上海交通大学2022高等数学期中试题解答

上海交通大学２０２２年强基计划数学试题及解答李发明(山东省泰安第一中学ꎬ山东泰安２７１０００)摘㊀要:本文给出上海交通大学２０２２年强基计划数学试题的回忆版及解答.关键词:上海交通大学ꎻ强基计划ꎻ数学试题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０７－００２６－０６收稿日期:２０２２－１２－０５作者简介:李发明ꎬ男ꎬ本科ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀微信公众号 阿叶数学 发表了最新的上海交通大学强基计划数学试题ꎬ笔者给出解答ꎬ与广大数学爱好者及备考学子学习交流.试题共４５道单项选择题ꎬ这里学生只回忆了３９道.试题以高考考查范围为主ꎬ在技巧和方法上略有提高ꎬ个别试题的考点在新高考的省份已经被删除ꎬ如题４考查直线的参数方程㊁题７考查直线和圆的极坐标方程ꎬ另外题２７以高等代数中的多项式理论为背景考查ꎬ题３３以 米勒问题 为背景ꎬ题３４涉及到积化和差公式.整套试题难度介于高考与全国高中数学联赛一试之间ꎬ考点覆盖面广ꎬ具有很好的选拔功能ꎻ数学物理两科一起考ꎬ限时３小时ꎬ对于习惯了参加两个小时数学考试的学生来说ꎬ不论是能力上还是体力上都是巨大的考验.题１㊀等比数列ａｎ{}ꎬａ１＝－３ꎬＳ６Ｓ３＝７８ꎬｌｉｍｎңɕＳｎ＝(㊀).Ａ.不存在㊀Ｂ.２３㊀Ｃ.－２３㊀Ｄ.－２解析㊀因为Ｓ６Ｓ３＝７８ꎬ所以ｑʂ１.因为Ｓ６Ｓ３＝１－ｑ６１－ｑ３＝１＋ｑ３＝７８ꎬ所以ｑ＝－１２.所以ｌｉｍｎңɕＳｎ＝ｌｉｍｎңɕ－３１－－１２æèçöø÷ｎ[]１－－１２æèçöø÷＝－２.故选Ｄ.题２㊀集合Ａ＝１ꎬ２ꎬｔ{}ꎬＢ＝ａ２ａɪＡ{}ꎬＣ＝ＡɣＢꎬＣ中元素和为６ꎬ则元素积为(㊀㊀).Ａ.１㊀㊀㊀Ｂ.－１㊀㊀㊀Ｃ.８㊀㊀㊀Ｄ.－８解析㊀集合Ｂ的元素为１ꎬ４ꎬｔ２ꎬ所以ｔ<０.①ｔ２＝１时ꎬｔ＝－１符合ꎬ此时元素积为－８ꎻ②ｔ２＝２时ꎬｔ＝－２ꎬ不符ꎻ③ｔ２＝４时ꎬｔ＝－２ꎬ不符ꎻ④ｔ２ʂ１且ʂ２且ʂ４时ꎬｔ＋ｔ２＝－１ꎬ无解.综上所述ꎬ元素积为－８.故选Ｄ.题３㊀ｘꎬｙꎬｚ为正数ꎬ求１０ｘ２＋１０ｙ２＋ｚ２ｘｙ＋ｙｚ＋ｘｚ的最小值.㊀解析㊀因为１０ｘ２＋１０ｙ２＋ｚ２＝ｋｘ２＋ｋｙ２＋１０－ｋ()ｘ２＋１２ｚ２＋１０－ｋ()ｙ２＋１２ｚ２ȡ２ｋ２ｘｙ＋２(１０－ｋ)(ｙｚ＋ｘｚ)ꎬ所以ｋ２＝１０－ｋ()１２ꎬ解得ｋ＝２.所以１０ｘ２＋１０ｙ２＋ｚ２ｘｙ＋ｙｚ＋ｘｚ＝２ｘ２＋２ｙ２()＋８ｘ２＋１２ｚ２æèçöø÷＋８ｙ２＋１２ｚ２æèçöø÷ｘｙ＋ｙｚ＋ｘｚȡ４ｘｙ＋４ｙｚ＋４ｘｚｘｙ＋ｙｚ＋ｘｚ＝４.题４㊀直线ｋｘ＋４ｙ＝１垂直于ｘ＝２－３ｔｙ＝１＋４ｔ{(ｔ为参数)ꎬｋ＝(㊀㊀).Ａ.３㊀㊀Ｂ.－３㊀㊀Ｃ.１３㊀㊀Ｄ.－１３解析㊀ｘ＝２－３ｔꎬｙ＝１＋４ｔ{(ｔ为参数)化为普通方程即４ｘ＋３ｙ－１１＝０.所以ｋ＝－３.故选Ｂ.题５㊀ｆｘ()＝ｃｏｓωｘ－π６æèçöø÷ω>０()ꎬｆｘ()ɤｆπ４æèçöø÷对∀ｘɪＲ恒成立ꎬ则ω的最小值为(㊀㊀).Ａ.３２㊀㊀㊀Ｂ.１㊀㊀㊀Ｃ.１３㊀㊀㊀Ｄ.２３解析㊀因为ｆｘ()ɤｆπ４æèçöø÷对∀ｘɪＲ恒成立ꎬ所以πω４－π６＝２ｋπｋɪＺ().所以ω＝２３＋８ｋｋɪＺ().由ω>０ꎬ可得ｋ＝０时ꎬω的最小值为２３.故选Ｄ.题６㊀椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２４ｂ２＝１ꎬＰꎬＡꎬＢ在椭圆Ｃ上ꎬｋＡＰꎬｋＢＰ为相反数(ｋ与－ｋ)ꎬ则ｋＡＢ与(㊀㊀).Ａ.ｂꎬｋ有关ꎬ与Ｐ点无关Ｂ.Ｐ点ꎬｂꎬｋ均有关Ｃ.Ｐ点ꎬｋ有关ꎬ与ｂ无关Ｄ.Ｐ点ꎬｂ有关ꎬ与ｋ无关解析㊀当点Ｐ位于ｙ轴上时ꎬｋＡＢ＝０ꎬ其他情况ｋＡＢʂ０ꎬ所以与点Ｐ有关.取Ｐ１ꎬ３ｂ()ꎬ则直线ＡＰ的方程为ｙ－３ｂ＝ｋｘ－１().联立ｙ－３ｂ＝ｋｘ－１()ꎬｘ２４＋ｙ２４ｂ２＝１ꎬìîíïïï整理ꎬ得ｂ２＋ｋ２()ｘ２＋２３ｋｂ－２ｋ２()ｘ＋ｋ２－ｂ２－２３ｋｂ＝０.由韦达定理ꎬ得ｘＡ＝ｋ２－２３ｋｂ－ｂ２ｂ２＋ｋ２ꎬｙＡ＝－３ｋ２ｂ－２ｋｂ２＋３ｂ３ｂ２＋ｋ２.同理ｘＢ＝ｋ２＋２３ｋｂ－ｂ２ｂ２＋ｋ２ꎬｙＢ＝－３ｋ２ｂ＋２ｋｂ２＋３ｂ３ｂ２＋ｋ２.所以ｋＡＢ＝ｙＢ－ｙＡｘＢ－ｘＡ＝ｂ３.故选Ｄ.题７㊀ρ２ｃｏｓθ＋ρ－３ρｃｏｓθ－３＝０表示(㊀㊀).Ａ.一个圆㊀㊀㊀㊀Ｂ.一个圆与一条直线Ｃ.两个圆Ｄ.两条线解析㊀ρｃｏｓθ＋１()ρ－３()＝０表示直线ｘ＝－１和以原点为圆心ꎬ３为半径的圆.故选Ｂ.题８㊀ｂ＝ａ＝ｃ＝１ꎬａ ｂ＝１２ꎬ则ａ＋ｂ() ２ｂ－ｃ()的最小值为(㊀㊀).Ａ.３＋３㊀Ｂ.３－３㊀Ｃ.２＋２㊀Ｄ.２－２解析㊀ａ＋ｂ() ２ｂ－ｃ()＝３－ａ＋ｂ() ｃꎬ当且仅当ｃ与ａ＋ｂ共线同向时ꎬａ＋ｂ() ｃ取得最大值３.故选Ｂ.题９㊀１－ｘ()５＝ａ０＋ａ１ｘ＋ ＋ａ５ｘ５ꎬ求ａ２＋ａ４()ａ１＋ａ３＋ａ５()的值.解析㊀因为ａ１＝－Ｃ１５ꎬａ２＝Ｃ２５ꎬａ３＝－Ｃ３５ꎬａ４＝Ｃ４５ꎬａ５＝－Ｃ５５ꎬ所以ａ２＋ａ４()ａ１＋ａ３＋ａ５()＝－２４０.题１０㊀正四面体装水到高度的１２处ꎬ问倒置后高度至何处?解析㊀Ｖ空气Ｖ全部＝１８ꎬ所以Ｖ水Ｖ全部＝７８ꎬ所以新高度为３７２.题１１㊀使３ｘ－３＋ｘ－３()ｓｉｎｘ－３()＋ｋｃｏｓｘ－３()＝０有唯一解的ｋ(㊀㊀).Ａ.不存在㊀Ｂ.１个㊀Ｃ.２个㊀Ｄ.无穷多个解析㊀函数ｙ＝３ｘ－３＋ｘ－３()ｓｉｎｘ－３()＋ｋｃｏｓｘ－３()的零点个数⇔函数ｙ＝３ｘ＋ｘｓｉｎｘ＋ｋｃｏｓｘ的零点个数.易知该函数为偶函数ꎬ函数有唯一零点则必为ｘ＝０.所以１＋０＋ｋ＝０ꎬ解得ｋ＝－１ꎬ故ｋ只有唯一一个.故选Ｂ.题１２㊀两个圆柱体底面积Ｓ１ꎬＳ２ꎬ体积Ｖ１ꎬＶ２ꎬ侧面积相等ꎬＶ１Ｖ２＝３２ꎬ求Ｓ１Ｓ２.解析㊀Ｖ１Ｖ２＝３２ꎬ所以ｒ２１ｌ１ｒ２２ｌ２＝３２.侧面积相等ꎬ所以ｒ１ｌ１＝ｒ２ｌ２.所以ｒ１ｒ２＝３２.所以Ｓ１Ｓ２＝ｒ２１ｒ２２＝９４.题１３㊀双曲线ｘ２４－ｙ２１２＝１ꎬ焦点为ＡꎬＢꎬ点Ｃ在双曲线上ꎬｃｏｓøＡＣＢ＝３５ꎬ求әＡＢＣ的周长.解析㊀设点Ｃ在双曲线右支上ꎬＡＣ＝ｍꎬＢＣ＝ｎ.所以ｍ－ｎ＝４ꎬ８２＝ｍ２＋ｎ２－２ｍｎｃｏｓøＡＣＢ.{解得ｍ＝１０ꎬｎ＝６.所以周长为２４.题１４㊀Ａ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ１００{}ꎬＢ＝３ｘｘɪＡ{}ꎬＣ＝２ｘｘɪＡ{}ꎬ求ＢɘＣ中元素个数.解析㊀由题知ꎬＢ＝３ꎬ６ꎬ ꎬ３００{}ꎬＣ＝２ꎬ４ꎬ ꎬ２００{}ꎬＢɘＣ为２００以内６的倍数ꎬ所以ＢɘＣ中元素个数为３３个.题１５㊀ｆｘ()＝ａｘ２２－１＋２ａ()ｘ＋２ｌｎｘａ>０()在１２ꎬ１æèçöø÷有极大值ꎬ则ａ的取值范围为(㊀㊀).Ａ.１ꎬ２()㊀㊀㊀㊀Ｂ.１ꎬ＋ɕ()Ｃ.２ꎬ＋ɕ()Ｄ.１ｅꎬ＋ɕæèçöø÷解析㊀ｆᶄｘ()＝ａｘ－１＋２ａ()＋２ｘꎬ只需ａｘ＋２ｘ＝１＋２ａ在１２ꎬ１æèçöø÷上有解.①ａȡ８时ꎬａｘ＋２ｘ在１２ꎬ１æèçöø÷上单调递增ꎬ只需ａ２＋４<１＋２ａ<ａ＋２ꎬ无解ꎻ②ａɤ２时ꎬａｘ＋２ｘ在１２ꎬ１æèçöø÷上单调递减ꎬ只需ａ＋２<１＋２ａ<ａ２＋４ꎬ解得１<ａ<２ꎻ③２<ａ<８时ꎬａｘ＋２ｘ在１２ꎬ１æèçöø÷上先单调递减后单调递增ꎬ只需２２ａ<１＋２ａ<ｍａｘａ＋２ꎬａ２＋４{}ꎬ无解.综上所述ꎬ故选Ａ.题１６㊀☉Ｏ１ꎬ☉Ｏ２与ｙ＝ｋｘꎬｘ轴的正半轴均相切ꎬｒ１ｒ２＝２ꎬ两圆交点Ｐ２ꎬ２()ꎬｋ＝(㊀㊀).Ａ.１㊀㊀㊀Ｂ.４３㊀㊀㊀Ｃ.３４㊀㊀㊀Ｄ.１２解析㊀交点Ｐ２ꎬ２()在ｙ＝ｘ上ꎬ所以ｋ>１.故选Ｂ.题１７㊀偶函数ｆｘ()满足ｆｘ＋４()＝ｆｘ()＋２ｆ２()ꎬ求ｆ２０２２()的值.解析㊀令ｘ＝－２ꎬ则ｆ２()＝ｆ－２()＋２ｆ２()ꎬ解得ｆ２()＝０.所以ｆｘ()的最小正周期为４.所以ｆ２０２２()＝ｆ(４ˑ５０５＋２)＝ｆ２()＝０.题１８㊀ｓｉｎ２０２２πｘ()＝ｘ２实根个数为(㊀㊀).Ａ.２０２２㊀㊀Ｂ.４０４４㊀㊀Ｃ.２０２３㊀㊀Ｄ.１０１１解析㊀由图象变换可知ꎬｙ＝ｓｉｎ２０２２πｘ()在－１ꎬ１[]上包含２０２２个周期ꎬ且每个周期都有两个交点.故选Ｂ.题１９㊀求方程ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝π６的根.解析㊀考虑ｘɪ０ꎬπ２[]ꎬｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝２ｓｉｎｘ＋π４æèçöø÷ɪ１ꎬ２[]ꎬ所以ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘɪ１ꎬ２[].所以原方程无实数解.题２０㊀Ｆ１ꎬＦ２为双曲线两焦点(焦点在ｘ轴)ꎬ直线ＡＢ经过点Ｆ１且与双曲线左右两支交于点ＡꎬＢꎬ２ＡＦ１＝ＡＢꎬøＦ１ＡＦ２＝１２０ʎꎬ求双曲线的离心率.解析㊀设ＡＦ１＝ｘꎬ则ＡＦ２＝ｘ＋２ａꎬＡＢ＝２ｘꎬＢＦ２＝３ｘ－２ａꎬ在әＡＢＦ２中ꎬ３ｘ－２ａ()２＝２ｘ()２＋ｘ＋２ａ()２－２ ２ｘ ｘ＋２ａ()ｃｏｓ６０ʎꎬ即ｘ＝２ａ.在әＡＦ１Ｆ２中ꎬ２ｃ()２＝２ａ()２＋４ａ()２－２ ２ａ４ａｃｏｓ１２０ʎꎬ解得ｅ＝７题２１㊀ｆｘ()＝ｘ＋１＋ｘ－ｘ－２ꎬｆ[ｆｘ()]＋１＝０根的个数为(㊀㊀).Ａ.１㊀㊀㊀Ｂ.２㊀㊀㊀Ｃ.３㊀㊀㊀Ｄ.０解析㊀ｆｘ()＝－ｘ－３ꎬｘɤ－１ꎬｘ－１ꎬ－１<ｘɤ０ꎬ３ｘ－１ꎬ０<ｘɤ２ꎬｘ＋３ꎬｘ>２.ìîíïïïïï令ｔ＝ｆｘ()ꎬ则ｆｔ()＝－１ꎬ解得ｔ＝－２或０.当ｆｘ()＝－２时ꎬｘ＝－１ꎻ当ｆｘ()＝０时ꎬｘ＝－３或１３.故选Ｃ.题２２㊀әＡＢＣꎬＭ为平面上一点ꎬＡＭң＝２３ＡＢң＋１４ＡＣңꎬ则ＳәＡＢＭＳәＢＣＭ＝(㊀㊀).Ａ.３㊀㊀Ｂ.８㊀㊀Ｃ.８３㊀㊀Ｄ.３８解析㊀因为ＡＭң＝２３ＡＢң＋１４ＡＣңꎬ所以ＭＡң＋８ＭＢң＋３ＭＣң＝０.由奔驰定理ꎬ得ＳәＡＢＭＳәＢＣＭ＝３１.故选Ａ.题２３㊀Ａ＝ｘꎬｙ()ｘ２＋ｙ２ɤ３ꎬｘɪＺꎬｙɪＺ{}ꎬＡ中元素个数为(㊀㊀).Ａ.４㊀㊀㊀Ｂ.５㊀㊀㊀Ｃ.８㊀㊀㊀Ｄ.９解析㊀画图即得ꎬ故选Ｄ.题２４㊀ｔａｎ１５ʎ＋２２ｓｉｎ１５ʎ＝(㊀㊀).Ａ.３㊀㊀㊀Ｂ.２㊀㊀㊀Ｃ.２㊀㊀㊀Ｄ.１解析㊀ｔａｎ１５ʎ＝２－３ꎬｓｉｎ１５ʎ＝６－２４.故选Ｄ.题２５㊀空间中到正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１棱Ａ１Ｄ１ꎬＡＢꎬＣＣ１距离相等的点有(㊀㊀).Ａ.无数㊀㊀㊀Ｂ.０㊀㊀㊀Ｃ.２㊀㊀㊀Ｄ.３解析㊀体对角线Ｂ１Ｄ上的点均符合要求.故选Ａ.题２６㊀ａ>ｂ>０ꎬ则ａ＋４ａ＋ｂ＋１ａ－ｂ最小值为(㊀㊀).Ａ.２３㊀㊀Ｂ.３１０２㊀㊀Ｃ.３２㊀㊀Ｄ.４解析㊀ａ＋４ａ＋ｂ＋１ａ－ｂ＝ａ＋ｂ２＋４ａ＋ｂæèçöø÷＋ａ－ｂ２＋１ａ－ｂæèçöø÷ȡ２ａ＋ｂ２ ４ａ＋ｂ＋２ａ－ｂ２ １ａ－ｂ＝３２ꎬ当且仅当ａ＋ｂ２＝４ａ＋ｂꎬａ－ｂ２＝１ａ－ｂ时ꎬ即ａ＝３２２ꎬｂ＝２２时等号成立.故选Ｃ.题２７㊀多项式ｆｘ()ꎬｇｘ()ꎬ问两命题 ｆｘ()是ｇｘ()因式 ｆ[ｆｘ()]是ｇ[ｇｘ()]因式 的充分必要关系.解析㊀反例１:ｆｘ()＝ｘ＋１ꎬｇｘ()＝ｘ＋１()ｘ＋２()ꎬ此时ｆ[ｆｘ()]＝ｘ＋２ꎬｇ[ｇｘ()]＝ｘ２＋３ｘ＋３()ｘ２＋３ｘ＋４()ꎬ前推不出后ꎻ反例２:ｆｘ()＝ｘ＋１ꎬｇｘ()＝ｘｘ＋２()ꎬ此时ｆ[ｆｘ()]＝ｘ＋２ꎬｇ[ｇｘ()]＝ｘｘ＋２()ｘ２＋２ｘ＋２()ꎬ后推不出前.所以ꎬ前是后的既不充分也不必要条件.题２８㊀等势集合指两个集合间一一对应ꎬ下列为等势集合的是(㊀㊀).Ａ.０ꎬ１[]与Ｅ０ɤＥɤ１{}Ｂ.０ꎬ１[]与ａꎬｂꎬｃꎬｄ{}Ｃ.０ꎬ１()与０ꎬ１[]Ｄ.１ꎬ２ꎬ３{}与ａꎬｂꎬｃꎬｄ{}解析㊀０ꎬ１[]＝Ｅ０ɤＥɤ１{}ꎬ两者可通过对应关系ｙ＝ｘ建立一一对应.故选Ａ.题２９㊀ｆｘ()＝ｌｎｘ－ｍｘ２＋１－２ｍ()ｘ＋１ꎬ对∀ｘ>０ꎬｆｘ()ɤ０ꎬ求整数ｍ的最小值.解析㊀ｆᶄｘ()＝１ｘ－２ｍｘ＋１－２ｍ()＝－２ｍｘ－１()ｘ＋１()ｘꎬ①当ｍɤ０时ꎬｆｘ()在０ꎬ＋ɕ()上单调递增ꎬ不符合题意ꎻ②当ｍ>０时ꎬｆｘ()在０ꎬ１２ｍæèçöø÷上单调递增ꎬ在１２ｍꎬ＋ɕæèçöø÷上单调递减ꎬ所以ｆｘ()ｍａｘ＝ｆ１２ｍæèçöø÷＝ｌｎ１２ｍ－ｍ１２ｍæèçöø÷２＋１－２ｍ()１２ｍ＋１ɤ０ꎬ解得ｌｎ２ｍ－１４ｍȡ０.因为ｍ是整数ꎬ所以ｍｍｉｎ＝１.题３０㊀圆锥中ＰＯ为高ꎬＰＡ为母线ꎬＢ为底面上一点ꎬＯＢʅＢＡꎬＯＨʅＢＰ于点ＨꎬＡＯ＝２２ꎬＡＰ＝４ꎬ则ＶＰ－ＨＯＣ的最大值为(㊀㊀).Ａ.２６３㊀㊀Ｂ.３３㊀㊀Ｃ.６３㊀㊀Ｄ.２２注意㊀原题干中没有点Ｃꎬ我们不妨求一下ＶＰ－ＨＯＡ.设øＢＡＯ＝θꎬ则ＡＢ＝２２ｃｏｓθꎬＢＯ＝２２ｓｉｎθ.所以ＶＰ－ＨＯＡ＝ＶＡ－ＨＯＰ＝１３ ４ｓｉｎθ１＋ｓｉｎ２θ２２ｃｏｓθ＝８２３ １１ｔａｎθ＋２ｔａｎθɤ８２３ˑ１２２＝４３.题３１㊀数列ａｎ{}中ꎬａ１＝２ꎬａ２＝６ꎬａｎ＋２－２ａｎ＋１＋ａｎ＝２ꎬ求ð２０２２ｉ＝１１ａｉ.解析㊀因为ａｎ＋２－ａｎ＋１＝ａｎ＋１－ａｎ＋２ꎬ所以ａｎ－ａｎ－１{}是首项为４ꎬ公差为２的等差数列.所以ａｎ－ａｎ－１＝２ｎ.累加求和得ａｎ＝ｎｎ＋１().所以１ａｎ＝１ｎ－１ｎ＋１.所以ð２０２２ｉ＝１１ａｉ＝１－１２æèçöø÷＋１２－１３æèçöø÷＋ ＋１２０２２－１２０２３æèçöø÷＝２０２２２０２３.题３２㊀椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２９＝１ａ>３()ꎬ弦ＡＢ中垂线过－ａ５ꎬ０æèçöø÷ꎬ求离心率ｅ的取值范围.注意㊀原题干弦ＡＢ应是不平行于ｙ轴的.设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ中点为ｘ０ꎬｙ０()ꎬ则ｘ２１ａ２＋ｙ２１９＝１ꎬｘ２２ａ２＋ｙ２２９＝１ꎬìîíïïïï两式相减得ｘ０ａ２＋ｋｙ０９＝０.又因为ｋｙ０ｘ０＋ａ５＝－１ꎬ两式联立ꎬ得ｘ０＝ａ３５９－ａ２().令－ａ<ａ３５９－ａ２()<ａꎬ解得ａ>３５２.所以ｅ＝ｃａ＝１－９ａ２>５５.所以ｅɪ５５ꎬ１æèçöø÷.题３３㊀椭圆ｘ２４＋ｙ２＝１的焦点为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ点Ｐ在ｘ＋２３ｙ－４３＝０上ꎬ当øＦ１ＰＦ２最大时ꎬ则ＰＦ１ＰＦ２＝(㊀㊀).Ａ.１５３㊀㊀Ｂ.３５㊀㊀Ｃ.５３㊀㊀Ｄ.１５５解析㊀由米勒定理知ꎬ过点Ｆ１ꎬＦ２的圆与直线相切于点Ｐ时ꎬøＦ１ＰＦ２最大.由切割线定理知ꎬＡＰ２＝ＡＦ１ ＡＦ２.所以ＡＰ＝３５.所以ＰＦ１ＰＦ２＝ＡＰＡＦ２＝３５３３＝１５３.故选Ａ.题３４㊀әＡＢＣ中ꎬＡ＝３Ｂ＝９ＣꎬｃｏｓＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＢｃｏｓＣ＋ｃｏｓＣｃｏｓＡ＝(㊀).