画图法解应用题

画图解题法是数学学习的重要方法之一，可以说画图解题法能拓展数学解题思路，能提升数学解题效率，很多问题都可以用画图解题法来解。

01

平面图

对于题目中条件比较抽象、不易直接根据所学知识写出答案的问题，可以借助画平面图帮助思考解题。

例1 有两个自然数A和B，如果把A增加12，B不变，积就增加72；如果A不变，B增加12，积就增加120，求原来两数的积。

根据题目的条件比较抽象的特点，不妨借用长方形图，把条件转化为因数与积的关系。先画一个长方形，长表示A，宽表示B，这个长方形的面积就是原来两数的积。如图（1）所示。

根据条件把A增加12，则长延长12，B不变即宽不变，如图（2）；同样A不变即长不变，B增加12，则宽延长12，如图（3）。从图中不难找出：原长方形的长（A）是120÷12＝10原长方形的宽（B）是72÷12＝6则两数的积为10×6＝60借助长方形图，弄清了题中的条件，找到了解题的关键。

例2 一个梯形下底是上底的1.5倍，上底延长4厘米后，这个梯形就变成一个面积为60平方厘米的平行四边形。求原来梯形面积是多少平方厘米？根据题意画平面图：从图中可以看出：上、下底的差是4厘米，而这4厘米对应的正好是1.5－1＝0.5倍。所以上底是4÷（1.5－1）＝8（厘米），下底是8×1.5＝12（厘米），高是60÷12＝5（厘米），则原梯形的面积是（8＋12）×5÷2＝50（平方厘米）。

02

立体图

一些求积题，结合题目的内容画出立体图，这样做，使题目的内容直观、形象，有利于思考解题。

例1 把一个正方体切成两个长方体，表面积就增加了8平方米。原来正方体的表面积是多少平方米？

如果只凭想象，做起来比较困难。按照题意画图，可以帮助我们思考，找出解决问题的方法来。按题意画立体图：

从图中不难看出，表面积增加了8平方米，实际上是增加 2个正方形的面，每个面的面积是8÷2＝4（平方米）。原正方体是6个面，即表面积为4×6＝24（平方米）。

1 四年级奥数 比较法解应用题 姓名___________ 成绩___________

知识点：

把一定数量的东西平均分配，如果多分，东西不足；少分，东西有余。分物时出现盈(有余)、亏(不足)或尽(刚好分完)几种情况，这类问题叫做盈亏问题。解答盈亏问题有下列几个公式：

1、 一盈一亏类

(盈数+亏数)÷两次分物数量差=分物对象的个数

2、 一盈一尽类

盈数÷两次分物数量的个数=分物对象的个数

3、 一亏一尽类

亏数÷两次分物数数量差=分物对象的个数

4、 两盈类

(大盈数–小盈数)÷两次分物数量差=分物对象的个数

练习题：

1. 同学们去划船。如果每条船坐5人，有14人没有座位；如果每条船坐7人，多4个空位。问有多少条船？学生多少人？

2.学校分配宿舍，每个房间住3人，则多出20人；每个房间住5人，刚好安排好。部有房间多少个？学生多少人？

3.学校买来一批新书。如果每人借5本则少150本；如果每人借3本则少70本。借书的学生有多少人？买来新书多少本？

4.猴子分桃子。每只小猴分5个还多23个；每只小猴分9个还多3个。这堆桃子有多少个？小猴有多少只？

2 5. 一列火车装运一批货物，原计划每节车皮装46吨，结果有100吨货物没有装上去；后来改进装车方法，使每节车皮多装4吨，结果把这批货物全部装完，而且还剩下两节空车皮。问这列火车有多少节车皮？这批货物有多少吨？

6. 把许多橘子分给一些小朋友。如果其中3人，每人分给3只，其余小朋友每人分给3只，还余9只；如果其中2人分给3只，其余小朋友每人分给5只，恰好分尽。问橘子有多少只？小朋友有多少人？

