示的数是7时，点B 表示的数为7-． 【点睛】本题考查了数轴上的点所表示的数及相反数等基础知识，这都是基础知识的考查，比较简单． 23．点A 、B 、C 、O 是数轴上的四个点，它们分别表示数4-、1-、3、0．（1）在数轴上表示这四个数，并求BC 的长；（2）若2AD BC =，点P 是DC 的中点，试求点P 表示的数． 【答案】（1）数轴见解析，BC=4；（2）﹣4.5或3.5 【解析】（1）利用数轴上的点的表示方法表示各有理数，再根据数轴上两点间的距离公式求解BC 即可；（2）可求得AD=8，分D 在A 的左边和D 在A 的右边两种情况讨论求得D 表示的数，进而可求得点P 表示的数． 【详解】解：（1）在数轴上表示这四个数，如图所示：BC=3﹣（﹣1）=4， 故BC 的长为4； （2）AD=2BC=8，当点D 在A 的左边时，D 表示的数为：﹣4﹣8=﹣12， ∵点P 为DC 的中点，∴点P 表示的数为：（﹣12+3）÷2=﹣4.5；当点D 在A 的右边时，点D 表示的数为：﹣4+8=4， ∴点P 表示的数为：（4+3）÷2=3.5， 综上，点P 表示的数为﹣4.5或3.5． 【点睛】本题考查了数轴，会用数轴上的点表示有理数，掌握数轴上两点间的距离公式解答的关键． 24．有理数0a >，0b <，0c >，且a b c <<，（1）在数轴上将a 、b 、c 三个数填在相应的括号中．（2）(用“>”或“=”或“<”填空)：c a -______0，b c -______0，2b a -______0； （3）化简：2b a b c c a -+---．【答案】（1）b ，a ，c ；（2）>，<，<（3）23a b - 【解析】（1）先比较a 与b 的大小，再得到a 、b 、c 的大小关系，从而把a 、b 、c 填到数轴上； （2）利用a 、b 、c 的大小关系和绝对值的意义即可得出答案； （3）根据（2）得出的结论直接去绝对值，然后相加即可得出答案． 【详解】（1）根据已知条件填图如下：（2）0a >，0c >，a c <，0c a ∴->，0b <，0c>，b c 0∴-<， a 0>，b 0<， 2b a 0∴-<．故答案为：>，<，<；（3）2b a b c c a2b a c b c a2a3b-+---=-++--+=-．【点睛】本题考查了数轴：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．也考查了绝对值．25．已知下列三个有理数a，b，c，其中132a⎛⎫=--⎪⎝⎭，b是4-的相反数，c是在1713-与263-之间的整数．请你解答下列问题：（1）这三个数分别是多少？（2）将这三个数用“>”号连接起来．（3）这三个数中，哪一个数在数轴上表示的点离原点的距离最近？【答案】（1）132a=；4b=；7c=-；（2）b a c>>；（3）a【解析】（1）根据相反数的知识直接写出答案；（2）比较出三个数的大小，用“＞”号连接起来即可；（3）利用数轴的知识直接写出答案．【详解】解：（1）这三个数分别是：113322a⎛⎫=--=⎪⎝⎭，()44 b=--=，7c=-．（2）∵14372 >>-∴b a c>>；（3）∵11|||3|322a⎛⎫=--=⎪⎝⎭，|||4|4b==，|||7|7c=-=，且17432>>∴在数轴上a这个数表示的点离原点的距离最近．【点睛】本题主要考查有理数大小比较的知识点，涉及的知识点有数轴以及相反数，此题基础题，比较简单．26．在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．（1）若1表示的点与1-表示的点重合，则4表示的点与数______表示的点重合；（2）若-1表示的点与3表示的点重合，-3表示的点与数______表示的点重合；（3）若数p表示的点与原点重合，此时折线与数轴的交点表示的有理数是______；（3）若数轴上A、B两点之间的距离为m个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是______．【答案】（1）-4；（2）5；（3）12a m+或12a m-．【解析】（1）根据对称，若1表示的点与﹣1表示的点重合，则对称中心是原点，从而找到4的对称点；（2）若数﹣1表示的点与数3表示的点重合，则对称中心是1表示的点，从而找到-3的对称点；根据对应点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再找到点表示的数；从而求解；（3）先得到A点与对称中心的距离，再进一步得到折线与数轴的交点表示的有理数【详解】（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则4表示的点与-4表示的点重合，故答案为：-4（2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，-3表示的点与5表示的点重合，故答案为：5（3）若数轴上A、B两点之间的距离为m个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、B两点经折叠后重合，此时若A在交点左边，折线与数轴的交点表示的有理数是12a m+，若A在交点右边，折线与数轴的交点表示的有理数是12a m -．