Ａ.１４㊀㊀Ｂ.－１４㊀㊀Ｃ.１３㊀㊀Ｄ.－１３解析㊀Ｃ＝π１３ꎬＢ＝３π１３ꎬＡ＝９π１３ꎬｃｏｓＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＢｃｏｓＣ＋ｃｏｓＣｃｏｓＡ＝ｃｏｓ９π１３ｃｏｓ３π１３＋ｃｏｓ３π１３ｃｏｓπ１３＋ｃｏｓπ１３ｃｏｓ９π１３＝１２(ｃｏｓ１２π１３＋ｃｏｓ６π１３＋ｃｏｓ４π１３＋ｃｏｓ２π１３＋ｃｏｓ１０π１３＋ｃｏｓ８π１３)＝１２ｓｉｎ２π１３ｓｉｎ２π１３(ｃｏｓ２π１３＋ｃｏｓ４π１３＋ｃｏｓ６π１３＋ｃｏｓ８π１３＋ｃｏｓ１０π１３＋ｃｏｓ１２π１３)＝１４ｓｉｎ２π１３(ｓｉｎ４π１３＋ｓｉｎ６π１３＋ｓｉｎ－２π１３＋ｓｉｎ８π１３＋ｓｉｎ－４π１３＋ｓｉｎ１０π１３＋ｓｉｎ－６π１３＋ｓｉｎ１２π１３＋ｓｉｎ－８π１３＋ｓｉｎ１４π１３＋ｓｉｎ－１０π１３)＝１４ｓｉｎ２π１３ ｓｉｎ－２π１３＝－１４.故选Ｂ.题３５㊀８个点将半圆分成９段弧ꎬ以１０个点(包括２个端点)为顶点的三角形中钝角三角形有(㊀)个.Ａ.５５㊀㊀㊀Ｂ.１１２㊀㊀㊀Ｃ.１５６㊀㊀㊀Ｄ.１２０解析㊀这１０个点没有三点共线ꎬ共构成Ｃ３１０＝１２０个三角形ꎬ其中同时选中两个端点时构成Ｃ２２Ｃ１８＝８个直角三角形.故钝角三角形的个数为１１２.故选Ｂ.题３６㊀ａ０＝１４ꎬａｎ＋１＝ａ２ｎ＋ａｎꎬð２０２２ｉ＝０１ａｉ＋１[]＝(㊀㊀).Ａ.１㊀㊀㊀Ｂ.２㊀㊀㊀Ｃ.３㊀㊀㊀Ｄ.４解析㊀因为ａｎ＋１＝ａｎａｎ＋１()ꎬ所以１ａｎ＋１＝１ａｎ－１ａｎ＋１.所以ð２０２２ｉ＝０１ａｉ＋１＝１ａ０－１ａ１æèçöø÷＋１ａ１－１ａ２æèçöø÷＋ ＋１ａ２０２２－１ａ２０２３æèçöø÷＝１ａ０－１ａ２０２３＝４－１ａ２０２３.易知ａｎ{}单调递增ꎬ且无上确界ꎬ所以４－１ａ２０２３[]＝３.故选Ｃ.题３７㊀ｆｘ()＝ｘ＋２ｘ＋１＋３ｘ的反函数为ｇｘ()ꎬ[ｇｘ２()]２＝１的根有(㊀)个.Ａ.１㊀㊀㊀Ｂ.２㊀㊀㊀Ｃ.３㊀㊀㊀Ｄ.４解析㊀由[ｇｘ２()]２＝１ꎬ得ｇｘ２()＝ʃ１.当ｇｘ２()＝１时ꎬ因为ｆ１()＝７ꎬ所以只需ｘ＝ʃ７ꎻ当ｇｘ２()＝－１时ꎬ因为ｆ－１()＝１３ꎬ所以只需ｘ＝ʃ３３.综上所述ꎬ有４个根使得[ｇｘ２()]２＝１.故选Ｄ.题３８㊀ｌｉｍｘң２ｆ５－ｘ()－３ｘ－２＝２ꎬｆ３()＝３ꎬｆｘ()在３ꎬｆ３()()处切线方程为(㊀㊀).Ａ.２ｘ＋ｙ＋９＝０㊀㊀㊀Ｂ.２ｘ＋ｙ－９＝０Ｃ.－２ｘ＋ｙ＋９＝０㊀㊀㊀Ｄ.－２ｘ＋ｙ－９＝０解析㊀ｌｉｍｘң２ｆ５－ｘ()－３ｘ－２＝ｌｉｍｘң２ｆ５－ｘ()－３３－５－ｘ()＝－ｌｉｍｘң２ｆ５－ｘ()－３５－ｘ()－３＝２ꎬ所以ｆᶄ３()＝－２.所以切线方程为２ｘ＋ｙ－９＝０.故选Ｂ.题３９㊀正方体ＢＤ１中ꎬＭ为Ｃ１Ｄ１中点ꎬＯＭʊ面βꎬβ过点Ｂ且异于平面Ｂ１ＢＣＣ１ꎬＰɪβ且Ｐ在正方体内(包括边)ꎬ则直线Ａ１Ｐ与平面Ｂ１ＢＣＣ１所成角的正切值最大为(㊀㊀).Ａ.３㊀㊀Ｂ.１２㊀㊀Ｃ.２２㊀㊀Ｄ.２注意㊀原题干没有点Ｏꎬ而且把点Ｏ放到很多位置都不合适.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]。

2021-2022学年上海交大二附中九年级（上）期中数学试卷1.如果两个相似三角形对应边之比1：9，那么它们的对应中线之比是()A. 1：2B. 1：3C. 1：9D. 1：812.△ABC中∠C=90°，若AB=2，∠A=α，则AC的长为()A. 2sinαB. 2cosαC. 2sinαD. 2cosα3.二次函数y=1−12(x+2)2的顶点坐标是()A. (1,−2)B. (1,−12) C. (−2.1) D. (−2.−1)4.已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE//BC，若DE：BC=1：3，则向量DC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于()A. DA⃗⃗⃗⃗⃗ B. 2DA⃗⃗⃗⃗⃗ C. 3DA⃗⃗⃗⃗⃗ D. 4DA⃗⃗⃗⃗⃗5.已知二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么a、b的符号为()A. a>0，b>0B. a<0，b>0C. a>0，b<0D. a<0，b<06.△ABC和△DEF，AM和DN是BC和EF边上的中线，且ABDE =BCEF=AMDN，则下列结论中不正确的是()A. ACDF =AMDNB. ∠BAM=∠CAMC. △ABC∽△DEFD. △ABM∽△DEN7.已知a、b、c是线段．且c是a、b的比例中项，若a=6cm，b=8cm，则c=______cm．8.若ab =cd=ef=23，则a−2c+3eb−2d+3f=______．9.在近期上映的电影《嫦娥》对我国航事业予以了巨大肯定，在一比例尺是1：15000000的卫星地图上，测得上海和南京的距离大约是2厘米．那么上海和南京的实际距离大约是______千米．10.将长为4cm的线段进行黄金分割，则较短的线段是______cm．11.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足D，ADAC =35，△ABC的周长是25cm，那么△ACD的周长是______cm．12.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB=______．13.如果等腰三角形中的两条边长分别是2和5，那么底角的余弦为______．14.抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OA：OB=1：3，OB=OC，那么a的值是______．15.已知抛物线y=f(x)开口向下，对称轴是直线x=−1，那么f(−2)______f(1)(填“>”或“<”)．16.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度ℎ为______米．17.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条优美线．已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D、E在边BC 上，且BD=2，E为BC中点，过点D的优美线交过点E的优美线于F，那么线段AF的长等于______．18.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=x，BC=6，点M为边AB的中点，C关于AB的对称点是D，联结DM，若直线DM与△ABC的一条边垂直，则AC=______．19.计算：(sin60°−cos45°)(cos30°+sin45°)cos245∘+cot60∘sin60∘．20. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE//BC ，AD =2BD ，已知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ．(1)用向量a ⃗ 、b ⃗ 分别表示向量BE ⃗⃗⃗⃗⃗、AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)作出向量DC⃗⃗⃗⃗⃗ 分别在EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的分向量(写出结论，不要求写作法)．21. 如图，已知△ABC 中，AB =AC =2√5，BC =4.线段AB 的垂直平分线DF 分别交边AB 、AC 、BC 所在的直线于点D 、E 、F ．(1)求线段BF 的长；(2)求AE ：EC 的值．22. 交大二附中地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A 是栏杆转动的支点．点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF 升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB ⊥BC ，EF//BC ，∠EAB =143°，AB =AE =1.2米．(1)求当车辆经过时，栏杆EF 段距离地面的高度(即直线EF 上任意一点到直线BC 的距离)．(2)为了增加安全性，在保持车辆经过时栏杆EF段距离地面的高度不变的前提下．在图2中把连接点向右移动．若移动后∠EAB减小16°，则改进后栏杆平行地面时，图1中E向右移动的距离是多少？(结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计，参考数据：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75.)23.如图，在△ABC中，D、E分别在边BC、AC上，AD、BE交于F，AF=AE且AF⋅BE=BF⋅CE．(1)求证：△ABD∽△CBA；(2)求证：AF为DF与CE的比例中项．24.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和B(3,0)，且与y轴交于点C，抛物线顶点为点D．(1)求物线的解析式；(2)求证：∠ACB=∠ABD；(3)沿着y轴所在直线上下平移抛物线，使平移后的抛物线与x轴正半轴的交点为E且E在B的右侧，若∠EDB=45°，求平移后的抛物线表达式．25.如图，在△ABC中，AB=15，BC=40，cos∠ABC=3，射线CM//AB，D为线段BC5上的一动点且和B、C不重合，连接DA，过D作DE⊥DA交射线CM于E，联结AE，作EC=EF，交BC的延长线于F，设x=BD．(1)当AD//EF求BD；(2)若y=CE，求y关于的数解析式，并写出定义域；(3)作∠BDG=∠AEF，交AE于G，若△DGE与△CDE相似，求BD的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵两个相似三角形对应边之比1：9，∴两个相似三角形的相似比为1：9，∴它们的对应中线之比是1：9，故选：C．根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应中线的比等于相似比是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=2，∠A=α，∴cosA=AC，AB∴AC=ABcosA=2cosα，故选：B．知AC=ABcosA，据此可得答案．由cosA=ACAB本题主要考查解直角三角形，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形要用到的关系．3.【答案】C(x+2)2，【解析】解：∵二次函数y=1−12∴该抛物线的顶点坐标为(−2,1)，故选：C ．根据题目中抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会根据顶点式，直接写出顶点坐标．4.【答案】D【解析】解：如图所示：∵DE//BC ，DE ：BC =1：3，∴△DAE∽△CAB ，∴|DA⃗⃗⃗⃗⃗ |：|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1：3． 故选：D ．根据相似三角形的性质，求出DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的模的比，进而得出两向量的比值． 此题考查了平面向量，利用相似三角形的性质求出向量的模的比是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：如图所示，抛物线开口向下，则a <0，又因为对称轴在y 轴右侧，故−b2a >0，因为a <0，所以b >0，故选：B ．根据函数图象的特点：开口方向、对称轴等即可判断出a 、b 的符号．考查二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴确定． 6.【答案】B【解析】解：如图；∵△ABC 和△DEF ，AM 和DN 是BC 和EF 边上的中线，∴BM=CM=12BC，EN=FN=12EF，∵ABDE =BCEF=AMDN，∴ABDE =BMEN=AMDN，∴△ABM∽△DEN，故D正确，不符合题意；∴∠B=∠E，∵ABDE =BCEF，∴△ABC∽△DEF，故C正确，不符合题意；∴ABDE =ACDF，∵ABDE =BCEF=AMDN，∴ACDF =AMDN，故A正确，不符合题意；∵AM不是∠BAC的角平分线，∴∠BAM≠∠CAM，故B错误，符合题意；故选：B．根据题意作图，根据相似三角形的判定和性质可依次判断．本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意作图，再根据相似三角形的判定和性质进行证明．7.【答案】4√3【解析】解：∵线段a=6cm，b=8cm，线段c是a、b的比例中项，∴c2=ab=6×8=48，∴c1=4√3，c2=−4√3(舍去)，∴线段c=4√3cm．故答案为：4√3．根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．8.【答案】23【解析】解：设a b =c d =e f =23=k ，则a =bk ，c =dk ，e =fk ，∴a−2c+3e b−2d+3f =bk−2dk+3fk b−2d+3f =k(b−2d+3f)b−2d+3f =k =23， 故答案为：23．设a b =c d =e f =k ，则a =bk ，c =dk ，e =fk ，代入式子再整理即可．本题考查比例的基本性质，设出参数并正确整理是解题关键．9.【答案】300【解析】解：设这两地的实际距离是x cm ，根据题意得 x ：2=1：15000000，解得：x =30000000，∵30000000cm =300km ，∴这两地的实际距离是300km ．故答案为：300．首先设这两地的实际距离是x cm ，然后根据比例尺的定义，列方程求解．此题考查了比例线段．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位．10.【答案】(6−2√5)【解析】解：将长为4cm 的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为√5−12×4cm =(2√5−2)cm ，∴较短线段的长为：4−(2√5−2)=(6−2√5)(cm)，故答案为：(6−2√5).由黄金比值求出较长线段的长，再由原线段长减去较长线段的长即可．