第五章角动量习题

268 第五章 角动量 习题

5.1.1 我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d439km近，远地点d2384km远，地球半径R6370km地，求卫星在近地点和远地点的速度之比.

[解 答]

卫星所受的引力对O点力矩为零，卫星对O点角动量守恒。

rm=rm远远近近

2384+63701.29439+6370d+Rrrd+R远近远地远近近地

5.1.2 一个质量为m的质点沿着一条由ˆˆr=acostibsintj定义的空间曲线运动，其中a,b及皆为常数，求此质点所受的对原点的力矩.

[解 答]

2222ˆˆˆˆˆˆˆˆ()r=acostibsintjasintibcostja=-acostibsintjacostibsintjr

2Fmr，通过原点0。

5.1.3 一个具有单位质量的质点在力场ˆˆ2F=(3t-4t)i+(12t-6)j

中运动，其中t是时间.设该质点在t=0时位于原点，且速度为零，求t=2时该质点所受的对原点的力矩.

[解 答]

已知，m=1kg

有牛顿第二定律 Fma

1ˆˆaFm2(3t-4t)i+(12t-6)j

0da,t0,0dt

tt000322ˆˆdadtdtˆˆ=(t2t)(6t6t)2(3t-4t)i+(12t-6)jij

同理由,t0,0drrdt 269 t32200ˆˆd[(t2t)(6t6t)]dtrrij

ˆˆ423212r=(t-t)i+(2t-3t)j43

ˆˆˆˆ4t=2:r=i4j,F=4i18j3

0ˆˆˆˆMrF()()4i4j4i18j3

xyyyxxxyyxxyˆˆˆ i j kˆˆˆAB A A A (ABAB)i(ABAB)j(ABAB)k B B Bzzzzzz

0ˆˆˆ i j k4ˆM 4 040k3 4 18 0

5.1.4 地球质量为246.010kg，地球与太阳相距614910km，视地球为质点，它绕太阳作圆周运动.求地球对医圆轨道中心的角动量.

[解 答]

2Lrmmr,2(rar/s)365243600

将624r14910km,m6.010kg代入上式得

402L2.6510kgm/s

5.1.5 根据5.1.2题所给的条件，求该质点对原点的角动量.

[解 答]

ˆˆˆˆr=acostibsintjasintibcostj

质点对原点的角动量：

ˆˆˆˆLrm()m()acostibsintjasintibcostj

ˆˆˆ i j kˆcos sin 0abmkm m 0atbtasintbcost

5.1.6 根据5.1.3题所给的条件，求该质点在t=2时对原点的角动量.

[解 答]

由5.1.3，t=2s时 270 22ˆˆˆ,12j,m1kg4r=i4j3

ˆˆˆLrm()12j4i4j3

2ˆˆˆ i j k4ˆL 4 016k(kgm/s)3 0 12 0

5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g的小球，沿半径为40cm的圆周做匀速圆周运动，这是从孔下拉绳的力为310N.如果继续向下拉绳，而使小球沿半径为10cm的圆周做匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？拉力所做的功是多少？

[解 答]

(1)小球角动量守恒：00mRmR ①

由牛顿第二定律：最初200020FTmR ②

又②解出0代入①得

00R0.8(m/s)R

（2）拉力所作的功 223011Amm3.010(J)22

5.1.8

一个质量为m的质点在O-xy平面内运动，其位置矢量为ˆˆr=acostibsintj

其中a,b和是正常数，试以运动学及动力学观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒.

[解 答]

（1）以运动学观点证明

ˆˆr=acostibsintj

ˆˆdrasintibcostjdt

质点对坐标原点的角动量为：

ˆˆˆˆLrm()m()acostibsintjasintibcostj

ˆˆˆ i j kˆcos sin 0abmkm m 0atbtasintbcost=常矢量（守恒）

（2）以动力学观点证明

222dra==-rdt 271 由牛顿第二定律：2F=ma=-mr

质点对坐标原点的力矩为：

20()0MrFrmr

由dLM,L=dt常矢量（守恒）

5.1.9 质量为200g的小球B以弹性绳在光滑水平面上与固定点A相连.弹性绳的劲度系数为8N/m，其自由伸展长度为600mm.最初小球的位置及速度0如图所示.当小球的速度变为时，它与A点的距离最大，且等于800mm，求此时的速度及初速度0.

