高二数学立体几何(1)

1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间点、直线、平面的位置关系（1）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

2014-2015年高二数学知识点与专题精讲：立体几何证明（一）直线与平面平行主编：宁永辉 主编单位：永辉中学生学习中心一、直线与面的平行：1、判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么平面外的这条直线与这个平面平行。

分析：如下图所示：步骤：如图，①在平面α中找一条直线b ；②证明平面外的直线a 与平面α上直线b 平行。

本质：证明一次直线与面平行的过程⇔证明一次直线与直线平行的过程。

注意事项：立体几何图形在平面中作图为了体现立体感是用“斜二测法”进行作图。

“斜二测法”作图方法如下：①在原立体图形的底面建立一个平面直角坐标系；②在白纸上建立一个y x ,轴夹角为045或0135的斜坐标系；③原图形中平行于y x ,轴的线，在新的图形中仍然平行于y x ,轴；④原图形中平行于x 轴的线，在新的图形中长度不变；原图形中平行于y 轴的线，在新的图形中长度变为原来一半。

注意“斜二测法”中的第③条：“原图形中平行于y x ,轴的线，在新的图形中仍然平行于y x ,轴。

”可以看出，原图中相互平行的直线，用“斜二测法”作出的图形仍相互平行。

所以：如果在平面已经画出的直线中存在一条平行于平面外的直线，可以用眼睛进行目测。

2、证明两条直线平行的方法：方法一：在三角形中，三角形的中位线平行于底边。

（1）、如下图所示：在ABC ∆中，E D ,分别为边AC AB ,的中点，证明：BC DE //【证明】：因为：E D ,分别为边AC AB ,的中点所以：21==AC AE AB AD ，BAC DAE ∠=∠ADE ∆⇒∽ABC ∆ 因为：ADE ∆∽ABC ∆所以：DE BC AB AD BC DE BC DE 221,//=⇒== 在三角形中，中位线平行于底边，而且中位线等于底边的一半。

（2）、三角形中位线平行于底边在立体几何图形中的应用：两种提示条件：①题目中出现中点信息，例如：BC AB =（这种已知条件有两种可能：第一种B 为线段AC 中点；第二种ABC ∆为一个等腰三角形）或者B 为线段AC 中点，都为常见的已知中点的信息。

高二数学立体几何试题答案及解析1.（本题满分10分）把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为xcm的相等的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？【答案】１６０００【解析】设长方体高为xcm，则底面边长为（60－2x）cm．（0<x<30）…1分长方体容积（单位：），…3分…5分令解得x＝10，x＝30（不合题意合去）于是…7分在x＝10时，V取得最大值为…10分2.已知三棱锥满足，则点在平面上的射影是三角形的心．【答案】外【解析】，设点在平面上的射影是．则，所以是外心．【考点】射影定理3.（本题满分16分，第（1）小题7分，第（2）小题9分）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等．铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2．（单位：mm，加工中不计损失）．（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）观察铆钉的面积，钉身为圆柱形的侧面积，加半球的底面积加半球面的面积；（2）将钉身圆柱捶打成钢板厚的圆柱加一个半球形的帽，所以利用等体积建立方程，求的钉身的长度．试题解析：解：设钉身的高为，钉身的底面半径为，钉帽的底面半径为，由题意可知：圆柱的高圆柱的侧面积半球的表面积所以铆钉的表面积（）（2）设钉身长度为，则由于,所以，解得答：钉身的表面积为，钉身的长度约为．【考点】1．组合体的表面积；2．组合体的体积；3．等体积．4.已知某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100 cm3C．92cm3D．84cm3【答案】【解析】由三视图可知原几何体如图所示：故几何体的体积，答案选B．【考点】空间几何体的三视图与体积5.直三棱柱中，，，、分别为、的中点．（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系．设,计算与的数量积即可得到（2）同理可计算，利用向量的夹角的余弦公式可得向量与的余弦值，亦即异面直线与所成角的余弦值试题解析：由题知平面，，以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系．设，，，，，，，，，，，所以；（2），设异面直线与所成角为，则有【考点】向量法解决空间几何中的直线与直线垂直和异面直线所成的角．6.下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面和平面有不同在一条直线上的三个交点【答案】C【解析】A如果三点在一条直线上，则不能确定一个平面；B四边形可以为空间中的三棱锥；C梯形两平行边确定一个平面；D平面和平面相交所有的点都在交线上，所以三个点一点在同一条直线上，故选择C【考点】空间点、线、面7.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为1的圆锥的半个圆锥，故该几何体的体积为，故选D．【考点】空间几何体的三视图．8.在长方体中，，，，则与所成角的余弦值为．【答案】【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则，，则与所成角的余弦值为【考点】空间向量求异面直线所成角9.正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为，则三棱锥Ｏ－ＡＢ1Ｄ1的体积为_____________.【答案】【解析】【考点】棱锥体积10.设为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件为（）．A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】D【解析】一条直线垂直于两个互相垂直的平面的交线，则这条直线与这两个平面中的某一平面可能垂直也可能不垂直，所以选项A错误；同理，可说明B、C不正确；若，，，则∥，,所以。