本题考查的是黄金分割的概念和黄金比值，掌握黄金比值为√5−12是解题的关键．11.【答案】15【解析】解：∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CDA，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴C△ACD：C△ABC=AD：AC=3：5，∵△ABC的周长是25cm，∴△ACD的周长是15cm；故答案为：15．根据两角对应相等证△ACD∽△ABC，再根据相似三角形周长之比等于相似比求出△ACD的周长．本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练应用勾股定理和相似三角形的判定与性质，相似三角形周长之比等于相似比是解题关键．12.【答案】3【解析】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴ABAC =ACAD，∵AC=2，AD=1，∴1+DB2=21，解得DB=3．故答案为：3．由题意，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答．本题考查相似三角形的判定和性质，属于基础题．13.【答案】15【解析】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，由题意可得，AB=AC=5，BC=2，由等腰三角形三线合一可得，BD=12BC=1，所以Rt△ABD中，cosB=BDAB =15．故答案是：15．作底边上的高，根据等腰三角形的三线合一求得底边的一半，从而求得三角形底角的余弦值．此题主要考查了锐角三角函数的概念，利用等腰三角形的性质解题是解题关键．14.【答案】1或−1【解析】解：令x=0，则y=3，即点C的坐标是(0,3)，则OC=3．①如图1，点A、B均在x轴的正半轴上时．∵OA：OB=1：3，OB=OC，∴OA=1，OB=3，令y=0，则ax2+bx+3=0，∴1，3的该方程的两个根，∴3=3a，解得，a=1；②如图2，当点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴上时．∵OA：OB=1：3，OB=OC，∴OA=1，OB=3，令y=0，则ax2+bx+3=0，∴−1，3的该方程的两个根，∴−3=3a，解得，a=−1；综合①②知，a的值是1或−1．故答案是：1或−1．此题需要分类讨论：①当点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴；②点A、B均在x轴的正半轴上时来求a的值．本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时需要分类讨论，以防漏解或者错解．另外注意数形结合数学思想的应用．15.【答案】>【解析】解：∵抛物线y=f(x)开口向下，对称轴是直线x=−1，∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，函数值越小，∵−1−(−2)<1−(−1)，∴f(−2)>f(1)．故答案为：>．根据抛物线y=f(x)开口向下，对称轴是直线x=−1，可知抛物线上的点到对称轴的距离越大，函数值越小，然后可判断出f(−2)>f(1)．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，找到二次函数的对称轴并判断出点的位置是解题的关键．16.【答案】43【解析】解：∵BC⊥AD，DE⊥AD，∴BC//DE，∴△ABC∽△ADE，0.8ℎ=66+4，解得ℎ=43，故答案为43．易得图中的两三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例可得ℎ的值．考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两三角形相似，对应边成比例．17.【答案】167【解析】解：如图，∵AB=AC=5，E为BC的中点，∴AE⊥BC，BE=EC=12BC=3，∴AE=√AB2−BE2=4，∵S△ABC=12×BC×AE=12×6×4=12，∴DC=BC−BD=6−2=4，作△GDC使得GD是△ABC的一条优美线，过点G作GH⊥BC于H，则S△GDC=12S△ABC=6，∴GH=6×2÷DC=3，∵GH⊥BC，AE⊥BC，∴GH//AE，∴△CGH∽△CAE，∴HCEC =GHAE，设HC=x，则x3=34，解得：x=94，∴EH=EC−HC=3−94=34，∵△DEF∽△DGH，∴EFGH =EDDH，又∵DH=BC−BD−HC=6−2−94=74，即EF3=17，解得：EF=127，∴AF=AE−EF=4−127=167，故答案为：167．作△GDC使得GD是△ABC的一条优美线，过点G作GH⊥BC于H，根据EF//GH，得△CGH∽△CAE，△DEL∽△DGH，列出比例式，代入数值计算即可求解．本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形求出线段EF的长是解题的关键．18.【答案】6或2√3或6√3【解析】解：如图1中，当DM⊥AB时，△ACB是等腰直角三角形，此时AC=BC=6．如图2中，当DM⊥BC时，连接CM．∵∠ACB=90°，BM=AM，∴CM=BM=AM，∴∠CAM=∠ACM，∵DM⊥BC，AC⊥BC，∴∠CAM=∠AMD，∵C ，D 关于AB 对称，∴∠CMA =∠AMD ，∴∠CAM =∠ACM =∠AMC =60°，∴∠ABC =90°−60°=30°，∴AC =BC ⋅tan30°=2√3．如图3中，当DM ⊥AC 时，同法可证∠B =60°，∴AC =BC ⋅tan60°=6√3，综上所述，满足条件的AC 的值为6或2√3或6√3．分三种情形：如图1中，当DM ⊥AB 时，△ACB 是等腰直角三角形，如图2中，当DM ⊥BC时，连接CM.证明△ACM 是等边三角形，如图3中，当DM ⊥AC 时，同法可证∠B =60°，分别求解可得结论． 本题考查轴对称的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：原式=(√32−√22)(√32+√22)(√22)+√33×√32 =(√32)2−(√22)212+36=34−24=14．【解析】把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的混合运算法则计算，得到答案．本题考查的是特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．20.【答案】解：(1)∵DE//BC ，AD =2BD ， ∴DE BC =AD AB =23， ∴DE =23BC ， ∵DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同， ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ， ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ ， ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ +23b ⃗ ． ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23a ⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23a ⃗ +23b ⃗ ．(2)作出的图形中，DC⃗⃗⃗⃗⃗ 在EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的分向量， FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +b ⃗ −23(−23a ⃗ +23b ⃗ )=−59a ⃗ +59b ⃗ ， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的分向量DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(13a ⃗ +23b ⃗ )=29a ⃗ +49b ⃗ ．【解析】(1)由平行线分线段成比例的性质可知DE =23BC ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ，由于BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23a ⃗ ，根据向量加法的三角形法则即可求出向量BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)作DF//BE 交AC 于F ，由平行线分线段成比例的性质可知向量DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别在EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的分向量．本题难度中等，考查了平行线分线段成比例的性质和向量加法的三角形法则及作图．21.【答案】解：(1)作AH ⊥BC 于H ，如图，∵AB =AC =2√5，∴BH =CH =12BC =2，在Rt △ABH 中，AH =√(2√5)2−22=4，∵DF 垂直平分AB ，∴BD =√5，∠BDF =90°∵∠ABH=∠FBD，∴Rt△FBD∽Rt△ABH，∴BFAB =BDBH=DFAH，即BF2√5=√52=DF4，∴BF=5，DF=2√5；(2)作CG//AB交DF于G，如图，∵BF=5，BC=4，∴CF=1，∵CG//BD，∴CGBD =CFBF=15，∵CG//AD，∴AECE =ADCG=BDCG=5．【解析】(1)作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得BH=CH=12BC=2，再利用勾股定理计算出AH=4，然后证明Rt△FBD∽Rt△ABH，再利用相似比计算BF和DF的长；(2)作CG//AB交DF于G，如图，利用CG//BD得到CGBD =CFBF=15，然后由CG//AD，根据平行线分线段成比例定理得到AE：EC的值．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质．22.【答案】解：(1)如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，∴∠EAH=∠EAB−∠BAG=53°．在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°−∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE⋅cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96(米)，AH=AE⋅sin∠AEH≈1.2×0.60= 0.72(米)，∵AB=1.2米，∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2(米)．故栏杆EF段距离地面的高度约为2.2米；(2)在图2中把连接点向右移动．若移动后∠EAB减小16°，则∠EAH=37°，∴AH=EHtan37∘≈0.96×43=1.28(米)，∴图1中E向右移动的距离是：1.28−0.72=0.56米≈0.6(米)．【解析】(1)过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA= 90°.先求出∠EAH=53°，则∠EAH=53°，然后在△EAH中，利用余弦函数的定义得出EH=AE⋅cos∠AEH≈0.96米，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可；(2)∠EAB减小16°，则(1)中的出∠EAH=37°，解直角三角形求出AH的长即可．本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中．关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算．23.【答案】证明：(1)∵AF⋅BE=BF⋅CE，∴AFCE =BFBE，又∵AF=AE，∴∠AFE=∠AEF，∴∠AFB=∠CEB，∴△FAB∽△ECB，∴∠BAF=∠C，又∵∠ABC=∠ABD，∴△ABD∽△CBA；(2)∵△FAB∽△ECB，∴∠ABF=∠EBC，∵△ABD∽△CBA，∴∠BDF=∠BAF，∴△BDF∽△BAE，∴BFBE =DFAE，∵AFCE =BFBE，∴AFCE =DFAE，又∵AF =AE ， ∴AF CE =DF AF ， ∴AF²=DF ⋅CE ，∴AF 为DF 与CE 的比例中项．【解析】(1)先证△FAB∽△EBC 得∠BAF =∠C 即可；(2)通过两个角相等，证明△BDF∽△BAE ，得BF BE =DF AE ，又AF CE =BF BE ，则AF CE =DFAE ，即可解决问题．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．24.【答案】(1)解：把点A(−1,0)和B(3,0)代入y =x 2+bx +c 得，{1−b +c =09+3b +c =0， 解得：{b =−2c =−3， ∴抛物线的解析式为：y =x 2−2x −3；(2)证明：对于y =x 2−2x −3，令x =0，则y =−3，∴C(0,−3)，∵抛物线顶点为点D ，∴D(1,−4)，∴OB =OC ，∴∠OCB =∠OBC =45°，连接CD ，则CD =√2，∵BC =3√2，BD =√22+42=2√5，∴CB 2+CD 2=BD 2，∴∠DCB =90°，∴tan∠ACO=OAOC =13，tan∠CBD=CDBC=13，∴∠ACO=∠CBD，∴∠ACB=∠ABD；(3)解：如图，过B作BF⊥DE于F，则△BDF是等腰直角三角形，∴BF=DF=√22BD=√10，∠DBF=∠BDF=45°，过F作FH⊥x轴于H，∴∠BHF=∠DCB=90°，∴∠BFH+∠BFH=∠FBH+∠CBD=90°，∴∠BFH=∠CBD，∴△BCD∽△FHB，∴BHCD =FHBC=BFBD，∴√2=3√2=√102√5，∴BH=1，FH=3，∴F(4,−3)，设DE的解析式为：y=kx+b，∴{−3=4k+b−4=k+b，∴{k=13b=−133，∴DE的解析式为：y=13x−133，当y=0时，x=13，∴E(13,0)，设平移后的抛物线表达式为y=x2−2x−3+b，把E(13,0)代入得，0=132−2×13−3+b，∴b=−140，∴平移后的抛物线表达式为y=x2−2x−143．