高考三角函数复习专题

第 1 页 三角函数复习专题

一、核心知识点归纳： ★★★1、正弦函数、余弦函数与正切函数的图象及性质：

sinyx cosyx tanyx

图象

定义域 R R

值域 1,1 1,1 R

最值 当k时，max1y；

当

k时，min1y． 当2xkk时，

max1y；

当2xk

k时，min1y． 既无最大值也无最小值

周期性 2 2 

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

单调性 在

k上是增函数；在

k上是减函数． 在2,2kkk上是增函数；在2,2kk

k上是减函数． 在

k上是增函数．

对称性 对称中心,0kk

对称轴 对称中心

对称轴xkk 对称中心

无对称轴 函 数 性 质 第 2 页

★★2.正、余弦定理：在ABC中有:

①正弦定理：2sinsinsinabcRABC〔R为ABC外接圆半径〕

 注意变形应用

②面积公式：111sinsinsin222ABCSabsCacBbcA

③余弦定理： 2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC 

二、方法总结：

1.三角函数恒等变形的根本策略。

〔1〕注意隐含条件的应用：1＝cos2x＋sin2x。

〔2〕角的配凑。α＝〔α＋β〕－β，β＝－等。

〔3〕升幂及降幂。主要用2倍角的余弦。

〔4〕化弦〔切〕法，用正弦定理或余弦定理。

〔5〕引入辅助角。asinθ＋bcosθ＝22basin(θ＋)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan＝ab确定。

2.解答三角高考题的策略。

〔1〕发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进展所谓的“差异分析〞。

〔2〕寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

〔3〕合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

三、例题集锦：

考点一：三角函数的概念

1.〔2021年东城区示范校考试文15〕如图，设A是单位圆与x轴正半轴的交点，QP、是 第 3 页 36o1x1y单位圆上的两点，O是坐标原点，，,0,AOQ．

〔1〕假设，求的值；〔2〕设函数fOPOQ，求f的值域．

2．〔2021年西城期末文15〕函数2()3sin22sinfxxx.〔Ⅰ〕假设点(1,3)P

在角的终边上，求()f的值； 〔Ⅱ〕假设，求()fx的值域.

考点二：三角函数的图象与性质

3.〔2021年东城区期末文15〕函数()sin()(0,0,||)2fxAxA局部图象如下图．〔Ⅰ〕求()fx的最小正周期及解析式；〔Ⅱ〕设()()cos2gxfxx，求函数()gx在区间上的最大值与最小值．

考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换

4．〔2021年海淀期中文16〕函数cossin的值；〔2〕求函数xxxf2cos)62sin()(.〔1〕假设1)(f，求)(xf的单调增区间.〔3〕求函数的对称轴方程与对称中心

5.〔2021年丰台区期末文15〕函数2()2sincos2cosfxxxx

〔0xR，〕，相邻两条对称轴之间的距离等于2．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕当

时，求函数)(xf的最大值与最小值及相应的x值．

6、〔2021朝阳二模文15〕函数2()2sinsin()2sin12fxxxx ()xR.

〔Ⅰ〕求函数()fx的最小正周期及函数()fx的单调递增区间；

〔Ⅱ〕假设，，求0cos2x的值.

7、〔2021东城二模问15〕〔本小题共13分〕，．

〔Ⅰ〕求cosA的值； 〔Ⅱ〕求函数5()cos2sinsin2fxxAx的值域．

考点六：解三角形 第 4 页 8．〔2021年朝阳期末文15〕△ABC中，2sincossincoscossinABCBCB.

〔Ⅰ〕求角B的大小；〔Ⅱ〕设向量(cos, cos2)AAm，，求当mn取最

小值时， 值.

9．〔2021年石景山期末文15〕函数23cossinsin3)(2xxxxfRx．

〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假设，求)(xf的最大值；〔Ⅲ〕在ABC中，假设BA，

，求ABBC的值．

10、〔2021东城一模文15〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c分，且满足． 〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕假设25a，求△ABC面积的最大值．

11、(2021丰台一模文15). 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．

〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕设函数2cos2cos2sin3)(2xxxxf，当)(Bf取最大值23时，判断△ABC的形状．

12、(2021海淀一模文15). 在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为,,abc，，，且1c.

