下载文档原格式
主视图左视图222第三次六校联考 高三数学（理科）试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 第 Ⅰ 卷一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知,A B 是非空集合，命题甲：AB B =，命题乙：A B ⊂≠，那么 （ ）A.甲是乙的充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 2.复数21ii =- （ ）A . 1i - B. 1i -+ C. 1i + D. 1i --3.已知点(,)N x y 在由不等式组002x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩确定的平面区域内，则(,)N x y 所在平面区域的面积是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．84.等差数列{a n }中，已知35a =，2512a a +=，29n a =，则n 为 （ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 165. 函数21log 1xy x+=-的图像 （ ） A ． 关于原点对称 B. 关于主线y x =-对称 C. 关于y 轴对称 D. 关于直线y x =对称6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）A.B.7.已知平面,,αβγ，直线,m l ，点A ，有下面四个命题： A . 若l α⊂，mA α=则l 与m 必为异面直线；B. 若,l l m α则m α；C. 若 , , ,l m l m αββα⊂⊂则 αβ；D. 若 ,,,m l l m αγγαγβ⊥==⊥，则l α⊥.其中正确的命题是 （ ）8.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱和为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB →BB 1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须异面直线(其中i 是正整数).设黑“电子狗”爬完段、黄“电子狗”爬完段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 （ ） A. 0B. 1C.2D.3第 Ⅱ 卷二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 9. 021x dx --=⎰.10.函数2()sin cos 2f x x x =+,x R ∈的最小正周期为 11.在直角ABC ∆中， 90=∠C ， 30=∠A ， 1=BC ，D 为斜边AB 的中点，则 ⋅= .12.若双曲线22219x y a -=(0)a >的一条渐近线方程为320x y -=，则以双曲线的顶点和焦点分别为焦点和顶点的椭圆的离心率为__________.13.将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排 成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…， 右图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m=4则相应最后的输出S 的值是__________.ONMBA（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能从中选做一题．14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为2cos()2πρθ=-+，cos()104πθ-+=，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最远距离为________.15．（几何证明选讲选做题） 如图，点M 为O 的弦AB 上的一点，连接MO .MN OM ⊥，MN 交圆于N ，若2MA =，4MB =，则MN = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，S 是该三角形的面积， （1）若(2sin cos ,sin cos )2B a B B B =-，(sin cos ,2sin )2Bb B B =+，//a b ，求角B 的度数；（2）若8a =，23B π=，S =b 的值.17（本小题满分12分）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和4假设两人射击是否击中目标，相互 之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击3次，至少1次未击中．．．目标的概率； ⑵假设某人连续2次未击中．．．目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？⑶设甲连续射击3次，用ξ表示甲击中目标时射击的次数，求ξ的数学期望E ξ. （结果可以用分数表示）图1图218. （本小题满分14分）如图，四边形ABCD 中（图1），E 是BC的中点，1,DC =BC =，AB AD ==将（图1）沿直线折起，使二面角A BD C --为060（如图2） （1）求证：AE ⊥平面BDC ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点B 到平面ACD 的距离.19（本小题满分14分）已知函数()241(12)ln(21)22x a f x a x x +=-+++ .（1）设1a =时，求函数()f x 极大值和极小值; （2）a R ∈时讨论函数()f x 的单调区间.20.（本小题满分l4分）如图，P 是抛物线C ：212y x =上横坐标大于零的一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 与抛物线C 相交于另一点Q .（1）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程；（2）若0OP OQ ⋅=，求过点,,P Q O 的圆的方程.21. （本小题满分l4分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，正数数列{}n b 中 ,2e b = (e 为自然对数的底718.2≈)且*N n ∈∀总有12-n 是n S 与n a 的等差中项，1 1++n n n b b b 与是的等比中项.(1) 求证: *N n ∈∀有nn n a a 21<<+；(2) 求证：*N n ∈∀有13ln ln ln )1(2321-<+++<-n n n a b b b a .。
