封闭图形的植树问题优秀课件

你能说出下面各图的植树棵数与间隔数 之间的关系吗？
两端都种：
棵数=间隔数 +1 两端都不种：
棵数 = 间隔数 - 1
只种一端：
棵数 = 间隔数
封闭图形的植树问题
学校要在正方形的草地边上种树，使每一边都有3棵树 ，可以怎样种？
要求：想一想，用一个圆圈代表一棵树把它画下来， 再算一算一共种了几棵树？
做一做：
48名学生在操场上做游戏。大家围成一 个正方形，每边人数相等。四个顶点都 有人，每边各有几名学生？
48 ÷4 +1
=12+1
=13（名）
小朋友围成一圈做游戏。 一圈的总长是9米，每 两个人之间的距离是１ 米，一共有几个小朋友？
1.在一个六边形的最外边插彩旗（每个角都要站），
每边插5面，一共要几面彩旗？列式错误的是（ ③ ）。
子天
是开
梅放
花；
，有
选的
择孩
在子
冬是
天荷
开花
放，
选
择
在
夏
我们，还在路上……
①7
②8
③9
4、学校环形跑道长200米，每隔10米种一棵树，一共
可种几棵树。列式正确的是（② ）。
① 200÷10-1 ② 200÷10 ③ 200÷10 +1
算一算
在 一个5边形上摆花，如果每边摆7盆（每个顶点都 摆一盆），最外层一共可以摆放多少盆花？
方法一： 7×5-5=30（盆）
方法二： 6×5=30（盆）
① （5 – 1) X 6 ② 5 X 6 – 6 ③ 5 X 6
2.学校环形跑道长200米，每隔10米种一棵树，一共
可种（ ① ）棵树。
① 20

二、交流辨析，探究新知
（一）回顾研究方法，布置研究内容
例3：张伯伯准备在圆形池塘周围 栽树。池塘的周长是120m， 如果每隔10m 栽一棵，一共 要栽多少棵树？ 120÷10＝12（棵） 答：一共要栽12棵树。 问题：1. 你能准确说出一共要栽多少棵树了吗？你是怎样想的。 2. 算式表示什么意思。
数学广角——植树问题
植树问题 例3（封闭图形）
一、创设情境，揭示课题
例3：张伯伯准备在圆形池塘周围 栽树。池塘的周长是120m， 如果每隔10m栽一棵，一共 要栽多少棵树？
1. （出示主题图）你知道了哪些信息？ 2. 这个植树问题和以往的问题有什么不同？
3. 揭示课题：今天我们就来研究封闭图形中的“植树问题”。
二、交流辨析，探究新知
（三）梳理方法，整体把握
两头种
100米 棵数＝间隔数＋1
60米 棵数＝间隔数－1来自35米 棵数＝间隔数 棵数＝间隔数
问题： 1. 回忆一下，我们使用了怎样的方法解决这个问题的？ 2. “植树问题”有几种类型？ 每种类型中棵数和间隔数什么关系？
3. 你能把这几种清况分分类吗？说说你是怎样想的。
2. 一条项链长60cm，每隔5cm有一颗水晶。 这条项链上共有多少颗水晶？
60÷5＝12（颗） 答：这条项链上共有12颗水晶。 问题： 1. 用你喜欢的方法，解决这个问题。 2. 你读懂他想表达什么意思了吗？请你说一说。 3. 生活中还有哪些事情也属于这种情况，你能举几个例子吗？
四、布置作业
作业：第110页练习二十四，第11题。 第111页练习二十四，第13题。
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”

1. 圆形滑冰场的一周全长是150m。 如果沿着这一圈每隔15m安装一灯， 一共需要装几盏灯？
150÷15＝10（盏） 答：一共需要装10盏灯。
2. 一条项链长60cm，每隔5cm有一颗水晶。 这条项链上共有多少颗水晶？
60÷5＝12（颗） 答：这条项链上共有12颗水晶。二、交流辨析，探究新知
（三）梳理方法，整体把握
两头种
100米 棵数＝间隔数＋1
60米 棵数＝间隔数－1
35米 棵数＝间隔数
棵数＝间隔数
问题： 1. 回忆一下，我们使用了怎样的方法解决这个问题的？
2. “植树问题”有几种类型？ 每种类型中棵数和间隔数什么关系？
3. 你能把这几种清况分分类吗？说说你是怎样想的。
数学广角——植树问题
植树问题 例3（封闭图形）
例3：张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是 120m， 如果每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵树？
例3：张伯伯准备在圆形池塘周围 栽树。池塘的周长是120m， 如果每隔10m 栽一棵，一共 要栽多少棵树？
120÷10＝12（棵） 答：一共要栽12棵树。

