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平面向量的分解定理

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课题： 平面向量的分解定理

授课教师 洪萍

（共需两 课时 本课时为第一 课时 ）

一、本课题教学目标与模块（单元）目标关系的简要描述

（突出学科组的系列、模块，体现学科组的统一教学设计模式）

教学设计中，注重知识发生和发展、方法的归纳总结、基本数学思想的领悟过程；在教学中，关注学生认知和参与的程度。

二、本课时目标预设

 包括知识与技能、过程与方法、情感态度价值观：

1．理解和掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示．

2．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力，体会从特殊到一般及化归的思想．

三、教材分析

重点：平面向量的分解定理

难点：分解定理唯一性的证明

四、学生情况分析

高二B班，学生已经学习过了向量的加法、减法、实数与向量的乘法、向量的坐标表示，对向量已经有了初步的了解。

五、教学技术条件要求（演示教具、多媒体、器材、场地等）

电脑，投影等

六、课堂流程预设（导课设计、组织教学环节设计、问题设计、演示设计、学生活动设计、应变调控预案、学法指导、当堂迁移应用练习、课后巩固练习设计等） 高中数学教学设计（教案）

1e[教学过程]

（一）引入

1．由学生已经掌握的正交分解知识引入．

2．问题探究

问题1．如图1，给定平面内两个向量1e、2e，向量a能否用含有1e、2e的式子表示出来？

问题2．如图2，给定平面内两个向量1e、2e，向量a能否用含有1e、2e的式子表示出来？

问题3．如图3，给定平面内两个向量1e、2e,向量a能否用含有1e、2e的式子表示出来？

问题4．如图4，给定平面内两个向量1e、2e,任意给定向量a，a能否用含有1e、2e的式子表示出来？

2ea1e2e图1

图3 图4 图2 （二）新课讲授

平面向量分解定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使2211eea．我们把不平行向量1e、2e叫做这一平面内所有向量的一组基．

（三）例题讲解

例．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，设AB=a，AD=b，试用基a、b分别表示MB和AM．

变式1．选择不同的基表示AM．

变式2．若点M不是线段BD的中点，DBDM31，试用基a、b表示AM．

变式3．若点M是直线BD上的任意一点，怎样用基a、b表示AM？可不可以引入其他的参数，使得问题得以解决？

变式4．推广到一般的命题

设A是直线BD外任意一点，若B，M，D三点共线，则12AMABAD且),(12121R

思考1．变式4的逆命题成立吗？为什么？

设A是直线BD外任意一点，若B，M，D三点满足12AMABAD且),(12121R，则B，M，D三点共线．

思考2．由变式4和思考1你能得出什么结论呢?

设A是直线BD外任意一点，则B，M，D三点共线的充要条件是：存在实数1、2且),(12121R使得12AMABAD． M

A B C D

a b 高中数学教学设计（教案）

（四）课堂小结

1.平面向量分解定理是什么？

2.学习平面向量分解定理的意义？

（五）作业

练习册8.3 A组1～5

七、教后反思（成功点、困惑点、改进点、感悟点等）

完成预定的教学目标，师生配合较默契，过程流畅。对分解定理层层剖析，水到渠成得出结论。对例题进行变式，由浅入深。

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平面向量的分解定理及应用讲义

平面向量的分解定理及应用讲义

源于名校，成就所托

1 学科教师辅导讲义

学员学校： 年 级：高二 课时数：2

学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：

课 题 平面向量的分解定理及应用

授课日期及时段

教学目的 1. 了解平面向量的分解定理的论证过程。

2. 知道基向量的特征，并能准确通过基向量来表示一个向量

3. 了解向量在平面几何中的应用（平行、共线、垂直、夹角）

4. 了解向量在代数中的应用

教学内容

【知识结构】

1. 平面向量分解定理：如果12e,e是同一平面内的两个不平行的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数12,使a=1122ee。

其中不共线的向量12e,e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

注意：（1）平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式。

（2）上面的分解师唯一的。

2. 向量的加法、减法，实数与向量积的混合运算称为向量的线性运算，也叫做向量的初步运算。任一平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合。

3. 几个重要的结论：

（1）若向量,ab为不共线向量，则ababab、为以、为邻边的平行四边形对角线的向量。

（2）2222+=2+ababab（）。

（3）G为ABC的重心112233,),,),,)yByByA（x（x（x

1231230(,)33xxxyyyGAGBGCG

4. 向量运算与几何图形

（1) 向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景;当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便.

