高中数学课时练人教A版(2019) 必修第一册 第三章 函数概念与性质 3.2 函数的基本性质

第三章函数的概念与性质3.4函数的应用(一)考点1一次、二次函数模型的应用1.(2019·某某某某中学高一期中考试)一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元,卖出的价格是每份3元,卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社。

在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,且每天从报社买进报纸的份数都相同,要使推销员每月所获得的利润最大,则应该每天从报社买进报纸()。

A.215份B.350份C.400份D.520份答案：C解析：设每天从报社买进x(250≤x≤400,x∈N)份报纸时,每月所获利润为y元,具体情况如下表:数量/份单价/元金额/元买进30x 2 60x卖出20x+10×250 3 60x+7500退回10(x-250) 0.8 8x-2000y=[(60x+7500)+(8x-2000)]-60x=8x+5500(250≤x≤400,x∈N)。

∵y=8x+5500在[250,400]上是增函数,∴当x=400时,y取得最大值8700。

即每天从报社买进400份报纸时,每月获得的利润最大,最大利润为8700元。

故选C。

2.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数:m=162-3x。

若要使每天获得最大的销售利润,则该商品的售价应定为()。

A.40元/件B.42元/件C.54元/件D.60元/件答案：B解析：设每天获得的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,获得的销售利润最大,故该商品的售价应定为42元/件。

