奥数-16画图法解应用题+答案

1 画图法解应用题

苏联教育家苏霍姆林斯基曾经说过：“如果哪个学生学会了画应用题，我就可以

有把握地说，他一定能学会解应用题。”可见，画图对于小学数学解决问题的重要性。

在解答一些应用题时，用作图法可以把题目的数量关系揭示出来，以其形象、直观的

特点，使题意一目了然，对解答条件隐蔽，复杂疑难应用题，能起到化难为易，化繁

为简的作用，从而有助于快速找到解题的途径，有效地提高学生的自我学习能力和创

新能力，使学生学会学习。 作图法解应用题中，常见的数学图有以下几种：

一、线段图

线段图是由几条线段组合在一起，用来表示应用题中的数量关系，帮助人们分析

题意，解答问题的一种平面图形。

线段图在小学数学应用题学习中它可以帮助学生轻松地解答复杂关系的应用题，

强化数量关系的表述训练，能根据数量关系有序地进行解题演练。

举例：欢欢和喵喵共有25个本子，如果欢欢用去了3个本子，喵喵买回2个本

子，那么她们的本子就一样多了，你知道她们原来各有本子多少个吗？

列式计算： 喵喵 (25－3－2)÷2＝10(本) 欢欢 25－10＝15(本)

二、树形图

在解答应用题时，我们常常采用枚举法把所有符合题目条件的对象一一列举出来。

我们采用画树形图的方法，借助树的分叉特征构造出的树形图可以对数学问题中有可

能出现的多种可能逐一例举出来，不仅形象直观，而且有条理又不易重复或遗漏，使

人一目了然，有助于作出正确的判断。

举例：一个口袋中装有红、白、绿三只小球，另一只口袋中装有红、白两只小球。现从两只口袋中各取一只小球，求两只小球颜色一样的概率是多少？

从图中可以看出，两只小球颜色搭配的可能性共6种，而两只小球颜色一样的可

能性只有(红-红)，(白-白)共2种，所以两只小球颜色一样的概率为三分之一。

2

三、集合图

在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，以及用以表示集合之间的关

系，这样的图形称之为“集合图”。

举例：参加跳绳的有6人，参加踢毽子的有7人，两项都参加的有3人，这个组

共有几人？

6＋7－3＝10（人）

四、情景图

把复杂的数学问题用简单的图画表示，把情景再现出来，让人有身临其境的感觉，

便于学生理解和分析应用题。

举例：16名同学排成一队，从前往后数，小小排在第7个，从后往前数，他排

在第几个?

通过画图，从前往后数，小小排在第7个，由于一共有16个人，所以小小后面

还有16－7＝9(人)。从后面往前数小小应该是第10人，即16－7＋l＝10(人)。

五、面积图

把应用题中数量的多少用面积的大小表示出来，既直观，又形象。

3元和5元的圆珠笔共买了13支，一共花了49元，请问3元和5元的圆珠笔各

买了多少支？

假设13支全是5元的圆珠笔，则面积多了右图灰色部分5×13－49＝16，灰色

部分的宽是5－3＝2，

3元的圆珠笔有 (5×13－49)÷(5－3)＝8(支)

5

元的圆珠笔有

13

－8＝5(支) 3 【例 1】 朗诵小组的同学排成一排表演诗朗诵，从左边数起，玲玲是第8个，从右

边数起，玲玲是第7个，有多少同学参加表演?

根据题意画图：

从图中能够很清楚地看到，从左往右数时，

把玲玲数了一次，从右往左数时，玲玲又被数

了一次．把两次数出的人数相加时，玲玲被多

加了一次。因此，把两次数出的人数相加后减

去1就是实际的总人数，即 8＋7－1＝14(个)

练习一

1. 16名同学排成一队，小小排在小亚的前面，从前往后数，小亚排在第9个，从后

往前数，小小排在第10个，他们之间隔着几个人？

根据题意画图： 列式计算

2. 15只动物，从左往右数，老鼠排在第9个，猫排在第5个，那么从右往左数，老

鼠排在第几个？老鼠与猫之间有几只动物？

【例 2】 二（1）班有学生25人，比二（2）班少4人，二（2）班比二（3）班多3

人，三个班一共有学生多少人？

解析：我们用线段来表示数量，线段的长短表示数量的多少。上面画出各班级

的人数。三个班级的总人数，就是以上三条线段的总长。用数学算式表示：

25＋(25＋4)＋(25＋4－3)＝80(人)

