高等数学第四章是关于微积分学的重要章节，是考研数学中的重要考点之一。在掌握了前三章的基础上，第四章的内容将更加深入和具体。考研数学中，第四章所考察的内容包括极值、凹凸性、曲率、峰值等方面的知识点。
一、极值问题
1. 求函数 $f(x)=x^3-3x^2+5$ 在区间 $[-1,3]$ 上的极值点
解：首先求出函数的导数 $f'(x)=3x^2-6x$，令其等于0，得到极值点 $x\in \{-1,2\}$。将 $x=-1$ 和 $x=2$ 代入函数，得到 $f(-
1)=7$，$f(2)=3$。由此可知，$f(x)$ 在
$x=-1$ 时取得最大值7，在 $x=2$ 时取得最小值3。
二、曲率问题
2. 求椭圆
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的凹凸性和曲率半径
解：根据椭圆的定义式，求出其一阶导数和二阶导数，得到：
$
\frac{dy}{dx}=-\frac{b^2x}{a^2y}
$
$
\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{b^2}{a^2}\frac{a^2y-b^2x^2}{a^2y^3}
$
由此可以得出，当 $a^2y>b^2x^2$ 时，$\frac{d^2y}{dx^2}<0$，椭圆是凹的；当
$a^2y0$，椭圆是凸的。此外，椭圆的曲率半径为 $R=\frac{a^2}{b}$。
三、峰值问题
3. 求函数 $f(x)=x^4-4x^3+4x^2+1$ 的峰值
解：首先求出函数的一阶和二阶导数：
$
f'(x)=4x^3-12x^2+8x
$
$
f''(x)=12x^2-24x+8
$
令 $f'(x)=0$，解得 $x\in\{0,2\}$。计算得到 $f(0)=1$，$f(2)=1$，$f(1)=-2$。故该
函数的峰值为-2，达到峰值时的横坐标为1。
高一数学第四章节4.1角的概念的推广
知识要点
1、 任意角的概念
⑴角可以看成平面内的一条射线绕着端点，从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
⑵正角：按逆时针方向旋转形成的角。
⑶负角：按顺时针方向旋转形成的角。
⑷零角：一条射线没有作任何旋转。
注意：①角的不再限于00360~0；
②画一个角时，切记角的旋转方向；
③当角的始边相同时，角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等。
2、 终边相同的角
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
ZkkS,3600
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。
注意：①k为整数；
②为任意角；
③Zkk0360 表示的角的终边与始边重合；
④0360k与之间用“+”号连结。如0030360k应看成0030360k；
⑤终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同； ⑥终边相同的角有无数多个，它们相差周角的整数倍；
3、 象限角与轴线角
⑴在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，则称角为第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，则称角为轴线角。
⑵象限角的集合
第一象限角的集合为：ZkkkS,360903600001
第二象限角的集合为：ZkkkS,3601803609000002
第三象限角的集合为：ZkkkS,36027036018000003
第四象限角的集合为：ZkkkS,36036036027000004
⑶轴线角的集合
终边在x轴的非负半轴上的角的集合为：Zkk,3600
终边在x轴的非正半轴上的角的集合为：Zkk,36018000
1.函数xyzsin的全微分是__________________
2.设13323xyxyyxz，则yxz2_____________________________.
3.微分方程044yyy的通解为_________________________________.
4.设两平面方程分别为0122zyx和05yx，则两平面的夹角为（ ）.
A.6 B.4 C.3 D.2
5..函数22arcsinyxz的定义域为（ ）.
A.10,22yxyx B.10,22yxyx
C.20,22yxyx D.20,22yxyx
6.函数)2ln(12222yxyxz的定义域为 ．
7.设vezusin，而yxvxyu,，求.,yzxz
8.已知隐函数yxzz,由方程05242222zxzyx确定，求.,yzxz
9.设22uvvuz，而yxvyxusin,cos，求.,yzxz
10、用行列式解方程组 -3x+2y-8z=17
2x-5y+3z=3
x+7y-5z=2
11.求两平面：22zyx与42zyx交线的标准式方程。
大学高等数学：第四章第六讲定积分在物理学上的应用
上节课我们学习了定积分在几何学上的应用，从而总结5大常考题型，其中曲率计算以及极坐标尤为重要。
这节课我们学习定积分的物理应用
定积分在物理应用主要是计算功和力，其中力主要为压力和引力，掌握好微元法(前两节已经讲过)是解决定积分物理应用的关键.
一.变力做功
从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且这力的方向与物体运动的方向一致，那么，在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为
W=F*s
1.设一物体沿x轴运动，在运动过程中始终有力F作用于物体上，力F的方向或与Ox轴方向一致(此时F取正值)或与Ox轴方向相反(此时F取负值)物体在x处的力为F(x),则物体从a移到b时变力F(x)做的功为
2.设有一容器(如图5.21)，其顶部所在平面与Ox轴(铅直向下)相较于原点，液体表面与Ox轴相截于x=a，底部与Ox轴相截于x=b处，垂直于Ox轴的平面截容器所得的截面面积为x的连续函数S(x),则将容器中的液体全部抽出所做的功为
其中ρ为液体密度，g为重力加速度。 如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，就会遇到变力对物体做功的问题，下面通过具体的列子说明如何计算变力所做的功。
列1：有一电荷量为q1带正电的固定质点位于原点，在距离原点a处有一电荷量为q2带正电的活动只限，若固定质点将活动质点从距离a处排斥到b处，求排斥力所踪的功
分析：取微元[x,x-dx]∈[a,b]，则dW=kq1q2/x^2dx
于是W=∫dW(上限b下限a)=kq1q2∫dx/x^2(上限b下限a)=kq1q2(1/a-1/b)
列2：半径为R的球沉入水中，上顶点与水面相切，将球从水中取出要做多少功？(设球的比重为1)
解：首先建立坐标系，取x轴垂直水平面并过球心，方向向上，原点为球心，见图5.22.
任取[-R,R]中的小区间[x,x+dx]相应的球体中的薄片，其重量为π(R^2-x^2)dx,在水中时浮力与重量相等，当球从水中移出时，此薄片离水面的距离是R+x,故对它需做功dW=(R+x)π(R^2-x^2)dx。因此，将球从水中取出时要做功