[解 答]

由角动量守恒：

00mdmdsin30

00ddsin30 （1）

再由机械能守恒：

2220111mmk(d0.6)222 （2）

联立求解：

01.306(m/s),0.3266(m/s)

5.1.10 一条不可伸长的绳穿过铅直放置的、管口光滑的细管，一端系一个质量为0.5g的小球，小球沿水平圆周运动.最初112m,30，后来继续向下拉绳使小球以260沿水平圆周运动.求小球最初的速度1、最后的速度2、以及绳对小球做的总功.

[解 答]

初时，112m,30,FTw,指向圆心。

1111mgTcosF tg,FmgtgF Tsinmg

由牛顿第二定律：22111111mgtgmmRsin

21111sing2.38(m/s)cos

最后，21,60, 272 同样可求得：22111212222122sincos1cossin33

（1）

小球对轴角动量守恒：

111222msinmsin

即

122211sinsin

（2）

（1）（2）331/3121321,(3)3.43(m/s)3

由动能定理:

22Kp211211AEE(mm)mg(cos30cos60)0.00805(J)22

5.2.1 离心调速器模型如图所示.由转轴上方向下看，质量为m的小球在水平面内绕AB逆时针做匀速圆周运动，当角速度为时，杆张开角.杆长为.杆与转轴在B点相交.求（1）作用在小球上的各力对A点、B点及AB轴的力矩.（2）小球在图示位置对A点、B点及AB轴的角动量.杆质量不计.

[解 答]

5.2.2 理想滑轮悬挂两质量为m的砝码盘.用轻线拴住轻弹簧使它处于压缩状态，将此弹簧竖直放置在一砝码盘上，弹簧上端放一质量为m的砝码.另一砝码盘上也放质量为m的砝码，使两盘静止.燃断轻线，轻弹簧达到自由伸展状态即与砝码脱离.求砝码升起的高度.已知弹簧劲度系数为k被压缩的长度为0.

[解 答]

以滑轮、绳、两个砝码盘、两个物体、弹簧为物体系。

受外力有：两个砝码盘和两个物体受到的重力

1234mg=mg=mg=mg=mg，滑轮轴的压力N。

建立坐标Oxyz，如图，以轻线燃短到砝码与弹簧脱离为过程始末。

因物体系所受对O点合外力矩为零。物体系对O点角动量守恒：

设砝码弹出时砝码盘速率为，砝码速率为，滑轮半径为R，则有：

mRmR+(m+m)R=0

即 3

在过程中砝码盘位移为，砝码位移为

则

3

而 0 273 故 0031,44

将地球包括在物体系内：此时受外力N，不做功。重力和弹性力为内保守力，做功。物体系机械能守恒。以弹簧自由伸长状态为弹性势能零点。则：

22000011311k3mmgmg2mg22444

即 220022003mk2mg43k3g4m2

在研究砝码相对于地的上抛过程

由运动学公式：22gh可以求得

22003k3h2g8mg4

当 2003kkmgh8mg时，

5.2.3 两个滑冰于动员的质量各为70kg，以6.5m/s的速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10m.当彼此交错时，各抓住10m绳索的一端，然后相对旋转.（1）在抓住绳索一端之前，各自对绳中心的角动量是多少？抓住之后是多少？（2）他们各自收拢绳索，到绳长为5m时，各自的速率如何？（3）绳长为5m时，绳内张力多大？（4）二人在收拢绳索时，各做了多少功？（5）总动能如何变化？

[解 答]

以两运动员和绳为物体系；受外力包括：重力

AABBWmg,Wmg，冰面支持力ABN,N。

0ABABmgmgNN。因ABmm，由质心定义可知，物体系质心位于绳的中点。由质心运动定理，质心速度cc00

（1）抓住绳之前

Am对O点角动量，200R1Jm706.5102275(kgm/s)22

抓住绳之后

Bm对O点角动量，R1Jm701035022

因Am受到的对O点的合力矩为零，故Am对O点的角动量守恒。

20JJ2275(kgm/s)