多元函数的隐函数定理与反函数定理的证明

隐函数定理与逆函数定理是微积分学中的两个重要定理。

它们在解决函数关系问题和求解方程的过程中有着重要的应用。

本文将阐述这两个定理的定义、性质及应用，并将举一些具体的例子来说明它们在实际问题中的应用。

一、隐函数定理隐函数定理是用来求解形如 $f(x,y)=0$ 的隐函数的定理。

它是微积分学中的一个重要结果，粗略地说，它告诉我们：如果一个函数可以表示为 $f(x,y)=0$ 的形式，且满足一定的条件，那么该函数在某个区域内必然存在、唯一存在一些函数关系 $y=g(x)$，使得 $f(x,g(x))=0$.具体来说，设函数 $z=f(x,y)$ 满足下列三个条件：(1) $f(x_0,y_0)=0$;(2) $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内具有一阶连续偏导数；(3) $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0$.则存在一个 $y$ 的函数 $g(x)$，在 $x_0$ 的某个邻域内连续可微，且满足 $y=g(x)$，并能表示成 $f(x,g(x))=0$ 的形式。

这个定理的物理意义在于，它说明了在某些复杂情况下，我们可以通过一些特殊的方法，将隐含在函数关系中的某个未知量，转化为某个已知量的函数。

这为我们研究一些实际问题提供了便利。

二、逆函数定理逆函数定理是微积分学中求全局反函数、研究反函数性质的重要工具。

它的表述如下：设 $y=f(x)$ 是一个连续可微、单调的函数，那么在点 $x_0$ 处若 $f'(x_0)\neq 0$，则其反函数 $x=g(y)$ 在点 $y_0=f(x_0)$ 处连续可微，并且有 $g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$。

几何上讲，逆函数定理就是告诉我们：函数 $y=f(x)$ 在点$(x_0,y_0)$ 处的切线的斜率恰好等于其反函数 $x=g(y)$ 在点$(y_0,x_0)$ 处的切线的倒数。

多元函数的隐函数定理与反函数定理应用多元函数的隐函数定理与反函数定理是微积分中重要的定理，它们在数学和应用领域中具有广泛的应用。

本文将介绍这两个定理的基本概念和应用场景。

一、多元函数的隐函数定理多元函数的隐函数定理是研究隐函数存在性和可导性的定理。

它告诉我们，在一定条件下，可以通过一个函数关系式来确定一个或多个变量的函数关系。

隐函数定理的基本表述是：设函数F(x,y)在点(a,b)附近具有连续的偏导数，且F(a,b)=0。

如果F对y在点(a,b)的偏导数不为零，即∂F/∂y(a,b)≠0，那么在点(a,b)附近，方程F(x,y)=0可以确定一个连续可导的函数y=g(x)，满足g(a)=b。

隐函数定理的应用非常广泛，例如在经济学领域，可以用来研究供求关系、市场均衡等问题。

在物理学中，可以用来研究物体的运动轨迹、力学系统的稳定性等问题。

在工程学中，可以用来研究控制系统的稳定性、优化问题等。

二、多元函数的反函数定理多元函数的反函数定理是研究函数反函数存在性和可导性的定理。

它告诉我们，如果一个函数在某点处的雅可比行列式不为零，那么在该点附近，函数存在反函数，并且反函数也是连续可导的。

反函数定理的基本表述是：设函数F(x,y)在点(a,b)处具有连续的偏导数，且雅可比行列式J(a,b)≠0。

那么在点(a,b)附近，函数F(x,y)存在反函数G(u,v)，且G在点(b,a)处连续可导。

反函数定理的应用也非常广泛，例如在计算机科学中，可以用来研究密码学中的加密和解密算法。

在统计学中，可以用来研究概率分布函数的变换和逆变换。

在生物学中，可以用来研究遗传密码的解读和转录调控等问题。

三、隐函数定理与反函数定理的应用举例为了更好地理解隐函数定理与反函数定理的应用，我们来看一个具体的例子。

假设有一个二元函数F(x,y)=x^2+y^2-1，我们希望求解方程F(x,y)=0确定的函数关系。

根据隐函数定理，我们可以计算∂F/∂y=2y，并发现在原点(0,0)处∂F/∂y=0。

多元函数的隐函数定理多元函数的隐函数定理是微积分中的一条重要定理，它用于研究由多个变量组成的方程中的隐函数。

通过这个定理，我们可以确定在一定条件下，隐函数是否存在，以及如何求得这个隐函数。

本文将详细介绍多元函数的隐函数定理及其应用。

1. 引言多元函数是包含多个自变量及相应的因变量的函数，常用表示为：F(x1, x2, ..., xn) = 0。

当函数中出现多个变量，并且存在难以直接解出的方程时，就需要借助隐函数定理来求解。

隐函数定理的核心思想是将一个多元函数的方程转化为含有一个或多个隐函数的方程组，从而实现求解。

2. 多元函数的隐函数定理的表述设F(x, y)是一个定义在平面上的函数，它在点(x0, y0)处连续，且满足以下条件：- F(x0, y0) = 0- ∂F/∂y在点(x0, y0)处连续且不为0则在点(x0, y0)的某个邻域内，方程F(x, y) = 0确定了一个唯一的连续可导函数y = φ(x)，满足以下条件：- φ(x0) = y0- φ'(x) = - ∂F/∂x / ∂F/∂y3. 多元函数的隐函数定理的证明证明过程相对复杂，这里不再详述，可以参考相关教材或专业论文。