高二数学立体几何试题答案及解析1.如图所示，已知PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB，Ｍ是PA的中点，则二面角M-DC-A的大小为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵底面，∴而底面是正方形，∴∴面，则∴就是二面角的平面角在中，∵，是中点∴，即二面角的大小为，故选C2.如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值为()【答案】B【解析】略3.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面．（1）求证：平面；（2）若，，求二面角的大小．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】（1）要证线与面垂直，即证垂直于平面内的两条相交直线，根据已知的线与面垂直，得到线性垂直，得证；（2）法一：根据前问所证，平面,易证底面是正方形，所以可以根据三垂线定理做出二面角的平面角，即设的交点为，过点作于点，连，易证为二面角的平面角，在直角三角形内求得角；法二：以为原点建立平面直角坐标系，根据向量法，求两个平面的法向量，利用法向量夹角的余弦值计算二面角的余弦值．试题解析：解：（1）证明：∵，∴．同理由，可证得．又，∴．（2）解法一：设的交点为，过点作于点，连易证为二面角的平面角由（1）知为正方形，在中，，二面角的大小为解法二：分别以射线，，为轴，轴，轴的正半轴建立空间直角坐标系．由（1）知，又，∴．故矩形为正方形，∴．∴．∴．设平面的一个法向量为，则，即，∴，取，得．∵，∴为平面的一个法向量．所以．设二面角的平面角为，由图知，则二面角的大小为【考点】1．线与面垂直的判定；2．二面角的计算；3．几何法与向量法求二面角．4.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为．【答案】【解析】设,那么平面,在直角三角形中，,,所以,所以四棱锥的体积是．【考点】1．球与几何体；2．体积的计算5.（本小题12分）已知三棱柱中，底面，，，分别为的中点．（1）求证：//平面；（2）求证：；（3）求三棱锥A-BCB的体积．1【答案】（1）见解析：（2）见解析；（3）【解析】（1）欲证//平面，AB中点G，连DG，CG，只需证明是平行四边形，∥即可；（2）证明面面垂直采用证明线面垂直，通过证明因为底面为等腰三角形，，又因为，所以可证得；（3）转化顶点所求三棱锥的体积为，即可求得试题解析：（I）取AB中点G，连DG，CG，在三棱柱中，底面ABC ，是矩形．∵D，E分别为AB1，CC1的中点，∴，是平行四边形，∥∵GC平面ABC，平面ABC，∴DE//平面ABC ．（II）三棱柱中，底面ABC，∴中点，又，∴（III）由（II）得，在，，【考点】1．证明线面平行；2．证明面面垂直；3．求体积6.在空间直角坐标系中，点与点之间的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由空间距离公式可知：【考点】空间两点间距离7.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，给出下列结论：①若∥，则∥；②若∥，则∥；③若⊥，则⊥；④若⊥，则⊥；其中正确结论的个数是( )A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】若两个平面内分别有两条直线平行，则这两个平面不一定平行，所以命题•错误；若两个平面平行，则两个平面内的直线可能平行或异面，所以命题‚错误；若两个平面内分别有两条直线垂直，则这两个平面不一定垂直，所以命题ƒ错误；若两个平面垂直，则两个平面内的直线可能平行、垂直或异面，所以命题④错误；【考点】直线与直线、平面与平面的平行与垂直的命题判断．8.已知，，则的最小值．【答案】【解析】，因此当时取最小值【考点】空间向量模9.截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台【答案】C【解析】圆柱的截面可以是矩形，圆锥的截面可以是三角形，圆台的截面可以是梯形，值有球的截面都是圆，故选C．【考点】几何体的截面图形．10.一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．B．C．与所成的角为D．与相交【答案】C【解析】把展开图还原为立体图形，如下图正方体，可见与是异面直线，它们甩成的角为60°．【考点】多面体的展开图，两直线的位置关系．11.在三棱锥中，已知，则三棱锥外接球的表面积为．【答案】【解析】设中点为，由于，则点到点的距离相等，因此是三棱锥外接球的直径，由题意，是等边三角形，，所以，．【考点】几何体与外接球，球的表面积．【名师】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．12.如图，在体积为2的三棱锥侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G使，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥的体积等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】为了便于解析，可设三棱锥为正三棱锥，为正三棱锥的高；为正三棱锥有高，因为底面相同，则它们的体积比为高之比，已知三棱锥的体积为2，所以三棱锥的体积为：（1），由题意可知，且，所以由平行得到，所以，（面BCG所在的平面图如左下角简图），同理，，则，所以，那么，亦即，设，那么，则，而，所以，则，所以，所以，又，所以，（2），且，所以：（3），由（2）×（3）得到：代入到（1）得到：三棱锥的体积就是．【考点】1．简单几何体体积；2．三角形相似比的应用．【方法点晴】此题主要考查三角形相似比在求简单几何体体积中应用方面的内容，属于中高档题．根据题意可借助正三棱锥（或正四面体）模型来帮助思考，值得注意的是所求三棱锥体积的高与原三棱锥的高往往是不在同一直线上的，当然这两个高的比值也是解决此问题的关键点，需要借助这两高与垂线之间的比值进行转换，在此过程中多次使用了相似三角形的相似比，从而问题可得解决．13.如图，棱锥的底面是矩形，⊥平面，．