故答案为：12a m+或12a m-【点睛】此题综合考查了数轴上的点和数之间的对应关系，注意：数轴上的点和数之间的对应关系，即左减右加27．同学们都知道，|4(2)|--表示4与2-的差的绝对值，实际上也可理解为4与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理|3|x-也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：（1）|4(2)|--=_______．（2）找出所有符合条件的整数x ，使|4||2|6x x -++=成立，并说明理由（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|3||6|x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【答案】（1）6；（2）-2，-1，0，1，2，3，4，理由见解析；（3）有最小值为3 【解析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．（2）要x 的整数值可以进行分段计算，令x -4=0或x +2=0时，分为3段进行计算，最后确定x 的值． （3）先得出|x -3|+|x -6|的意义，从而得到x 在3和6之间时（包含3和6）有最小值． 【详解】解：（1）原式=|4+2|=6， 故答案为：6；（2）令x -4=0或x +2=0时，则x =4或x =-2， 当x ＜-2时，∴-（x -4）-（x +2）=6， ∴-x +4-x -2=6，∴x =-2（范围内不成立）； 当-2＜x ＜4时， ∴-（x -4）+（x +2）=6， ∴-x +4+x +2=6， ∴6=6，∴x =-1，0，1，2，3； 当x ＞4时，∴（x -4）+（x +2）=6， ∴x -4+x +2=6，∴x =4（范围内不成立），∴综上所述，符合条件的整数x 有：-2，-1，0，1，2，3，4； （3）|x -3|+|x -6|表示数轴上到3和6的距离之和，∴当x 在3和6之间时（包含3和6），|x -3|+|x -6|有最小值3．【点睛】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方法，取绝对值在数轴上的运用．难度较大．去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．28．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题．例：三个有理数a ，b ，c 满足0abc >，求abca b c ++的值．解：由题意得，a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a ，b ，c 都是正数，即0a >，0b >，0c>时， 则：1113a b c a b c a b c a b c++=++=++=， ②当a ，b ，c 有一个为正数，另两个为负数时，设0a >，0b <，0c <， 则：()()1111a b c a b c a b c a b c--++=++=+-+-=-． 综上，abca b c ++的值为3或-1． 请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知3a =，1=b ，且a b <，求+a b 的值；（2）已知a ，b 是有理数，当0ab >时，求a b a b+的值． （3）已知a ，b ，c 是有理数，0a b c ++=，0abc <，求a b c a b c++． 【答案】（1）-2或-4；（2）2±；（3）1【解析】（1）根据绝对值的意义和a ＜b ，确定a 、b 的值，再计算a+b ；（2）对a 、b 进行讨论，即a 、b 同正，a 、b 同负，根据绝对值的意义进行计算即可；（3）根据a ，b ，c 是有理数，a+b+c=0，0abc <，则a ，b ，c 两正一负，然后进行计算即可．【详解】解：（1）因为3a =，1=b ，且a b <， 所以3a =-，1b =或1-，则2a b +=-或4a b +=-．（2）①当0a <，0b <时，112a b a b+=--=-； ②当0a >，0b >时，112a b a b+=+=； 综上，a b a b+的值为2±． （3）已知a ，b ，c 是有理数，0a b c ++=，0abc <．所以a ，b ，c 两正一负，不妨设0a >，0b >，0c <， 所以1111a b c a b c++=+-=． 【点睛】考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键；。