我们只需理解其结论和应用即可。

4. 多元函数的隐函数定理的应用多元函数的隐函数定理在实际问题中有广泛的应用。

下面以一些具体的例子来说明其应用。

例1：设函数F(x, y) = x^2 + y^2 - 1，求出与x轴正半轴交点为(x0, 0)的切线方程。

解：首先，计算∂F/∂y = 2y，在与x轴正半轴交点(x0, 0)处∂F/∂y = 0。

根据隐函数定理，可以得到：dy/dx = -∂F/∂x / ∂F/∂y = -2x0 / 2y0 = -x0 / y0又因为切线过点(x0, y0)，斜率为dy/dx，所以切线方程为：y - y0 = dy/dx * (x - x0) = (-x0 / y0)(x - x0)例2：求函数F(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 1)处的切平面方程。

多元函数隐函数存在定理多元函数隐函数存在定理是微积分学中的重要定理之一。

它提供了一种方法，可以确定由多个变量组成的函数的隐函数表达式。

本文将讨论这个定理的基本概念、应用和证明。

我们需要了解什么是多元函数隐函数存在定理。

它指出，如果一个多元函数能够满足一定的条件，那么我们就可以通过这个函数的导数来确定它的隐函数表达式。

具体地说，如果函数的某个变量可以用其他变量的函数来表示，那么这个变量就是隐函数。

这个定理的应用非常广泛。

例如，我们可以用它来求解方程组、求极值和确定曲线的参数方程等。

在实际应用中，多元函数隐函数存在定理也是不可或缺的工具之一。

接下来，我们来看一个例子，以更深入地理解这个定理的应用。

假设我们有一个函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0，我们想要求解出它的隐函数表达式。

根据多元函数隐函数存在定理，我们可以通过求解以下方程组来得到答案：f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0∂f/∂x=2x=0∂f/∂y=2y=0∂f/∂z=2z=0解得x=y=z=0，因此隐函数为x=y=z=0。