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P—CD—B的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．【答案】（1）见解析；（2）450（3）【解析】（1）要证明BD⊥平面PAC，只需证BD垂直于平面PAC两条相交直线即可，由ABCD为正方形，可得BD⊥AC，易得PA⊥平面ABCD，可得BD⊥PA ，结论得证．（2）由PA⊥面ABCD可得AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，由三垂线定理的逆定理可得 CD⊥PD，可得∠PDA为二面角P—CD—B的平面角．易得∠PDA=450．（3）由，求得点C到平面PBD的距离试题解析：（1）在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC．∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，∴BD⊥PA ．又∵PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC．（2）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角．又∵PA=AD，∴∠PDA=450．（3）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=，设C到面PBD的距离为d，由，有，即，得【考点】线面垂直，二面角及点到平面的距离．【方法点睛】立体几何解答题的一般模式是首先证明线面位置关系（一般考虑使用综合几何方法进行证明），然后是与空间角有关的问题，综合几何方法和空间向量方法都可以，但使用综合几何方法要作出二面角的平面角，作图中要伴随着相关的证明，对空间想象能力与逻辑推理能力有较高的要求，而使用空间向量方法就是求直线的方向向量、平面的法向量，按照空间角的计算公式进行计算，也就是把几何问题完全代数化了，这种方法对运算能力有较高的要求．两种方法各有利弊，在解题中可根据情况灵活选用．14.直三棱柱中，，分别是的中点，，为棱上的点．（1）证明：；（2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由．【答案】（1）详见其解析；（2）存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为．【解析】（1）首先根据线面垂直的判定定理和性质定理可得，然后以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，并写出各点的坐标，再由三点共线即可求出点坐标，最后计算并验证其是否为0即可得出所证的答案；（2）首先设出面的法向量为，然后由即可得出，又因为面的法向量，再由公式即可得出的值，进而得出点的坐标，即可得出所求的结果．试题解析：（1）证明：∵，，又∵∴⊥面．又∵面，∴，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有，设且，即,则，∵，所以；…6分（2）结论：存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为理由如下：由题可知面的法向量，设面的法向量为，则，∵，∴，即，令，则．∵平面与平面所成锐二面角的余弦值为，∴，即，解得或（舍），所以当为中点时满足要求．【考点】1、线线垂直的判定定理；2、空间向量法求解立体几何问题．15.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的高为______________．【答案】【解析】设圆锥母线为，底面圆的半径，圆锥侧面积，所以，又半圆面积，所以，，故，所以答案应填：．【考点】1、圆锥侧面展开图面积；2、圆锥轴截面性质．16.已知一个高度不限的直三棱柱，，点是侧棱上一点，过作平面截三棱柱得截面，给出下列结论：①是直角三角形；②是等边三角形；③四面体为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体．其中有不可能成立的结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】本题考察在空间点线面的位置关系，在直三棱柱中，数形结合，作图求解，①和②找出一个例子即可证明其存在性，③需分类讨论，利用直三棱柱的性质以及底面三边长AB=4，BC=5，CA=6条件判断．如图，做直三棱柱ABC-A1B1C1，AB=4，BC=5，CA=6，（1）不妨取AD=6，AE=10，DE=8，则△ADE是直角三角形，①可能成立；（2）不妨令AD=AE=DE=a（a>6），则△ADE是等边三角形，②可能成立；（3）假设四面体APDE为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体，当A为直角顶点时，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，PA⊥底面ABC，则 E，D分别与C，B重合，此时，∠EAD不是直角，与假设矛盾，假设不成立，当P为直角顶点时，可得PD∥AB，PE∥AC，由等角定理知则∠EPD不可能是直角，与假设矛盾，假设不成立，当E或D点为直角顶点时，不妨选E为直角顶点，则DE⊥EP，DE⊥EA，EP∩EA═A，EP⊂平面，EA⊂平面，则平面与平面垂直，则直三棱柱中，可证∠ACB为二面角的平面角，∠ACB═90°，与题意矛盾，假设不成立．综上③错误．故选：C．【考点】命题的真假判断17.如图，在直三棱柱中，，，，点分别在棱上，且．（1）求三棱锥的体积;（2）求异面直线与所成的角的大小．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）从图形可以看出，三棱锥中，平面，所以三棱锥的体积比较容易求，利用等积法即可求出三棱锥的体积；（2）连接，由条件知，所以就是异面直线与所成的角，解三角形知．试题解析：（1）（2）连接，由条件知，所以就是异面直线与所成的角．在中，，所以，所以异面直线与所成的角为．【考点】1、三棱锥的体积；2、异面直线所成的角；3、等积法．18.若向量，，则A．B．C．D．【答案】D【解析】因为向量，，所以，排除B；，所以，应选D．，A错，如果则存在实数使，显然不成立，所以答案为D．