有理数与无理数一、耐心填一填，一锤定音1、若太平洋最深处低于海平面11034米，记作－11034米，则珠穆朗玛峰高出海平面8848米，记作＿＿＿＿＿＿。

2、＋10千米表示王玲同学向南走了10千米，那么－9千米表示_______；0千米表示＿＿＿＿＿。

3、在月球表面上，白天阳光垂直照射的地方温度高达127℃，夜晚温度可降到－183℃，那么－183℃表示的意义为＿＿＿＿＿＿＿。

4、七（8）班数学兴趣小组在一次数学智力大比拼的竞赛中的平均分数为90分，张红得了85分，记作－5分，则小明同学行92分，可记为＿＿＿＿，李聪得90分可记为＿＿＿＿，程佳＋8分，表示＿＿＿＿＿＿。

5、有理数中，最小的正整数是＿＿＿＿，最大的负整数是＿＿＿＿。

6、在1.5－7.5之间的整数有＿＿＿＿＿，在－7.5与－1.5之间的整数有＿＿＿＿＿7、已知下列各数：－23、－3.14、，其中正整数有__________，整数有______，负分数有______，分数有_________。

二、精心选一选，慧眼识金！1、把向东运动记作“+”，向西运动记作“_”，下列说法正确的是( )A、-3米表示向东运动了3米B、+3米表示向西运动了3米C、向西运动3米表示向东运动-3米D、向西运动3米，也可记作向西运动-3米。

2、下列语句中正确的是( )A、零是自然数B、零是正数C、零是负数D、零不是整数3、下列说法中，其中不正确的是( )A、0是整数B、负分数一定是有理数C、一个数不是正数，就一定是负数D、0 是有理数4、正整数集合与负整数集合合并在一起构成的集合是( )A、整数集合B、有理数集合C、自然数集合D、以上说法都不对5、下列说法中正确的有( )①0是取小的自然数；②0是最小的正数；③0是最小的非负数；④0既不是奇数，也不是偶数；⑤0表示没有温度。

A、1个B、2个C、3个D、4个6、下列说法错误的是（）A、有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数B、一个有理不是整数就是分数C、正有理数分为正整数和正分数D、负整数、负分数统称为负有理数三、把下列各数填在相应的括号内：－23,0.25，，－5.18，18，-38，10，＋7，0，+12，3.1415926, 6.010010001…正数有（）负数有（）整数有（）有理数有（）无理数有（）。

苏科版2020年七年级数学上册2.2《有理数与无理数》 随堂练习1．下列四个数中，正整数是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．12．下列说法错误的是( )A ．负整数和负分数统称为负有理数B ．正整数、0、负整数统称为整数C ．正有理数与负有理数组成全体有理数D ．3.14是小数，也是分数3．下列说法中，不正确的是( )A ．－2.15既是负数、分数，也是有理数B ．0既不是负数，也不是正数，0是整数C ．－200既是负数，又是整数，但不是有理数D ．0是非负数4．有理数2，＋7.5，－0.03，－0.4，0中，非负数有________个．5．有理数－4，－3.14，500，0，12，－425中，______是负分数． 6．把下列各数填在相应的大括号里．－2，0.50，315，432，20，0，－13，0.789，－2018，3. 整数集合：{ …}；负整数集合：{ …}；正分数集合：{ …}；负分数集合：{ …}．7．在数0，1.2345…，－3，－1.2中，属于无理数的是( )A ．0B ．1.2345…C ．－3D ．－1.28．下列说法正确的是( )A ．整数就是正整数和负整数B ．分数包括正分数、负分数C ．正有理数和负有理数组成全体有理数D ．无限小数叫做无理数9．下列五个数：－3，211，π，0，0.1010010001…(每两个1之间逐次增加一个0)，其中无理数有________个．10．把下列各数填在相应的括号内：15，－38，0.3030030003…(每两个3之间逐次增加一个0)，0，－30，0.15，－128，225，＋20，－2.6，π. 正数集合：{ …}；负数集合：{ …}；整数集合：{ …}；分数集合：{ …}；无理数集合：{ …}．11．下列说法正确的个数为( )①－1.6是负分数； ②自然数一定是正数；③非负有理数不包括0； ④负分数一定是负有理数．A ．1B ．2C ．3D ．412．把下列各数填在相应的集合内：20，－4.8，0，－13，－27，－86%，2018，0.020020002，0.1212212221…(每两个1之间逐次增加一个2)，0.12，－2π.13．按要求答题：(1)写出两个既是负数，又是分数的数；(2)写出两个既是整数，又不是正数的数；(3)写出两个既不是负有理数，又不是整数的数．14．有六个数：0.123，－1.5，3.1416，227，－2π，0.2020020002…(每两个2之间逐次增加一个0)，若其中无理数的个数为x ，整数的个数为y ，非负数的个数为z ，则x ＋y ＋z ＝________．参考答案1．D2．C .3．C ．4．3 5.－3.14，－4256．解：整数集合：{－2，432，20，0，－2018，3，…}；负整数集合：{－2，－2018，…}；正分数集合：{0.50，315，0.789，…}； 负分数集合：{－13，…}． 7．B8．B.9．2 ．10．解：正数集合：{15，0.3030030003…(每两个3之间逐次增加一个0)，0.15，225，＋20，π，…}；负数集合：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－38，－30，－128，－2.6，…； 整数集合：{}15，0，－30，－128，＋20，…；分数集合：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－38，0.15，225，－2.6，…； 无理数集合：{0.3030030003…(每两个3之间逐次增加一个0)，π，…}．11．B12．解：13．解：答案不唯一，如：(1)－23，－15等．(2)0，－1等．(3)12，14等． 14．6。