【解析】(1)把点A(−1,0)和B(3,0)代入y=x2+bx+c得到{1−b+c=09+3b+c=0，解方程组即可得到结论；(2)对于y=x2−2x−3，令x=0，则y=−3，得到C(0,−3)，求得∠OCB=∠OBC=45°，连接CD，则CD=√2，根据勾股定理的逆定理得到∠DCB=90°，根据三角函数的定义得到∠ACO=∠CBD，即可得到∠ACB=∠ABD；(3)如图，过B作BF⊥DE于F，则△BDF是等腰直角三角形，求得BF=DF=√22BD=√10，∠DBF=∠BDF=45°，过F作FH⊥x轴于H，得到∠BHF=∠DCB=90°，根据相似三角形的性质得到BH=1，FH=3，求得F(4,−3)，求得DE的解析式为：y=13x−133，得到E(13,0)，设平移后的抛物线表达式为y=x2−2x−3+b，把E(13,0)代入解方程即可得到结论．本题考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25.【答案】解：(1)如图1，作AG⊥BC于G，∴BG=AB⋅cos∠ABC=15×35=9，∴AG=√AB2−BG2=√152−92=12，∵EC=EF，∴∠ECF=∠F，∵CM//AB，AD//EF，∴∠B=∠ECF，∠ADB=∠F，∴∠B=∠ADB，∴AB=AD，∴BD=2BG=18；(2)如图2，作AG⊥BC于G，EH⊥CF于H，∴∠ADG=∠CHE=90°，∴∠ADG+∠DAG=90°，∵AD⊥DE，∴∠ADE=90°，∴∠ADG+∠EDG=90°，∴∠DAG=∠EDH，∴△AGD∽△DHE，∴ADDG =DHEH，∵BD=x，BG=9，BC=40，∴DG=x−9，DC=40−x，∵∠ECF=∠ABD，∴CH=CE⋅cos∠ECF=y⋅cos∠ABD=35y，∴EH=45x，∴DH=DC+CH=40−x+35y，∴12x−9=40−x+35y45y，化简，得，y=5x2−245x+18003x−75，当∠HDE=∠ECF时，DE//CE，∴∠DAG=∠ECH=∠ABD，∴DG=AG⋅tan∠DAG=12⋅tan∠ABG=12×43=16，此时，BD=BG+DG=9+16=25，∴9<x<25；(3)如图3，∵∠BDG=∠AEF，∴点D、G、E、F共圆，∴∠DGE+∠F=180°，∠AGD=∠F，∵∠ECF+∠DCE=180°，∠F=∠ECF，∴∠DGE=∠DCE，∴△GDE∽△CDE或△GDE∽△CED，当△GDE∽△CDE时，∠GDE=∠CDE，∵DE=DE，∴△CDE≌△GDE(AAS)，∴DG=DC，∵∠ADE=90°，∴∠ADB+∠EDC=∠ADG+∠GDE=90°，∴∠ADB=∠ADG，∵∠ABD=∠ECF=∠F，∴∠ABD=∠AGD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AGD(AAS)，∖∴DB=DG，∴BD=CD=12BC=20，当△GDE∽△CED时，如图4，∠GDE=∠DEC，∠GED=∠CDE，∴DG//CE，CD//GE，∴四边形CDGE是平行四边形，由(1)(2)知，AK=12，DK=x−9，CD=40−x，△AKD∽△DTE，∴ET=AK=12，CT=AK=9，DT=49−x，∴AK DK =DTET，∴12x−9=49−x12，∴x=13，综上所述：BD=20或13．【解析】(1)可推出△ABD是等腰三角形，从而求得BD；(2)作AG⊥BC于G，EH⊥CF于H，可证得△AGD∽△DHE，可求得AG=12，DG=x−9，EH=45y，DH=40−x+35y，进一步求得结果；(3)推出可以是△GDE∽△CDE或△GDE∽△CED，当△GDE∽△CDE时，可推出△GDE≌△CDE及△ABD≌△AGD，进而求得此时BD的值；当△GDE∽△CED时，推出四边形ADFED 是平行四边形，再根据△AKD∽△DTE，进而求得此时BD．本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是找出条件，正确分类，注意图形的特殊性等．。

高一数学期中试卷（满分150分，120分钟完成．答案请写在答题纸上）一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）1.已知集合{}{1},1,0,2A x x B =<=-，则⋂=A B ___________．2.函数y =__________.3.“x 、y 中至少有一个大于0”是“0x y +>”的_____________条件．（用“充分非必要”“必要非充分”“充要”或“既非充分也非必要”填空）4.已知12x x +=，则331x x -的值为_____________．5.已知0.63a=，则 5.4log 3=____________（结果用含a 的式子表示）．6.不等式211x x-≤的解集为___________.7.不等式41320x x--<的解集为_____________．8.如果当78x ≤≤时，|||2|()x k x k k -+-∈R 都能取到最小值，则实数k 的取值范围是___________．9.若存在x 满足不等式2211133x axx a +--⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范图是______________．10.如图，正方形OABC 的边长为(1)a a >，函数22y x =与AB 交于点Q ，函数12y x -=与BC 交于点P ，当||||AQ CP +最小时，实数a 的值为____________．11.已知集合{1,2,3}S =，若||||a b c -+的平均数为最简分数nm ，其中a b c S ∈、、，则m n +的值为___________．12.已知2()2()21,x f x b x a x a b x =⋅+⋅++⋅-∈R ，其中a 、b 正实数．若{}{}()0(())0x f x x f f x ===≠∅，则222a ba b b a +++的最大值为___________．二、选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分）13.化简29log 3x的结果为（）A.xB.1xC.xD.1||x 14.函数()b x f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A.1a >，0b <B.1a >，0b >C .01a <<，0b < D.01a <<，0b >15.已知a 、b 、c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（）A.a b c>> B.a c b>> C.b c a>> D.c b a>>16.已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根，现有四个命题：①若0a >，则不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立；②若a<0，则必存在实数0x 使不等式()00f f x x >⎡⎤⎣⎦成立；③方程()f f x x ⎡⎤=⎣⎦一定没有实数根；④若0a b c ++=，则不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立，其中真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个三．解答题（本大题满分T 6分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤．17.已知{}{}2230,1,A x x x B x x a a R =--≤=-≤∈．（1）若A B A ⋃=，求出实数a 的取值范围；（2）若a A ∈，求A B ⋂．18.已知()2()x f x x =∈R ．（1）解不等式：(2)()12f x f x +≤；（2）记()()()g x f x f x =+-，求函数(2)2()y g x g x =-的最小值．19.某公司经过测算，计划投资A 、B 两个项目．若投入A 项目资金x （万元），则一年创造的利润为2x（万元）；若投入B 项目资金x （万元），则一年创造的利润为10,020()3020,20xx f x x x ⎧≤≤⎪=-⎨⎪>⎩（万元）．（1）当投入A 、B 两个项目的资金相同且B 项目比A 项目创造的利润高，求投入A 项目的资金x （万元）的取值范围；（2）若该公司共有资金30万元，全部用于投资A 、B 两个项目，且要求投资B 项目的资金不超过10万元，则该公司一年至少能创造多少利润？（结果精确到0.1万元）．20.已知22(),kk f x x k -++=∈Z ．（1）若函数()y f x =的定义域为R ，求k 的值；（2）若(4)(3)f f ->-，且()21()(20a f x a -+-+>恒成立，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在实数m ，使得关于x 的方程22(1)20f x mx --+=．恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围．21.已知，集合(){}12,,,,01,1,2,,n n i S X X x x x x i n ==== 或(2)n ≥，对于()()1212,,,,,,,n n n n A a a a S B b b b S =∈=∈ ，定义A 与B 之间的距离为：1122(,)n n d A B a b a b a b =-+-++- ．（1）对任意的22,A S B S ∈∈，请写出(,)d A B 可能的值（不必证明）；（2）设4P S ⊆，且P 中有4个元素，记P 中所有元素间的距离的平均值为()d P ，求)d P 的最大值；（3）对()()1212,,,,,,,n n n n A a a a S B b b b S =∈=∈ ，定义：()1122,,,n n A B a b a b a b -=--- ．求证：对任意的,,n A B C S ∈，有以下结论成立：①(,)(,)d A C B C d A B --=．②(,)(,)(,)d A B d B C d A C 、、三个数中至少有一个是偶数．高一数学期中试卷（满分150分，120分钟完成．答案请写在答题纸上）一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）1.已知集合{}{1},1,0,2A x x B =<=-，则⋂=A B ___________．【答案】{}2【分析】利用集合的补集和交集运算求解.【详解】解：因为集合{}1,A x x =<所以{}|1A x x =≥又{}1,0,2B =-，所以{}2A B ⋂=，故答案为：{}22.函数y =__________.【答案】(,1)-∞【分析】由给定函数有意义列出不等式，解之即得.【详解】在函数y =10x -≥，而分式分母不能为0≠，所以101010x x x -≥⎧⎪⇒->⇒<≠，所以原函数定义域为(,1)-∞,答案为：(,1)-∞3.“x 、y 中至少有一个大于0”是“0x y +>”的_____________条件．（用“充分非必要”“必要非充分”“充要”或“既非充分也非必要”填空）【答案】必要非充分【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】先证明0x y +>时，x 、y 中至少有一个大于0假设x ,y 均不大于0，即x ≤0且y ≤0，则x ＋y ≤0，这与x ＋y ＞0矛盾，即当x ＋y ＞0时，x ,y 中至少有一个大于0，即必要性成立，若x ＝1，y ＝−2，满足x ,y 中至少有一个数大于0，但x ＋y ＞0不成立，即充分性不成立，故“x ,y 中至少有一个数大于0”是“x ＋y ＞0”成立的必要不充分条件，故答案为：必要非充分．4.已知12x x +=，则331x x-的值为_____________．【答案】0【分析】解方程求出x ，再代入计算即可.【详解】12x x+= 2210x x ∴-+=，解得1x =333311101x x ∴-=-=故答案为：0.5.已知0.63a =，则 5.4log 3=____________（结果用含a 的式子表示）．【答案】12a a+【分析】先通过换底公式得到31log 0.6a=，再将 5.4log 3转化为以3为底的形式，利用对数的运算性质计算即可.【详解】由0.63a=得0.631log 3log 0.6a ==，即31log 0.6a=，()5.433331111log 31log 5.4log 0.69log 0.6log 9122aaa∴=====⨯+++故答案为：12a a+6.不等式211x x-≤的解集为___________.【答案】{}01x x <≤【分析】移项将分式不等式化为标准形式，再化为一元二次不等式可解得结果.【详解】211x x -≤等价于210x x x --≤等价于10x x -≤，等价于(1)0x x -≤且0x ≠，即01x <≤，故不等式211x x-≤的解集为{}01x x <≤.故答案为：{}01x x <≤.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了一元二次不等式的解法，考查了转化化归思想，属于基础题.7.不等式41320x x --<的解集为_____________．【答案】()0,1【分析】根据式子结构可得0x >，再通过不等式的性质及指数的运算性质变形，最后利用幂函数的性质解不等式即可.【详解】由41320x x--<中的结构12x -可得0x >，41320x x ->>∴，14231x-->∴，即1161x -∴>，即61161111x =<116y x = 在()0,∞+上单调递增，01x ∴<<故答案为：()0,18.如果当78x ≤≤时，|||2|()x k x k k -+-∈R 都能取到最小值，则实数k 的取值范围是___________．【答案】[]4,7【分析】根据绝对值三角不等式的取等条件，结合已知自变量的范围，列出不等关系，即可求得结果.