7.五年级学生搬砖，有12人每人各搬7块，有20人每人各搬6块，其余每人搬5块，这样最后余下148块；如果有30人每人各搬8块，有8人每人各搬9块，其余每人搬10块，这样分配则最后余下20块。问学生共有多少人？共有砖多少块？

二年级奥数第10讲——画图法解应用题【例1】朗读小组的同学排成一排表演诗朗诵，从左边数起，玲玲是第8个，从右边数起，玲玲是第7个，有多少同学参加表演？

随堂练习1

1、排排队，来报数，正着报数我报6，倒着报数我报9，请你算一算，一共有多少个小朋友在报数？

【例2】有16名同学排成一队，小小排在小亚的前面，从前往后数，小亚排在第9个，从后往前数，小小排在第10个，他们之间隔着几个人？

随堂练习2

16个小朋友排成一队去看电影，胖胖在小明的后面，从前往后数，小明在第5个，从后往前数，胖胖排在第8个，小明和胖胖之间隔了几个人？

【例3】小明有10支铅笔，小红有4支铅笔，要使两人的铅笔同样多，小明要给小红几只铅笔？

随堂练习3

沈老师有12本练习本，李老师有18本练习本，要使两人的练习本同样多，李老师要给沈老师多少本练习本？

【例4】一排20个座位，其中有些座位已经有人，小明无论坐在哪一个座位上，旁边都有一个人与他相邻，那么原来至少有多少人已经就座？

随堂练习4

一排10个座位，其中有些座位已经有人，小刚无论坐在哪一个座位

上，旁边都有一个人与他相邻，那么原来至少有多少人已经就座？ 二年级奥数第10讲——画图法解应用题【例5】二（1）班有学生25人，比二（2）班少4人，二（2）班比二（3）班多3人，三个班一共有学生多少人？

