第5章 角动量习题

第五章

全同粒子

本章主要内容概要

1. 全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。在一个量子体系中全同粒子是不可区分的，两全同粒子相互交换不会引起物理性质的改变（全同性原理）。所有的微观粒子可以分为两类：波色子和费米子。所有自旋为整数倍的粒子称为波色子，而所有自旋为/2奇数倍的粒子称为费米子。由费米子组成的量子体系，不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态（泡利不相容原理），体系的波函数在交换任意两个费米子时是反对称的。对由波色子组成的量子体系，则不受泡利不相容原理的限制，两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态，体系的波函数在交换任意两个波色子时是对称的。

如果体系的波函数可以由归一化的单粒子波函数()iq的积表示，其中i表示不同的单粒子态，q表示第个粒子的量子数（包括空间与自旋），则由N个费米子组成体系的反对称波函数可以用N阶行列式表示为

12121212()()()()()()1(,,...,,...,)!()()()iiiNjjjNANkkkNqqqqqqqqqqNqqq

交换任何两个粒子就是交换行列式中的两列，这使行列式改变符号，即波函数A在交换两粒子时是反对称的。当任两粒子处于相同状态，即行列式中两行相同，行列式为零，表示不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态。

对由N个波色子组成的体系，体系的对称波函数可以表示为

1212(,,...,,...,)()()...()ANijkNPqqqqCPqqq

其中P表示N个粒子在波函数中的某一种排列，P表示对所有可能排列求和，由于波色子可以处于相同的状态，,,...,ijk可以相等，C是归一化常数为求和的项数，,,...,ijk完全相等时为1，全不相等时为1/!N。

1 第四章 碱金属原子

1. 已知Li原子光谱主线系最长波长0A6707，辅线系系限波长0A3519.求Li原子第一激发电势和电离电势.

解：主线系最长波长是原子从第一激发态跃迁至基态的光谱线的波长

Ehhc

第一激发电势

1eUE

34811976.626210310V1.850V1.6022106.70710EhcUee

辅线系系限波长是原子从无穷处向第一激发态跃迁产生的

辅线系

~~*2nRn,~~*nn

1925.648910JhceU

23.526VU

电离电势：U=U1+U2=5.376V

2. Na原子的基态3S.已知其共振线波长为58930A，漫线系第一条的波长为81930A，基线系第一条的波长为184590A，主线系的系限波长为24130A。试求3S、3P、3D、4F各谱项的项值.

解：主线系波数 2 ~p22sp,3,4,(3)()nRRnn

~~p2s,(3)nRn

系限波长：p=24130A=72.41310m

~1613S71m4.144210m2.41310T

共振线为主线系第一条线, 是原子从3P到3S跃迁产生的光谱线

共振线波长：λp1=58930A=75.89310m

~61p13S3P711.696910m5.89310mTT

1616S3P3m104473.2m106969.1TT

漫线系（第一辅线系）波数

~d22pd,3,4,(3)()nRRnn

漫线系第一条线是原子从3D到3P跃迁产生的光谱线

漫线系第一条光谱线的波长7d18.19310m

167D3P31~dm102206.1m10193.81TT

1616P3D3m102267.1m102206.1TT

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第5章 刚体力学

5.1 本章要求：

1、通过质点在平面内的运动情况理解角动量、动量矩和角动量守恒定律,了解转动惯量的概念；

2、理解刚体的定轴转动的转动定律和刚体在定轴转动情况下的角动量定理和角动量守恒定律；

3、能应用角动量定理和角动量守恒定律解简单的刚体运动的力学问题。

5.2 内容提要

1、质点的角动量

vrmPrL；

2、质点的角动量定理

作用于质点的冲量矩等于质点的角动量的增量。

积分形式

000LLLddtMLLtt ，

微分形式

dtLdM外

3、角动量守恒定律

如果某一固定点，质点所受合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。则

0dtLd，

iiLL = 常矢量

4、刚体

物体内任意两点间的距离在外力作用下始终保持不变，从而其大小和形状都保持不变的物体，称为刚体。刚体也是物体的一种理想模型。

5、平动

刚体运动时，连接刚体中任意两点的直线始终保持它的方位不变。这种运动称为刚体的平动或平移。

6、转动

刚体运动时，如果刚体内各点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为刚体的转动；这一直线称为转轴。如果转轴相对于所取的参考系是固定不动的，就称为定轴转动。如果转轴上一点静止于参考系，而转动的方位在变动，这种转动称为定点转动。

刚体的一般运动，可以看作平动和转动所合成。

7、质心

质心是与质点系的质量分布有关的一个代表点,它的位置在平均意义上代表着质点分布的中心。

对于有许多质点组成的系统，如果用im和ir表示第i个质点的质量和位矢，

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用cr表示质心的位矢，则有

Mrmriiic，

式中iimM为质点系的总质量。

质心位置的坐标为：

MzmzMymyMxmxiiiciiiciiic,,。

对于质量连续性分布的物体，质心的位矢为

第1页共6页第五章多电子原子：泡利原理

5.1.Theionizationenergyrequiredtopulloneelectronoffaheliumatom

is

24.5eV.Ifwewanttoionizethetwoelectronsone-by-one,whatisthe

energytobesupplied?

氦原子中电子的结合能为24.6eV，试问：欲使这个原子的两个电子逐一电离，外

界必须提供多少能量？

Solution:Theionizationenergyrequiredtopulloneelectronoffahelium

atomis

124.5EeV

,

theinizationenergyrequiredtopullthesecondelectronoffahelium

atomis:22

22

2122213.654.4

1ZRhcZRhc

EEEZRhceVeV

n









Thetotalionizationenergyrequiredtoionizethetwoelectrons

one-by-oneis:

1224.554.478.9EEEeVeVeV

5.3.Calculatethepossiblevaluesof

LSforan1

,2

2SLstate.对于12,2SL，试计算LS的可能值。

Solution:1135

,2,2,

2222SLJLS

For“spin-orbitcoupling”term,222

,2JSLJSLSLThen,

222

211

111

22SLJSLjjssll





22

2213133113

,2,,11221

22222222

1515511

,2,,11221

2222222SLJSL

SLJSL