【详解】因为|||2|x k x k -+-()()2x k x k k ≥---=，当且仅当()()20x k x k --≤时取得最小值；当0k ≤时，因为[]7,8x ∈,所以不满足题意；当0k >时，要取得最小值，则[],2x k k ∈；根据题意，当[]7,8x ∈，都要取得最小值，则[]7,8是[],2k k 的子集，则7,28k k ≤≥，解得[]4,7k ∈.故答案为：[]4,7.9.若存在x 满足不等式2211133x axx a +--⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范图是______________．【答案】()()8,,0+∞-∞U 【分析】根据指数函数的单调性化简，令()()()221f x x a x a =+-++，然后结合二次函数的图像列出不等式，即可得到结果.【详解】根据题意可得存在x 满足221x ax x a +<--，即()()2210x a x a +-++<令()()()221f x x a x a =+-++，即存在x 满足()0f x <所以()()22410a a ∆=--+>，解得8a >或a<0即a 的取值范图是()()8,,0+∞-∞U 故答案为:()()8,,0+∞-∞U 10.如图，正方形OABC 的边长为(1)a a >，函数22y x =与AB 交于点Q ，函数12y x -=与BC 交于点P ，当||||AQ CP +最小时，实数a 的值为____________．【答案】2【分析】由题意，可用a 表示出线段AQ 及CP 的长度，再由基本不等式求最值，即可求得||||AQ CP +取最小时的a 值．【详解】解：点P 在函数12y x -=上，则12CP aa-=，点Q 在函数22y x =上，则22Q x a =，的||2Q a AQ x ==12||||22222a a AQ CP a a ∴+≥⋅=当且仅当2a a=，即2a =时取等号，21>知，当||||AQ CP +最小时，a 的2．2．11.已知集合{1,2,3}S =，若||||a b c -+的平均数为最简分数nm，其中a b c S ∈、、，则m n +的值为___________．【答案】27【分析】根据题意，分类讨论a b =或a b ¹两种情况即可求解.【详解】设k a b c =-+，①：a b =，c 取1,2,3，则1,2,3k =，②：a b ¹，则1a b -=或2a b -=，c 取1,2,3，则2,3,4,5k =，故12323452077n m ++++++==，则27m n +=故答案为：2712.已知2()2()21,x f x b x a x a b x =⋅+⋅++⋅-∈R ，其中a 、b 正实数．若{}{}()0(())0x f x x f f x ===≠∅，则222a ba b b a+++的最大值为___________．【答案】2333【分析】设{}{}1()0(())0x x f x x f f x ∈===，即可得到()00f =，从而求出1a b +=，令1b a =-，代入目标式子化简得到()13131a a ++-+，再利用基本不等式计算可得.【详解】解：设{}{}1()0(())0x x f x x f f x ∈===，()()()110f x f f x ∴==，()00f ∴=，即()010f a b =+-=，故1a b +=，所以1b a =-，又a 、b 为正实数，所以01a <<，则112a <+<所以()222221221111a b a a a b b a a a a a a a a ++=+=-+++-+--+()()211331a a a +=++-+()123333131a a =≤++-+当且仅当131a a+=+，即1a =时取等号，即222a b a b b a +++的最大值为2333.故答案为：2333+二、选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分）13.化简29log 3x 的结果为（）A.x B.1xC.xD.1||x 【答案】C【分析】利用对数的运算性质求解即可.【详解】223329loglog log 333x x xx ===，故选：C14.函数()b x f xa -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A.1a >，0b <B.1a >，0b >C.01a <<，0b <D.01a <<，0b >【答案】A【分析】由()b xf x a-=，可得1()x bf x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由图像可知函数是减函数，则101a<<，从而可求出a 的范围，由0(0)1f <<可求出b 的取值范围【详解】由()b x f x a -=，可得1()x bf x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为由图像可知函数是减函数，所以101a<<，所以1a >，因为0(0)1f <<，所以001b a a <<=，所以0b <，故选：A15.已知a 、b 、c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（）A.a b c >>B.a c b>> C.b c a>> D.c b a>>【答案】CD【分析】根据基本不等式，结合题意，即可判断和选择.【详解】对AB ：2222a c bc ac +=>，又0c >，故b a >，则AB 错误；对C ：若b c >，则22222a c bc c +=>，即22a c >，又0,0a c >>，故a c >，则b a c >>满足题意，C 正确；对D ：若c b >，则c b a >>，D 正确.故选：CD.16.已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根，现有四个命题：①若0a >，则不等式()f f x x>⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立；②若a<0，则必存在实数0x 使不等式()00f f x x >⎡⎤⎣⎦成立；③方程()f f x x ⎡⎤=⎣⎦一定没有实数根；④若0a b c ++=，则不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立，其中真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】利用二次函数的图象和性质分别判断()f f x ⎡⎤⎣⎦与x 的关系.【详解】解：方程()f x x =无实根.()0f x x ∴->或()0f x x -<.0,()0a f x x >∴->对一切R 成立,()f x x ∴>,用()f x 代入,[()]()f f x f x x ∴>>,命题①正确；同理若a<0,则有[()]f f x x <.命题②错误,命题③正确；0a b c ++= ,(1)10f -<必然归为a<0,有[()]f f x x <.命题④正确.①③④正确.故选C【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次不等式的应用综合性较强,难度较大.三．解答题（本大题满分T 6分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤．17.已知{}{}2230,1,A x x x B x x a a R =--≤=-≤∈．（1）若A B A ⋃=，求出实数a 的取值范围；（2）若a A ∈，求A B ⋂．【答案】（1）02a ≤≤（2）答案见解析【分析】（1）求出集合AB ，然后根据并集结果列不等式求解即可；（2）分111a a -<-<+，1113a a -≤-<+≤，131a a -<<+讨论，确定A B ⋂【小问1详解】由已知{}[]22301,3A x x x =--≤=-，{}[]1,1,1B x x a a R a a =-≤∈=-++A B A =Q U ，B A ∴⊆1113a a -+≥-⎧∴⎨+≤⎩解得02a ≤≤【小问2详解】由（1）[]1,3A =-，[]1,1B a a =-++，[]1,3a ∈-，当111a a -<-<+，即10a -≤<时，[]1,1A B a ⋂=-+当1113a a -≤-<+≤，即02a ≤≤时，[]1,1A B a a =-+ 当131a a -<<+，即23a <≤时，[]1,3A B a =- 18.已知()2()x f x x =∈R ．（1）解不等式：(2)()12f x f x +≤；（2）记()()()g x f x f x =+-，求函数(2)2()y g x g x =-的最小值．【答案】（1）(]2,log 3-∞（2）2-【分析】（1）首先求出()2f x ，则不等式即为22212x x +≤，解得423x -≤≤，再根据指数函数的性质计算可得；（2）首先表示出()g x ，从而得到(2)2()y g x g x =-的解析式，令22x x t -=+，利用基本不等式求出t 的取值范围，则问题转化为求函数()222h t t t =--，[)2,t ∈+∞的最小值，根据二次函数的性质计算可得.【小问1详解】解：因为()2()x f x x =∈R ，所以2(2)2x f x =，则不等式(2)()12f x f x +≤，即22212x x +≤，即()222120x x +-≤，即()()24230x x+-≤，解得423x -≤≤，显然24x ≥-恒成立，则只需满足23x ≤，解得2log 3x ≤，即不等式的解集为(]2,log 3-∞.【小问2详解】解：()()()22x x g x f x f x -=+-=+，则()()22(2)2()22222xx x x y g x g x --=-=+-+，令22x x t -=+，则222x x t -=+≥=当且仅当22-=x x ，即0x =时取等号，则()2222222222x x x xt --+=+-=-，所以问题转化为求函数()222h t t t =--，[)2,t ∈+∞的最小值，因为()()213h t t =--对称轴为1t =，开口向上，所以()h t 在[)2,+∞上单调递增，所以()()min 22h t h ==-，所以函数(2)2()y g x g x =-的最小值为2-.19.某公司经过测算，计划投资A 、B 两个项目．若投入A 项目资金x （万元），则一年创造的利润为2x（万元）；若投入B 项目资金x （万元），则一年创造的利润为10,020()3020,20xx f x x x ⎧≤≤⎪=-⎨⎪>⎩（万元）．（1）当投入A 、B 两个项目的资金相同且B 项目比A 项目创造的利润高，求投入A 项目的资金x （万元）的取值范围；（2）若该公司共有资金30万元，全部用于投资A 、B 两个项目，且要求投资B 项目的资金不超过10万元，则该公司一年至少能创造多少利润？（结果精确到0.1万元）．【答案】（1）()10,40；（2）14.5万元.【分析】（1）根据已知函数模型，列出不等式，求解即可；（2）根据题意，求得利润关于投资B 项目资金x 的函数关系，结合基本不等式求其最小值即可.【小问1详解】根据题意，当020x ≤≤时，10302x xx >-，即()100x x ->，解得0x <或10x >，故满足题意的(]10,20x ∈；当20x >时，202x>，解得40x <，则此时()20,40x ∈；综上所述，()10,40x ∈，故当B 项目比A 项目创造的利润高时，投入A 项目的资金x （万元）的取值范围()10,40.【小问2详解】根据题意，设投资A 项目x （万元），则投资B 项目30x -（万元），则03010x ≤-≤，解得[]20,30x ∈；则公司一年的利润()10301600110101014.5222x x y x x x -⎛⎫=+=+-≥⨯=≈ ⎪⎝⎭（万元），当且仅当600x x=，即x =（万元）时取得最小值.即该公司一年至少能创造14.5万元的利润.20.已知22(),kk f x x k -++=∈Z ．（1）若函数()y f x =的定义域为R ，求k 的值；（2）若(4)(3)f f ->-，且()21()(20a f x a -+-+>恒成立，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在实数m ，使得关于x 的方程22(1)20f x mx --+=．恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围．【答案】（1）0k =或1k =（2）97a <-或1a ≥（3）10,16⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）根据幂函数的性质得到220k k -++>，求出不等式的解析，再结合k ∈Z ，求出k 的值；（2）首先分析22k k -++的取值情况，依题意及幂函数的性质可得()f x 在(),0∞-上单调递减，即可确定()f x 的解析式，则问题即()221(1)20a x a x -+-+>恒成立，根据函数的奇偶性，只需研究0x ≥的情况即可，结合二次函数的性质计算可得；（3）由（2）可得方程222(1)120x x x mx ---+=在()0,∞+上有4个不同的根，令()1x m x x-=()0,x ∈+∞，分析()m x 的取值情况，则问题转化为2211220x x m x x---+=，即22()()20m x m x m -+=，再令()s m x =，关于s 的方程2220s s m -+=在()0,1上有两个不等的根，结合一元二次方程根的分布问题得到不等式组，解得即可.