3.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系式为y=5x+40000。

而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套()。

A.2000双B.4000双C.6000双D.8000双答案：D解析：由5x +40000≤10x ,得x ≥8000,即至少日产手套8000双才不亏本。

人教A 版（2019）高中数学课时练必修第一册 第三章 函数概念与性质 3.1.1函数的表示法一、选择题（60分）1．设函数()y f x =在R 上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x pf x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p 界函数”，若给定函数()221f x x x =--，2p =，则下列结论不成立的是( )A ．()()00p p f f f f ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦B ．()()11p p f f f f ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦C ．()()22p p f f f f ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦D ．()()33p p f f f f ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦2．设函数()()21,141x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（ ）A ．(][],20,10-∞-B ．(][],20,1-∞-C ．(][],21,10-∞- D ．[][]2,01,10-3．设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（ ）A ．9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦B ．[0,)+∞C ．9[,)4-+∞D ．9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦4．若函数()12xg x =，()221412,0,21log ,,12x x g x x x ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，()12313,0,211,,12x x g x x -⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，()41sin 24g x x π=，在等差数列{}n a 中10a =，20191a =，()()()11,2,3,4n k n k n b g a g a k +=-=，用k P 表示数列{}n b 的前2018项的和，则（ ）A ．412312P P P P <=<<=B ．412312P P P P <==<<C ．412312P P P P ===<=D ．412312P P P P <==<=5．若函数f (x )=2sin22,1,log (1),1x x x x +≤⎧⎨->⎩在[-π,a ]上的最大值为3,则a 的取值范围为( )A ．[-3π4,π4] B ．[-3π4,9] C ．[π4,9] D ．[-3π4,+∞) 6．已知0a >且1a ≠，函数32232,0()1,0x x x x f x a x ⎧++≤=⎨+>⎩在[2,2]-上的最大值为3，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)(1,2] B． C ．(0,1)[2,)+∞ D ．(0,1)(1,2)7．定义在区间[)1,+∞上的函数()f x 满足：①()()22f x f x =；②当24x ≤≤时，()13f x x =--，则集合()(){}|2035S x f x f ==中的最小元素是（ ）A ．13B ．21C ．45D ．518．已知函数()21,(1)43,(1)x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩．若(())0f f m ≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．[2,2][3,)-⋃+∞C．[2,2-+ D．[2,2[4,)-⋃+∞9．设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图象绕原点逆吋针旋转3π后与原图象重合，则在以下各项中(1)f 的取值只可能是AB ．1 CD ．010．设定义在R 上的函数()f x 满足()02f =，且对任意的x 、y R ∈，都有()()()()1223f xy f x f y f y x +=⋅--+，则y =）A ．[)2,-+∞B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞D ．(],2-∞11．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数()R x 定义在[]0,1上，且()()1,,,0,010,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当为正整数为既约真分数当或或内的无理数，则以下说法：①()R x 的值域为[]0,1；②方程()R x x =有无穷多个解；③()R x 的图像关于直线12x =对称；其中正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．312．已知函数()33f x x x b =-+与函数1x y x +=有相同的对称中心，若(),()12,f x x a g x x x a⎧=⎨->⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．(,1]-∞-C ．[)1,-+∞D ．[)1,+∞二、填空题（20分）13．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.14．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，x R ∀∈，都有()()2f x f x +=-，当01x <≤时，()213log ,02112x x f x x ⎧-<<⎪⎪=≤≤，则()9114f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________.15．设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝2f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝2x 2﹣2x .若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥﹣89，则m 的取值范围是_____.16．已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈∈–3∈+∞∈∈f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________∈17．已知函数()()()()220, {ln 10,x x x f x x x -+≤=+>若()f x ax ≥恒成立，则a 取值范围为__________． 三、解答题（70分）18．已知函数()()221f x x x x a a R =--+∈.（1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时，若函数()f x 在[]0,2上的最小值为0，求a 的值；（3）当0a >时，若函数()f x 在(),m n 上既有最大值又有最小值，且11n m a ab -≤-+-恒成立，求实数b 的取值范围.19．已知函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=.（1）若()2xf x a =+，求a 的值；（2）若(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.①求*(,1]()x k k k N ∈--+∈时()f x 的表达式；②若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≤，求m 的取值范围. 20．已知函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-，a R ∈．（Ⅰ）若1a =，求满足()(1)1g x g x +->的实数x 的取值范围；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，若存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立，试求实数a 的取值范围．21．设函数2()83f x ax x =++.（1）若x ∈R 时，()f x 的最小值为5-，求实数a 的值；（2）对于给定的负数a ，求最大的正数()l a ，使得在整个区间[0,()]l a 上，不等式|()|5f x ≤都成立；（3）求（2）中()l a 的最大值.22．设函数()1 ,01(1),11x x a af x x a x a⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩，其中a 为常数且()0,1a ∈.新定义：若0x 满足()()00f f x x =，但()00f x x ≠，则称0x 为()f x 的回旋点.（1）当12a =时，分别求13f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和45f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）当(],1x a ∈时，求函数(())y f f x =的解析式，并求出()f x 回旋点； （3）证明函数()f x 在[]0,1x ∈有且仅有两个回旋点，并求出回旋点12,x x .23．已知函数()y f x =的定义域为()1,+∞，对于定义域内的任意实数x ，有()()22f x f x =成立，且(]1,2x ∈时，()2log f x x =.（1）当(31,2x ⎤∈⎦时，求函数()y f x =的最大值；（2）当(3.71,2x ⎤∈⎦时，求函数()y f x =的最大值；（3）已知()()200f f b =（实数1b >），求实数b 的最小值【参考答案】1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．A 7．C 8．D 9．B 10．A 11．C 12．C13．1,34⎡⎢⎣⎭. 14．5 15．（﹣∞，43]； 16．1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．[-2，0]18．（1）单调递减区间为(),-∞+∞；（2）a =34a =；（3）b ≥b ≤. 19．（1）0；（2）①()(1)()2kx k x k f x +--=；②7,3m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦20．（Ⅰ）()(),12,-∞⋃+∞；（Ⅱ）(][),14,-∞+∞.21．（1）2；（2）8()2l a a -+=；（322．（1）12(())33f f =，4455f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()()2221(),1(1)1(1),11(1)x a a x a a a f f x x a a x a a ⎧-<<-+⎪-⎪=⎨⎪--+≤≤⎪-⎩；211x a a =-++是()f x 的回旋点（3）见解析，121a x a a =-++，2211x a a =-++.23．（1）4 （2）5.6 （3）47551264⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭。