这个例子说明了多元函数隐函数存在定理的应用，即通过导数来确定函数的隐函数表达式。

我们来看一下多元函数隐函数存在定理的证明。

证明过程中，我们需要使用到隐函数定理和隐函数求导法则等相关知识。

这些知识的具体内容可以在微积分学中学习到。

多元函数隐函数存在定理是微积分学中的重要定理之一。

它可以帮助我们确定由多个变量组成的函数的隐函数表达式，并在实际应用中发挥重要的作用。

虽然证明过程比较复杂，但是我们可以通过学习相关知识来理解其基本原理。

第二十三章向量函数微分学3 反函数定理和隐函数定理一、反函数定理概念1：若定义在开集D⊂R n上的向量函数f: D→R m是一一映射，即不仅对每一个x∈D只有一个y∈R m与之对应，且对每一个y∈f(D)也只有惟一确定的x∈D, 使得f(x)=y. 于是由后者能确定一个定义在f(D)上的函数，记为f-1: f(D)→D,称它为函数f的反函数. 函数f与其反函数f-1满足：(1)(f-1◦f)(x)=x, x∈D；(2) (f◦f-1)(y)=y, y∈f(D).定理23.17：(反函数定理)设D⊂R n是开集, 函数f: D→R m满足条件：①在D上可微且f’连续；②存在x0∈D, 使det f’(x0)≠0,则存在邻域U=U(x0)⊂D, 使得：(1)f在U上一一映射，从而存在反函数f-1: V→U，其中V=f(U)是开集;(2)f-1在V上存在连续导数(f-1)’, 且(f-1)’(y)=(f’(x))-1, x=f-1(y), y∈V.证：1)将函数f变换为定义在零点邻域内的函数.设T=f’(x0), 由①②知存在点x0的邻域U⊂D, 使得f’(x)在U内非零.在U-x0={x-x0|x∈U}上定义函数F(x)=T-1[f(x0+x)-f(x0)], x∈U-x0.记U-x0为U1, 即有0∈U1, F(0)=0, F’(0)=I (单位矩阵), 且F在U1可微, F’连续, 对所有x∈U1, F’(x)≠0.(2)证明存在邻域U2⊂U1, 使得F在U2上是一一映射.设φ(x)=x-F(x), x∈U1, 则φ’(0)=0. 取定0<α<1, 由φ’(x)的连续性,存在中心在原点的开球U 2⊂U 1, 使得对x ∈U 2, )(x ϕ'<α.应用定理23.14微分中值不等式得)()(x x '-''ϕϕ≤αx x '-'', x ’,x ”∈U 2. ∴)()(x F x F '-''≥(1-α)x x '-'', 即F 在U 2上是一一映射. 若定义F 的反函数H: F(U 2)→U 2, H(F(x))=x, x ∈U 2, 则有H 连续. 3)证明F(U 2)⊃(1-α)U 2, U=H(V)是开集，其中V=(1-α)U 2. 任取y ∈(1-α)U 2, 对任何n>1, 应用迭代法构造x 0,…,x n 使得 x 0=0, x i =y+φ(x i-1), x i-1∈U 2, 1--i i x x ≤αi-1y , 1≤i ≤n. 于是有n x ≤∑=--ni i i x x 11≤∑=-ni i y 11α<y α-11, 即 x n ∈U 2, x n+1=y+φ(x n ), n n x x -+1=)()(1--n n x x ϕϕ≤α1--n n x x . 所以将n 换成n+1时归纳法假设也成立.由于α<1, 因此{x n }是R n 中的柯西序列，于是有x n →x ∈U 2. ∴∞→n lim F(x n )=∞→n lim (x n -φ(x n ))=∞→n lim (x n -x n+1+y)=y. 设V=(1-α)U 2, 于是有U=F -1(V). 由F 连续，而开集的原象是开集知, U 是开集. 4)证明：若y ∈V, x=H(y), 则H ’(y)=F ’(x)-1.设y ∈V, y+k ∈V, k ≠0, x=H(y), x+h=H(y+k), S=F ’(x), 于是有 H(y+k)-H(y)-S -1k=h-S -1k=S -1(Sh-k)= -S -1[F(x+h)-F(x)-Sh]. 由(1-α)h ≤k 得,kkS y H k y H 1)()(---+≤hShx F h x F S )1()()(1α---+-.当k →0时, h →0, 即有上式右边趋于0，∴H ’(y)=F ’(x)-1. 5)证明：H ’(x)在V 内连续.∵)()(y H k y H '-+'≤11)]([)]([--'-+'x F h x F≤11)]([)()()]([--''-+'+'x F x F h x F h x F .由F ’的连续性, 当h 充分小时, 1)]([)()(-''-+'x F x F h x F <21. ∴1)]([-+'h x F ≤21)]([-'x F , 于是)()(y H k y H '-+'≤2)()()]([21x F h x F x F '-+''-, ∴H ’也连续.例1：记w=(x,y,z)T , p=(r,θ,φ)T ,求函数w=f(p)=(rsin θcos φ,rsin θsin φ,rcos θ) 的反函数的导数.解：(f -1)’(w)=[f ’(p)-1]=10sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--θθϕθϕθϕθϕθϕθϕθr r r r r =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0cos sin sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin sin cos sin sin 122222222ϕϕθϕθθϕθθθθϕθϕθθr r r r r r r r r=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0sin cos sin sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin θϕθϕθϕθϕθθϕθϕθr r r r r (r 2sin θ≠0). 将w=f(p)代入上式得：(f -1)’(w)=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++02222222222222y x x y x y r y x y x r yz yx r xzrz r y r x, (x 2+y 2≠0), 其中r=222z y x ++.二、隐函数定理概念2：设X ⊂R n , Y ⊂R m , Ω=X ×Y ⊂R n+m , F: Ω→R m . 考察向量函数方程 F(x,y)=0, x ∈X,y ∈Y. 若有向量函数f: U →Y(U ⊂X), 则F(x,f(x))≡0, x ∈U. 称函数f 是由方程F(x,y)=0确定的定义在U 上的隐函数.固定y∈Y时, 关于x的偏导数记为：F’x(x,y)或D x F(x,y) (为m×n矩阵); 固定x∈X时, 关于y的偏导数记为：F’y(x,y)或D y F(x,y) (为m×n矩阵).定理23.18：(隐函数定理)设X⊂R n,Y⊂R m是开集,Ω=X×Y⊂R n+m(为开集), F: Ω→R m. 若F满足下列条件：①存在x0∈X, y0∈Y, 使得F(x0,y0)=0;②F在Ω上可微，且F’连续; ③det F’y(x0,y0)≠0.则存在点x0的n维邻域U=U(x0)⊂X和点y0的m维邻域V=V(x0)⊂Y,使得在点(x0,y0)的n+m维邻域W=U×V⊂Ω内, 由方程F(x,y)=0惟一地确定了隐函数f: U→V，它满足：(1)y0=f(x0);(2)当x∈U时, (x,f(x))∈W, 具有恒等式F(x,f(x))≡0, x∈U;(3)f在U内存在连续偏导数f’, 且f’(x)=-[F’y(x,y)]-1F’x(x,y), (x,y)∈W. 证：定义函数G: Ω→R n×R m, G(x,y)=(x,F(x,y)), 即有det G’(x0,y0)=det F’y(x0,y0)≠0, G(x0,y0)=(x0,F(x0,y0))=(x0,0).应用定理23.17, 存在R n×R m中包含(x0,0)的开集U×V’, U⊂R n, V’⊂R m和R n×R m中包含(x0,y0)的开集U’×V, U’⊂R n, V⊂R m使得G: U’×V→U×V’具有可微反函数H: U×V’→U’×V. 