2.2有理数与无理数一、选择题1．在下列各数0.51525354…、0、、、6.1、、中，无理数的个数是（）A. 4 B. 3 C. 2 D. 12．在；；25；0；；；；中，非负数有A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个3．下列各数：，，，0，4，中，整数有A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4．下面的说法中，正确的个数是是整数；是负分数；不是正数；自然数一定是非负数；负数一定是负有理数．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5．在，，4，，0，中，表示有理数的有A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个6．下列各数：，，，0，，，11，，其中负分数有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题7．请写出一个比1大比2小的无理数：________。

8．若、都是无理数，且，则、的值可以是________（填上一组满足条件的值即可）.9．把下列各数分别填入相应的集合里：+(-2)，0，﹣0.314，（两个1间的0的个数依次多1个）﹣(﹣11)，，，，正有理数集合：…}，无理数集合：…}，整数集合：…}，分数集合：…}.10．在﹣2、，4.121121112、π﹣3.14，、0.5中，是无理数的．11．把下列各数的序号填在相应的数集内：，，，，，，，，．正整数集合_____正分数集合_____负数集合_____．12．有两个三位数相乘所得乘法算式：，其中，并且B，C，D，E，F，G这六个字母恰好代表化成小数后循环节中的六个数字顺序不一定相同，则______ ．三、解答题13．观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1，给出定义如下：我们称使等式a ﹣b＝ab+1的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，），都是“共生有理数对”．（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是；（2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m）“共生有理数对”（填“是”或“不是”）；（3）请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为；（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）（4）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值．14．把下列各数填到相应的集合中：，49，﹣6，3.1415，﹣10，0.62，﹣，18，0，﹣2.3，7，﹣3.2（1）整数集合：}（2）负分数集合：}（3）非负数集合：}．15．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“椒江有理数对”，记为，如：数对，都是“椒江有理数对”．数对，中是“椒江有理数对”的是______；若是“椒江有理数对”，求a的值；若是“椒江有理数对”，则______“椒江有理数对”填“是”、“不是”或“不确定”；请再写出一对符合条件的“椒江有理数对”______．注意：不能与题目中已有的“椒江有理数对”重复16．阅读理解把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：，6，8，，我们称之为集合，其中大括号内的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得也是这个集合的元素，这样的集合我们称为条件集合，例如：集合，因为，恰好是这个集合的元素，所以是条件集合；例如：集合9，，因为，8恰好是这个集合的元素，所以9，是条件集合．集合______条件集合；集合______条件集合填“是”或“不是”若集合10，和集合都是条件集合，求m，n的和．17．按要求分别写出一个大于9且小于10的无理数：用含的式子表示用无限不循环小数的形式表示．18．无限循环小数如何化为分数呢请你仔细阅读下列资料：由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数转化时需要先去掉无限循环小数的“无限小数部分”一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍、一千倍、，使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就减掉了例题：例如把和化为分数如图所示．请用以上方法解决下列问题：把化为分数把化为分数．参考答案一、选择题1．在下列各数0.51525354…、0、、、6.1、、中，无理数的个数是（）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1答案：【答案】C【考点】无理数的认识解：在0.51525354…、0、、、6.1、，无理数的为：0.51525354…、共2个．故答案为：C．【分析】根据无理数定义判定即可．2．在；；25；0；；；；中，非负数有A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个D解析：【答案】D【解析】解：在；；25；0；；；；中，非负数有；；25；0；；一共5个．故选：D．根据正数和负数的定义，理解非负数就是正数和0解答即可．考查了有理数，解题关键是理解“正”和“负”的定义．强调数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界．3．下列各数：，，，0，4，中，整数有A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个B解析：【答案】B【解析】解：是整数，是负分数不是整数，是分数不是整数，0是整数，4是整数，是负分数不是整数，所以整数有3个．故选：B．按照有理数的分类填写：有理数．认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．4．下面的说法中，正确的个数是是整数；是负分数；不是正数；自然数一定是非负数；负数一定是负有理数．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个C解析：【答案】C【解析】【分析】本题考查了有理数，熟记有理数的意义是解题关键．根据有理数的意义，可得答案．【解答】解：是整数，故正确；是负分数，故正确；是正数，故错误；自然数一定是非负数，故正确；负分数一定是负有理数，故错误；故选C．5．在，，4，，0，中，表示有理数的有A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个C解析：【答案】C【解析】【分析】此题考查了有理数的概念，要掌握：整数和分数统称有理数，其中不是有理数．能准确的判断出什么是有理数，知道是无限不循环小数，是无理数．先根据有理数的概念判断出有理数，再计算个数．【解答】解：在，，4，，0，．中，表示有理数的有：，4，，0，．共有5个，故选C．6．下列各数：，，，0，，，11，，其中负分数有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个B解析：【答案】B【解析】解：，是负分数，有2个，故选：B．小数就是负数，从中找出负分数即可，，是负分数，有2个．考查有理数的意义，掌握有理数的分类，理解有理数的意义和形式正确判断的前提．二、填空题7．请写出一个比1大比2小的无理数：________。

