平面向量的分量和分解
平面向量是研究平面上各种几何问题时经常使用的数学工具。在平面向量的运算中，分量和分解是两个非常重要的概念。本文将介绍平面向量的分量和分解，并给出相关的例子和应用。
一、平面向量的分量
平面向量可以看作是两个有序实数的有序对。对于平面向量
$\mathbf{A}$，设其起点为 $O$，终点为点 $P$，则以原点 $O$ 为顶点的线段 $OP$ 就是向量 $\mathbf{A}$。向量 $\mathbf{A}$ 的坐标表示为 $(x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 分别是向量 $\mathbf{A}$ 在 $x$ 轴和
$y$ 轴上的投影长度，称为向量 $\mathbf{A}$ 的分量。
例如，对于向量 $\mathbf{A}$，其起点 $O$ 的坐标为 $(0, 0)$，终点 $P$ 的坐标为 $(3, 4)$。则向量 $\mathbf{A}$ 的分量为 $A_x = 3$ 和
$A_y = 4$。即向量 $\mathbf{A}$ 的坐标表示为 $(3, 4)$。
二、平面向量的分解
分解是将一个向量表示为若干个分量的和的过程。对于平面向量
$\mathbf{A}$，可以将其分解为两个分量，分别与 $x$ 轴和 $y$ 轴平行。
设向量 $\mathbf{A}$ 的分量为 $A_x$ 和 $A_y$，则向量
$\mathbf{A}$ 可以分解为 $\mathbf{A} = A_x\mathbf{i} +
A_y\mathbf{j}$，其中 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 分别是 $x$ 轴和
$y$ 轴正方向的单位向量。 例如，对于向量 $\mathbf{A}$，其分量为 $A_x = 3$ 和 $A_y = 4$。则向量 $\mathbf{A}$ 可以分解为 $\mathbf{A} = 3\mathbf{i} +
4\mathbf{j}$。
三、平面向量的应用
资源信息表
标 题: 24.7 平面向量的分解(2)
关键词: 平面向量的分解
描 述: 教学目标
1.知道向量的分解式，会画平面内一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量.
2.在知识形成和运用过程中，体会向量的线性组合与分解的的辩证关系，体会数形结合、化归等数学思想方法.
教学重点及难点
画一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量;
向量的线性组合与分解的的辩证关系.
学 科: 初中九年级>数学第一学期>24.7（2） 语 种: 汉语
媒体格式: 教学设计.doc
课件.ppt 学习者: 学生
资源类型: 文本类、媒体类素材 教育类型: 初中教育>初中九年级
作 者: 方忠平 单 位: 上海风华初级中学
地 址: 共和新路2800号（200072）
Email: Fangzp813318@
24.7 平面向量的分解(2)
上海风华初级中学 方忠平
一、教学内容分析
本节课研究如何将一个向量表示为两个给定向量的线性组合、画一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量，为向量知识的进一步运用进行奠基．
二、教学目标设计
1.知道向量的分解式，会画平面内一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量.
2.在知识形成和运用过程中，体会向量的线性组合与分解的的辩证关系，体会数形结合、化归等数学思想方法.
三、教学重点及难点
画一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量;
向量的线性组合与分解的的辩证关系.
四、教学用具准备
三角尺、圆规
五、教学流程设计
六、教学过程设计
（一） 复习引入
想一想 复习引入 巩固练习
布置作业 课堂小结 探索新知 在图一中，任取一点Z作向量,OZ能用.,ba的线性组合表示,OZ吗？
b
a
平面向量的正交分解
平面上的一个向量可以被分解成两个分量，一个是与另一个向量垂直的向量，另一个是与另一个向量平行的向量。这种分解被称为平面向量的正交分解。
设有平面上的两个向量a和b，向量a可以被分解成与向量b垂直的向量c和与向量b平行的向量d。则有以下公式：
a = c + d
其中，向量c与向量b垂直，可以表示为c = k * b，其中k为实数；
向量d与向量b平行，可以表示为d = l * b，其中l为实数。
根据这两个公式，可以得到向量a的正交分解公式：
a = c + d
= k * b + l * b
= (k + l) * b
所以，向量a的正交分解为a = (k + l) * b。
其中，向量c垂直于向量b的大小可以通过向量的点乘计算：
c = k * b
k = (a · b) / (b · b)
其中，a · b表示向量a和向量b的点积，b · b表示向量b与自身的点积。
有了k的值，就可以计算向量c的大小。而向量d与向量b平行，所以l的值为0，即d = 0 * b = 0。这也说明了平面向量的正交分解不是唯一的，可以根据需要选择不同的l值。
综上所述，平面向量a的正交分解为a = (k + l) * b，其中k =
(a · b) / (b · b)，l为任意实数。
24.7平面向量的分解（1）
一、教学内容分析
本节内容是前面所学向量知识的整理和运用.通过对向量的加法、减法以及实数与向量相乘等运算的回顾，类比实数运算的顺序规定，指出了向量的几种运算混合时的运算顺序，归纳了向量的线性运算.在此基础上，引进两个不平行向量的线性组合的概念．
二、教学目标设计
1．理解向量的线性运算的意义，会化简线性运算的算式，对简单的线性运算会画图表示结果.
2．知道向量的线性组合，会在较熟悉的几何图形中将一个向量表示为两个给定的不平行向量的线性组合．
三、教学重点及难点
线性运算的意义，线性组合的概念；
线性组合的简单应用.
四、教学用具准备
三角尺、多媒体演示设备
五、教学流程设计
六、教学过程设计
（一） 新课导入
我们已经学习了向量加法、减法以及实数与向量相乘等运算、并新课导入 巩固练习
布置作业 课堂小结 探索新知 且知道，向量的减法可以转化为加法运算；向量加法以及实数与向量相乘，有类似于实数加法和乘法的运算律.这些运算还可以组合起来，如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.
（二）探索新知
例题1 已知两个不平行的向量.,ba
求作：ba23，ba2.
解:略
例题2 已知两个不平行的向量.,ba
求作：).227()(baba
揭示概念
向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.如ba23，ba2、)5(3ba等，都是向量的线性运算.
如果.,ba是两个不平行的向量，x、y是实数，那么byax叫做.,ba线性组合.如.,ba两个不平行的向量，向量,23baOE，这时就说OE可由.,ba的线性组合表示.
例题3 如图，点M是△CAB的边AB的中点.设CA=a，bCB，试用.,ba的线性组合表示向量CM _ O
_ C _ D
_ E_ A_ Bb
C
A B