由G(x,y)=(x,F(x,y))得H(x,y)=(x,k(x,y)),其中k(x,y)是从U×V’到V的可微向量函数. 定义映射π: R n×R m→R m, π(x,y)=y. 由于π◦ G=F, ∴F(x,k(x,y))=F◦ H(x,y)=(π◦ G)◦H(x,y)=π◦(G◦H)(x,y)= π(x,y)=y, ∴F(x,k(x,0))=0. 定义f(x)=k(x,0), 即有x∈U, f(x)∈V, F(x,f(x))=0, y0=f(x0). 引入向量增量符号△f=f(x+△x)-f(x), x,x+△x∈U. 于是有F(x+△x,f(x+△x))-F(x,f(x))=F(x+△x,f(x)+△f)-F(x,f(x))=0.各分量运用微分中值公式： F i (x+△x,f(x)+△f)-F i (x,f(x))=k i i nk k i x f x f x x x F ∆∆+∆+∂∂∑=))(,(1θθ+j i i mj ji f f x f x x y F∆∆+∆+∂∂∑=))(,(1θθ=0 (i=1,…,m). 又k i mj ji x fx f x y F ∂∂∂∂∑=))(,(1=))(,(x f x x F k i ∂∂-(i=1,…,m; k=1,…,n).将这m ×n 个式子列成矩阵式，即有：F ’y (x,y)f ’(x)=-F ’x (x,y), y=f(x), (x,y)∈U ×V. 由F ’y 在U 内可逆, 解得： f ’(x)=-[F ’y (x,y)]-1F ’x (x,y), (x,y)∈W. 由条件②推得f ’(x)在U 上连续.例2：设Ω⊂R 4, F,G: Ω→R.若向量H=(F,G)T 在点(z 0,w 0)T ∈Ω的某邻域内 满足定理23.18条件, 其中z 0=(x 0,y 0)T , w 0=(u 0,v 0)T , 且det H w ’(z 0,w 0)≠0, 则方程H(x,y,u,v)=0. 在点z 0的某邻域内确定一个可微的隐函数w=f(z), 且f ’(z)=-[H ’w (z,w)]-1H ’z (z,w), 即f ’(z)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂y v xvyu x u=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂--y G x G yF x F vG u Gv F u F1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂-∂∂-∂∂-y G x Gy F x Fv F u G v F v GJ 1 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂-),(),(),(),(),(),(),(),(1y u G F x u G F v y G F v x G F J , 其中J=),(),(v u G F ∂∂.三、拉格朗日乘数法设D ⊂R n 为开集, f: D →R, φ: D →R m , n=m+r, 用行向量记x=(x 1,…,x n )=(x 1,…,x r ,x r+1,…,x r+m )=(y,z), y ∈R r , z ∈R m , 当φ(x)=φ(y,z)=0时,求函数f(x)=f(y,z)的极值, 其格拉朗日函数为L(x,λ)=L(y,z,λ)=f(y,z)+λTφ(y,z), 其中λ=(λ1,…,λn)T为拉格朗日乘数向量.定理23.19：对上述所设函数f, φ若满足条件：(1)f, φ在D内有连续导数；(2)φ(x0)=φ(y0,z0)=0；(3)rank φ’(x0)=rank[φ’y(y0,z0),φ’z(y0,z0)]=m；(4)x0=(y0,z0)是f在φ(x)=φ(y,z)=0时的极值点.则存在A0∈R m, 使得(x0,A0)是函数L(x,λ)=f(y,z)+λTφ(y,z)的稳定点, 即满足L’(x0,A0)=[L x(x0,A0)+ Lλ(x0,A0)]=0, 其中λ=(λ1,…,λn)T,又由条件(2)有Lλ(x0,A0)=[φ(x0)]T=0, ∴L x(x0,A0)=f’(x0)+A0Tφ’(x0)=0.证：不妨设由条件(3)有det φ’z(y0,z0)≠0.由条件(1)(2)及上式满足定理23.18, 知由方程φ(x)=φ(y,z)=0确定惟一隐函数z=g(y), (y,z)∈U(y0)×U(z0)⊂D, 使得z0=g(y0), φ(y,g(y))≡0, y∈U(y0) 且g在U(y0)存在连续导数. 于是由复合函数求导法则得φy(y0,z0)+φz(y0,z0)g’(y0)=0. 又(y0,z0)是f的条件极值点,∴y0是h(y)=f(y,g(y))的极值点. 于是有f y(y0,z0)+f z(y0,z0)g’(y0)=0.取A0∈R m为方程f z(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0的解. 由det φ’z(y0,z0)≠0知, A0存在. ∵A0Tφy(y0,z0)+A0Tφz(y0,z0)g’(y0)=0, ∴A0Tφy(y0,z0)-f z(y0,z0)=0,∴f y(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0, 又f z(y0,z0)+ A0Tφz(y0,z0)=0, 得证.习题1、设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=+-+023*******u z y x u z y x u z y x , 证明：除了不能把x,y,z 用u 惟一表示出来外,其他任何三个变量都能用第四个变量惟一表示出来.证：令F(x,y,z,u)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321F F F =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+++-+-+u z y x u z y x u z y x 2322232, 则F ’(x,y,z,u)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---232212112113u . F 满足条件：(1)F(0,0,0,0)=0, 存在(0,0,0,0)T ∈R 4; (2)F 在R 4上可微, 且F ’连续;(3)令ω1=(x,y,z)T , ω10=(0,0,0)T , 则det F ’ω1(0,ω10)=322211113---=0; 令ω2=(x,z,u)T , ω20=(0,0,0)T , 则det F ’ω2(0,ω20)=232121013--=21≠0;令ω3=(x,y,u)T , ω30=(0,0,0)T , 则det F ’ω3(0,ω30)=222111013-=-12≠0;令ω4=(x,y,u)T , ω40=(0,0,0)T , 则det F ’ω4(0,ω40)=232121011---=3≠0; 根据定理23.17，在原点邻域，除了不能把x,y,z 用u 唯一表示出来，其他任何三个变量都能用第四个变量唯一表示出来.2、应用隐函数求导公式，求由方程组x=ucosv, y=usinv, z=v 所确定的隐函数之一z=z(x,y)的所有二阶偏导数.