第四章《高等数学(上册)》课件

1 第四章 不定积分

前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．

第1节 不定积分的概念与性质

1.1 不定积分的概念

在微分学中,我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分)的问题，例如,变速直线运动中已知位移函数为

()sst,

则质点在时刻t的瞬时速度表示为

()vst．

实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t的瞬时速度

()vvt，

求出质点的位移函数

()sst．

即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．

1。1。1原函数

定义1 如果在区间I上，可导函数()Fx的导函数为()fx，即对任一xI，都有

()()Fxfx 或 d()()dFxfxx，

那么函数()Fx就称为()fx在区间I上的原函数．

例如,在变速直线运动中，()()stvt,所以位移函数()st是速度函数()vt的原函数；

再如，(sin)'cosxx，所以sinx是cosx在(,)上的一个原函数．1(ln)'(0),xxx所以lnx是1x在(0,)的一个原函数．

一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．

定理1 如果函数()fx在区间I上连续,那么在区间I上一定存在可导函数()Fx，使对任一xI都有

()()Fxfx．

简言之,连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数．

定理1的证明，将在后面章节给出。

关于原函数，不难得到下面的结论：

若()()Fxfx，则对于任意常数C,()FxC都是()fx的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个．

假设()Fx和()x都是()fx的原函数，则[()()]0Fxx，必有()()FxxC，即一 2 个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．

大学高等数学：第四章第六讲定积分在物理学上的应用

上节课我们学习了定积分在几何学上的应用，从而总结5大常考题型，其中曲率计算以及极坐标尤为重要。

这节课我们学习定积分的物理应用

定积分在物理应用主要是计算功和力，其中力主要为压力和引力，掌握好微元法(前两节已经讲过)是解决定积分物理应用的关键.

一.变力做功

从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且这力的方向与物体运动的方向一致，那么，在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为

W=F*s

1.设一物体沿x轴运动，在运动过程中始终有力F作用于物体上，力F的方向或与Ox轴方向一致(此时F取正值)或与Ox轴方向相反(此时F取负值)物体在x处的力为F(x),则物体从a移到b时变力F(x)做的功为

2.设有一容器(如图5.21)，其顶部所在平面与Ox轴(铅直向下)相较于原点，液体表面与Ox轴相截于x=a，底部与Ox轴相截于x=b处，垂直于Ox轴的平面截容器所得的截面面积为x的连续函数S(x),则将容器中的液体全部抽出所做的功为

其中ρ为液体密度，g为重力加速度。 如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，就会遇到变力对物体做功的问题，下面通过具体的列子说明如何计算变力所做的功。

列1：有一电荷量为q1带正电的固定质点位于原点，在距离原点a处有一电荷量为q2带正电的活动只限，若固定质点将活动质点从距离a处排斥到b处，求排斥力所踪的功

分析：取微元[x,x-dx]∈[a,b]，则dW=kq1q2/x^2dx

于是W=∫dW(上限b下限a)=kq1q2∫dx/x^2(上限b下限a)=kq1q2(1/a-1/b)

列2：半径为R的球沉入水中，上顶点与水面相切，将球从水中取出要做多少功？(设球的比重为1)

解：首先建立坐标系，取x轴垂直水平面并过球心，方向向上，原点为球心，见图5.22.

任取[-R,R]中的小区间[x,x+dx]相应的球体中的薄片，其重量为π(R^2-x^2)dx,在水中时浮力与重量相等，当球从水中移出时，此薄片离水面的距离是R+x,故对它需做功dW=(R+x)π(R^2-x^2)dx。因此，将球从水中取出时要做功

数学题库（第四章：积分部分）

一、填空

1、 若)(xf在],[ba上连续),(bac，则cabcdxxfdxxf)()(

答案：badxxf)(

2、 204sin4xdxdxd

答案：0

3、 200dx

答案：C

4、 若函数)(xf在区间],[ba上连续，)(xF是)(xf的 则)()()(aFbFdxxfba

答案：一个原函数

5、 20dx

答案：2

6、 dxxfexf)(')(

答案：cexf)(

7、 dxeax)(

答案：caeax

8、 dxxd1

答案：dxx1 9、 66)1(sindxx

答案：3

10、 aadxxf)(

答案：0

11、dx )4(xd

答案：4

12、dx= d(3-5x)

答案：51

13、xdx )15(2xd

答案：101

14、dxx2 )21(3xd

答案：61

15、dxx3 )13(4xd

答案：121

16、dxx1 )ln23(xd

答案：21

17、dxex2 )1(2xed

答案：2

18、dxxex2 )(2xed

答案：21

19、xdx23sin )23(cosxd

第四章：微分方程

教学目标：理解并掌握微分方程的定义，掌握可分离变量微分方程的解法——分离变量法。

教学重点：可分离变量微分方程的解法——分离变量法。

教学难点：可分离变量微分方程的解法——分离变量法。

所需学时：8学时（包括：6学时讲授与2学时习题）

第一节：微分方程的概念

1、微分方程的引例

引例某曲线过点(1,4)，且在曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为2x，试建立满足上述条件的函数关系式。

解： 设曲线方程为)x(yy，由导数的几何意义知)x(yy满足2xy

又由题意知，当1x时4y即4|y1x，则有

4|y2xy1x

2xy称为一阶常微分方程。

2、微分方程的基本概念

微分方程——含有自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方程。

微分方程的阶——微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数。

常微分方程——未知函数为一元函数的微分方程。常微分方程的一般形式为： 0)y,......,y,y,y,x(F)n(，其中x为自变量，)x(yy是未知函数，上式中)n(y必须出现，其余变量可以不出现。例如n阶微分方程 01y)n(。

例1 判断下列微分方程的阶数。

（1） 232yyy

（2） 0)13()12(dyydxx

（3） 02)(2xyy

解：（1）三阶 ， （2）一阶 ， （3）一阶

微分方程的解——使得微分方程等式成立的函数)(xyy。

通 解——方程的解中所含任意常数的个数与方程的阶数相同的解。

特 解——不含任意常数的方程的解。

初始条件——用来确定方程通解的任意常数的附加条件。如：前例中 4|1xy

带有初始条件的微分方程为微分方程的初值问题。微分方程的解的图形是一条曲线或一族曲线，称为微分方程的积分曲线。

例2 验证函数xcxysin)(2（c为任意常数）是方程