有理数与无理数知识点以及专项训练知识点1：有理数有理数：有理数是整数和分数的统称；正整数：1、2、3、4、5···整数： 0负整数：-1、-2、-3、-4、-5····分数：正分数：12、65、83···负分数：−12、−56、−38、−215···注意分数：只要能够写成分子、分母都是整数且分子不是分母倍数的数都是分数。

有限小数、无限循环小数由于都能够写成这种形式，所以它们都是分数。

非正整数：0、-1、-2、-3、-4···非负整数：0、1、2、3、4、5···最小的正整数：1最大的负整数：-1有理数的划分：（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：知识点2：无理数无理数：无限不循环小数叫做无理数。

我们初中接触到的数中，不是有理数就是无理数。

无理数常见的特征：①看似循环实际不循环： 0.1010010001…（每两个1之间0的数量逐渐增加）、0.12345678910111213…（数字按照规律逐渐增加）②含π类的数：2π、12π、-10π等等③含√类：√2、√3、√5、2√2、√10等等；但是注意：√4=2、√9=3、√16=4、√25=5等等，这些属于整数。

知识点3：循环小数化分数定义：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．纯循环小数：从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、0.2·等等纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如 0.3=39=13，0.189=189999=737．混循环小数：如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：0.1·2·、0．3456456…．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．0.918=918−9990=101110，0.239=239−23900=625，0.35135=35135−3599900=3510099900=1337注意： （1）任何一个“循环小数”都可以化为“分数”．（2）“混循环小数”化“分数”也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．【有理数和无理数】1. 下列各数是正整数的是（ ）A ．－1B ．2C ．0．5D ．√22. 下面说法中正确的是（ ）．A ．非负数一定是正数．B ．有最小的正整数，有最小的正有理数．C ．−a 一定是负数．D ．正整数和正分数统称正有理数． 3. 下列四种说法，正确的是（ ）.A. 所有的正数都是整数B. 不是正数的数一定是负数C. 正有理数包括整数和分数D. 0不是最小的有理数4. 下列说法正确的是（ ）A ．整数就是正整数和负整数B ．分数包括正分数、负分数C ．正有理数和负有理数统称有理数D ．无限小数叫做无理数5. 下列说法：①一个有理数不是整数就是分数；②有理数包括正有理数和负有理数；③分数可分为正分数和负分数；④存在最大的负整数；⑤不存在最小的正有理数．其中正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 6.112是（ ）A ．整数B ．有限小数C ．无限循环小数D ．无限不循环小数7. 在实数√5、227、0、π2、√36、﹣1.414，有理数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8. 下列实数中，是无理数的为（ ）A ．﹣4B ．0.101001C ．13D ．√29. 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）A.面积为25的正方形；B.面积为16的正方形；C.面积为8的正方形；D.面积为1.44的正方形． 10. 下列说法正确的是（ ）A ．不循环小数是无理数B ．无限不循环小数是无理数C ．无理数大于有理数D ．两个无理数的和还是无理数 11. 下列说法：①﹣2.5既是负数、分数，也是有理数；②﹣22既是负数、整数，也是自然数；③0既不是正数，也不是负数，但是整数；④0是非负数． 其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12. 已知a 为有理数，b 为无理数，你们a +b 为___________．13. 在﹣1、0.2、−15、3、0、﹣0.3、12中，负分数有_______________________，整数有_____________________．14. 在227、3.14159、√7、﹣8、√23、0.6、0、√36、π3中是无理数的个数____________．15. 在有理数−23、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有_________． 16. 请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1、0.0708、 -700、 -3.88、 0、3.14159265、 −723、0.2·3·正整数集合:{ }； 负整数集合:{ }； 整数集合:{ }； 正分数集合:{ }； 负分数集合:{ }； 分数集合:{ }； 非负数集合：{ }； 非正数集合：{ }. 17. 将下列各数填入相应的括号内3π、-2、−12、3．020020002…、0、227、2、2012、-0.2·3·整数集合：{ } 分数集合：{} 负有理数集合：{ } 无理数集合：{}18. 下面两个圆圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置．﹣28%、−（−37）、﹣2014、3.14、﹣（+5）、﹣0.3·【循环小数化分数】1. 把循环小数6.142化成分数是（ ） A ． 6142999B ． 6745C ． 62999D ． 6322252. 在6.4040…、3.333、9．505，三个数中，6.4040…是循环小数，把这个数化为分数可以写作________________． 3. 0.2666…化为分数是_______________．4. 把下列循环小数化分数 （1）0.6·（2）3.1·02·（3）0.21·5·（4）6.353·（5）0.7·8· （6）1. 7·8·（7）0.17·8·（8）1.17·8·5. 试验与探究我们知道13写为小数即0.3·，反之，无限循环小数0.3·写成分数即13．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以0.7·为例进行讨论：设0.7·= x ，由0.7·=0．7777…，可知，10x −x =7，解方程得x =79，于是得0.7·＝79．请仿照上述例题完成下列各题： （1）请你把无限循环小数0.5·写成分数，即0.5·=_____________． （2）你能化无限循环小数0.7·3·为分数吗？请仿照上述例子求之．有理数与无理数知识点以及专项训练（含有答案解析）知识点1：有理数有理数：有理数是整数和分数的统称；正整数：1、2、3、4、5···整数： 0负整数：-1、-2、-3、-4、-5····分数：正分数：12、65、83···负分数：−12、−56、−38、−215···注意分数：只要能够写成分子、分母都是整数且分子不是分母倍数的数都是分数。