解：令F=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321F F F =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---v z v u y v u x sin cos , ω1=(x,y)T , ω2=(z,u,v)T , 依隐函数求导公式有f ’(ω1)=-[F ’ω2(ω1,ω2)]-1F ’ω1(ω1,ω2), 即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂y v xv y u x u y z x z =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------001001101cos sin 0sin cos 01v u v v u v =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----0010010cos sin 0sin cos cos sin 1v v v u v u u v v u =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----v vv u v u v v u cos sin sin cos cos sin 1, 其中u=),,(),,(321v u z F F F ∂∂. ∴xz ∂∂=u v sin -, y z ∂∂=u v cos , x u ∂∂=cosv, y u ∂∂=sinv, x v ∂∂=u v sin -, y v ∂∂=u v cos .又u=22y x +, cosv=22yx x +, sinv=22yx y +, 因此有22x z∂∂=2sin cos u vx u x v vu ∂∂-∂∂-=2sin cos 2u v v =222)(2y x xy +; yx z∂∂∂2=2sin cos u vy uy v vu ∂∂-∂∂-=222cos sin u v v -=22222)(y x x y +-;22yz∂∂=2cos sin u vyuy v vu ∂∂-∂∂-=2cos sin 2uv v -=222)(2y x xy +-.3、设方程组⎩⎨⎧=---=0),,(),,(z y x g uv z uv y uv x f u . 试问：(1)在什么条件下，能确定以x,y,v 为自变量, u,z 为因变量的隐函数组？ (2)能否确定以x,y,z 为自变量, u,v 为因变量的隐函数组? (3)计算x u ∂∂,y u ∂∂,vu∂∂.解：设F=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21FF =⎥⎦⎤⎢⎣⎡----),,(),,(z y x g uv z uv y uv x f u , F: R 5→R 2. 若F 满足下列条件： ①存在P 0(x 0,y 0,z 0,u 0,v 0)∈R 5, 使F(p 0)=0;②在邻域U(p 0)⊂R 5内，F 可微且F ’连续，则有f, g 可微且f ’, g ’连续; ③由行列式求导法知：F ’=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''''+'+''+'+'+'-'-'-00)()(1321321321z y x g g g f f f u f f f v f f f (1)令ω1=(x,y,v)T , ω2=(u,z)T , ω10=(x 0,y 0,v 0)T , ω20=(u 0,z 0)T , 满足det F ’ω2(ω10,ω20)=g ’z [1+v(f 1’+ f 2’+ f 3’)]≠0时，在邻域U(ω10)⊂U(p 0)内， 由方程F=0, 能唯一确定隐函数f(ω1)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z u =⎥⎦⎤⎢⎣⎡),,(),,(v y x z v y x u . (2)令ω3=(x,y,z)T , ω4=(u,v)T , 则det F ’ω4(ω3,ω4)≡0,∴不能判断确定x,y,z 为自变量，u,v 为因变量的隐函数组. (3)由(1)所设, 有f ’(ω1)=-[F ’ω2(ω1,ω2)]-1F ’ω1(ω1,ω2), 即f ’(ω1)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂v z yz xzv u y uxu =⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''+'+''-'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-'+'+'+--0)(0)(13212113321y x z g g f f f u f f g f f f f v =⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''+'+''-'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+'+''∆-0)()(101321213213y x zg g f f f u f f f f f v f g =⎪⎪⎭⎫⎝⎛'+'+'+''+'+'+''+'+''''+''-''+''-∆-0)](1[)](1[)(1321321321323f f f v g f f f v g f f f g u g f g f g f g f y x z y z x z . 其中△=g ’z [1+v(f ’1+f ’2+f ’3)].∴xu ∂∂=∆''-''x z g f g f 3; y u ∂∂=∆''-''y z g f g f 32,v u ∂∂=∆'+'+''-)(321f f f g u z .4、设f(x,y)=(e x cosy,e x siny)T . 证明：(1)当(x,y)∈R 2时, det f ’(x,y)≠0, 但在R 2上f 不是一一映射； (2)f 在D={(x,y)|0<y<2π}上是一一映射，并求(f -1)’(0,e). 证：(1)当(x,y)∈R 2时, det f ’(x,y)=ye ye y e y e x x x x cos sin sin cos -=e 2x ≠0,令v=(x,y)T , 取v 1=(0,0)T , v 2=(0,2π)T , v 1≠v 2, 而f(v 1)=f(v 2)=[1,0]T , ∴f 在R 2上不是一一映射.(2)当(x,y)∈D={(x,y)|0<y<2π}时, 令v=(x,y)T, 而u=f(v)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y e y e x x sin cos .取v 1=(x 1,y 1)T , v 2=(x 2,y 2)T , 且x 1≠x 2, y 1≠y 2, 若有f(v 1)=f(v 2), 即e x1cosy 1=e x2cosy 2且e x1siny 1=e x2siny 2, 则有21x x e e =12cos cos y y =12sin sin y y , 从而有11cos sin y y =22cos sin y y , 即tany 1= tany 2, 由正切函数的周期性知|y 1-y 2|=π, 因此知cosy 1与cosy 2异号, 即不可能有21x x ee =12cos cos y y , ∴f(v 1)≠f(v 2),即f 在D 上一一映射.又f 在D 上可微, f ’连续，∴存在可导函数并求f -1:V →D, 其中V=f(D),则(f -1)’(u)=[f ’(v)]-1=1cos sin sin cos -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y e y e y e y e xx xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y e y e y e y e e x x x x x cos sin sin cos 12. 又e2x=u 12+u 22, e x cosy=u 1, e x siny=u 2,∴(f -1)’(u)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+122122211u u u u u u , 从而(f -1)’(0,e)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0110ee .5、计算下列函数反函数的偏导数：u x ∂∂,v x ∂∂,u y ∂∂,vy ∂∂.