南省东部六校2016届高三联考试题理科数学答案一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；每小题只有一个正确答案）1．已知全集U=R ，集合{}lg(1)A x y x ==-，集合{}B yy ==，则A B =（ C ）A ．∅B ．（1，2]C ．[2,)+∞D ．(1,)+∞ 2．已知复数z 满足()3425i z -=，则z =（ D ）A ．34i --B ．34i -+C ．34i -D ． 34i + 3．设α为锐角，若cos ()6πα+＝45，则sin (2)3πα+的值为（ B ）A ．2512B ．2425C ．2425-D ．1225-4．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如上图所示，其中茎为十位数，叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为 ( C ) A.158B.94C.35D.915．已知双曲线22221x y a b-= （0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，以1F 、2F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为 ( C )A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=6．下左图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入（ D ）A ．B ．M q N =C ． N q M N =+D ．Mq M N=+7．一个几何体的三视图如上右图，则该几何体的体积为 ( D ) A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π68．若,a b ∈R ，命题p :直线y ax b =+与圆221x y +=相交；命题q :a >p 是q 的 ( A )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知)(x f 是偶函数，它在[)+∞,0上是减函数，若(lg )(2)f x f >，则x 的取值范围是（ C ） A ．1(,1)100 B ．1(0,)(1,)100+∞ C ．1(,100)100 D ． ()()0,1100,+∞10．已知不等式组0,x y x y ⎧+-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P ，作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ，当PAB ∆的面积最小时，cos APB ∠的值为（ B ）A ．78 B ．12 C ．34D．211．如上右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM xAB AN yAC ==,则2x y +的最小值为（ C ）A ．2B ．13 C．3412．设点P 在曲线2xy e =上，点Q 在曲线2ln ln -=x y 上，则|PQ |的最小值为 ( D ) A ．1－ln(1－ln 2) C ．)2ln 1(2+(1＋ln 2)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．如果n x x )13(32-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是 21 ． 14．函数3s i 3c o s y x =([0,]2x π∈) 的单调递增区间是 ]3,0[π.15．对于问题：“已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(-，解关于x 的不等式02>+-c bx ax ”，给出如下一种解法：解：由02>++c bx ax 的解集为)2,1(-，得0)()(2>+-+-c x b x a 的解集为)1,2(-， 即关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为)1,2(-.参考上述解法，若关于x 的不等式0<++++c x bx a x k 的解集为)1,21()31,1( --，则关于x 的不等式0111<++++cx bx ax kx 的解集为_____），（），（211-3- _______． 16．已知椭圆C 的方程为13422=+y x ，B A 、为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上不同于B A 、的动点，直线4=x 与直线PB PA 、分别交于N M 、两点，若)0,7(D ，则过N M D 、、三点的圆必过x 轴上不同于点D 的定点，其坐标为 )0,1( ．三、解答题：（本大题分必做题和选做题两部分，满分70分，解答须写出详细的计算步骤、AMBGNC证明过程） （一）必做题： 17．（本小题满分12分）株洲市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登石峰山健身的活动，有N 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为)2520[，，)3025[，，)35,30[，)40,35[，)45,40[，)50,45[，)55,50[等七组,其频率分布直方图如下图所示。
2016年湖南省六校联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣6x+5≤0}，B={x|y=}，A∩B=（）A．[1，+∞）B．[1，3]C．（3，5]D．[3，5]2．命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数3．若执行如图的程序框图，输出S的值为6，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜32？B．k＜65？C．k＜64？D．k＜31？4．下列函数中在上为减函数的是（）A．y=2cos2x﹣1 B．y=﹣tanxC． D．y=sin2x+cos2x5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．156．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6πB．C．3πD．7．若的展开式中的常数项为a，则的值为（）A．6 B．20 C．8 D．248．若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．1 B．C．2 D．9．已知数列{a n}的通项公式a n=5﹣n，其前n项和为S n，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，记{b n}的前n项和为T n，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．λ≥2 B．λ＞3 C．λ≥3 D．λ＞210．已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排成一列而成．记，S min表示S所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（）A．B．C．若⊥，则S min与||无关D．S有5个不同的值11．设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c 为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2]C．D．以上均不正确12．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知复数，则|z|=．14．在△ABC中，BC=，AC=2，△ABC的面积为4，则AB的长为．15．已知圆x2+y2﹣4x+2y+5﹣a2=0与圆x2+y2﹣（2b﹣10）x﹣2by+2b2﹣10b+16=0相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且满足x+y=x+y，则b=．16．给出下列命题：（1）设f（x）与g（x）是定义在R上的两个函数，若|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，且f（x）为奇函数，则g（x）也是奇函数；（2）若∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，且函数f（x）在R 上递增，则f（x）+g（x）在R上也递增；（3）已知a＞0，a≠1，函数f（x）=，若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值多，则实数a的取值集合为；（4）存在不同的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共5小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？18．