初一数学有理数专题训练一、有理数的基本概念1. 有理数的定义与分类- （1）定义：整数和分数统称为有理数。

整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数和负分数。

- （2）分类：- 按定义分类：有理数整数正整数 0 负整数分数正分数负分数- 按性质分类：有理数正有理数正整数正分数 0 负有理数负整数负分数- 题目：下列数中，哪些是有理数？√(2)，0，-3，(1)/(2)，π。

- 解析：0是整数，-3是负整数，(1)/(2)是正分数，根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，所以0、-3、(1)/(2)是有理数；而√(2)和π是无理数（无限不循环小数），不是有理数。

2. 数轴- （1）定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

- （2）性质：- 数轴上的点与有理数一一对应（实数与数轴上的点一一对应，有理数是实数的一部分）。

- 右边的数总比左边的数大。

- 题目：在数轴上表示出-2，0，1.5这三个数，并比较它们的大小。

- 解析：先画出数轴，确定原点0，规定向右为正方向，选取合适的单位长度。

然后在数轴上找到-2（在原点左边距离原点2个单位长度的点）、0（原点）、1.5（在原点右边距离原点1.5个单位长度的点）。

根据数轴上右边的数比左边的数大的性质，可得-2＜0＜1.5。

3. 相反数- （1）定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

0的相反数是0。

- （2）性质：互为相反数的两个数的和为0，即a + (-a)=0。

- 题目：求5的相反数和-3.5的相反数。

- 解析：根据相反数的定义，5的相反数是-5；-3.5的相反数是3.5。

4. 绝对值- （1）定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

- （2）性质：- 当a≥slant0时，| a| = a；当a＜0时，| a|=-a。

- 绝对值是非负的，即| a|≥slant0。

- 题目：计算| - 3|和| 2.5|。

- 解析：根据绝对值的性质，| - 3| = 3（因为-3＜0，所以| - 3|=-(-3)=3）；|2.5| = 2.5（因为2.5≥slant0，所以| 2.5| = 2.5）。

有理数相关概念训练题一、有理数的定义及分类1. 题目- 下列各数：-3，0，(1)/(2)，0.57，-(22)/(7)，1.2121121112·s，π，20%。

其中有理数有（）A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个- 把下列各数填在相应的大括号里：-5，+(1)/(3)，0.62，4，0，-1.1，(7)/(6)，-6.4，-7，(22)/(7)。