(1)(u,v)T =Tx y x x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛sin ,cos ；(2)(u,v)T =(e x +xsiny,e x -xcosy)T . 解：令s=(u,v)T , t=(x,y)T , s=f(t), 则有(f -1)’(s)=[f ’(t)]-1, 即 (1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂v y u y v x u x =1cos cos sin sin sin cos -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+x y x y x y x y x y x y x y x y =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-x y x y x y x y x y x y x y x y sin cos sin cos sin cos =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅-⋅+u u v v v u v u v u v u arctan arctan 122. ∴u x ∂∂=22v u u +,v x ∂∂=22v u v +,u y ∂∂=22arctan v u v u v u +-⋅,v y ∂∂=22arctan vu u u v v ++⋅. (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂v y u y v x u x =1sin cos cos sin -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+y x y e y x y e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+-x x x x e y e y y x y x y e y e x sin cos cos sin )1cos sin (1. ∴u x ∂∂=1cos sin sin +-y e y e y x x , v x ∂∂=1cos sin cos +--y e y e y x x , u y ∂∂=)1cos sin (cos +--y e y e x e y x x x , v y ∂∂=)1cos sin (sin +-+y e y e x e y x x x .6、设D ⊂R n 为开集, φ, ψ:D →R, f: D →R 2且f(x)=[φ(x),φ(x)ψ(x)]T , x ∈D. 证明：在满足f(x 0)=0的点x 0处, rank f ’(x 0)<2. 但是由方程f(x)=0仍可能在点x 0的邻域内确定隐函数g: E →R 2, E ⊂R n-2, n>2.证：由f(x 0)=0, 得φ(x 0)=0, φ(x 0)ψ(x 0)=0, 依定理23.9求导公式得f ’(x 0)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+''+''')()()()()()()()()()(0000000000111x x x x x x x x x x nn nx x x x x x ψϕψϕψϕψϕϕϕΛΛ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''')()()()()()(00000011x x x x x x nnx x x x ψϕψϕϕϕΛΛ. 设f 在的导数矩阵两行线性相关，则rank f ’(x 0)<2.但f(x)=0仍可能在点x 0的邻域内确定隐函数g: E →R 2, E ⊂R n-2, n>2. 例如φ(x 1+x 2+x 3-x 4)=x 1+x 2+x 3-x 4, ψ(x)=(x 1-x 32-x 2x 4), 则f(x)=[φ(x),φ(x)ψ(x)]T =[x 1+x 2+x 3-x 4,(x 1+x 2+x 3-x 4)(x 1-x 32-x 2x 4)]T ,取x 0=(0,0,0,0)满足f(x 0)=0, 能由方程f(x)=0确定函数g(x 1,x 3)=Tx x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++2233223223221,1.7、设D ⊂R n 为开集, f: D →R n , 证明：当满足条件(1)f 在D 上可微，且f ’连续；(2)当x ∈D 时, det f ’(x)≠0. 则f(D)是开集. 证：对任一y 0∈f(D), 存在x 0∈D, 使y 0=f(x 0), 依定理23.17, 存在邻域U(x 0)⊂D, 使f 在U 上一一映射, 存在反函数f -1: V →U(V=f(U)), 且(f -1)’在V 上连续, x 0=f -1(y 0). 由开集U ⊂D, 取ε>0, 使U(x 0,ε)⊂U, 又 (f -1)’在V 上连续知f -1(y)在y 0连续, ∴存在δ>0, 当y ∈U(y 0,δ)时, f -1(y)∈U(x 0,ε)⊂D, 于是U(y 0,δ)⊂f(D), 可见y 0是f(D)的点,由y 在f(D)上的任意性知f(D)为开集.8、设D,E ⊂R n 为开集, f: D →E 与f -1: E →D 互为反函数. 证明：若f 在x ∈D 可微, f -1在y=f(x)∈E 可微, 则f ’(x)与(f -1)’(y)为互逆矩阵. 证：依定理23.13, 复合函数h=f -1◦f: D →D 在x 可微，且h ’(x)=(f -1◦f)’(x)=(f -1)’(y)f ’(x), 把h(x)=(f -1◦f)(x)看作以下两个变换的复合：(x 1,x 2,…,x n )↦(y 1,y 2,…,y n )↦(x 1,x 2,…,x n ), 则有(f -1)’(y)f ’(x)=h ’(x)=n nx x x x x x ∂∂∂∂∂∂0000000000002211ΛΛΛΛΛ=I. ∴f ’(x)与(f -1)’(y)为互逆矩阵.9、对n 次多项式进行因式分解P n (x)=x n +a n-1x n-1+…+a n =(x-r 1)…(x-r n ). 从某种意义上说，这也是一个反函数问题. 因为多项式的每个系数都是它的n 个根的已知函数，即a i =a i (r i ,…,r n ), i=0,1,…,n-1.要求得到用系数表示的根，即r j =r j (a 0,a 1,…,a n-1),j=1,2,…,n. 试对n=2与n=3两种情形，证明：当方程P n (x)=0无重根时, 函数组 a i =a i (r i ,…,r n ), i=0,1,…,n-1存在反函数组r j =r j (a 0,a 1,…,a n-1),j=1,2,…,n. 证：(1)当n=2时, P 2(x)=x 2+a 1x+a 0=(x-r 1)(x-r 2)=x 2-(r 1+r 2)x+r 1r 2.则有函数组a 1=-(r 1+r 2), a 0=r 1r 2. ),(),(2101r r a a ∂=1211r r --=r 2-r 1≠0(r 1≠r 2). 当r 1≠r 2时一切点偏导连续, 依定理18.5上述函数组确定反函数组： r 1=2)40211a a a -+-, r 2=2)40211a a a ---.(2)当n=3时,P 3(x)=x 3+a 2x 2+a 1x+a 0=(x-r 1)(x-r 2)(x-r 3)=x 3-(r 1+r 2+r 3)x 2+(r 1r 2+r 2r 3+r 3r 1)-r 1r 2r 3. 则有函数组a 2=-(r 1+r 2+r 3), a 1=r 1r 2+r 2r 3+r 3r 1, a 0=-r 1r 2r 3.),,(),,(321012r r r a a a ∂=213132213132111r r r r r r r r r r r r ---+++---≠0 (r 1,r 2,r 3互不相等时).在r1,r2,r3互不相等时,一切点上偏导连续, 依定理18.5确定反函数组：r1=r1(a2,a1,a0), r2=r2(a2,a1,a0), r3=r3(a2,a1,a0).。