【考点】向量的有关运算．19.在直三棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在直三棱柱中，,可以证得，因此直线与平面所成角为，在中，，因此【考点】直线与平面所成的角；20.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱与一个三棱锥组成的，其直观图如下：所以该几何体的体积为：．故选A．【考点】1．三视图；2．几何体的体积．21.教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在直线（）A．垂直B．异面C．平行D．相交【答案】A【解析】由题意得可以分两种情况讨论：①当直尺所在直线与地面垂直时，则地面上的所有直线都与直尺垂直，则底面上存在直线与直尺所在直线垂直；②当直尺所在直线若与地面不垂直时，则直尺所在的直线必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直，则得到地面上总有直线与直尺所在的直线垂直．∴教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线与直尺所在直线垂直． 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系22. （2015秋•淮南期末）已知正方体的棱长为1，则正方体的外接球的体积为 ． 【答案】．【解析】正方体的外接球的直径是正方体的体对角线，由此能求出正方体的外接球的体积． 解：∵正方体棱长为1， ∴正方体的外接球的半径R=， ∴正方体的外接球的体积V=（）3=．故答案为：．【考点】球的体积和表面积．23. 在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于 （ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】取的中点，连接，，那么异面直线所成角就是，根据勾股定理，，，所以，故选B ．【考点】异面直线所成角24. 如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AA 1=4，AB=5，点D 是AB 的中点．（1）求证：AC ⊥BC 1；（2）求证：AC 1∥平面CDB 1． 【答案】见解析【解析】（1）利用ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱，证明CC 1⊥AC ，利用AB 2=AC 2+BC 2，说明AC ⊥CB ，证明AC ⊥平面C 1CB 1B ，推出AC ⊥BC 1．（2）设CB 1∩BC 1=E ，说明E 为C 1B 的中点，说明AC 1∥DE ，然后证明AC 1∥平面CDB 1． 解：（1）∵ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AC∵AC=3，BC=4，AB=5， ∴AB 2=AC 2+BC 2，∴AC ⊥CB 又C 1C∩CB=C ，∴AC ⊥平面C 1CB 1B ，又BC 1⊂平面C 1CB 1B ， ∴AC ⊥BC 1（2）设CB1∩BC1=E，∵C1CBB1为平行四边形，∴E为C1B的中点又D为AB中点，∴AC1∥DEDE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．25.如图，在直三棱锥中，底面是正三角形，点是中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由于平面为直棱柱的侧面，所以可以考虑变换顶点，利用面面垂直的性质性质定理作，则面，由棱锥的体积公式即可求得其体积；（2）要证明线线垂直可考虑证线面平行，取的中点，连接，由于底面是正三角形，，可证得，在平面由平面几何的知识可证得，所以面由线面垂直的性质即可证得.试题解析：（1）过作，直三棱柱中面，，面，是高，（2）取的中点，连接底面是正三角形，矩形中，，中面.【考点】空间直线与平面的垂直关系及棱锥的体积.26.如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则直线与平面所成角的正切值为________；异面直线与所成角的余弦值是________．【答案】，【解析】由两两垂直，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，所以，其中平面的一个法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以；又向量与所成角的余弦值为，又，所以异面直线与所成角的余弦值是．【考点】空间向量的运算及空间角的求解．27.平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，则的长为 .【答案】【解析】由题意得，在平行六面体中，因为，，，且，所以，所以.【考点】空间向量的运算.28.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析:设长方体的高为1，根据B1C和C1D与底面所成的角分别为600和450，分别求出各线段的长，将C1D平移到B1A，根据异面直线所成角的定义可知∠AB1C为异面直线B1C和DC1所成角，利用余弦定理求出此角即可．解：设长方体的高为1，连接B1A、B1C、AC∵B1C和C1D与底面所成的角分别为600和450，∴∠B1CB=60°，∠C1DC=45°∴C1D=，B1C=，BC=，CD=1则AC=∵C1D∥B1A∴∠AB1C为异面直线B1C和DC1所成角由余弦定理可得cos∠AB1C=故选A【考点】异面直线及其所成的角．29.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 .【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，，解得，根据勾股定理，圆锥的高等于，所以圆锥的体积.【考点】旋转体的体积30.已知A、B、C三点不共线，若点M与A、B、C四点共面, 对平面ABC外一点O，给出下列表达式：其中x，y是实数，则【答案】【解析】A、B、C三点不共线，点M与A、B、C四点共面，则对平面ABC外一点O，满足，所以，所以【考点】空间向量的基本定理及其意义31.在正方体中，、分别是、的中点。