随堂练习5

苹果有30筐，香蕉比苹果多12筐，比芒果少12筐，三种水果一共有多少筐？

练习题：

1、二年一班22个小朋友排成一队去操场做操，从最前面数到丁丁是第9个，君君排在丁丁的后面，从队伍的最后往前数，君君排在第几个？

2、第一队的同学排成一排，排在东东前面的有6个小朋友，排在东东后面的有4个小朋友，第一队一共有几个小朋友？

3、小朋友们排成一队参观博物馆，从排头数起牛牛是第10个，从排尾数起妞妞是第18个，排在牛牛前面的就是妞妞，一共有多少个小朋友去参观博物馆？

第1页/共26页第十九节：典型应用题（四） 鸡兔同笼问题列表法和画图法【例1】鸡兔同笼，有10个头，26条腿，笑笑用取中列表法在下面填了一次就找出答案了。你怎么样使用表格法，求出鸡、兔各多少只呢？请解答。鸡的只数兔的只数腿的总条数55525430思路引导一只鸡有2条腿，一只兔子4条腿。已知鸡和兔子一共有10只，根据“鸡的只数×2＋兔的只数×4＝腿的总条数”用列表法计算。表中已经列出腿的总条数是30条，比26条多4条。把第2页/共26页一只鸡当作兔子，腿数就多算了2条。4÷2＝2（只），则鸡的只数需要加上2，兔的只数减去2，这样腿的总条数就是26条。正确解答：鸡的只数兔的只数腿的总条数55525430737×2＋3×4＝26答：鸡有7只，兔有3只。本题考查鸡兔同笼问题。要理解“把一只鸡当作兔子，腿数就多算了2条”，从而得出多算的4条腿是把2只鸡当作兔来算。【变式1】（2021五下·浙江丽水）1. 五年级1班48名同学去公园划船，每条大船限坐6人，每条小船限坐4人，他们一共租了10条船，每条船都坐满。大船租了几条？小船租了几条？（用列表法解决）总人数大船小船【例2】鸡、兔关在同一笼子里，共有10个头，28条腿，笼里有几只鸡几只兔？（用画图法）第3页/共26页思路引导我们用“○”表示头，画10个“○”；用“|”表示腿，鸡有两条腿，兔子有四条腿，鸡的腿数比兔子的少。先全画成鸡： 从图中可以看出，10只鸡只有20条腿，而条件说“共有28条腿”，显然少了28﹣20﹦8（条）腿，这样，在鸡图上一只加两条腿，把它变成兔子，8条腿添改4次即可。 正确解答：由图可知，有6只鸡，4只兔。答：笼里有6只鸡，4只兔。数据较小时，可以用画图法解答，画图时一定要注意结合题意，及时调整。【变式2】（2022六下·山西临汾）2. 一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子．车棚里放着自行车和三轮车共10辆，数数车轮共有26个．问自行车几辆，三轮车几辆？假设法【例3】鸡兔同关在一只笼里，共48个头，100只脚。问：鸡有多少只？兔有多少只？思路引导假设全是兔子，那么就有48×4＝192只脚，这就比已知100只脚多出了192－100＝92只脚，因为1只兔比1只鸡多4－2＝2只脚，由此即可求得鸡的只数，进而求得兔的只数。的第4页/共26页正确解答：假设全是兔子，则鸡的只数：（48×4－100）÷（4－2）＝92÷2＝46（只）兔子的只数：48－46＝2（只）答：鸡有46只，兔子有2只。解决这类问题的关键：理解假设之后，多出脚数与对应的鸡（或兔）的只数关系。此类题目可以假设全是鸡也可以假设全是兔。当假设全是鸡时，兔的只数＝（总腿数－总头数×2）÷2，鸡的只数＝总头数－兔的只数；当假设全是兔时，鸡的只数＝（4×总头数－总腿数）÷2，兔的只数＝总头数－鸡的只数。【变式3】3. 张洪正好用20元钱买了2元的邮票和5角的邮票，一共16张，问这两种邮票各有多少张？方程法【例4】鸡兔同笼，鸡比兔多10只，但鸡脚却比兔脚少60只，问鸡兔各多少只？思路引导解设兔有x只，则鸡有（10＋x）只，根据等量关系：兔的脚数－鸡的脚数＝60只，列方程解答即可。正确解答：解：设兔有x只，则鸡有（10＋x）只，4x－2（10＋x）＝604x－20－2x＝602x＝80x＝40第5页/共26页40＋10＝50（只）答：鸡有50只，兔有40只。解决此类问题关键是找到等量关系：兔的脚数－鸡的脚数＝60只，再根据等量关系列方程。【变式4】（2022六下·四川眉山）4. 现在有相同只数的鸡、兔同笼，已知兔脚比鸡脚多56只，问鸡、兔各有多少只？一、选择题5. 鸡兔同笼，有7个头，20条腿，鸡、兔各有几只？笑笑的弟弟采用猜测法，列表解决，从一只鸡开始尝试，一只一只增加，他一共要尝试（ ）次才能得到正确答案。鸡只数兔只数腿条数1626………………A. 3 B. 4 C. 5 D. 76. 