第三章 函数概念与性质1.函数的概念 .................................................................................................................. - 1 -2.函数的表示法............................................................................................................... - 5 -3.分段函数 .................................................................................................................... - 10 -4.函数的单调性............................................................................................................. - 15 -5.函数的最大(小)值 ...................................................................................................... - 20 -6.奇偶性的概念............................................................................................................. - 26 -7.奇偶性的应用............................................................................................................. - 30 -8.幂函数 ........................................................................................................................ - 35 -9.函数的应用(一) .......................................................................................................... - 41 - 章末综合测验................................................................................................................ - 47 -1.函数的概念一、选择题1．已知函数f (x )＝3x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.1aB ．3aC ．aD ．3aD [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝3a ，故选D.]2．下列表示y 关于x 的函数的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y 2＝x C ．|y |＝xD ．|y |＝|x |A [结合函数的定义可知A 正确，选A.]3．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}A [当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1－2＝－1；当x ＝2时，y ＝4－2×2＝0；当x ＝3时，y ＝9－2×3＝3，∴函数y ＝x 2－2x 的值域为{－1,0,3}．]4．函数y ＝x ＋1x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)D [由题意可得⎩⎨⎧x ＋1≥0，x －1≠0，所以x ≥－1且x ≠1，故函数y ＝x ＋1x －1的定义域为{x |x ≥－1且x ≠1}．故选D.]5．下列四组函数中表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－xC [∵f (x )＝x (x ∈R )与g (x )＝(x )2(x ≥0)两个函数的定义域不一致，∴A 中两个函数不表示同一函数；∵f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2两个函数的对应法则不一致，∴B 中两个函数不表示同一函数；∵f (x )＝x 2＝|x |与g (x )＝|x |，两个函数的定义域均为R ，∴C 中两个函数表示同一函数；f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x ＝0(x ＝1)两个函数的定义域不一致，∴D 中两个函数不表示同一函数，故选C.]二、填空题6．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [由题意知3a －1>a ，则a >12.]7．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________. －56 [由f (t )＝6，得11＋t ＝6，即t ＝－56.] 8．已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域是________．(0,2)[由题意知⎩⎨⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，即⎩⎨⎧－2<x <2，0<x <2.解得0＜x ＜2，于是函数g (x )的定义域为(0,2)．]三、解答题9．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4；(2)f (x )＝x ＋30|x |－x.[解] (1)要使函数式有意义，必须满足⎩⎨⎧3x －1≥0，1－2x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥13，x ≤12.所以13≤x ≤12，即函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12.(2)要使函数式有意义，必须满足⎩⎨⎧x ＋3≠0，|x |－x >0，即⎩⎨⎧x ≠－3，|x |>x ，解得⎩⎨⎧x ≠－3，x <0.所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3,0)．10．已知f (x )＝x 2－4x ＋2. (1)求f (2)，f (a )，f (a ＋1)的值； (2)求f (x )的值域；(3)若g (x )＝x ＋1，求f (g (3))的值． [解] (1)f (2)＝22－4×2＋2＝－2，f (a )＝a 2－4a ＋2，f (a ＋1)＝(a ＋1)2－4(a ＋1)＋2＝a 2－2a －1. (2)f (x )＝x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2≥－2， ∴f (x )的值域为[－2，＋∞)． (3)g (3)＝3＋1＝4，∴f (g (3))＝f (4)＝42－4×4＋2＝2.11．(多选题)下列函数满足f (2x )＝2f (x )的是( )A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝2x＋1 D．