空间向量及其运算考点一概念的辨析【例1】（2020·全国高二课时练习）下列命题中,假命题是（）A．同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小B．两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等【答案】D【解析】A.向量是有向线段,不能比较大小.真命题.B.两向量相等：方向相同,模长相等.起点相同,则终点也相同.真命题.C.零向量：模长为0的向量.真命题.D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.故选：D.【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：①若向量,a b共线,则,a b所在的直线平行；②若向量,a b所在的直线是异面直线,则,a b一定不共面；③若三个向量,a b c ，两两共面,则,a b c ，三个向量一定也共面；④已知三个向量,a b c ，,则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道,两向量共线有可能两向量所在的直线重合,所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内,所以此命题错误；对于③：若三个向量,,a b c 两两共面,这三个向量有可能不共面,所以此命题错误；对于④：根据空间向量的基本定理知道,这三个向量要不共面才可以,所以此命题错误,所以选A 2.（2020·全国高二课时练习）在下列命题中： ①若a 、b 共线,则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线,则a 、b 一定不共面； ③若a 、b 、c 三向量两两共面,则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ,则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】①若a 、b 共线,则a 、b 所在的直线平行或重合；所以①错；②因为向量是可以自由移动的量,因此即使a 、b 所在的直线是异面直线,a 、b 也可以共面；所以②错； ③若a 、b 、c 三向量两两共面,因为两平面的关系不确定,因此a 、b 、c 三向量不一定共面；所以③错； ④若三向量a 、b 、c 共面,若向量p 不在该平面内,则向量p 不能表示为p xa yb zc =++,所以④错. 故选：A.考法二 空间向量的线性运算【例2】2020·江西赣州.高二期中（理））在四面体ABCD 中,点F 在AD 上,且2AF FD =,E 为BC 中点,则EF 等于（ ）A ．1223EF AC AB AD →→→→=+-B ．112223EF AC AB AD →→→→=--+C ．112223EF AC AB AD →→→→=-+D ．112223EF AC AB AD →→→→=-+-【答案】B【解析】在四面体ABCD 中,点F 在AD 上,且2AF FD =,E 为BC 中点,所以EF EB BA AF →→→→=++1223AB AC AB AD →→→→⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭112223AC AB AD →→→=--+,即112223EF AC AB AD →→→→=--+. 故选：B.【一隅三反】1．（2020·南昌市八一中学）如图,空间四边形OABC 中,,,OA a OB b OC c ===,且2OM MA =,BN NC =,则MN =（ ）A ．221332a b c ++ B ．111222a b c +- C ．211322a b c -++ D ．121232a b c -+ 【答案】C【解析】因为MN ON OM =-,又因为()()2211,3322a OM OA ON OB OC cb =+===+,所以211322MN a b c =-++.故选：C 2．（2020·宝山.上海交大附中高二期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中,M 为11A C 与11B D 的交点,若,AB a AD b ==,1AA c =,则与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++ B ．1122a b c --+ C ．1122a b c -+ D ．1122-++a b c 【答案】D【解析】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+11112AA B D =+()1111112AA B A A D =++()112AA AB AD =+-+因为,AB a AD b ==,1AA c =,则()112AA AB AD +-+1122a b c =-++即1122BM a b c =-++, 故选：D.3．（2019·张家口市宣化第一中学高二月考）如图,在空间四边形ABCD 中,设E ,F 分别是BC ,CD 的中点,则AD +12（BC -BD ）等于（ ）A ．ADB ．FAC ．AFD ．EF 【答案】C【解析】BC -BD ＝DC ,11()22BC BD DC DF -==,∴AD +12（BC -BD ）AD DF AF =+=．故选C ．考点三 空间向量的共面问题【例3】（2020·全国高二）在下列条件中,使M 与A ,B ,C 一定共面的是（ ） A ．OM OA OB OC =-- B ．111532OM OA OB OC =++C ．0MA MB MC ++=D ．0OM OA OB OC +++=【答案】C【解析】对于A 选项,由于11111--=-≠,所以不能得出,,,M A B C 共面. 对于B 选项,由于1111532++≠,所以不能得出,,,M A B C 共面. 对于C 选项,由于MA MB MC =--,则,,MA MB MC 为共面向量,所以,,,M A B C 共面.对于D 选项,由0OM OA OB OC +++=得OM OA OB OC =---,而11131---=-≠,所以不能得出,,,M A B C 共面.故选：C【一隅三反】1．（2020·全国高二）O 为空间中任意一点,A ,B ,C 三点不共线,且3148OP OA OB tOC =++,若P ,A ,B ,C 四点共面,则实数t ＝______． 【答案】18【解析】P ,A ,B ,C 四点共面,且3148OP OA OB OC t =++,31148t ++=,解得18t =.