如果每隔10m栽一棵，一共 张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。
张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。
答：这条项链上共有12颗水晶。
要栽多少棵树？ 池塘的周长是120m，如果每隔10m 栽一棵，一共要栽多少棵树？
每种类型中棵数和间隔数什么关系？
这种环形植树问题，应该怎样求呢？
你能把这几种清况分分类吗？说说你是
这条项链上共有多少颗水晶？
60米
35米
我这们条将 项封链闭上图共形有“多化少曲颗为水直晶”后？，发棵现数封＝闭间图隔形数和＋在1不封闭图形“一棵头数种＝”间中隔棵数数－和1间隔数的关系是棵一数样＝的间，隔都数是棵数等于间隔数棵。数＝间隔数
这条项链上共有多少颗水晶？
植树问题（封闭图形）
你能把这几种清况分分类吗？说说你是
120÷10＝12（棵）
60÷5＝12（颗） 答：这条项链上共有12颗水晶。
你能举几个生活中的例子吗？
布置作业
作业：第110页练习二十四，第11题。 第111页练习二十四，第13题。
如果我把圆拉直成线段，你有什么发现？
120÷10＝12（棵）
答：这条项链上共有12颗水晶。
答：一共要栽12棵树。
池塘的周长是120m，如果每隔10m 栽一棵，一共要栽多少棵树？ 周长是50m、60m、70m时…… 周长是50m、60m、70m时……
可以栽4棵树。
我们将封闭图形“化曲为直”后，发现封闭图形和在不封闭图形“一头种”中棵数和间隔数的关系是一样的，都是棵数等于间隔数。
1.“植树问题”有几种类型？ 答：这条项链上共有12颗水晶。
一条项链长60cm，每隔5cm有一颗水晶。 每种类型中棵数和间隔数什么关系？
张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。 你能把这几种清况分分类吗？说说你是

间隔数：36-1 = 35(个) 总路长：35×6 = 210(米) 答：从第一棵到最后一棵的距离有210米。
间隔数=植数棵数-1， 总路长=间隔长度×间隔数。
5. 一条走廊长 32 m，每隔 4 m 摆放一盆植物（两端不 放）。一共要放多少盆植物？
把一盆植物看作树，就是植树问题。
间隔数：32÷4 = 8（个） 植物盆数：8 - 1 = 7（盆） 答：一共要放 7 盆植物。
25 - 1 = 24(棵) 答：一共要栽 24 棵银杏树。
把银杏树就当成两棵树之间的间隔，这样就 可根据“植数棵数-1=间隔数” 来解答。
2. 5路公共汽车行驶路线全长12 km，相邻两站之间的 路程都是1 km。一共设有多少个车站？
假如一个车站就是一棵树，这也是植树问题。
12÷1 = 12(个) 12＋1 = 13(个) 答：一共设有13个车站。
答：38人需要并9张桌子。
11. 一条项链长60 cm，每隔5 cm有一颗 水晶。这条项链上共有多少颗水晶？
60÷5＝12（颗） 答：这条项链上共有12颗水晶。
把一颗颗水晶当成树，就可根据“植数棵数= 间隔数”来解答。
12. 小区花园是一个长60 m，宽40 m的长方形。现在要 在花园四周栽树，四个角上都要栽，每相邻两棵间隔5 m。一共要栽多少棵树？封闭曲线上的植树问题
……
锯1次 锯成2段 锯2次 锯成3段 锯3次 锯成4段
……
锯的次数=锯的段数-1
5 - 1 = 4(次) 8×4 = 32(分钟)
两端都不栽的植树问题
8. 笔直的跑道一旁插着51面小旗，相邻两面小旗的 间隔是 2 m。现在要改为只插 26 面小旗（两端的旗子 不动），间隔应改为多少米？
两端都栽的植树问题。先要求出跑道