【小问1详解】解：函数22(),kk f x x k -++=∈Z 的定义域为R ，则220k k -++>，所以()()210k k -+<，解得12k -<<，又k ∈Z ，所以0k =或1k =；【小问2详解】解：因为()2212k k k k -++=--+且Z k ∈，若k 为奇数，则1k -为偶数，则()12k k --+为偶数，若k 为偶数，则1k -为奇数，则()12k k --+为偶数，且221992244k k k ⎛⎫-++=--+≤ ⎪⎝⎭，因为(4)(3)f f ->-，所以()f x 在(),0∞-上单调递减，若222k k -++=，即0k =或1k =时()2f x x =符合题意，若220k k -++=，即1k =-或2k =时()0f x x =，不符合题意，若220k k -++<，则22()k k f x x -++=为偶函数且在()0,∞+上单调递减，则()f x 在(),0∞-上单调递增，不符合题意；所以()2f x x =，则不等式()21()(20a f x a -+-+>恒成立，即()221(1)20a x a x -+-+>恒成立，因为()()221(1)2h x a x a x =-+-+为偶函数，由()0h x >恒成立，只需研究0x ≥的情况即可，①当0x =时显然成立，②当0x >时()221(1)20a x a x -+-+>恒成立，若210a -=解得1a =或1a =-，当1a =时显然成立，当1a =-时不等式即220x -+>，解得1x <，不符合题意；若210a -<，即11a -<<时，显然不成立，若210a ->，即1a >或1a <-时，函数()()221(1)2g x a x a x =-+-+的对称轴为()121x a -=+，开口向上，当1a >时()1021x a -=<+，又()020g =>，所以()()221(1)20g x a x a x =-+-+>()0,x ∈+∞恒成立，符合题意，当1a <-时()1021x a -=>+，则()()221810a a ∆=---<，解得1a >（舍去）或97a <-，综上可得：97a <-或1a ≥；【小问3详解】解：由（2）可得22(1)20f x mx --+=，即()222(1)120x x x mx ---+=，因为方程22(1)20f x mx --+=在()0,∞+上有4个不同的根，即222(1)120x x x mx ---+=在()0,∞+上有4个不同的根，令()1x m x x-=，()0,x ∈+∞，当1x >时，()111x m x x x-==-，所以()m x 在(1,)+∞上单调递增，则()()0,1m x ∈；当01x <<时，()111x m x x x-==-，所以()m x 在(0,1)上单调递减，则()(0,)m x ∈+∞．方程222(1)120x x x mx ---+=可变形为2211220x x m xx---+=，即22()()20m x m x m -+=，令()s m x =，则方程为2220s s m -+=，要使得原方程有4个不同的正根，则关于s 的方程2220s s m -+=在()0,1上有两个不等的根1s ，2s ，所以211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1016m <<，故实数m 的取值范围为10,16⎛⎫⎪⎝⎭．21.已知，集合(){}12,,,,01,1,2,,n n i S X X x x x x i n ==== 或(2)n ≥，对于()()1212,,,,,,,n n n n A a a a S B b b b S =∈=∈ ，定义A 与B 之间的距离为：1122(,)n n d A B a b a b a b =-+-++- ．（1）对任意的22,A S B S ∈∈，请写出(,)d A B 可能的值（不必证明）；（2）设4P S ⊆，且P 中有4个元素，记P 中所有元素间的距离的平均值为()d P ，求)d P 的最大值；（3）对()()1212,,,,,,,n n n n A a a a S B b b b S =∈=∈ ，定义：()1122,,,n n A B a b a b a b -=--- ．求证：对任意的,,n A B C S ∈，有以下结论成立：①(,)(,)d A C B C d A B --=．②(,)(,)(,)d A B d B C d A C 、、三个数中至少有一个是偶数．【答案】（1）证明见解析（2）83，（3）证明见解析【分析】（1）（2）由新定义计算，（3）由新定义与反证法证明，【小问1详解】由题意得2{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}S =，22,A S B S ∈∈，则(,)d A B 可能的值为0,1,2，【小问2详解】设{,,,}P A B C D =，4个元素中第1个位置共t 个1，4t -个0，当0=t 时，1111111111111=||||||||||||0s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，当1t =时，1111111111111=||||||||||||3s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，当2t =时，1111111111111=||||||||||||4s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，当3t =时，1111111111111=||||||||||||3s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，当4t =时，1111111111111=||||||||||||0s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，若要使()d P 最大，则2t =，同理得第2，3，4个位置各有2个1，2个0，()d P 的最大值为44863⨯=，【小问3详解】①由题意得,,{0,1}i i i a b c ∈，1,2,,i n = ，若0i c =，则||i i i a c a -=，||i i i b c b -=，||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-，若1i c =，则||1i i i a c a -=-，||1i i i b c b -=-，||||||||||i i i i i i i i a c b c b a a b ---=-=-，故(,)(,)d A C B C d A B --=，②由①可设(,)(,0)d A B d A B k =-=，(,)(,0)d B C d B C m =-=，(,)(,)d A C d A B C B n =--=，则||A B -中有k 个1，||C B -中有m 个1，设t 是使得||||1i i i i a b c b -=-=成立的i 的个数，则2n k m t =+-，假设,,k m n 均为奇数，则2k m t +-为偶数，矛盾，故假设不成立，故(,)(,)(,)d A B d B C d A C 、、三个数中至少有一个是偶数．。

2021-2022学年上海交大附中高二（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={m|1＜m＜4}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=___ ．2.（填空题，4分）设α：x2-6x+8＞0，β：x≥k，若β是α的充分非必要条件，则实数k的取值范围是 ___ ．+z2的虚部为3.（填空题，4分）若复数z1=3+4i，z2=1-2i，其中i是虚数单位，则复数|z1|i___ ．4.（填空题，4分）已知空间向量a⃗=(2，3，4)，b⃗⃗=(1，0，−1)，那么a⃗在b⃗⃗上的投影向量为 ___ ．5.（填空题，4分）圆锥的侧面积是底面积的5倍，那么这个圆锥的母线与轴所成角的正弦值为 ___ ．6.（填空题，4分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，则异面直线AB和A1C的距离为___ ．7.（填空题，5分）正四棱锥P-ABCD的侧棱长为2，∠APB=30°，E、F、G分别是侧棱PB、PC、PD上各一点，那么空间四边形AEFG周长的最小值为 ___ ．8.（填空题，5分）五条棱长为2，一条棱长为3的四面体的体积为 ___ ．，AD=1，BC=2，AB=3，那么直角梯形ABCD绕直9.（填空题，5分）如图，∠A=∠B=π2线AB旋转一周形成的几何体的体积为 ___ ．10.（填空题，5分）如图，半径为R的半球内接一个圆柱，这个圆柱表面积的最大值为 ___ ．11.（填空题，5分）一种玻璃饰品外形是简单多面体，表面是由三角形和平面八边形两种拼接而成．它共有24个顶点，每个顶点恰好在三条棱上．设该多面体表面有x个三角形，y个平面八边形，则xy的值为 ___ ．12.（填空题，5分）如图，有一个半径为15的半球，过球心O 作底面的垂线l ，l 上一点O 1满足O 1O=12，过O 1作平行于底面的截面将半球分成两个几何体，其中较大部分的体积为 ___ ．13.（单选题，5分）如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是棱C 1D 1、AA 1、BC 的中点，则经过M 、N 、P 的平面与正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1相交形成的截面是一个（ ）A.三角形B.平面四边形C.平面五边形D.平面六边形14.（单选题，5分）设z 1、z 2∈C ，z 12-2z 1z 2+4z 22=0，|z 2|=2，那么以|z 1|为直径的球的表面积为（ ） A.4π B.16π C.32π3D.64π15.（单选题，5分）正项等比数列{a n }中，存在两项a m 、a n 使得 √a m a n =3a 1 ，且a 6=2a 5+3a 4，则 1m +4n 的最小值为（ ） A. 73 B. 52 C. 94 D.216.（单选题，5分）定义域为[a ，b]的函数y=f （x ）图象的两个端点为A ，B ，向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ) OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M （x ，y ）是f （x ）图象上任意一点，其中x=λ a ⃗ +（1-λ） b ⃗⃗ ，λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k 恒成立，则称函数f （x ）在[a ，b]上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数k 称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[1，2]上函数中，线性近似阀值最小的是（ ） A.y=x 2 B. y =2xC. y=sinπx3D. y=x−1x17.（问答题，14分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．（1）求异面直线A1C和BD所成角的大小；（2）求二面角B-A1C-D的大小．18.（问答题，14分）已知函数y=f（x）的反函数为y=f-1（x），且f（x）=2x．（1）若f-1（x）-f-1（1-x）=1，求实数x的值；（2）若关于x的方程f（x）+f（1-x）=m在区间[0，1]内有解，求实数m的取值范围．19.（问答题，14分）我校在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为底面，CD、CE为路灯的灯杆，CD⊥AB，且∠DCE=2π，在E处安装路灯，且路灯的照明张角为3，已知CD=5米，CE=3米．∠MEN=π3（1）当M与D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值．20.（问答题，16分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，满足DE || BC且DE经过△ABC的重心，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，M是A1D的中点，如图所示．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）在线段A1B上是否存在点N（N不与端点A1、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直？若存在，求出A1N与BN的比值；若不存在，请说明理由．21.（问答题，18分）已知数列{a n}的前n项和为S n，我们把满足条件a n+1≤S n（n为任意正整数）的所有数列{a n}构成的集合记为M．（1）若数列{a n}的通项为a n=q n−1(0＜q＜1)，判断{a n}是否属于M，并说明理由；（2）若数列{a n}是等差数列，且{a n+n}∈M，求a2021的取值范围；}中是否存在无穷多项依次成等差数列？（3）若数列{a n}的各项均为正数，且{a n}∈M，数列{4na n若存在，给出一个数列{a n}的通项；若不存在，说明理由．2021-2022学年上海交大附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={m|1＜m＜4}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]（2，4）【解析】：先化简集合B，再根据交集的运算即可求出．【解答】：解：集合A={m|1＜m＜4}=（1，4），B={y|y=3x+2，x∈R}=（2，+∞），则A∩B=（2，4）．故答案为：（2，4）．【点评】：本题考查描述法、区间的定义，以及函数的值域和交集的运算，属于基础题．2.（填空题，4分）设α：x2-6x+8＞0，β：x≥k，若β是α的充分非必要条件，则实数k的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（4，+∞）【解析】：求出α：x2-6x+8＞0的等价条件，再利用充分必要条件的定义求解即可．【解答】：解：α：∵x2-6x+8＞0，∴x＜2或x＞4，∵β是α的充分非必要条件，且β：x≥k，∴{x|x≥k}⫋{x|x＜2或x＞4}，∴k＞4，∴实数k的取值范围是（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．【点评】：本题考查了不等式的解法，简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.（填空题，4分）若复数z1=3+4i，z2=1-2i，其中i是虚数单位，则复数|z1|+z2的虚部为i___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】：解：∵z1=3+4i，z2=1-2i，∴ |z1|=|3+4i|=√32+42=5，z2=1+2i，∴ |z1|i +z2 = 5i+1+2i = −5i−i2+1+2i=1−3i，∴复数|z1|i+z2的虚部为-3．故答案为：-3．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4.（填空题，4分）已知空间向量a⃗=(2，3，4)，b⃗⃗=(1，0，−1)，那么a⃗在b⃗⃗上的投影向量为 ___ ．