鸡兔同笼，有20个头，70条腿，鸡与兔的只数比是（ ）。A. 3∶1B. 3∶2C. 1∶3D. 2∶37. 在池塘边，有几只青蛙正和鸭子们一起玩耍。数一数，共有15个头，48只脚，那么一共有（ ）只青蛙。A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题8. “鸡兔同笼”问题出自唐代的《孙子算经》，是我国古代的数学名题之一。书中：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”下面是六年级三位同学展示的不同方法：你理解他们的想法吗？（1）小军选择列表的方法：先假设鸡和兔的只数，再调整。请你根据小军的想法第6页/共26页补充表格，完成解答。鸡的只数兔的只数脚的总个数和94个脚比较171834＋72＝106（2）小强选择列方程：首先设鸡有x只，那么兔有（35－x）只。请你帮他列出方程：（ ）（只列方程不解答）（3）小梅选择假设的策略：假设35只全是鸡。（请你帮她写出剩下的算式）。第一步：35×2＝70（个）94－70＝24（个）第二步：（ ）第三步：（ ）答：鸡有（ ）只，兔有（ ）只。9. 鸡兔同笼，有头15个，脚50只．鸡（ ）兔（ ）．解决这个问题我运用了（ ）策略．10. 喜迎建党100周年，随州市某小学举行党史知识竞赛，共30道题，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案是正确的。每答对一题得4分，答错或者不答每题扣2分。张丽同学最后得分是84分，她答对了（ ）道题。11. 体育课上有30个同学在12张乒乓球桌上同时进行乒乓球单打和双打比赛，其中进行单打比赛的乒乓球桌有（ ）张。12. 李军参加答题比赛，答对一道题得10分，答错一道题扣5分，不可以不答，共10道题，他最终得70分。李军答对了（ ）道题。13. 鸡兔同笼，从上面数有8个头，从下面数有24条腿，问鸡、兔各有多少只？解：设兔有x只，则鸡有（ ）只。解决问题的方程是：（ ）＝24。三、解答题14. 鸡和猫一共有8只，它们的腿一共有22条。鸡和猫各有多少只？（按照下面的步骤画图找答案）（1）画8个圆，表示一共有8只动物。第7页/共26页（2）假设都是鸡，给每只动物画2条腿，画出的腿比22条少（ ）条。（3）一只猫比一只鸡多2条腿，给其中的（ ）只动物添上2条腿，画出的腿正好22条。（4）猫有（ ）只，鸡有（ ）只。15. 鸡兔同笼，头有12个，腿有34条。鸡和兔各有几只？方法一：（1）画12个圆，表示12只鸡，并且先给每只鸡添上2条腿。一只鸡比一只兔子少（ ）条腿，现在一共少了（ ）条腿，要在其中的（ ）只鸡上添上一共（ ）条腿，就有（ ）只兔，（ ）只鸡。（2）方法二：先假设鸡和兔子的只数一样多。再根据腿数量的多少进行调整。鸡的只数兔子的只数共有多少条腿与34条腿比较6616. 《镜花缘》是清代李汝珍所著的长篇小说，书中出现了一些有趣的数学问题。下面的题目是根据其中一个问题改编的，你能解决吗？楼上灯有两种：甲种灯下一个大球，下缀两个小球；乙种灯下一个大球，下缀四个小球。大球共三十六个，小球共一百二十个。问甲乙两种灯各有多少盏？17. 古诗中，五言绝句和七言绝句都是四句诗，五言绝句每句都是五个字，七言绝句每句都是七个字。磨头小学在诵读经典活动中，给每位同学选定了一些诗，已知五言绝句和七言绝句共20首，五言绝句和七言绝句共464个字（题目除外），请你算一算两种诗各多少首？18. “夕阳红”活动中心有象棋和跳棋共24副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，正好可以供100人进行活动。“夕阳红”活动中心的象棋和跳棋各有多少副？19. 百货公司委托货运站托运240箱玻璃，合同规定每箱运费20元，若损失1箱，除不给运费外，货运站还要赔偿损失100元。货物到达目的地后，货运站获得第8页/共26页运费4440元。损失的玻璃有多少箱？20. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代著名数学家程大位，在其中有这样的记“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”翻译过来是100个和尚吃100个馒头。大和尚一人吃3个，小和尚3人吃一个。求大、小和尚各多少人？