故答案为: 182．（2020·全国高二）已知点M 在平面ABC 内,并且对空间任意一点O ,有1133OM xOA OB OC =++,则x＝________. 【答案】13【解析】已知1133OM xOA OB OC =++且M,A,B,C 四点共面, 则11133x ++= ,解得x=133．（2019·随州市第一中学高二期中）空间A B C D 、、、四点共面,但任意三点不共线,若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD =--,则实数x 的值为（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A【解析】因为空间A B C D 、、、四点共面,但任意三点不共线,对于该平面外一点P 都有5133PA PB xPC PD =--,所以51133x --=,解得13x =.故选A 4．（2020·全国高二课时练习）已知平行四边形ABCD 从平面AC 外一点O 引向量．,OE k OA OF k OB →→→→==,,OG k OC OH k OD →→→→==．求证：四点E ,F ,G ,H 共面【答案】证明见解析 【解析】∵,OE k OA OF k OB →→→→==；∴||OE OFk OA OB==； EF //AB ,且EF ＝|k |AB ；同理HG //DC ,且HG ＝|k |DC ,AB ＝DC ； ∴EF //HG ,且EF ＝HG ； ∴四边形EFGH 为平行四边形； ∴四点E ,F ,G ,H 共面.考点四 空间向量的数量积【例4】（2020·全国高二课时练习）已知平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中,AB ＝4,AD ＝3,AA ′＝5,∠BAD ＝90°,∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.（1）求AC ′的长；（如图所示） （2）求AC '与AC 的夹角的余弦值． 【答案】（1（2）10【解析】（1）可得AC '＝'AC CC +＝'AB AD AA ++,2AC '＝2AB AD AA '++＝22AB AD AA '+++2（AB AD AB AA AD AA ''⋅+⋅+⋅）＝42+32+52+2（4×3×0+4×1153522⨯+⨯⨯）＝85 故AC ′的长等于AC'＝（2）由（1）可知AC '＝AB AD AA '++,AC'＝故AC AC '⋅＝（AB AD AA '++）⋅（AB AD +） ＝222AB AB AD AD AA AB AA AD ''+⋅++⋅+⋅ ＝2211424303545322+⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯＝852又AC ＝()AB AD +＝222AB AB ADAD +⋅+＝ 5故AC '与AC 的夹角的余弦值＝AC ACAC AC'⋅'⋅＝85=10【一隅三反】1．（2019·宁夏贺兰县景博中学高二月考（理））平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量1AB,AD,AA 两两的夹角均为60°,且|AB |=1,|AD |=2,|1AA |=3,则|1AC |等于( ) A ．5 B ．6 C ．4 D ．8【答案】A【解析】在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中有,11AC AB AD CC =++=1AB AD AA ++ 所以有1AC =1AB AD AA ++,于是有21AC =21AB AD AA ++21AC =2220001112cos602cos602cos60AB AD AA AB AD AB AA AD AA +++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=25所以15AC =,答案选A2．（2020·延安市第一中学高二月考（理））四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为矩形,2AB =,4=AD ,16AA =,1160A AB A AD ∠=∠=,则1AC 的长为（ ）A ．B ．46C ．D ．32【答案】C【解析】由11AC AC CC =+,2222211111()2AC AC AC CC AC AC CC CC ==+=+⋅+.由底面ABCD 为矩形得；241620AC =+=,2136CC =,另；1160A AB A AD ∠=∠=,1122()AC CC AB BC CC ⋅=+⋅,01126cos606,12AB CC BC CC ⋅=⨯⨯=⋅=21120363692,223AC AC =++==3．（2020·四川雨城�雅安中学高二月考（理））若空间四边形OABC 的四个面均为等边三角形,则cos ,OABC 的值为（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．0【答案】D【解析】依题意空间四边形OABC 的四个面均为等边三角形,设棱长均为a . 而BC OC OB =-,则()22cos cos033OA OC OB OA OC OA OB a a ππ⋅-=⋅-⋅=⋅-⋅=所以()cos ,0OA OC OB OA BC OA BC OA BCOA BC⋅-⋅===⋅⋅.故选：D4．（2020·全国高二课时练习）.1BB ⊥平面ABC ,且△ABC 是∠B ＝90°的等腰直角三角形,▱A 11B A B 、▱B 11B C C 的对角线都分别相互垂直且相等,若AB ＝a ,求异面直线1BA 与AC 所成的角.【答案】60° 【解析】如图所示.因为11,BA BA BB AC AB BC =+=+故()()1111BA AC BA BB AB BC BA AB BA BC BB AB BB BC ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ 因为AB ⊥BC ,BB 1⊥AB ,BB 1⊥BC ,故2110,0,0,AB BC BB AB BB BC BA AB a ⋅=⋅=⋅=⋅=-11 故21BA AC a ⋅=- 又111,BA AC BA AC cos BA AC ⋅=⋅⋅故211,2cos BA AC ==-. 而[]1,0,BA AC π∈,故可得1,120BA AC =︒<>, 又∵异面直线所成的角是锐角或直角, ∴异面直线BA 1与AC 成60°角.。