多元函数的隐函数与反函数在数学中，多元函数是指具有多个自变量的函数。

在实际问题中，往往会遇到一些多元函数，其中包含了隐函数和反函数的概念。

本文将深入探讨多元函数的隐函数和反函数，并介绍它们的应用。

一、多元函数的隐函数多元函数的隐函数是指由多个变量构成的函数，在表达式中无法直接解出某一个变量作为显式函数的形式。

换句话说，隐函数可以将某个变量表示为其他变量的函数。

以二元函数为例，考虑方程 f(x, y) = 0。

如果在该方程中无法对 y 进行显式求解，即无法找到 y = g(x) 的形式，那么可以认为 y 是 x 的隐函数。

对于隐函数，我们可以通过求导数或者利用隐函数定理来求解。

隐函数定理是一种解决隐函数的高级方法，它表明如果一个函数方程具有足够的连续性和可微性质，那么它的隐函数存在且可微。

二、多元函数的反函数与隐函数相反，反函数是指对于多元函数 f(x, y) 的一个特定变量，能够将其表示为其他变量的函数形式。

换句话说，反函数可以将函数的输出作为输入，并得到原函数的输入。

考虑二元函数 f(x, y) 的反函数，假设 f(x, y) 在某个区域内具有连续性，并且在该区域内存在反函数。

则对于函数 f(x, y) 中的一个变量，我们可以通过反函数表示出来。

反函数在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在经济学中，利用反函数可以计算边际收益对应的边际成本，并进行相关的决策分析。

三、隐函数与反函数的应用隐函数和反函数在数学和各个领域中具有重要的应用价值。

以下是一些应用示例：1. 物理学中的应用：在力学和电磁学中，往往涉及到多元函数的隐函数和反函数。

比如在二维运动中，速度和加速度的关系可以表示为隐函数。

2. 经济学中的应用：在经济学中，隐函数和反函数可以用来求解边际效用和边际成本之间的关系，进而做出最优决策。

3. 工程学中的应用：在工程学中，隐函数和反函数可以应用于工程设计、信号处理和系统分析等领域。

例如，在控制系统中，我们可以利用反函数来实现系统的逆运算。

多元函数的隐函数定理多元函数是数学中的重要概念，它是指包含多个变量的函数。

与单变量函数不同，多元函数最常见的例子是二元函数，即包含两个变量的函数。

在数学分析中，我们经常需要研究多元函数的性质和极限，而隐函数定理是解决多元函数方程中的未知变量的一种常用方法。

隐函数定理是指在某些条件下，可以将一个多元函数中的某个自变量表示为另一个自变量的函数，从而简化对该函数的研究。

其最基本的形式是指对于一个连续可导的多元函数，如果某个点处该函数的某个偏导数不为零，那么在该点邻近的某个区域内，该函数可以表示为另一些变量的函数。

在二元函数中，隐函数定理的经典形式可以表示为：如果在一个区域内有连续可导的二元函数f(x,y)，并且f在点(x0,y0)处的偏导数fx和fy中至少有一个不等于零，那么在点(x0,y0)的某个邻域内，方程f(x,y)=0可以唯一地表示为y=g(x)，其中g(x)是该区域内的连续可导函数，且g(x0)=y0。

以上定理表明，当一个多元函数在某个点的偏导数不为零时，可以将一个自变量表示为其他自变量的函数，从而简化对该函数的分析。

在实际应用中，这一定理有重要的应用，例如在经济学中可以用来研究生产和消费中的相关性；在物理学中可以用来简化高维空间中的物理问题，如三维空间中的磁场分布问题等。

隐函数定理的证明可以通过微积分的方法来实现，具体的方法可以参考高等数学教材。

然而，隐函数定理在实际应用中并不总是适用的。

例如，如果一个多元函数在某一点处的所有偏导数都等于零，那么该点处的函数可能无法表示为其他自变量的函数。

此外，隐函数定理也只适用于连续可导的多元函数，对于其他类型的函数需要采用其他方法来求解。

总之，隐函数定理是解决多元函数方程中的未知变量的一种重要方法，它可以使问题的求解更加简化和高效。

在实际应用中，我们需要根据具体的问题来选择合适的方法进行求解，并且需要注意该方法的适用条件和限制，从而准确地解决问题。

多元函数的隐函数定理与反函数定理隐函数定理（Implicit Function Theorem）和反函数定理（Inverse Function Theorem）是微积分中涉及多元函数的重要定理。

它们在数学和物理科学研究中具有广泛的应用。

本文将分别介绍这两个定理的概念、条件和应用，并通过例子说明其具体应用。

隐函数定理是关于多元函数的一个重要定理，它探讨了如何找到一个函数的隐函数表达式。

设有函数 F(x, y) = 0，其中 x 和 y 是多元函数F 的自变量。

如果可以确定存在与 y 相关的函数 x = g(y)（或者存在与x 相关的函数 y = f(x)），使得在某个区域内 F(x, g(y)) = 0（或者 F(f(x), y) = 0）成立，那么我们就可以说 g(y)（或者 f(x)）是 F(x, y) = 0 的一个隐函数。

