函数的单调性与导数的正负性
函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质，即函数在某一区间上是递增还是递减。而导数的正负性可以帮助我们判断函数的单调性。
一、函数的单调性
在研究函数的单调性时，我们需要先确定函数的定义域。定义域是使函数有意义的所有实数集合。对于定义在闭区间[a, b]上的函数，我们只需分析它在内部(a, b)上的单调性即可。
1. 函数的递增性
若对于定义在(a, b)上的函数f(x)，对任意x1、x2 ∈ (a, b)，若x1 <
x2，则有f(x1) ≤ f(x2)，则称f(x)在(a, b)上是递增的。换句话说，当自变量增大时，函数值也相应增大。
2. 函数的递减性
若对于定义在(a, b)上的函数f(x)，对任意x1、x2 ∈ (a, b)，若x1 <
x2，则有f(x1) ≥ f(x2)，则称f(x)在(a, b)上是递减的。换句话说，当自变量增大时，函数值反而减小。
二、导数的正负性
导数的正负性与函数的单调性有着密切的联系。对于可导的函数f(x)，若在某一区间上导数大于零，则函数在该区间上是递增的；若导数小于零，则函数在该区间上是递减的。
1. 导数大于零的情况 假设函数f(x)在开区间I上可导，若对于任意x ∈ I，f'(x)>0，那么f(x)在I上是递增的。这是因为导数大于零意味着函数的斜率始终为正，即函数的图像呈现上升趋势。
2. 导数小于零的情况
假设函数f(x)在开区间I上可导，若对于任意x ∈ I，f'(x)<0，那么f(x)在I上是递减的。这是因为导数小于零意味着函数的斜率始终为负，即函数的图像呈现下降趋势。
三、单调性与导数的关系
导数的正负性可以帮助我们判断函数的单调性。具体来说，函数f(x)在开区间(a, b)上可导，若f'(x)>0，则f(x)在(a, b)上是递增的；若f'(x)<0，则f(x)在(a, b)上是递减的。
如果函数f(x)在某一区间上导数恒大于零，那么函数在该区间上是严格递增的；如果函数在某一区间上导数恒小于零，那么函数在该区间上是严格递减的。反之，如果函数的导数恒为零，那么函数在该区间上是不增也不减的。
函数的单调性与导数练习6
1函数f(x)＝x3＋2x2＋x的单调递增区间是______,单调递减区间是___
2函数f(x)＝x-lnx的单调递增区间是______,单调递减区间是___
3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________
4．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是______
5．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是_____
6．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．
7．已知f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为_____．
8．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．
9．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是_______．
10．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a、b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
第2节 导数在研究函数中的应用
知 识 梳 理
1.函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.
2.函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，
f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，
f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.
3.函数的最值与导数的关系
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
第1课时 导数与函数的单调性
考点一 求函数的单调区间
【例1】 (经典母题)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－43处取得极值.
(1)确定a的值；
(2)若g(x)＝f(x)ex，求函数g(x)的单调减区间.
解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，
因为f(x)在x＝－43处取得极值，所以f′－43＝0，
即3a·169＋2·－43＝16a3－83＝0，解得a＝12.
(2)由(1)得g(x)＝12x3＋x2ex，
第二课时 导数与函数的单调性(二)
课标要求 素养要求
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性. 进一步理解函数的导数和其单调性的关系，提升数学运算素养与直观想象素养.
题型一 含参数函数的单调性
【例1】 讨论函数f(x)＝12ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性.
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax＋1－a＋1x＝ax2＋x－（a＋1）x.
①当a＝0时，f′(x)＝x－1x，
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0
∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
②当a>0时，f′(x)＝ax＋a＋1a（x－1）x，
∵a>0，∴a＋1a>0.
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0
∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
规律方法 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.
【训练1】 求函数f(x)＝1x2＋aln x(a∈R)的单调递减区间.
解 易得函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝－2x3＋ax＝ax2－2x3.
①当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
②当a>0时，若0
若x>2a，则f′(x)>0，
所以f(x)在0，2a上单调递减，在2a，＋∞上单调递增.
综上可知，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，当a>0时，f(x)的单调递减区间为0，2a.
题型二 根据函数的单调性求参数
【例2】 (1)若函数f(x)＝(x2－cx＋5)ex在区间12，4上单调递增，则实数c的取值范围是( )