正整数：{ }；负整数：{ }；分数：{ }；非负有理数：{ }。

2. 解析- 对于第一题：- 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。

- -3是负整数，属于有理数；0是有理数；(1)/(2)是分数，属于有理数；0.57=(57)/(100)是分数，属于有理数；-(22)/(7)是分数，属于有理数；1.2121121112·s是无限不循环小数，是无理数；π是无理数；20%=(1)/(5)是分数，属于有理数。

所以有理数有-3，0，(1)/(2)，0.57，-(22)/(7)，20%共6个，答案是C。

- 对于第二题：- 正整数是大于0的整数，所以正整数：{4}。

- 负整数是小于0的整数，所以负整数：{-5, - 7}。

- 分数包括有限小数和无限循环小数，所以分数：{+(1)/(3),0.62,-1.1,(7)/(6), - 6.4,(22)/(7)}。

- 非负有理数是正有理数和0，所以非负有理数：{+(1)/(3),0.62,4,0,(7)/(6),(22)/(7)}。

二、数轴相关题目1. 题目- 画出数轴，并在数轴上表示出下列各数：-3，0，2，-(3)/(2)，1.5。

- 数轴上表示-2和3的两点之间的距离是（）A. 1B. 5C. -1D. -52. 解析- 对于第一题：- 画数轴的步骤：先画一条直线，在直线上取一点表示0（原点），规定向右的方向为正方向，再选取适当的长度作为单位长度。

- 然后在数轴上找到对应的点：-3在原点左边3个单位长度处；0就在原点；2在原点右边2个单位长度处；-(3)/(2)=-1.5，在原点左边1.5个单位长度处；1.5在原点右边1.5个单位长度处。