隐函数定理的条件是：设函数 F(x, y) 在点 (a, b) 的某个邻域内具有连续的偏导数，并且满足 F(a, b) = 0 和F_y(a, b) ≠ 0，其中 F_x 和 F_y 分别表示 F 关于 x 和 y 的偏导数。

在符合这些条件的前提下，隐函数定理保证了存在一个连续可微的函数 g(y)，使得 F(x, g(y)) = 0，其中 x 的取值范围与 y 的取值范围有关。

隐函数定理的应用非常广泛，例如在几何问题中，可以利用隐函数定理来确定曲线的参数方程；在经济学中，隐函数定理可以用来求解一些均衡条件；在物理学中，隐函数定理可以用来推导一些物理方程的隐函数表达式等等。

接下来我们将介绍反函数定理。

反函数定理是关于函数反函数的一个定理。

设有函数 f: X -> Y，其中 X 和 Y 是实数集上的开集。

如果函数 f 在某个点 a 处连续可微，并且其导数f'(a) ≠ 0，那么存在一个开集V，使得 a 属于 V，且在 V 上函数 f 是一个双射。

这说明函数 f 在点 a 处存在反函数 f^(-1)，并且 f 在 a 的邻域内的一个开集上存在连续可导的反函数。

反函数与隐函数的求导反函数求导：在微积分中，反函数的求导是一种重要的数学操作。

考虑一个函数f(x)，如果存在另一个函数g(x)满足f(g(x)) = x，那么g被称为f的反函数。

在求反函数的导数时，可以利用链式法则来进行计算。

设函数y = f(x)，其中f(x)具有反函数g(x)，那么有以下公式：1. 如果f在x处可导，且f'(x) ≠ 0，则有g'(x) = 1 / f'(g(x))。

证明过程如下：根据反函数的定义，有f(g(x)) = x。

对等式两边同时求导，可以得到：f'(g(x)) * g'(x) = 1。

将上式转换后即可得到g'(x) = 1 / f'(g(x))。

举例说明，如果f(x) = sin(x)，那么f的反函数是g(x) = arcsin(x)。

根据公式可以得到g'(x) = 1 / f'(g(x)) = 1 / cos(g(x)) = 1 / cos(arcsin(x)) = 1 / √(1 - x^2)。

隐函数求导：隐函数是多元函数的一种特殊形式，它的表达式中包含一个或多个未明确表示的变量。

在求解隐函数时，需要运用隐函数定理以及求偏导数的技巧。

给定一个方程F(x, y) = 0，其中x和y是变量。

如果存在一个函数y = f(x)，满足F(x, f(x)) = 0，那么f被称为方程的一个隐函数。

在求隐函数的导数时，可以通过对方程两边求导，并运用求导法则解方程。

举例说明，考虑方程x^2 + y^2 - 1 = 0。

我们要求解关于y的隐函数，即y = f(x)。

首先对方程两边分别求导，得到：2x + 2y * f'(x) = 0。

然后解方程y * f'(x) = -x，得到：f'(x) = -x / y。

通过上述的求导过程，我们得到了隐函数在每个点x处的导数f'(x)。

总结：反函数和隐函数的求导是微积分中的重要内容。

多元函数的隐函数与反函数多元函数是指含有多个自变量的函数。

在数学中，我们经常用到多元函数来描述各种现象和问题。

多元函数的隐函数与反函数是多元函数中的两个重要概念。

本文将介绍多元函数的隐函数与反函数的定义、性质和应用。

首先，我们来看多元函数的隐函数。

隐函数是指通过特定的关系式将自变量与因变量联系起来的函数。

在一元函数中，我们可以通过解方程的方式找到隐函数。

而在多元函数中，由于存在多个自变量，解方程的方法往往很困难，因此需要用到偏导数的概念。

设函数 f(x1, x2, ..., xn) = 0 可以确定 y = g(x1, x2, ..., xn) 作为一个函数，其中 yi 是xi的连续可导函数。

在给定点(x1, x2, ..., xn)处，如果 f是连续的、有定义域上的偏导数连续、在其值等于 0 的那个区域与g在(g1, g2, ..., gn) 的邻域有关的情况下，就存在一个邻域 V 来使 g 是在这个邻域 V 上的一个映射。

这个映射 g 被称为由 f 在点 (x1, x2, ..., xn)上隐式定义的函数。

隐函数的定义说明了多元函数中的隐式函数存在的条件和性质。

隐函数的求导方法与一元函数相似，需要使用偏导数和链式法则。

在实际问题中，隐函数的应用非常广泛，比如在经济学中用于描述供需关系、在物理学中用于描述物体的运动等等。

接下来，我们来看多元函数的反函数。

反函数是指在原函数的定义域上对应于原函数的值的一个函数。

在一元函数中，反函数可以通过将自变量与因变量互换得到。

而在多元函数中，反函数的求解方法要复杂一些。

设函数 y = f(x1, x2, ..., xn) 在 V 上的可逆函数 f-1(x1, x2, ..., xn)。

则有关系式 (a1, a2, ..., an) = (f-1(b1, b2, ..., bn)) 将x1, x2, ..., xn 表示成对应于 b1, b2, ..., bn 的函数。