隐函数的求导公式

第五节隐函数的求导公式隐函数是指在一些方程中以一个变量表示另一个变量的函数，其中一个变量通常被称为自变量，另一个变量被称为因变量。

求解隐函数的导数是微积分中的重要内容，因为它可以帮助我们找到函数的变化率和切线方程等信息。

本文将介绍隐函数的求导公式。

隐函数求导的关键在于使用链式法则。

链式法则是微积分中的一个基本原理，它描述了复合函数的导数与原函数导数的关系。

在隐函数的情况下，我们可以将因变量视为自变量的函数，并运用链式法则进行导数的计算。

设有一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中y是x的函数。

我们希望求解dy/dx，即隐函数的导数。

首先我们将隐函数方程两边对x求导，得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0由于我们求解的是dy/dx，我们可以将这个方程改写为：dy/dx = -dF/dx / dF/dy这就是隐函数的求导公式，它告诉我们如何通过对隐函数方程进行求导来获得隐函数的导数。

这个求导公式的推导并不复杂，但需要注意一些细节。

首先，我们要确保F(x, y)在求导过程中对x和y都是可导的。

换句话说，F(x, y)的偏导数存在且连续。

其次，我们要注意分母dF/dy不能为零，否则求导公式将无法成立。

以下是几个例子，以帮助理解隐函数的求导公式：例子1：设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们希望求解dy/dx。

首先对这个方程两边求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -2x / (2y) = -x / y这个例子告诉我们，对于圆的方程，求得的导数是-x/y。

例子2：设有一个隐函数方程e^x + ln(y) = 1，我们希望求解dy/dx。

e^x + 1/y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -e^x / (1/y) = -y * e^x这个例子告诉我们，对于指数和对数的方程，求得的导数是-y*e^x。

例子3：设有一个隐函数方程x^3 + 2y^2 = 5，我们希望求解dy/dx。

隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
首先，要明确的是，隐函数求导的前提是要把隐函数表达式转化成显函数表达式，然后就可以采用求导的方法来求隐函数的导数。

1、把隐函数的表达式按照给定的变量进行分离，然后求函数
f(x,y,z) = 0 中每个变量的变化对隐函数求导的影响：
f/x= 0
f/y= 0
f/z= 0
2、通过计算得出每个变量对隐函数的影响，然后把这些变量的变化量组合起来，用如下公式求得隐函数的导数：
f/y = x·f/x + y·f/y + z·f/z
3、根据变换后的隐函数的表达式，求出其导数，多元隐函数的求导公式如下：
f/x = x·f/x1 + y·f/x2 + ... + z·f/xn
上式中，x1, x2, ..., xn 分别表示各个变量，而f/x1, f/x2,…, f/xn 表示每个变量对隐函数的影响。

4、求解一元隐函数的导数，采用如下公式：
y'= (dy/dx)·(dx/dy)
5、对于多元隐函数的导数，采用如下公式求解：
f/x=x(x1,x2,…,xn)·f/x1 + y(x1,x2,…,xn)·f/x2 +…
+z(x1,x2,…。

第五节 隐函数的求导公式在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。

现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。

隐函数存在定理1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。

则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有''yx FF dxdy -= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。

将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy yF xF由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内 0'≠y F于是得''yx FF dxdy -=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。

隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。

§8.5 隐函数的求导公式一、二元方程所确定的隐函数的情形由二元方程F x y(,)=0可确定一个一元的隐函数y f x=(),将之代入原方程,得到一个恒等式F x f x[,()]≡0对恒等式两边关于变量x求导,左边是多元复合函数,它对变量x的导数为F F dy dxx y+右边的导数自然为0,于是有F F dy dxx y+=0解出dydx,得到隐函数的导数dydxFFxy=-。

由多元复合函数的求导定理可知,当F x y(,)=0在(,)x y具有一阶连续偏导数,而y f x=()在x可导时,才可求出复合函数F x f x[,()]的导数,若Fy≠0时,才有dydxFFxy=-这一求导方法,实际上就是以往的直接求导数。

二、由三元方程所确定的二元隐函数的偏导数既然二元方程F x y(,)=0可以确定一个一元的隐函数y f x=(),那么三元方程F x y z(,,)=0便可确定一个二元的隐函数z f x y=(,)。

下面,我们介绍用直接求导法求此函数的偏导数。

对F x y z(,,)=0两边关于变量x求偏导,并注意z是x y,的函数,有F Fzxx z+⋅=∂∂解出∂∂zx ,得到二元隐函数的偏导数 ∂∂z xF F x z=-。

类似地，可得到F F z yy z +⋅=∂∂0,∂∂z yF F y z =-。

【例1】设x y z z 22240++-=, 求 ∂∂22zx 。

解: 将方程x y z z 22240++-=中的z 视为x y ,的隐函数,对x 求偏导数有2240x z z xz x+⋅-⋅=∂∂∂∂∂∂z xx z =-2再一次对x 求偏导数,仍然将z 视为x y ,的隐函数有∂∂∂∂222202z xz x z xz =--⋅--()()()=--⋅--()()2222z x x zz=-+-()()22223z x z也可以用下述方法来求二阶偏导数对422=⋅-⋅+xz xz z x ∂∂∂∂两边关于x 求偏导数,注意到x zz ∂∂,均为x y ,的函数,有2224022222+⋅+⋅-⋅=()∂∂∂∂∂∂z xz z xz x∂∂∂∂2222231222z xz xzz x z =+-=-+-()()()三、由两个函数方程所确定的隐函数的导数设有函数方程组F x y u vG x y u v (,,,)(,,,)==⎧⎨⎩00由此联立的方程组可消去一个变量v ,这样便得到由三个变量所构成的函数方程H x y u (,,)=0,而三元函数方程可确定一个二元隐函数 u u x y =(,),将之代入方程组的其中一个,得到另一个三元方程F x y u x y v (,,(,),)=0,于是,我们也可将变量v表示成x y ,的隐函数v v x y =(,)。