f(x)＝－xABD[对于A.f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x －|x|)＝2f(x)；对于C，f(2x)＝4x＋1≠2f(x)；对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)．] 12．已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1,4}，这样的函数有( ) A．6个B．8个C．9个D．10个C[因为一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1,4}，所以函数的定义域可以为{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{－1,1，－2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，－2,2}，共9种可能，故这样的函数共9个．]13．若函数y＝kx＋1k2x2＋3kx＋1的定义域为R，则实数k的值为________．0[函数y＝kx＋1k2x2＋3kx＋1的定义域即使k2x2＋3kx＋1≠0的实数x的集合．由函数的定义域为R，得方程k2x2＋3kx＋1＝0无解．当k＝0时，函数y＝kx＋1k2x2＋3kx＋1＝1，函数的定义域为R，因此k＝0符合题意；当k≠0时，k2x2＋3kx＋1＝0无解，即Δ＝9k2－4k2＝5k2＜0，不等式不成立．所以实数k的值为0.]14．(一题两空)函数f(x)，g(x)分别由下表给出．则f(g(1))的值为________f(x))的x的值是________．1 2 [∵g(1)＝3，f(3)＝1，∴f(g(1))＝1.当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，f (g (x ))<g (f (x ))，不合题意；当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，f (g (x ))>g (f (x ))，符合题意；当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，f (g (x ))<g (f (x ))，不合题意．] 15．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值；(2)求证：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值．[解] ∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1.f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1.(2)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1.2.函数的表示法一、选择题1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元．若每听2元，用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝2x (x ∈{1,2,3，…})D ．y ＝2x (x ∈{1,2,3,4})D [题中已给出自变量的取值范围，x ∈{1,2,3,4}，故选D.]2．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2，1)，C (3,2)，则f (g (2))的值为( )x1 2 3f (x ) 2 3 0A ．3B ．2C ．1D ．0B [由函数g (x )的图象知，g (2)＝1，则f (g (2))＝f (1)＝2.]3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )C [距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]4．如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD ．1x－1B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ，则有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，故选B.]5．若f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3D ．2x －3B [设f (x )＝ax ＋b ，由题设有 ⎩⎨⎧22a ＋b －3a ＋b ＝5，20·a ＋b－－a ＋b＝1.解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－2.所以选B.]二、填空题6．已知f (2x ＋1)＝x 2－2x ，则f (3)＝________. －1 [由2x ＋1＝3得x ＝1，∴f (3)＝1－2＝－1.] 7．f (x )的图象如图所示，则f (x )的值域为________．[－4,3] [由函数的图象可知，f (x )的值域为[－2,3]∪[－4,2.7]，即[－4,3]．]8．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是________．y ＝80x (x ＋10)，x ∈(0，＋∞) [由题意可知，长方体的长为(x ＋10)cm ，从而长方体的体积y ＝80x (x ＋10)，x >0.]三、解答题9．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)求函数f (x )的值域．[解] f (x )＝－(x －1)2＋4的图象如图所示：(1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (1)>f (0)>f (3)．(2)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4， 则函数f (x )的值域为(－∞，4]．10．(1)已知f (x )是一次函数，且满足2f (x ＋3)－f (x －2)＝2x ＋21，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )为二次函数，且满足f (0)＝1，f (x －1)－f (x )＝4x ，求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＋1，求f (x )的解析式．[解] (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则2f (x ＋3)－f (x －2)＝2[a (x ＋3)＋b ]－[a (x －2)＋b ]＝2ax ＋6a ＋2b －ax ＋2a －b ＝ax ＋8a ＋b ＝2x ＋21，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝2x ＋5. (2)因为f (x )为二次函数， 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由f (0)＝1，得c ＝1. 又因为f (x －1)－f (x )＝4x ，所以a (x －1)2＋b (x －1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝4x ，整理，得－2ax ＋a －b ＝4x ，求得a ＝－2，b ＝－2，所以f (x )＝－2x 2－2x ＋1.(3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋3.∴f (x )＝x 2＋3.。