立体几何复习一1．线线关系有__________；线面关系有____________；面面关系有________________. 平行于同一直线的两直线_______________； 平行于同一直线的两平面_______；平行于同一平面的两直线_______________； 平行于同一平面的两平面_______；垂直于同一直线的两直线_______________； 垂直于同一直线的两平面_______；垂直于同一平面的两直线_______________； 垂直于同一平面的两平面_______；2．若m ，l 是异面直线，那么过空间中一点，且与m ，l 都平行的平面有____个；3．判断：①a //b ，b 在α内，则a //α； ②a ⊥b ，a ⊥c ，b ，c 在α内，则b //c ；③a ⊥b ，b //c ，a ⊥c ； ④a ⊥α，b ⊥α，a //b⑤a //α，a 平行α内所有直线； ⑥a //α，b α⊂，a //b ；⑦a ⊥α，a 垂直α内所有直线； ⑧a ⊥α，b α⊂，a ⊥b4．与空间四边形四个顶点距离相等的平面有________个5．平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为___________.6．自二面角的一个面上的一点分别引另一个平面和公共棱的垂线段，它们的长分别为53和10，则二面角的大小为_________.7．若二面角内的一点到两个面．的距离分别为22，4，到棱的距离是42，则该二面角的大小为_____. 若二面角内的一点到两个平面．．的距离分别为22，4，到棱的距离是42，则该二面角的大小为____.8．一山坡的倾斜角是30︒，如果在山坡上沿着一条与坡底线成45︒角的直线前进1km ，则此时距坡底的距离是______.9．在空间四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC=BD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF 与AC 所成角的大小是_______.10．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=3，AD=2，AA 1=1，如果一条绳子沿着长方体的表面从点A 拉到C 1，那么绳子的最短长度是_______.11．已知ABB 1A 1是圆柱的轴截面，AA 1=a ，AB=43a ，P 是BB 1的中点，一只小虫沿圆柱的侧面从圆柱内的A 1爬到圆柱外的P ，则小虫爬过的最短路程是________.12．在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C=3，表面积是16，则其体积是_______.13．若正四棱台高为4，上底边长为4，下底边长为10，则该棱台的表面积是__________.14．若斜棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积是S ，AA 1到此侧面的距离为a ，则该棱柱体积__.15．若圆锥的轴截面顶角是150︒，母线长为4，则过顶点的截面面积最大是________.16．已知某斜棱柱的直截面周长为8，面积是5，高为4，侧棱与底面成45︒角，则该斜棱柱的侧面积是____，体积是_____.。