高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)

高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)

- 1 - 向量的概念

一、高考要求：

理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.

二、知识要点：

1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为始点,B为终点的有向线段记作AB,注意:始点一定要写在前面,已知AB,线段AB的长度叫做有向线段AB的长(或模),AB的长度记作AB||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.

2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB表示向量时,我们就说向量AB.另外,在印刷时常用黑体小写字母a、b、c、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a、b、c、…等.与向量有关的概念有:

(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a和b同向且等长,即a和b相等,记作a=b.

(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.

(3) 位置向量:任给一定点O和向量a,过点O作有向线段OAa,则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定,这时向量a又常叫做点A相对于点O的位置向量.

(4) 相反向量:与向量a等长且方向相反的向量叫做向量a的相反向量,记作a.显然,

()0aa.

(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e.与向量a同方向的单位向量通常记作0a,容易看出:0aaa│ │ .

(6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a平行于向量b,记作a∥b.零向量与任一个向量共线(平行).

三、典型例题：

例:在四边形ABCD中,如果ABDC且ABBC│ │ │ │ ,那么四边形ABCD是哪种四边形?

7-4平面向量分解定理

7-4平面向量分解定理

1 第 五 讲

课题：7-4平面向量分解定理

知

识

目

标 1.理解和掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；

2.平面向量分解定理及其唯一性的证明；

3.掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量。

能

力

目

标 经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力，体会从特殊

到一般及化归的思想。

重

点

难

点 1、重点：平面向量的分解定理；

2、难点：分解定理唯一性的证明。

时量 90分钟

教

学

方

式

设

计 1、课前复习（15分钟）

2、不共线的平面向量（25分钟）；

3、平面向量分解定理（30分钟）；

4、课堂练习及布置作业（20分钟）。

教学过程

一 、复习引入

1.前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否

可以分解成两个向量呢？

提出新问题：

如果向量a，b是同一平面内的两个不共线的向量，c是该平面内的一个非零向量，是否能用向量a，b表示向量c？即c能不能写成ab的形式？

分析：（1）如果0c，则000ab

下面假设0c

（2）如果c与a共线，则存在实数，使得0caab；

（3）如果c与b共线，则存在实数，使得0cbab；

（4）如果c与a不共线，且c与b不共线，则以O为起点作有向线段,,,OAOBOC分别表示 2 a，b，c。如图所示。过点C做直线与OB平行，它与直线OA交于点M；再过点C作直线与OA平行，它与直线OB交于点N，于是四边形ONCM为平行四边形，从而有

.OCOMON （1）

由于OM与a共线，因此存在实数x，使得OMxa。由于ON与b共线，因此存在实数y，使得ONyb.将它们代入（1）式，得

平面向量的分解定理

平面向量的分解定理

1e平面向量的分解定理

一、问题探究

问题1．如图1，给定平面内两个向量1e、2e，向量a能否用含有1e、2e的式子表示出来？

问题2．如图2，给定平面内两个向量1e、2e，向量a能否用含有1e、2e的式子表示出来？

问题3．如图3，给定平面内两个向量1e、2e,向量a能否用含有1e、2e的式子表示出来？

问题4．如图4，给定平面内两个向量1e、2e,任意给定向量a，a能否用含有1e、2e的式子表示出来？

2ea1e2e图1

图3

图4 图2

a二、平面向量分解定理：如果1e、2e是同一平面内的两个____________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有_________________对实数1、2，使___________a．我们把不平行向量1e、2e叫做___________________________．

三、例题讲解

例．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，设AB=a，AD=b，试用基a、b分别表示MB和AM．

变式1．选择不同的基表示AM．

变式2．若点M不是线段BD的中点，DBDM31，试用基a、b表示AM．

变式3．若点M是直线BD上的任意一点，怎样用基a、b表示AM？可不可以引入其他的参数，使得问题得以解决？

变式4．推广到一般的命题

M

A B C D

a b