专题01 有理数与无理数正数与负数1．（2022秋•溧阳市期中）四个数﹣2，0，1，3，其中负数是（ ）A．﹣2B．0C．1D．32．（2021秋•中站区期中）在﹣22、（﹣2）2、﹣（﹣2）、﹣|﹣2|中，负数的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个3．（2022秋•镇海区校级期中）下列各数﹣1，2，﹣3，0，π中，负数的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2023春•南岗区期中）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：星期一二三四五六日增减+5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9（1）根据记录可知前四天共生产 辆；（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆；（3）该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？正、负数表示具有相反意义的量1．（2022秋•锡山区期中）如果规定收入为正，支出为负，收入3元记作3元，那么支出8元记作（ ）A ．5元B ．﹣11元C ．11元D ．﹣8元2．（2022秋•黔西南州期中）人体的正常体温大约为36.5℃，如果体温高于36.5℃，那么高出的部分记为正；如果体温低于36.5℃，那么低于的部分记为负．那么37.3℃应记为（ ）A ．﹣0.8℃B ．+0.8℃C ．﹣37.3℃D ．+37.3℃3．（2022秋•建湖县期中）中国古代数学著作《九章数学》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入100元记作+100元，那么﹣75元表示（ ）A ．支出﹣75元B ．收入75元C ．支出75元D ．收入25元4．（2020秋•河池期中）某文具店在一周的销售中，盈亏情况如下表（盈余为正，单位：元）：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计﹣27.8﹣70.3200138.1﹣8188458表中星期六的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈还是亏？盈亏是多少？5．（2022秋•达川区期中）某果农把自家果园的柑橘包装后放到了网上销售．原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）．星期一二三四五六日与计划量的差值+4﹣3﹣5+7﹣8+21﹣6（1）根据记录的数据可知前五天共卖出多少箱？（2）本周实际销售总量达到了计划数量没有？（3）若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费7元/箱，那么该果农本周总共收入多少元？用正、负数表示误差范围1．（2022秋•句容市校级）某种食品保存的温度为﹣16±2℃，以下几个温度中，适合这种食品储存的是（ ）A．﹣12℃B．﹣13℃C．﹣15℃D．﹣19℃2．（宽城区期中）某种品牌的洗面奶，外包装标明净含量为500±10g，表明了这种洗面奶的净含量x 的范围是（ ）A．490＜x＜510B．490≤x≤510C．490＜x≤510D．490≤x＜5103．（锡山区期中）某种零件，标明要求是φ20±0.02mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9mm，该零件 （填“合格”或“不合格”）．4．（溧水县期中）一种商品的标准价格是a元，但是随着季节的变化，商品价格可浮动±10%．（1）请用文字说明：“商品价格可浮动±10%”的含义；（2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格；（3）求当a＝120元时，该商品价格的浮动范围．5．（南昌期中）质监部门抽查粮油店里的A、B两种品牌标准重量为10kg的定量包装大米，检测的实际重量结果如下：A9.959.739.259.879.80B9.889.919.899.529.90（1）国家规定合格定量包装大米的标准重量与实际重量误差是±1%，问标准重量是10kg的包装大米重量在什么范围是合格的？以上10袋大米中有多少袋是合格的？（2）若A、B两种品牌的定量包装大米分别是：5.6元/kg，6.8元/kg，该粮店全部按标准重量售出这10袋定量包装大米，将因短斤少两盈利多少元？有理数1．（2022秋•魏县期中）与相等的是（ ）A．B．C．D．2．（2023春•闵行区期中）在﹣15，5，﹣0.23，0，7.6，2，，314%．这八个有理数中非负数有（ ）A．4个B．5个C．6个D．7个3．（2022春•肇源县期中）在下列数中：﹣|﹣3|，0.23，（﹣2）2，0，（﹣3）3，﹣（﹣20062），，，该正整数的个数为m，非负数的个数为n，则m﹣n的值为 ．4．（2022秋•阜宁县期中）把下列各数分别填入相应的集合里：−2.5，3，0，π，2022．正有理数集合：{ …}；负分数集合：{ …}；整数集合：{ …}；自然数集合：{ …}．无理数1．（2023春•海安市期中）在实数：3.14159，1.010010001…，4，π，中，无理数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2022秋•建邺区期中）在实数0，，，3.1415926，1.，1.01001000100001……（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2022春•牧野区校级期中）写出一个满足﹣2＜x＜﹣1的无理数x： ．（写出一个即可）4．（2022春•东莞市校级期中）在，2π，﹣1，0.181181118…四个数中，无理数有 个．一．选择题1．在﹣2，+2.4，，0，﹣1.8中，是负数的个数为a，是分数的个数为b，是正整数的个数为c，则a﹣2b+c的值为（ ）A．﹣6B．﹣4C．﹣2D．02．体育课上全班女生进行百米测验，达标成绩为18秒，第一小组8名女生的成绩如下：﹣3，0.5，0，﹣0.1，﹣1，﹣2.6，+1.6，﹣0.3．其中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒，则这个小组的达标率是（ ）A．75%B．25%C．37.5%D．62.5%3．某市质量监督局从某公司生产的婴幼儿奶粉中，随意抽取了20袋进行检查，超过标准质量的部分记为正数，不足的部分记为负数，抽查的结果如下表，则这批样品每袋的平均质量比标准质量（ ）与标准质量的偏差（单位：克）﹣10﹣50+5+10+15袋数147521 A．多15克B．多30克C．多1.5克D．多0.75克4．浐河发源于蓝田县汤峪，是潮浐水系的最大支流，若浐河中的水位上升0.4米记为+0.4米，则﹣0.1米表示（ ）A．水位下降0.1米B．水位上升0.1米C．水位上升0.6米D．水位下降﹣0.1米5．七年级某班的学生共有49人，军训时排列成7×7的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令．同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（ ）A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个B．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个二．填空题6．如果水位升高3m记作+3m，那么水位下降5m记作 m．7．今年元月份姜老师到银行开户，存入6000元钱，以后的每月根据收入情况存入一笔钱，下表为姜老师从2月份到7月份的存款情况：（超出上月记为正）月份234567与上一月比较（元）﹣200+450+400﹣300﹣100﹣600根据记录，从2月份至7月份中 月份存入的钱最多．8．设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1、a+b、a的形式，又可分别表示为的形式，则（b﹣a）3的值为　．9．黑板上有10个互不相同的有理数，小明说：“其中有6个整数”，小红说：“其中有6个正数”，小华说：“其中正分数与负分数的个数相等”，小林说：“负数的个数不超过3个”，请你根据四位同学的描述，判断这10个有理数中共有 个负整数．三．解答题10．某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时，行走记录如下（单位：km）：+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，﹣5，+6（1）收工时，检修小组在A地的哪一边，距A地多远？（2）若汽车每千米耗油3升，已知汽车出发时油箱里有180升汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？11．某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：星期一二三四五六日增减+5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？（2）该厂一周实际生产自行车多少辆？（3）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖20元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？12．阅读材料：把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7}，……，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，注意集合中的元素不能重复．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，10﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如{0，10}就是一个黄金集合．回答问题：（1）集合{1} 黄金集合，集合{﹣1，10} 黄金集合；（两空均填“是”或“不是”）（2）请你再写出一个含有两个元素的黄金集合，一个含有四个元素的黄金集合（不能与上述集合重复）；（3）写出所有黄金集合中，元素个数最少的集合．。