高二立体几何数学讲义（一）一、空间几何体的结构特征及三视图和直观图知识点回顾1.空间几何体的结构特征2.空间几何体的三视图三视图：用得到，这种投影下与投影面的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是的.三视图包括、、.3.空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用画法来画，基本规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为，z′轴与x′轴和y′轴所在平面.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中. 平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中，平行于y轴的线段长度在直观图中.巩固练习1.下列有关棱柱的命题中正确的是()A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱D.棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等2.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是()A.圆柱B.圆锥C.球体D.圆柱，圆锥，球体的组合体3.如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是() A.①② B.①③ C.①④ D.②④4.如图所示，图①、②、③是图④表示的几何体的三视图，其中图①是，图②是，图③是(说出视图名称).5.下面有四个命题：(1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；(2)三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥；(3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；(4)顶点在底面上的射影是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4二、平面的基本性质1.下列命题：①两两相交的三条直线共面；②两条相交直线上的三个点可以确定一个平面；③梯形是平面图形；④一条直线和一个点可以确定一个平面；⑤两条相交直线可以确定一个平面；⑥若点P不在平面α内，A,B,C三点都在平面α内，则P、A、B、C四点不在同一平面内.其中正确的有.2.下列命题中不正确的是.①若一条直线上有一点在平面外，则直线上有无穷多点在平面外；②若点,,A B C ABαα∈∈∈,则Cα∈；③若,,,a b l a A l b Bαα⊂⊂==,则lα⊂；④若一条直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外。

第1章 空间几何体11 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图11 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+=4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++=5 球的表面积24R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ⨯=底2锥体的体积 h S V ⨯=底313台体的体积 h S S S S V ⨯++=)31下下上上（4球体的体积 334R V π=第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈L222r rl S ππ+= D C B A αLA·αB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

高中高二数学立体几何知识点
高中高二数学立体几何知识点
立体几何是三维欧氏空间的几何的传统名称。

小编准
备了高二数学立体几何知识点，希望你喜欢。

立体几何
1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

能够用斜二测法作图。

2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念;
会求异面直线所成的角和异面直线间的距离;证明两条直线
是异面直线一般用反证法。

3.直线与平面
①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。

②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行
问题的依据。

③直线与平面垂直的证明方法有哪些?
④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是
⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形
的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确
定点到直线的垂线.4.平面与平面
(1)位置关系：平行、相交，(垂直是相交的一种特殊情况)。