35米 棵数＝间隔数
棵数＝间隔数
“回植忆树一问下题，”我有们几使种用类了型怎？样的每方种 类法型解中决棵这数个和问间题隔的数？什么关系？
1.圆形滑冰场的一周全长是150m。如果沿着这 一圈每隔15m安装一盏灯，一共需要装几盏灯？ 盏数=间隔数 150÷15=10(盏) 答：一共需要装10盏灯。
2.同学们围绕圆形池塘栽树，每两 棵树之间的距离是3m，种了15 棵树，池塘的周长是多少米？
两端栽
两端不栽
一端栽
100米 棵数＝间隔数＋1
60米 棵数＝间隔数-1
35米 棵数＝间隔数
探究点2 封闭路段上的植树问题
张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120 m， 如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵树？ 封闭图形中的“植树问题”
这个植树问题和以往 的问题有什么不同？
如果把圆拉直成线段，你能发现什么？
棵数=间隔数 15×3=45(m) 答：池塘的周长是45m。
3.一个长方形花坛,长60m,宽40m,要在花坛四周摆上月季花,每隔 2m摆一盆,一共需要多少盆月季花? 盆数=间隔数 (60+40)×2÷2 =100×2÷2 = 100(盆) 答：一共需要100盆月季花。
植树问题基本解决思路： 间隔数=总长÷间隔距离
提升点1 解决方阵问题
5．(易错题)学校体操队排成方阵进行表演，最外层 每边有16人，最外层一共有多少人？ 16×4－4 ＝64－4 ＝60(人) 答：最外层一共有60人。
提升点2 稍复杂的封闭图形植树问题
6．一个周长是1800 m的圆形鱼塘，周围共栽了200 棵杨树，每两棵杨树之间栽2棵柳树，每两棵柳 树之间的距离是多少米？ 1800÷200＝9(m) 9÷(2＋1)＝3(m) 答：每两棵柳树之间的距离是3m。

植树问题第三种：一端栽，一端不栽
转化
封闭图形
一端栽,一端不栽
棵数=段数(间隔数)
池塘的周长是1200m，如果每隔 10m栽一棵，一共要栽多少棵树？
1200÷10=120（段棵 ）
答：一共要栽120棵树。
棵数=段数
圆形滑冰场的一周全长是150m. 如果沿着这一圈每隔15m安装一 盏灯，一共需要装几盏灯？
人教版数学五年级上册第七单元
封闭图形中的植树问题
棵数=段数（间隔数）+1
棵数=段数（间隔数）-1
棵数=段数（间隔数）
张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。
池塘的周长是1200m，如果每隔
10m
10m栽一棵，一共要栽多少棵树？
①池塘总长=40米
40÷10＝4（段） 4段＝4棵
③池塘总长=80米 80÷10＝8（段）
8段＝8棵
②池塘总长=60米 60÷10＝6（段） 6段＝6棵
④池塘总长是90米或120米呢？
通过对表中数据的观 察、比较，你有什么 发现呢？
总长 40m 60m 80m 90m 120m
间隔 10m 10m 10m 10m 10m
段数 4 6 8 9 12
棵数 4 6 8 9 12
封闭图形 ： 棵数 = 段数
150÷15=10（盏 ） 答：一共需要装10盏灯。
பைடு நூலகம்
封闭图形 一端栽,一端不栽
棵数=段数(间隔数)
谢谢观看

7．有一个圆形花坛，绕着它走一圈是120 m，如果沿 着这一圈每隔6 m栽1棵丁香花，再在相邻的2棵丁 香花之间等距离地栽2棵月季花，栽丁香花和月季 花各多少棵？2棵相邻的丁香花之间的2棵月季花相 距多少米？ 丁香花棵树=间隔数 间隔数＝月季花棵树＋1
120÷6＝20(棵)(丁香花) 20×2＝40(棵)(月季花) 6÷(2＋1)＝2(m)
120÷10＝12（棵） 答：一共要栽12棵树。
二、探究新知
（四）延伸探究
圆周上植树问题的规律适用于其他的封闭图形吗？
（1）在周长120米的等边三角形周围栽树（每个角也要栽树）， 每隔10m栽一棵，需要栽多少棵树？
（2）在周长120米的正方形周围栽树（每个角也要栽树），每隔 10m栽一棵，需要栽多少棵树？
5－1＝4（次） 4×8＝32（分） 答：锯完一共要花32分钟。
一、复习旧知
一个舞台长24 m，每隔8 dm挂一面彩旗。 （1）如果两端都挂，一共需要多少面彩旗？
240÷8+1=31（面） （2）如果两端都不挂，一共需要多少面彩旗？
240÷8-1=29（面） （3）如果只有一端挂，一共需要多少面彩旗？
2．如果一个车队全长270 m，每辆车的长度相等均为4 m，每2辆车相隔10 m，这个车队共有多少辆车？ 将1辆车的长度和一个间隔看一组
先从总长里减去1辆车的长度
再除以每组的长度再加1就是车的辆数
(270－4)÷(10＋4)＝19(辆)
19＋1＝20(辆) 答：这个车队共有20辆车。
3．有一根180 cm长的绳子，从一端开始每隔3 cm做一 个记号，每隔4 cm也做一个记号，然后将标有记号 的地方剪断，绳子共被剪成了多少段？
12×1＝12（米）

