平面向量的分解

源于名校，成就所托

1 学科教师辅导讲义

学员学校： 年 级：高二 课时数：2

学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：

课 题 平面向量的分解定理及应用

授课日期及时段

教学目的 1. 了解平面向量的分解定理的论证过程。

2. 知道基向量的特征，并能准确通过基向量来表示一个向量

3. 了解向量在平面几何中的应用（平行、共线、垂直、夹角）

4. 了解向量在代数中的应用

教学内容

【知识结构】

1. 平面向量分解定理：如果12e,e是同一平面内的两个不平行的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数12,使a=1122ee。

其中不共线的向量12e,e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

注意：（1）平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式。

（2）上面的分解师唯一的。

2. 向量的加法、减法，实数与向量积的混合运算称为向量的线性运算，也叫做向量的初步运算。任一平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合。

3. 几个重要的结论：

（1）若向量,ab为不共线向量，则ababab、为以、为邻边的平行四边形对角线的向量。

（2）2222+=2+ababab（）。

（3）G为ABC的重心112233,),,),,)yByByA（x（x（x

1231230(,)33xxxyyyGAGBGCG

4. 向量运算与几何图形

（1) 向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景;当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便.

上海市朱家角中学学生活动单 班级 姓名

数学是科学之王。数学中定理的美丽在于多数人能归纳，而少数人善论证.——高斯 1 8.3 平面向量的分解定理

活动一 向量合成

例1 如图8-12，已知向量12,ee，求作向量a，使得1232aee.

活动二 向量分解

如图，设两个不平行的向量12,ee，a是平面内的任一向量，

试将向量a分别分解到12,ee 两个方向上.

12aee

12aee

12aee

1e2e1e2eaa1e2ea1e2e上海市朱家角中学学生活动单 班级 姓名

数学是科学之王。数学中定理的美丽在于多数人能归纳，而少数人善论证.——高斯 2 活动三 平面向量分解定理

平面向量分解定理：

.

我们把 的向量12ee、叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．

证明：

活动四 定理理解

1.判断以下说法是否正确，并说明理由：

（1）平面内存在一对垂直的向量,ij可以表示该平面内所有向量．

（2）如果12,ee是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的向量0，不存在实数12，，使11220ee．

2.填空：已知12,ee是平面内的两个不平行向量，

（1）若1ae，则12aee．

（2）若2ae，则12aee．

上海市朱家角中学学生活动单 班级 姓名

数学是科学之王。数学中定理的美丽在于多数人能归纳，而少数人善论证.——高斯 3 活动五 平面向量基本定理的应用

平面向量的分量和分解

平面向量是研究平面上各种几何问题时经常使用的数学工具。在平面向量的运算中，分量和分解是两个非常重要的概念。本文将介绍平面向量的分量和分解，并给出相关的例子和应用。

一、平面向量的分量

平面向量可以看作是两个有序实数的有序对。对于平面向量

$\mathbf{A}$，设其起点为 $O$，终点为点 $P$，则以原点 $O$ 为顶点的线段 $OP$ 就是向量 $\mathbf{A}$。向量 $\mathbf{A}$ 的坐标表示为 $(x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 分别是向量 $\mathbf{A}$ 在 $x$ 轴和

$y$ 轴上的投影长度，称为向量 $\mathbf{A}$ 的分量。

例如，对于向量 $\mathbf{A}$，其起点 $O$ 的坐标为 $(0, 0)$，终点 $P$ 的坐标为 $(3, 4)$。则向量 $\mathbf{A}$ 的分量为 $A_x = 3$ 和

$A_y = 4$。即向量 $\mathbf{A}$ 的坐标表示为 $(3, 4)$。

二、平面向量的分解

分解是将一个向量表示为若干个分量的和的过程。对于平面向量

$\mathbf{A}$，可以将其分解为两个分量，分别与 $x$ 轴和 $y$ 轴平行。

设向量 $\mathbf{A}$ 的分量为 $A_x$ 和 $A_y$，则向量

$\mathbf{A}$ 可以分解为 $\mathbf{A} = A_x\mathbf{i} +

A_y\mathbf{j}$，其中 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 分别是 $x$ 轴和

$y$ 轴正方向的单位向量。 例如，对于向量 $\mathbf{A}$，其分量为 $A_x = 3$ 和 $A_y = 4$。则向量 $\mathbf{A}$ 可以分解为 $\mathbf{A} = 3\mathbf{i} +

4\mathbf{j}$。

三、平面向量的应用

1e平面向量的分解定理

一、问题探究

问题1．如图1，给定平面内两个向量1e、2e，向量a能否用含有1e、2e的式子表示出来？

问题2．如图2，给定平面内两个向量1e、2e，向量a能否用含有1e、2e的式子表示出来？

问题3．如图3，给定平面内两个向量1e、2e,向量a能否用含有1e、2e的式子表示出来？

问题4．如图4，给定平面内两个向量1e、2e,任意给定向量a，a能否用含有1e、2e的式子表示出来？

2ea1e2e图1

图3

图4 图2

a二、平面向量分解定理：如果1e、2e是同一平面内的两个____________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有_________________对实数1、2，使___________a．我们把不平行向量1e、2e叫做___________________________．

三、例题讲解

例．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，设AB=a，AD=b，试用基a、b分别表示MB和AM．

变式1．选择不同的基表示AM．

变式2．若点M不是线段BD的中点，DBDM31，试用基a、b表示AM．

变式3．若点M是直线BD上的任意一点，怎样用基a、b表示AM？可不可以引入其他的参数，使得问题得以解决？

变式4．推广到一般的命题

M

A B C D

a b