3.2.2 奇偶性一、选择题1．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝2x 2－3 B ．y ＝x 3C ．y ＝x 2，x ∈[0,1] D．y ＝x解析：对于A ，f (－x )＝2(－x )2－3＝2x 2－3＝f (x )，∴f (x )是偶函数，B ，D 都为奇函数，C 中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.答案：A2．函数f (x )＝1x－x 的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称解析：∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x－(－x )＝x －1x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，图象关于原点对称．答案：C3．如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0解析：由图知f (1)＝12，f (2)＝32，又f (x )为奇函数，所以f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1)＝－32－12＝－2.故选A.答案：A4．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋1(ab ≠0)，若f (2 019)＝k ，则f (－2 019)＝( ) A ．k B ．－k C ．1－k D ．2－k解析：∵f (2 019)＝a ·2 0193＋b ·2 019＋1＝k ，∴a ·2 0193＋b ·2 019＝k －1，则f (－2 019)＝a (－2 019)3＋b ·(－2 019)＋1＝－[a ·2 0193＋b ·2 019]＋1＝2－k .答案：D 二、填空题5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 解析：∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.答案：136．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________． 解析：因为f (x )是奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a (－3)＝－6，解得a ＝5.答案：57．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则满足f (x )>0的x的集合为____________．解析：由奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，得函数y ＝f (x )在(－∞，0)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，∴x >12或－12<x <0. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －12<x <0或x >12三、解答题8．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3－x 2x －1；(2)f (x )＝x 2－x 3；(3)f (x )＝|x －2|－|x ＋2|； (4)f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R )．解析：(1)∵函数f (x )＝x 3－x 2x －1的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．(2)f (x )的定义域为R ，是关于原点对称的．∵f (－x )＝(－x )2－(－x )3＝x 2＋x 3，又－f (x )＝－x 2＋x 3， ∴f (－x )既不等于f (x )，也不等于－f (x )． 故f (x )＝x 2－x 3既不是奇函数也不是偶函数．(3)方法一(定义法) 函数f (x )＝|x －2|－|x ＋2|的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝|－x －2|－|－x ＋2|＝|x ＋2|－|x －2|＝－(|x －2|－|x ＋2|)＝－f (x )，∴函数f (x )＝|x －2|－|x ＋2|是奇函数．方法二(根据图象进行判断)f (x )＝|x －2|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，x ≥2，－2x ，－2<x <2，4，x ≤－2，画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f (x )是奇函数． (4)当a ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．综上所述，当a ∈R 且a ≠0时，函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数；当a ＝0时，函数f (x )为偶函数．9．已知函数f (x )＝1－2x.(1)若g (x )＝f (x )－a 为奇函数，求a 的值；(2)试判断f (x )在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明． 解析：(1)由已知g (x )＝f (x )－a 得，g (x )＝1－a －2x，∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，即1－a －2(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a －2x ， 解得a ＝1.(2)函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数． 证明如下：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2) ＝1－2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＝2(x 1－x 2)x 1x 2∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0， 从而2(x 1－x 2)x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴函数f (x )在(0，＋∞)内是增函数．[尖子生题库]10．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式； (2)画出函数f (x )的图象．解析：(1)①由于函数f (x )是定义域为R 的奇函数， 则f (0)＝0；②当x <0时，－x >0，∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， (x >0)0， (x ＝0)－x 2－2x ， (x <0)(2)图象如图：。