练习二

1. 小明比小丽大5岁，小亮比小明小2岁，那么小丽和小亮差几岁？

根据题意画图： 列式计算：

4 2. 五(1)班的男生人数和女生人数同样多。抽去18名男生和26名女生参加合唱团，

剩下的男生人数是女生的3倍。五(1)班现有男、女生各多少人？

根据题意画图： 列式计算：

【例 3】 小明有10支铅笔，小红

有4支铅笔，要使两人的铅笔同样

多，小明要给小红几支铅笔？

解析：上图画出小明和小红的铅笔数量关系。从图示，我们可以知道小明比小红

多了10－4＝6支，要使两人的铅笔同样多，应该把小明比小红多的部分的一半给小

红，即6÷2＝3（支）。

练习三

1. 一个两层书架，若从上层中拿出9本给下层，上层和下层就一样多。原来上层的

数量是下层的4倍，上层和下层各放书多少本？

根据题意画图： 列式计算：

2. 两根电线共长59米，如果第一根剪去3米，第一根电线的长度就是第二根的3

倍。求原来两根电线各长多少米？

根据题意画图： 列式计算：

【例 4】 整除情况下，被除数和除数之和为160，商是7，被除数和除数各是几？

解析：商就代表了被除

数是除数的几倍。

列式计算： 除数 160÷(7＋1)＝20 被除数 20×7＝140

练习四

1. 三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，

三个队各筑了多少米？

根据题意画图： 列式计算：

5 2. 被除数与除数的差是15，商是6，余数是0，求被除数和除数各是多少？

根据题意画图： 列式计算：

【例 5】 坛子里原来装着一些酒，把酒加到原来的2倍时，和坛子一起称重15千克；

把酒加到原来的6倍时，再和坛子一起称重39千克，问原来的酒有多少千克？坛子

有多少千克？

解析：坛子也是有重量的，装的酒可以变化，但坛子的重量是不变的。所以，

画图时，可以把坛子和酒分别标识出来，用粗线表示坛子的重量，用细线表示原来

酒的重量，虚线表示增加上去的酒的重量。由图可以知道，加到6倍时比加到2倍

时，酒增加了39－15＝24千克，所以原来酒的重量为：24÷(6－2)＝6(千克)。由

上图可以知道坛子的重量： 15－6×2＝3(千克)。

练习五

1. 筐里已有几个西瓜，西瓜再增加1倍，西瓜和筐一起称重27千克；如果增加到

原来西瓜的4倍，西瓜和筐一起称重51千克，问原来西瓜有多少千克？筐重多

少千克？

根据题意画图： 列式计算：

2. 甲乙丙丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2棵，丙

组植的棵数增加1倍，丁组植树减少一半，那么四个组植的树正好相同。原来四

个小组各植树多少棵？

根据题意画图： 列式计算：

6 【例 6】 A、B、C三个小朋友相互传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样

经过五次传球后，球又恰巧回到A手中，那么不同的传球方式共有多少种？

根据题意画图：

如图，A第一次传给B，到第五次传

回A有5种不同方式。同理，A第一次传

给C，也有5种不同方式。所以，根据加

法原理，不同的传球方式共有5＋5＝10

种。

练习六

1. 某人有红、白、蓝三件衬衫和红、白、蓝三条长裤，该人任意拿一件衬衫和一条

长裤，求衬衫和长裤颜色不同的搭配有多少种？

根据题意画图： 列式计算：

2. 某城市有3条东西向街道和4条南北向的街道，街

道之间的间距相同，若规定只能向东或向北两个方

向沿图中路线前进，则从A到B有多少种不同的走

法

?

【例 7】 京华小学五年级学生采集标本,采集昆

虫标本的有25人,采集植物标本的有19人,两种标

本都采集的有8人,全班共40人,没有采集标本的

有几人？

解析：采集标本的人25＋19－8＝36(人)，那

么没有采集标本的人40－36＝4(人)。 根据题意画图：

练习七

1. 某班参加文娱活动的有35人，参加体育活动的有38人，既参加文娱活动又参加

体育活动的有25人。问参加这两类活动的总人数是多少？

根据题意画图： 列式计算：

2. 有100名旅客,其中有10人不懂英语又不懂俄语,有75人懂英语,83人懂俄语,

既懂英语又懂俄语的有几人？

根据题意画图： 列式计算：

7 【例 8】 一排20个座位，其中有些座位已经有人，小明无论坐在哪一个座位上，旁

边都有一个人与他相邻，那么原来至少有多少人已经就座？

方法一：现在从左开始坐人，把圆圈涂黑表示有人坐。要使原来坐的人尽量少，

则第一个座位不坐人，第二个座位有人。中间可以空两个座位，所以第五个位置必须

有人坐着。同样道理，每隔两个位置应该坐一个人。所以，原来至少有7个位置已经

有人就座。

方法二：小明无论坐在哪一个座位上，旁边都有一个人与他相邻，所以有人的座

位之间最多只能空两个座位，即每3个人为一组，20÷3＝6（组）……2（个）。多

出的两个位置中至少有1个坐人，另一个空着，所以是6＋1＝7（个）座位已经有人

就坐。

练习八

1. 在道路的一边要按红、黄、绿的顺序插彩旗，红色旗子只有6面，最多可以插多

少面彩旗？最少可以插多少面黄旗？

根据题意画图： 列式计算

2. 在一块并排的6垄田地中，准备种植玉米和甘蔗，每种种植一垄，为有利于作物

生长，要求两种作物之间种植低矮的作物，它们的间隔不少于2垄，不同的选法

共有多少种？

3. 根据题意画图： 列式计算

【例 9】 在一个停车场上，汽车、摩托车共停了60辆，一共有190个轮子。其中每

辆汽车有4个轮子，每辆摩托车有2个轮子。求停车场上汽车和摩托车各有多少辆？

解析：我们可以画这样一个长方形面积图：

用长表示辆数，用宽表示每辆车的轮子数。则

左边长方形B面积表示汽车轮子总数，右边长

方形C面积表示摩托车轮子总数。

如图，B＋C面积代表的是190个轮子，A＋B＋C面积代表的是4×60＝240(个)

轮子，可知A的面积是240－190＝50个轮子，A长方形的宽是2，则它的长是50

÷2＝25(辆)，即摩托车有25辆。汽车：60－25＝35（辆）