第9页/共26页第10页/共26页第十九节：典型应用题（四） 鸡兔同笼问题列表法和画图法【例1】鸡兔同笼，有10个头，26条腿，笑笑用取中列表法在下面填了一次就找出答案了。你怎么样使用表格法，求出鸡、兔各多少只呢？请解答。鸡的只数兔的只数腿的总条数55525430思路引导一只鸡有2条腿，一只兔子4条腿。已知鸡和兔子一共有10只，根据“鸡的只数×2＋兔的只数×4＝腿的总条数”用列表法计算。表中已经列出腿的总条数是30条，比26条多4条。把一只鸡当作兔子，腿数就多算了2条。4÷2＝2（只），则鸡的只数需要加上2，兔的只数减第11页/共26页去2，这样腿的总条数就是26条。正确解答：鸡的只数兔的只数腿的总条数55525430737×2＋3×4＝26答：鸡有7只，兔有3只。本题考查鸡兔同笼问题。要理解“把一只鸡当作兔子，腿数就多算了2条”，从而得出多算的4条腿是把2只鸡当作兔来算。【变式1】（2021五下·浙江丽水）【1题答案】【答案】大船4条，小船6条；见详解【解析】【分析】根据每条大船限坐人数×大船的条数＋每条小船限坐人数×小船的条数＝总人数，列表解答即可。【详解】（1）0＋4×10＝40（人）（2）6×1＋4×9＝6＋36＝42（人）（3）6×2＋4×8＝12＋32＝44（人）（4）6×3＋4×7＝18＋28＝46（人）（5）6×4＋4×6第12页/共26页＝24＋24＝48（人）总人数大船小船400104219442846374846答：大船租了4条，小船租了6条。【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是根据题意进行分析，填写表格进而得出结论。例2】鸡、兔关在同一笼子里，共有10个头，28条腿，笼里有几只鸡几只兔？（用画图法）思路引导我们用“○”表示头，画10个“○”；用“|”表示腿，鸡有两条腿，兔子有四条腿，鸡的腿数比兔子的少。先全画成鸡： 从图中可以看出，10只鸡只有20条腿，而条件说“共有28条腿”，显然少了28﹣20﹦8（条）腿，这样，在鸡图上一只加两条腿，把它变成兔子，8条腿添改4次即可。 正确解答：【第13页/共26页由图可知，有6只鸡，4只兔。答：笼里有6只鸡，4只兔。数据较小时，可以用画图法解答，画图时一定要注意结合题意，及时调整。【变式2】（2022六下·山西临汾）【2题答案】【答案】共有6辆三轮车，4辆自行车。【解析】【分析】按照鸡兔同笼问题解答．【详解】发挥想像力和创造力，你可以画一个简图代表车身，见图（1）、（2）、（3）．① 先画10个车身： ②在每个车身下配上两个轮子，它就成了自行车： ③数一数共20个车轮，比题中给出的轮子数少26-20=6个轮子，在自行车下面添轮子，每添一个轮子，这个自行车就成了三轮车．边添边凑数，凑出26个轮子出来． 最后数一数，共有6辆三轮车，4辆自行车．注意，用这种画图凑数法解题，很直观，也比较快，为了使解题速度更快，可以把三个步骤合起来，就能得出答案．假设法【例3】鸡兔同关在一只笼里，共48个头，100只脚。问：鸡有多少只？兔有多少只？第14页/共26页思路引导假设全是兔子，那么就有48×4＝192只脚，这就比已知的100只脚多出了192－100＝92只脚，因为1只兔比1只鸡多4－2＝2只脚，由此即可求得鸡的只数，进而求得兔的只数。正确解答：假设全是兔子，则鸡的只数：（48×4－100）÷（4－2）＝92÷2＝46（只）兔子的只数：48－46＝2（只）答：鸡有46只，兔子有2只。解决这类问题的关键：理解假设之后，多出脚数与对应的鸡（或兔）的只数关系。此类题目可以假设全是鸡也可以假设全是兔。当假设全是鸡时，兔的只数＝（总腿数－总头数×2）÷2，鸡的只数＝总头数－兔的只数；当假设全是兔时，鸡的只数＝（4×总头数－总腿数）÷2，兔的只数＝总头数－鸡的只数。【变式3】【3题答案】【答案】2元的邮票8张；5角的邮票8张【解析】【分析】先根据进率：1元＝10角，把5角换算成0.5元；已知2元的邮票和5角的邮票，一共16张，设2元的邮票有x张，则0.5元的邮票有（16－x）张；根据“单价×数量＝总价”可得等量关系：每张2元的邮票×张数＋每张0.5元的邮票×张数＝买2元的邮票和5角的邮票的总价钱，据此列出方程，并求解。【详解】5角＝0.5元解：设2元的邮票有x张，则0.5元的邮票有（16－x）张。2x＋0.5（16－x）＝202x＋8－0.5x＝201.5x＋8＝201.5x＋8－8＝20－8