如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC为等边三角形，AE=1，BD=2，CD与平面ABCDE所成角的正弦值为．（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥平面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．19．某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20，30）30 18[30，40）36 24[40，50）12 9[50，60] 4 3（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[20，30）抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[20，30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学期望．20．已知抛物线方程为x2=2py（p＞0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k（k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．（1）求；（2）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为，求直线AB的斜率k．21．已知函数f（x）=e﹣x（lnx﹣2k）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（1）求f（x）的单调区间；（2）设，对任意x＞0，证明：（x+1）g（x）＜e x+e x﹣2．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．选修4﹣1：平面几何如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．（I）求证：∠DEA=∠DFA；（II）若∠EBA=30°，EF=，EA=2AC，求AF的长．23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．24．函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域A；（2）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a、b∈（B∩∁R A）时，证明：|．2016年湖南省六校联考高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣6x+5≤0}，B={x|y=}，A∩B=（）A．[1，+∞）B．[1，3]C．（3，5]D．[3，5]【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合A、B，从而求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣6x+5≤0}={x|1≤x≤5}，B={x|y=}={x|x≥3}，∴A∩B=[3，5]，故选：D．2．命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，而x，y都是偶数的否定应为x与y不都是偶数．【解答】解：若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数”故选C3．若执行如图的程序框图，输出S的值为6，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜32？B．k＜65？C．k＜64？D．k＜31？【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=6，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k 第一次循环log23 3 第二次循环log23•log34 4 第三次循环log23•log34•log45 5第四次循环log23•log34•log45•log56 6第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78 8第七次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78•log89 9…第61次循环log23•log34•log45•log56•…•log6263 63第62次循环log23•log34•log45•log56••…•log6263•log6364=log264=6 64故如果输出S=6，那么只能进行62次循环，故判断框内应填入的条件是k＜64．故选：C．4．下列函数中在上为减函数的是（）A．y=2cos2x﹣1 B．y=﹣tanxC． D．y=sin2x+cos2x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的图象与性质，对选项中函数的单调性进行分析、判定即可．【解答】解：对于A，y=2cos2x﹣1=cos2x，在上是先减后增，不满足题意；对于B，y=﹣tanx，在（，）和（，）上都是增函数，不满足题意；对于C，y=cos（2x﹣）=sin2x，在上为减函数，满足题意；对于D，y=sin2x+cos2x=sin（2x+），在上先减后增，不满足题意．故选：C．5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．15【考点】系统抽样方法．【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数．【解答】解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，故选：C．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6πB．C．3πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求解几何体的条件即可得出答案．【解答】解：由三视图判断几何体是底面半径为1，高为6 的圆柱被截掉分开，相等的2 部分，∴V=π×12×6=3π，故选：C7．若的展开式中的常数项为a，则的值为（）A．6 B．20 C．8 D．24【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理求得a=2，再求定积分求得要求式子的结果．【解答】解：根据=（2+x+x2）•（1﹣+﹣）=2﹣+﹣+x﹣3+﹣+x2﹣3x+3﹣，故展开式中的常数项为a=2﹣3+3=2，则=•（3x2﹣1）dx=（x3﹣x）=8﹣2=6，故选：A．8．若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．1 B．C．2 D．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作图象，从而结合图象可知2m≤1，从而解得．【解答】解：由题意作图象如下，，结合图象可知，函数y=2x图象与y=3﹣x的交点A（1，2），则2m≤1，故m≤；故选：D．9．已知数列{a n}的通项公式a n=5﹣n，其前n项和为S n，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，记{b n}的前n项和为T n，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．λ≥2 B．λ＞3 C．λ≥3 D．λ＞2【考点】数列的求和．【分析】通过a n=5﹣n可求出T n=8（1﹣）、S n=，利用4≤T n＜8及S n≤10，结合题意可知10＜8+λ，进而计算可得结论．