(Ⅰ)求tanA； (Ⅱ)求ABC的面积.

13、〔2021石景山一模文15〕．

在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且274sincos222ABC．

〔Ⅰ〕求角C的大小； 〔Ⅱ〕求sinsinAB的最大值．

例题集锦答案：

1.〔2021年东城区示范校考试理15〕如图，设A是单位圆与x轴正半轴的交点，QP、是 第 5 页 YXAOQP单位圆上的两点，O是坐标原点，，,0,AOQ．

〔1〕假设，求的值；〔2〕设函数fOPOQ，求f的值域．

★★单位圆中的三角函数定义

解：〔Ⅰ〕由可得……………2分

6sinsin6coscos6cos………3分

…………4分

〔Ⅱ〕fOPOQ cos,sincos,sin66………6分

………………7分

………………8分

[0,) ………9分

…………12分

f的值域是………………………………13分

2．〔2021年西城期末理15〕函数2()3sin22sinfxxx.〔Ⅰ〕假设点(1,3)P

在角的终边上，求()f的值； 〔Ⅱ〕假设，求()fx的值域.

★★三角函数一般定义

解：〔Ⅰ〕因为点(1,3)P在角的终边上，

所以，，

………………2分

所以22()3sin22sin23sincos2sinf ………………4分

231323()2()3222.

………………5分

〔Ⅱ〕2()3sin22sinfxxx3sin2cos21xx ………………6分

， ………………8分 第 6 页 36o1x1y因为，所以， ………………10分

所以， ………………11分

所以()fx的值域是[2,1]. ………………13分

3.〔2021年东城区期末理15〕函数()sin()(0,0,||)2fxAxA局部图象如下图．〔Ⅰ〕求()fx的最小正周期及解析式；〔Ⅱ〕设()()cos2gxfxx，求函数()gx在区间上的最大值与最小值．

解：〔Ⅰ〕由图可得1A，，

所以T． ……2分

所以2．

当时，()1fx，可得 ，

因为，所以． ……5分

所以()fx的解析式为． ………6分

． ……10分

因为，所以．

当，即时，()gx有最大值，最大值为1；

当，即0x时，()gx有最小值，最小值为12．……13分

2T相邻平衡点〔最值点〕横坐标的差等； ； ;φ----代点法

4．〔2021年海淀期中文16〕函数xxxf2cos)62sin()(.〔1〕假设1)(f，求cossin的值；〔2〕求函数)(xf的单调增区间.〔3〕求函数的对称轴方程与对称中心

解：〔1〕22cos16sin2cos6cos2sin)(xxxxf ...3分〔只写对一个公式给2分〕 第 7 页 ....5分

由1)(f，可得 ......7分

所以 ......8分 .......9分

〔2〕当Zkkxk,22222，换元法 ..11

即Zkkkx],4,4[时，)(xf单调递增.

所以，函数)(xf的单调增区间是Zkkk],4,4[ ... 13分

5.〔2021年丰台区期末理15〕函数2()2sincos2cosfxxxx

〔0xR，〕，相邻两条对称轴之间的距离等于2．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕当

时，求函数)(xf的最大值与最小值及相应的x值．

解：〔Ⅰ〕()sin2cos212sin(2)14fxxxx． 意义 ……4分

因为 ，所以 T，1． ……6分

所以 ()2sin(2)14fxx．所以 ………7分

当 时， ， 无范围讨论扣分

所以 当，即时，max()21fx， …10分

当，即0x时，min()2fx． ………13分

6、〔2021朝阳二模理15〕函数2()2sinsin()2sin12fxxxx ()xR.

〔Ⅰ〕求函数()fx的最小正周期及函数()fx的单调递增区间；

〔Ⅱ〕假设，，求0cos2x的值.

解: 2()2sincos2sin1fxxxx ……………………………………1分

sin2cos2xx ……………………………………2分

. 与差角公式逆用 ………………3分

〔Ⅰ〕函数()fx的最小正周期. ……………………………………5分