3.3 幂函数A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．下列函数中是偶函数，且在(－∞，0]上单调递增的是( )A ．y ＝x －1B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，x ≥0，x ，x ＜0答案 D解析 显然A ，C 中的函数是奇函数，B 中的函数在(－∞，0]上单调递减．故选D.2．给出下列说法：①幂函数图象均过点(1,1)；②幂函数的图象均在两个象限内出现；③幂函数在第四象限内可以有图象；④任意两个幂函数的图象最多有两个交点．其中说法正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 A解析 根据幂函数图象的特征可知①正确，②③④错误．3．下列函数在(－∞，0)上单调递减的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x －2答案 B解析 ∵A ，C 两项在(－∞，0)上单调递增；D 项中y ＝x －2＝1x2在(－∞，0)上也是单调递增的．故选B.4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >bC ．a <b <cD ．b >c >a答案 A解析 ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16－2，函数y ＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，且16<25<34，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫16－2>⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2>⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2，即a >b >c .故选A. 5．若幂函数y ＝(m 2＋3m ＋3)xm 2＋2m －3的图象不过原点，且关于原点对称，则( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝－1C ．m ＝－2或m ＝－1D ．－3≤m ≤－1答案 A解析 由幂函数的定义，得m 2＋3m ＋3＝1，解得m ＝－1 或m ＝－2.若m ＝－1，则y ＝x －4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m ＝－2，则y ＝x －3，其图象不过原点，且关于原点对称．故选A.二、填空题6．若幂函数y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －1在(0，＋∞)上单调递增，则m ＝________. 答案 －1解析 由幂函数的定义可知m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2，当m ＝－1时，y ＝x 2，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当m ＝2时，y ＝x －1，在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，所以m ＝－1.7．幂函数y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值为________．答案 －12解析 ∵y ＝x －1在[－4，－2]上单调递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值是－12. 8．已知幂函数f (x )＝x －12 ，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值X 围是________．答案 (3,5)解析 ∵f (x )＝x －12 ＝1x(x >0)，易知f (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题9．比较下列各组数的大小：(1)3－1和3.1－1；(2)－8－3和－⎝ ⎛⎭⎪⎫193； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－2和⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2. 解 (1)函数y ＝x －1在(0，＋∞)上单调递减，因为3<3.1，所以3－1>3.1－1. (2)－8－3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫183， 函数y ＝x 3在(0，＋∞)上单调递增，因为18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫183>⎝ ⎛⎭⎪⎫193. 从而－8－3<－⎝ ⎛⎭⎪⎫193. (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2， 函数y ＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，因为23>π6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－2<⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2. 10．已知幂函数f (x )＝x3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上单调递减，且f (－x )＝f (x )，求m 的值． 解 因为f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －5<0，故m <53. 又因为m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，f (x )＝x －5， f (－x )≠f (x )，不符合题意；当m ＝1时，f (x )＝x －2， f (－x )＝f (x )，符合题意．综上可知，m ＝1.B 级：“四能”提升训练1．已知(a ＋1)－1<(3－2a )－1，求a 的取值X 围．解 解法一(运用幂函数的单调性)：①当a ＋1>0，且3－2a >0时，∵(a ＋1)－1<(3－2a )－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a ，解得23<a <32. ②当a ＋1<0，且3－2a >0时，(a ＋1)－1<0，(3－2a )－1>0，符合题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1<0，3－2a >0，解得a <－1.③当a ＋1<0，且3－2a <0时，∵(a ＋1)－1<(3－2a )－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a <0，a ＋1>3－2a ，不等式组的解集为∅. 综上所述，a 的取值X 围为 {|a a <－1或23<a <32))． 解法二(此法供学有余力的同学参考)： ∵(a ＋1)－1<(3－2a )－1，即1a ＋1<13－2a .移项，通分得2－3a (a ＋1)(3－2a )<0. 即(a ＋1)(3a －2)(2a －3)<0，解得a <－1或23<a <32. 故a 的取值X 围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32. 2．已知幂函数f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{n |－2<n <2，n ∈Z }，满足： ①在区间(0，＋∞)上单调递增；②对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足①，②的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0，3]时，f (x )的值域． 解 因为m ∈{n |－2<n <2，n ∈Z }，所以m ＝－1,0,1.因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件①而不满足条件②；当m＝1时，f(x)＝x0，条件①、②都不满足．当m＝0时，f(x)＝x3，条件①、②都满足，且在区间[0,3]上单调递增．所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．。