【正确答案】：[1]（-1，0，1）【解析】：直接利用a⃗在b⃗⃗上的投影向量的计算公式求解即可．【解答】：解：因为空间向量a⃗=(2，3，4)，b⃗⃗=(1，0，−1)，所以a⃗在b⃗⃗上的投影向量为a⃗⃗•b⃗⃗|b⃗⃗|•b⃗⃗|b⃗⃗|=√2•(√20，√2) =（-1，0，1）．故答案为：（-1，0，1）．【点评】：本题考查了空间向量的坐标运算，向量投影向量的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．5.（填空题，4分）圆锥的侧面积是底面积的5倍，那么这个圆锥的母线与轴所成角的正弦值为 ___ ．【正确答案】：[1] 15【解析】：设圆锥母线与轴所成的角为α，由题意求出圆锥的母线是圆锥底面半径的5倍，利用边角关系求解即可．【解答】：解：设圆锥母线与轴所成的角为α，因为圆锥的侧面积是底面积的5倍，则πrlπr2=lr=5，即圆锥的母线是圆锥底面半径的5倍，所以sinα= rl = 15，则这个圆锥的母线与轴所成角的正弦值为15．故答案为：15．【点评】：本题考查了圆锥的几何性质的理解与应用，圆锥的侧面积公式的运用，圆锥母线与轴的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．6.（填空题，4分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，则异面直线AB和A1C的距离为___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：异面直线的距离转化为点到平面的距离，求解即可．【解答】：解：连接B1C，BC1，因为几何体是正方体，AB || DC，所以AB || 平面DCB1A1，异面直线AB和A1C的距离，转化为B到平面DCB1A1的距离，所以异面直线AB和A1C的距离为12 BC1= 12×4√2 =2 √2，故答案为：2 √2．【点评】：本题是基础题，考查正方体中异面直线的距离的求法，考查空间想象能力．7.（填空题，5分）正四棱锥P-ABCD的侧棱长为2，∠APB=30°，E、F、G分别是侧棱PB、PC、PD上各一点，那么空间四边形AEFG周长的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]2 √3【解析】：首先把四棱锥体展开成平面图，进一步利用余弦定理求出周长的最小值．【解答】：解：将正四棱锥P-ABCD的四个侧面展开，如图所示：则当E、F、G分别为AA1，与PB、PC、PD的交点时，四边形AEFG的周长最小，易知∠APA1=4∠APB=120°，在△PAA1中，由余弦定理：AA1=√22+22−2×2×2×cos120° =2 √3，所以四边形AEFG周长的最小值为2 √3．故答案为：2 √3．【点评】：本题考查的知识要点：几何体的直观图和展开图，余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.（填空题，5分）五条棱长为2，一条棱长为3的四面体的体积为 ___ ．【正确答案】：[1] √32【解析】：如图取AC的中点O，由题可得AC⊥平面POB，利用三棱锥的体积公式即求．【解答】：解：如图四面体P-ABC，PA=PB=PC=AB=BC=2，AC=3，取AC的中点O，连接PO、BO，则AC⊥PO，AC⊥BO，又PO⋂BO=O，∴AC⊥平面POB，又PO=BO=√22−(32)2=√72，在△POB中，边PB上的高为√(√72)2−1=√32，∴ V P−ABC=13S△POB⋅AC=13×12×2×√32×3=√32．故答案为：√32．【点评】：本题主要考查空间几何体体积的求解，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．9.（填空题，5分）如图，∠A=∠B=π2，AD=1，BC=2，AB=3，那么直角梯形ABCD绕直线AB旋转一周形成的几何体的体积为 ___ ．【正确答案】：[1]7π【解析】：先确定直角梯形ABCD绕直线AB旋转一周形成的几何体为圆台，然后由圆台的体积公式求解即可．【解答】：解：由题意，直角梯形ABCD绕直线AB旋转一周形成的几何体为圆台，且该圆台的上底面圆的面积为π×12=π，下底面圆的面积为π×22=4π，圆台的高为3，×(π+√π×4π+4π)×3=7π．所以该几何体的体积为V=13故答案为：7π．【点评】：本题考查了旋转体的理解与应用，圆台的体积公式的运用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于基础题．10.（填空题，5分）如图，半径为R的半球内接一个圆柱，这个圆柱表面积的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]πR2（1+ √2）【解析】：设设圆柱底面半径为r，高为h，易得h=Rsinθ，r=Rcosθ，表示出圆柱体的表面积，转化为三角函数求最值的问题求解．【解答】：解：设圆柱底面半径为r，高为h，由截面图可知，h=Rsinθ，r=Rcosθ，所以圆柱的表面积S=2πr2+2πrh=πR2•2cos2θ+πR2•2sinθcosθ=πR2（sin2θ+2cos2θ）=πR2)+1]，（sin2θ+cos2θ+1）=πR2•[√2sin(2θ+π4）=1时，S有最大值πR2（1+ √2），当sin（2 θ+π4故答案为：πR2（1+ √2）．【点评】：本题考查半球内接圆柱体的表面积的最值问题，转化为三角函数求最值是解题关键，属于中档题．11.（填空题，5分）一种玻璃饰品外形是简单多面体，表面是由三角形和平面八边形两种拼接而成．它共有24个顶点，每个顶点恰好在三条棱上．设该多面体表面有x个三角形，y个平面八边形，则xy的值为 ___ ．【正确答案】：[1]48【解析】：设顶点数为V，面数为F，棱数为E．由题知F=x+y，由欧拉公式得：V+F-E=2，由此能求出结果．【解答】：解：设顶点数为V，面数为F，棱数为E．由题知F=x+y，由欧拉公式得：V+F-E=2，∵一个顶点连接3条棱，∴总棱数E= 24×3=36，2∴24+F-36=2，解得F=x+y=14，①三角形总边数为3x，八边形总边数为8y，∴多面体的总棱数为3x+8y=36，②2联立① ② ，解得x=8，y=6，∴xy=48．故答案为：48．【点评】：本题主要考查了欧拉公式，关键是掌握顶点数+面数-棱数=2，考查运算求解能力，是中档题．12.（填空题，5分）如图，有一个半径为15的半球，过球心O作底面的垂线l，l上一点O1满足O1O=12，过O1作平行于底面的截面将半球分成两个几何体，其中较大部分的体积为___ ．【正确答案】：[1]2124π【解析】：利用祖暅原理计算出截面以上部分的体积，再利用半球的体积减去截面以上部分的体积可得结果．【解答】：解：设截面以上部分的体积为V1，截面以下部分的体积为V2，设r=O1D，R=OB=OD=15，则h=OO1=12，O1O2=15-12=3，将O1O2进行n等分，过这些等分点作平行于底面的平面，将截面以上部分切割成n层，每一层都是近似于圆柱形状的小圆柱，这些小圆片的体积之和即为V1，由于小圆片近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应圆柱的体积，它的高就是小圆片的厚度3n，底面就是小圆片的下底面，由勾股定理可知第 i层（由下向上数）小圆片的下底面半径为r i=√152−[12+3(i−1)n ]2 =√81−72(i−1)n −9(i−1)2n2，于是，第 i层小圆片的体积为V i≈πr i2⋅3n =π×[81−72(i−1)n−9(i−1)2n2]×3n，所以，V1≈243π−216πn2[0+1+2+⋯+(n−1)]−27πn3[02+12+22+⋯+(n−1)2]= 243π−216πn2⋅n(n−1)2−27πn3⋅n(n−1)(2n−1)6= 243π−108π(1−1n )−9π2⋅(2−3n+1n2)，所以，V1≈243π-108π-9π=126π，故V2=23π×153−V1=2124π．故答案为：2124π．【点评】：本题主要考查几何体体积的计算，祖暅原理的应用等知识，属于中等题．13.（单选题，5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱C1D1、AA1、BC 的中点，则经过M、N、P的平面与正方体ABCD-A1B1C1D1相交形成的截面是一个（）A.三角形B.平面四边形C.平面五边形D.平面六边形【正确答案】：D【解析】：根据确定平面的依据：“经过两条平行线有且只有一个平面”，通过取中点的方式可得截面．【解答】：如图，因为M，N，P为棱C1D1、AA1、BC的中点，故采用”补中点”的方法可确定截面，取A1D1，A1A，AB，CC1的中点，连接M，N，P与正方体相交即为所得截面，该截面为正六边形，故选：D．【点评】：本题考查了平面的基本性质，确定平面的依据，属于基础题．14.（单选题，5分）设z1、z2∈C，z12-2z1z2+4z22=0，|z2|=2，那么以|z1|为直径的球的表面积为（）A.4πB.16πC. 32π3D.64π【正确答案】：B【解析】：由已知可得(z1z2)2−2•z1z2+4=0，解得|z1|=4，然后求解球的表面积．【解答】：解：∵z1、z2∈C，z12-2z1z2+4z22=0，|z2|=2，∴ (z1z2)2−2•z1z2+4=0，解得z1z2 = 2±2√3i2= 1±√3i，∴|z1|=|z2|•| 1±√3i |=4，∴以|z1|为直径的球的面积为4×22π=16π．故选：B．【点评】：本题考查了实系数一元二次方程的解法、复数的几何意义、球的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.（单选题，5分）正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得√a m a n=3a1，且a6=2a5+3a4，则1m +4n的最小值为（）A. 73B. 52C. 94D.2【正确答案】：A【解析】：由a6=2a5+3a4，结合等比数列的通项公式可推出q2-2q-3=0，解之得q的值，再根据√a m a n=3a1，得m+n=4，然后分别计算1m +4n可能的取值即可得解．【解答】：解：设等比数列的公比为q（q＞0），因为a6=2a5+3a4，所以a4•q2=2a4•q+3a4，即q2-2q-3=0，解得q=3或-1（舍负），因为√a m a n=3a1，即a m a n=9 a12，所以a1q m−1• a1q n−1 =9 a12，即3m+n-2=9=32，所以m+n=4，当m=1，n=3时，1m +4n= 73，当m=2，n=2时，1m +4n= 52，当m=3，n=1时，1m +4n= 133，所以1m +4n的最小值为73．【点评】：本题考查等比数列的通项公式，利用基本不等式解决最值问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.（单选题，5分）定义域为[a ，b]的函数y=f （x ）图象的两个端点为A ，B ，向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ) OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M （x ，y ）是f （x ）图象上任意一点，其中x=λ a ⃗ +（1-λ） b ⃗⃗ ，λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k 恒成立，则称函数f （x ）在[a ，b]上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数k 称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[1，2]上函数中，线性近似阀值最小的是（ ） A.y=x 2 B. y =2x C. y =sin π3x D. y =x −1x 【正确答案】：D【解析】：由已知，先得出M 、N 横坐标相等，将问题转化为求函数的最值问题．【解答】：解：由题意，M 、N 横坐标相等，不等式|MN|≤k 对λ∈[0，1]恒成立，最小的正实数k 应为|MN|的最大值．① 对于函数y=x 2，由A 、B 是其图象上横坐标分别为a 、b 的两点，则A （1，1），（2，4）∴AB 方程为y-1=4−12−1（x-1），即y=3x-2|MN|=|x 2-（3x-2）|=|（x- 32 ）2- 14 |≤ 14 ，线性近似阀值为 14 ．② 同样对于函数 y =2x，由A （1，2），（2，1），AB 方程为y=-x+3，|MN|=-x+3- 2x=3-（x+ 2x ）≤3-2 √2 ，线性近似阀值为3-2 √2 ．③ 同样对于函数 y =sin π3x ，A （1， √32），B （2， √32），AB 方程为y= √32，由三角函数图象与性质可知|MN|≤1- √32 ，线性近似阀值为1- √32 ， ④ 同样对于函数 y =x −1x，得A （1，0），B （2， 32）， ∴直线AB 方程为y= 32 （x-1）∴|MN|= x −1x - 32 （x-1）= 32 -（ x2+1x ） ≤32−√2 ，线性近似阀值为 32−√2 ． 由于为 14 ＞3-2 √2 ＞1- √32 ＞ 32−√2 ．所以线性近似阀值最小的是 y =x −1x【点评】：本题考查向量知识的运用，考查函数最值求解，解答的关键理解新概念，将已知条件进行转化．17.（问答题，14分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．（1）求异面直线A1C和BD所成角的大小；（2）求二面角B-A1C-D的大小．【正确答案】：【解析】：（1）判断BD⊥平面A1AC，求出异面直线A1C和BD所成角的大小．（2）作CE⊥A1C于E，连接EB，所以∠BEO为B-A1C-O的平面角，则B-A1C-D的平面角的大小为2∠BEO，由此能求出二面角B-A1C-D的大小．【解答】：解：（1）连结AC，交BD 于O，正方体ABCD-A1B1C1D1中，所以BD⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平面A1AC，所以A1C⊥BD，异面直线A1C和BD所成角的大小为90°．（2）作OE⊥A1C于E，连接EB，所以∠BEO为B-A1C-O的平面角，则B-A1C-D的平面角的大小为2∠BEO，设正方体的列出为2，则AC=2 √2，OB= √2，A1C=2 √3，△OEC∽△A1AC，可得OE= OC•AA1A1C = √2×22√3= √63，tan∠BEO=√63√2= √33，tan2∠BEO= 2×√3 31−(√33)2= √3．