上几节课我们探索并认识了不封闭的线路上 植树，间隔排列中物体个数和间隔 个数之间 的关系。这节课，我们在探讨封闭线路上间 隔排列中的简单规律。
像长方形、正方形、三角形、圆形等图形上都有封闭线路
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点数是（３）， 点数是（ 4 ）， 间隔数是（３）。 间隔数是（ 4 ）。
点数是（ 6 ），
1500÷15=100（盏）
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９个小朋友围成一圈做 游戏，每两个人之间的 距离是１米，这一圈的 长度是多少？
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猜谜语
十九乘十九，黑白两对手， 有眼看不见，无眼难活久。
（打一棋类名称）
谜底：围棋
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导入
同学们，你们有会下象棋 的吗？估计有的同学会下， 可是，你会下围棋吗？可 能有些同学不但不会下， 连围棋是什么都不知道！ 今天就请同学们和老师一 起来下一盘特殊的围棋！ 左边就是围棋的棋盘。它 是由横竖各19条线段相交 而成的正方形。
所以：间隔数×4=棵数 间隔数×4=面数
或：每边看作11面，有4面重复 11×4－4
10×4= 40（面）
=44－4 =40（面）
两边有11面，两边有9面 四边看作9面，再加上四个角的4面
11×2＋9×2 =22＋18
9×4＋4 =36＋4
=40（面）
=40（面）
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你来解决
为迎接六一，学校举行团体操 表演。四年级学生排成方阵，最外 层每边站9个人，最外层一共有多 少名学生？ 整个方阵一共有多少名学生？
圆周种
15
5
3
间隔数
3
20
5
4
4
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小明家门前有一条 35 m的小路，绿化队要在路旁 栽一排树。每隔 5m 栽一棵树（一端栽一端不栽）。 一共要栽多少棵？
35 m
小明家门前有一条 35 m的小路，绿化队要在路旁 栽一排树。每隔 5m 栽一棵树（一端栽一端不栽）。 一共要栽多少棵？
棵数＝间隔数
35÷5 = 7（棵） 答：一共要栽7棵树。
这节课你们都学会了哪些知识？ 植树问题（2）
两头种
100 米
60 米
35 米
棵数＝间隔数＋1 棵数＝间隔数－1 棵数＝间隔数
7 数学广角——植树问题
第1课时 不封闭路段的植树问题
练习
知 识 点 首尾封闭的曲线上的植树问题
1．填一填。 (1)一个圆形喷泉水池的周长是150 m，在水池周围 每隔5 m安装一盏景观灯，一共安装了(30 )盏 景观灯。
提 升 点 稍复杂的封闭图形植树问题 2
6．一个圆形水库，周长是1800 m，现在在其周围每 隔6 m栽一棵柳树，每两棵柳树之间栽两棵杨树 。水库周围分别栽了多少棵柳树和杨树？相邻 两棵树间距相等，相邻两棵杨树之间的距离是 几米？
1800÷6＝300(棵) 300×2＝600(棵) 1800÷(300＋600)＝2(m) 答：水库周围栽了300棵柳树，600棵杨树， 相邻两棵杨树之间的距离是2 m。
一段路长720m，在路的一边每隔3m栽一棵树 （两端要栽）。一共要栽多少棵树？
720÷3 = 240（个） 240 + 1 = 241（棵） 答：一共要栽 241 棵树。
在某城市一条柏油马路上，从始发站到终点站共有 14个车站，每两个车站间的平均距离是1200m。这条 马路有多长？
总路线长=间距×间隔数
100m共有20个间隔，