江苏省镇江市2019届九年级上期末数学试卷含答案解析

江苏省镇江市2019届九年级上学期期末数学试卷

一、填空题（每题2分，共24分）

1．已知关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1=0是一元二次方程，则m取值范围是 ．

2．如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是 ．

3．将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为 ．

4．一元二次方程（x﹣4）2=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．

5．一组数据1、3、5、7的方差是 ．

6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是 ．

7．若关于x的方程x2﹣2x﹣a=0有一个根为﹣1，则方程的另一根为

．

8．如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD=35°，则∠BAD= °．

9．若一个圆锥的底面半径长是10cm，母线长是18cm，则这个圆锥的侧面积= （结果保留π）．

10．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O、B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴．若AC=米，则水面宽度CD= 米．

11．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的取值范围是 ．

12．已知二次函数y=x2﹣ax﹣1，若0＜a≤，当﹣1≤x≤1时，y的取值范围是 （用含a的代数式表示）．

二、选择题（每题3分，共15分）

13．某学校规定学生的数学成绩由三部分组成，期末考试成绩占70%，期2019届中考试成绩占20%，平时作业成绩占10%，某人上述三项成绩分别为90分，85分，90分，则他的数学成绩是（ ）

A．89分 B．88.5分 C．85.5分 D．84分

14．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC的值为（ ）

A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm

15．关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）

A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0

16．如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（ ）

A． B． C． D．

17．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：

①2a+b=0；

②abc＞0；

③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；

④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；

⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．

其中正确结论的个数是（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

三、解答题

18．解下列方程：

（1）（x﹣1）2=9

（2）x2﹣4x+3=0．

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，AB=4．

（1）求作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的圆中，求出劣弧的度数和的长．

20．某校2019届九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛．各参赛选手的成绩如下：

九（1）班：92，93，93，93，93，93，97，98，98，100

九（2）班：91，93，93，93，96，97，97，98，98，99

通过整理，得到数据分析表如下：

班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差

九（1）班 100 m 93 93 7.6

九（2）班 99 95.5 96.5 n 6.85

（1）直接写出表中m、n的值；

（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好”，但也有人说（2）班的成绩要好，请给出两条支持九（2）班成绩好的理由．

21．小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1﹣4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

22．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3=0．

（1）证明：当m取不等于0的任何数时，此方程总有实数根；

（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

23．如图，O是等边△ABC的外心，BO的延长线和⊙O相交于点D，连接DC，DA，OA，OC．

（1）求证：△BOC≌△CDA；

（2）若AB=2，求阴影部分的面积．

24．某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价2元，每天的销售量会减少8件．

（1）当售价定为多少元时，每天的利润为140元？

（2）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式，每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=（售价﹣进价）×售出件数）

25．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．

（1）求证：直线FG是⊙O的切线；

（2）若CD=8，EB=4，求⊙O的直径．

26．小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”．

小明是这样思考的：由y=﹣x2+3x﹣2函数可知a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．

请参考小明的方法解决下面的问题：

（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；

（2）若函数y1=x2﹣x+n与y2=﹣x2+mx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2019的值；

（3）已知函数y=（x﹣1）（x+4）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y=（x﹣1）（x+4）互为“旋转函数”．

27．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=a（x+1）（x﹣3）（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为M，经过点A的直线l：y=ax+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D．

（1）直接写出点A的坐标

、点B的坐标

；

（2）如图（1），若顶点M的坐标为（1，4），连接BM、AM、BD，请求出二次函数及一次函数的解析式，并求出四边形ADBM的面积；

（3）如图（2），连接DM，当a为何值时，直线DM与x轴的夹角为45°？

（4）如图（3），点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为时，请直接写出此时E点的坐标．

江苏省镇江市2019届九年级上学期期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（每题2分，共24分）

1．已知关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1=0是一元二次方程，则m取值范围是 m≠1 ．

【考点】一元二次方程的定义．

【分析】根据一元二次方程的定义得到m﹣1≠0，然后解不等式即可．

【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1=0是一元二次方程，

∴m﹣1≠0，

解得：m≠1，

故答案为：m≠1．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

2．如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是

．

【考点】几何概率．

【分析】先确定黑色区域的面积与总圆面面积的比值，此比值即为所求的概率．

【解答】解：观察这个图可知：黑白石子的面积相等，即其概率相等，各占．

【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．

3．将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为 y=（x﹣1）2﹣2 ．

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．

【解答】解：∵抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，

∴平移后的解析式为：y=（x﹣1）2﹣2．

故答案为：y=（x﹣1）2﹣2．

【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”，是解题关键．

4．一元二次方程（x﹣4）2=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 12 ．

【考点】解一元二次方程-直接开平方法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．

【分析】首先利用直接开平方法解出一元二次方程的解，再根据等腰三角形的特点计算出周长即可．