∴二面角B-A1C-D的大小为60°．【点评】：本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18.（问答题，14分）已知函数y=f（x）的反函数为y=f-1（x），且f（x）=2x．（1）若f-1（x）-f-1（1-x）=1，求实数x的值；（2）若关于x的方程f（x）+f（1-x）=m在区间[0，1]内有解，求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）易得f-1（x）=log2x，然后解关于x的对数方程可得；（2）易得m的范围即为函数y=2x+21-x在[0，1]的值域，然后结合“对勾函数”的单调性，求出m的范围．【解答】：解：（1）f（x）=2x的反函数为f-1（x）=log2x，由f-1（x）-f-1（1-x）=1，可得log2x-log2（1-x）=1，∴log2x1−x =1，∴ x1−x=2，解得x= 23，经检验符合题意；（2）∵关于x的方程f（x）+f（1-x）=0在区间[0，1]内有解，∴2x+21-x=m在区间[0，1]内有解，∴m的范围即为函数y=2x+21-x在[0，1]的值域，函数y=2x+21-x=2x+ 22x 在（0，12）单调递减，在（12，1）单调递增，∴当x= 12时，函数取最小值2 √2，当x=1时，函数取最大值3，∴实数m的取值范围为[2 √2，3]．【点评】：本题考查反函数，指数函数与对数函数的性质，考查函数与方程思想及转化与化归思想，属中档题．19.（问答题，14分）我校在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为底面，CD、CE为路灯的灯杆，CD⊥AB，且∠DCE=23π，在E处安装路灯，且路灯的照明张角为∠MEN=π3，已知CD=5米，CE=3米．（1）当M与D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）当M，D重合时，由余弦定理求得ME，再求得sin∠ENM，就可以在△ENM中由正弦定理求得MN，（2）在△EMN中由等面积法得出MN，EM，EN的关系，再由余弦定理求得MN的最小值即可．【解答】：解：（1）当M，D重合时，由余弦定理知，ME=DE=√CD2+CE2−2CD⋅CE⋅cos∠DCE=7，所以cos∠CDE=CD 2+DE2−CE22CD⋅DE=1314，因为∠CDE+∠EMN=π2，所以sin∠EMN=cos∠CDE=1314，因为cos∠EMN＞0所以cos∠EMN=√1−sin2∠EMN=3√314，因为∠MEN=π3，所以sin∠ENM=sin(2π3−∠EMN)= sin2π3cos∠EMN−cos2π3sin∠EMN=1114，∴在△EMN中，由正弦定理可知，MN sin∠MEN =EMsin∠ENM，解得MN= 49√311．（ 2）易知E到地面的距离ℎ=5+2sin(2π3−π2)=6m，由三角形面积公式可知 S △EWN =12⋅MN ⋅6=12EM ⋅EN ⋅sin π3 ， 所以12√3MN =EM ⋅EN ，又由余弦定理可知， MN 2=EM 2+EN 2−2EM ⋅EN ⋅cos π3≥EM ⋅EN ， 当且仅当EM=EN 时，等号成立， 所以 MN 2≥10√3MN ，解得 MN ≥12√33； 所以照明宽度MN 的最小值为 12√33 m ．【点评】：本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．20.（问答题，16分）在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，满足DE || BC 且DE 经过△ABC 的重心，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C⊥CD ，M 是A 1D 的中点，如图所示． （1）求证：A 1C⊥平面BCDE ；（2）求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）在线段A 1B 上是否存在点N （N 不与端点A 1、B 重合），使平面CMN 与平面DEN 垂直？若存在，求出A 1N 与BN 的比值；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）结合线面垂直判定定理和折叠性质可证；（2）通过建系法求出 CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面A 1BE 的法向量 n ⃗⃗ ，设线面角为θ，结合公式 sinθ−cos〈CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，A •〉 求解即可； （3）在 （2）的坐标系基础上，写出B ，C ，D ，M ，E 坐标，设 N(x 1，y 1，z 1) ，BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 ，表示出点N ，分别求出平面CMN 与平面DEN ．【解答】：证明：（1）由∠C=90°，DE || BC ， 所以 DE⊥AD ，DE⊥CD ，因为折起前后对应角相等，所以DE⊥A 1D ，所以DE⊥平面A 1CD ，DE⊥A 1C ， 又A 1C⊥CD ，CD∩DE=D ， 所以A 1C⊥平面BCD ，解：（2）因为DE 经过△ABC 的重心， 所以DE= 23BC=2，由（1）知A 1C⊥平面BCDE ，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，由几何关系可知，CD=2，A 1D=4， A 1C =2√3 ，故C （0，0，0），D （2，0，0），E （2，2，0），B （0，3，0），A 1（0，0， 2√3 ），M （1，0， √3 ），CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，0，√3) ， A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，3，−2√3) ， A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，2， −2√3 ）， 设平面A 1BE 的法向量为 n ⃗⃗ =（x ，y ，z ）， 则 {n ⃗⃗⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0n ⃗⃗⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，即 {3y −2√3z =0x +y −√3z =0 ，令y=2，则 z =√3，x =1 ， n ⃗⃗=(1，2，√3) ， 设CM 与平面A 1BE 所成角的大小为θ， 则有 sinθ=cos〈CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，n ⃗⃗〉=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅|n ⃗⃗| = 2•2√2=√22， 故 θ=π4 ，即CM 与平面A 1BE 所成角的大小为 π4 ； （3）设 N(x 1，y 1，z 1) ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即 (x 1，y 1−3，z 1)=λ(0，−3，2√3) ， 即x 1=0，y 1=3（1-λ）， z 1=2√3λ ，则N （0，3（1-λ）， 2√3λ ）， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1，0，√3) ， CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，3（1-λ）， 2√3λ ），设平面CMN 的法向量为 n ⃗⃗ =（x 2，y 2，z 2）， 则有 {n 2⃗⃗⃗⃗⃗⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0n 2⃗⃗⃗⃗⃗⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，即 {x 2+√3z 2=03(1−λ)y 2+2√3λz 2=0 ，令 x 2=√3 ， z 2=−1 ，y 2=2√3λ3(1−λ) ， n 2⃗⃗⃗⃗⃗ = (√3，2√3λ3(1−λ)，−1) ，同理，设平面DEN 的法向量为 n ⃗⃗=(x 3，y 3，z 3) ， DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，2，0) ， DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，3（1-λ）， 2√3 λ）， 则 {n 3⃗⃗⃗⃗⃗⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0n 3⃗⃗⃗⃗⃗⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，即 {y 3=0−2x 3+2√3λz 3=0 ， 令x= √3 ，则 z 3=1λ ， 故 n 3⃗⃗⃗⃗⃗=(√3，0，1λ) ， 若平面CMN 与平面DEN 垂直， 则满足 n 2⃗⃗⃗⃗⃗•n 3⃗⃗⃗⃗⃗=0 ， 即 3−1λ=0 ，λ=13 ，故存在这样的点， BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 ， 所以A 1N BN=21=2 ．．【点评】：本题考查空间立体几何的应用，转化为空间向量来求解，考查学生的运算能力，属于难题．21.（问答题，18分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，我们把满足条件a n+1≤S n （n 为任意正整数）的所有数列{a n }构成的集合记为M ．（1）若数列{a n }的通项为 a n =q n−1(0＜q ＜1) ，判断{a n }是否属于M ，并说明理由； （2）若数列{a n }是等差数列，且{a n +n}∈M ，求a 2021的取值范围；（3）若数列{a n }的各项均为正数，且{a n }∈M ，数列 {4na n} 中是否存在无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列{a n }的通项；若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）利用等比数列前n项和公式计算，再比较a n+1与S n大小关系即可判断作答；（2）设等差数列{a n}的公差d，求出数列{a n+n}的前n项和，列出不等式，借助恒成立探求出d与a1的取值即可计算作答；（3）根据给定条件探求出数列{ 4na n}具有的性质，再借助反证法思想并结合等差数列通项即可判断作答．【解答】：解：（1）因为a n=q n−1(0＜q＜1)，所以S n= 1−q n1−q，所以S n-a n+1= 1−q n1−q -q n= 1−2•q n+q n+11−q= (1−q n)2+q n+1(1−q n−1)1−q＞0，所以∀n∈N*，a n+1＜S n恒成立，所以{a n}∈M．（2）设等差数列{a n}的公差d，则数列{a n+n}是等差数列，首项为a1+1，公差为d+1，令T n 为{a n+n}的前n项和，因{a n+n}∈M，则∀n∈N*，a n+1+n+1≤T n，当n=1时，a2+2≤T1=a1+1，于是得d≤-1，∀n∈N*，a1+1+n（d+1）≤n（a1+1）+ n(n−1)2•（d+1）⇔ d+12•n2+（a1- 32d- 12）n-（a1+1）≥0，当d+12＜0时，二次函数y= d+12•x2+（a1- 32d- 12）n-（a1+1）开口向下，则必存在某个正数A，当x＞A时，y＜0，于是有d+12•n2+（a1- 32d- 12）n-（a1+1）≥0对∀n∈N*成立，必有d+12≥0，即d≥-1，因此，d=-1，则有（a1+l）（n-1）≥0对∀n∈N*成立，解得a1≥-1，于是a2021=a1+2020d=-2020+a1≥-2021，所以a2021的取值范围[-2021，+∞）．（3）因数列{a n}的各项均为正数，且{a n}∈M，则{a n}的前n项和S n有a n+1≤S n对∀n∈N*成立，于是得S n+1-S n≤S n⇔ S n+1S n ≤2，则S n+1= S n+1S n• S nS n−1• S n−1S n−2•…• S2S1•S1≤2n a1，显然a n+2≤S n+1≤2n a1，当n≥3时，a n≤2n-2a1，而a2≤S1=22-2a1，因此，∀n∈N*，n≥2，恒有a n≤2n-2a1，对∀n∈N*，n≥2时4na n ≥ 4n2n−2a1= 4a1，当n=1时，4na n= 4a1，假设数列{ 4na n}中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n项为cn+b（c，b 为常数），则存在m∈N*，m≥n，使得cn+b≥ 4ma m ≥ 4a1•2m≥ 4a1•2n，即ca1n+ba1≥2n+2，当n∈N*，n≥3时，令f（n）= n 22n+2，则f（n+1）-f（n）= (n+1)22n+3- n22n+2= 2−(n−1)22n+3＜0，即f（n+1）＜f（n）≤f（3）= 932＜1，于是当n∈N*，n≥3时，2n+2＞n2．从而有当∈N*，n≥3时，ca1n+ba1＞n2，即n2-ca1n-ba1＜0，依题意，不等式n2-ca1n-ba1＜0在n≥3上有无穷多个解，又二次函数y=x2-ca1x-a1b图象开口向上，则必存在某个大于3的正数A0，当x＞A0时，y≥0，从而得不等式n2-ca1n-ba1＜0在n≥3上的整数解不会超过A0，只有有限个，不可能有无穷多个解，因此，假设数列{ 4na n}中存在无穷多项依次成等差数列是错的，所以数列{ 4na n}中不可能存在无穷多项依次成等差数列．【点评】：本题主要考查数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探究数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决，属于难题．。