【解答】解：∵a n=5﹣n，∴a1=4，a2=3，a3=2，a4=1，则b1=a1=4，b2=a3=2，b3=a4=1，∴数列{b n}是首项为4、公比为的等比数列，∴T n==8（1﹣），∴4≤T n＜8，又∵S n==，∴当n=4或n=5时，S n取最大值10，∵存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，∴10＜8+λ，即λ＞2，故选：D．10．已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排成一列而成．记，S min表示S所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（）A．B．C．若⊥，则S min与||无关D．S有5个不同的值【考点】平面向量数量积的运算．【分析】依题意，可求得S有三种结果，，，，可判断①错误；进一步分析有S1﹣S2=S2﹣S3=≥=，即S中最小为S3，再对A、B、C逐一分析得答案．【解答】解：∵x i，y i（i=1，2，3，4，5）均由2个a和3个b排列而成，∴S可能情况有以下三种：，，，故D错误；∵S1﹣S2=S2﹣S3=≥=，∴S中最小为S3，若，则S min=S3=，∴A，B错误；若⊥，则S min=，与无关，与有关，故C正确．故选：C．11．设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c 为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2]C．D．以上均不正确【考点】基本不等式；简单线性规划．【分析】由基本不等式可得a≥，c≥2，再由三角形任意两边之和大于第三边可得，+2＞，且+＞2，且+2＞，由此求得实数p的取值范围．【解答】解：对于正实数x，y，由于≥=，c=x+y≥2，，且三角形任意两边之和大于第三边，∴+2＞，且+＞2，且+2＞．解得1＜p＜3，故实数p的取值范围是（1，3），故选：A．12．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），利用斜率计算公式肯定：mn=，=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），则m=，n=，∴mn==，∴=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．f′（t）=+1+t﹣=，可知：当t=时，函数f（t）取得最小值=++﹣2ln=2+1﹣ln2．∴=．∴=．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知复数，则|z|=．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数==i﹣1，则|z|==，故答案为：．14．在△ABC中，BC=，AC=2，△ABC的面积为4，则AB的长为4或．【考点】余弦定理；三角形中的几何计算．【分析】利用三角形的面积公式，求出，可得cosC=±，利用余弦定理可求AB的长．【解答】解：∵BC=，AC=2，△ABC的面积为4，∴4=，∴，∴cosC=±，∴AB2==16，∴AB=4；或AB2==32，∴AB=．∴AB的长为4或．故答案为：4或15．已知圆x2+y2﹣4x+2y+5﹣a2=0与圆x2+y2﹣（2b﹣10）x﹣2by+2b2﹣10b+16=0相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且满足x+y=x+y，则b=．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把点A、B的坐标分别代人圆O1，化简得2（x1﹣x2）=y1﹣y2；再把点A、B的坐标代人圆O2，整理得b（y2﹣y1）=﹣（b﹣5）（x1﹣x2）；由以上两式联立即可求出b的值．【解答】解：根据题意，把点A（x1，y1），B（x2，y2）分别代人圆O1，得；+﹣4x1+2y1+5﹣a2=0①，+﹣4x2+2y2+5﹣a2=0②，①﹣②并化简得，2（x1﹣x2）=y1﹣y2③；同理，把点A、B的坐标代人圆O2，整理得，b（y2﹣y1）=﹣（b﹣5）（x1﹣x2）④；把③代人④，化简得2b=﹣（b﹣5），解得b=．故答案为：．16．给出下列命题：（1）设f（x）与g（x）是定义在R上的两个函数，若|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，且f（x）为奇函数，则g（x）也是奇函数；（2）若∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，且函数f（x）在R 上递增，则f（x）+g（x）在R上也递增；（3）已知a＞0，a≠1，函数f（x）=，若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值多，则实数a的取值集合为；（4）存在不同的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为（1）、（2）、（4）．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】（1）利用|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，设x2=﹣x1，|f（x1）+f（﹣x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒成立，根据f（x）是奇函数，即可得出结论；（2）利用函数单调性的定义，即可得出结论；（3）分0＜a＜1和a＞1时加以讨论，根据指数函数的单调性和一次函数单调性，结合分段函数在区间端点处函数值的大小比较，求出函数在[0，2]上的最大值和最小值，由此根据题意建立关于a的方程，求出满足条件的实数a的值；（4）对k的值分类讨论，将方程根的问题转化成函数图象的问题，画出函数图象，结合图象可得结论．【解答】解：对于（1），∵|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，令x2=﹣x1，则|f（x1）+f（﹣x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒成立，∵f（x）是奇函数，∴|f（x1）﹣f（x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒成立，∴g（x1）+g（﹣x1）=0，∴g（﹣x1）=﹣g（x1），∴g（x）是奇函数，（1）正确；对于（2），设x1＜x2，∵f（x）是R上的增函数，∴f（x1）＜f（x2），∵|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，∴f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）＜f（x2）﹣f（x1），∴h（x1）﹣h（x2）=f（x1）﹣f（x2）+g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）+f（x2）﹣f（x1），∴h（x1）﹣h（x2）＜0，∴函数h（x）=f（x）+g（x）在R上是增函数，（2）正确；对于（3），①当a＞1时，函数f（x）=在[0，2]上的最大值为f（1）=a，最小值为f（0）=1或f（2）=a﹣2；当a﹣1=时，解得a=，此时f（2）=＞1，满足题意，当a﹣（a﹣2）=0时，2=0不满足题意，∴a=；②当0＜a＜1时，在[0，1]上，f（x）=a x是减函数；在（1，2]上，f（x）=﹣x+a是减函数，∵f（0）=a0=1＞﹣1+a，∴函数的最大值为f（0）=1；而f（2）=﹣2+a＜﹣1+a=f（1），所以函数的最小值为f（2）=﹣2+a，因此，﹣2+a+=1，解得a=∈（0，1）符合题意；综上，实数a的取值集合为{，}，（3）错误；对于（4），关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0可化为（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）+k=0（x≥1或x≤﹣1）（Ⅰ）或（x2﹣1）2+（x2﹣1）+k=0（﹣1＜x＜1）（Ⅱ）①当k=时，方程（Ⅰ）有两个不同的实根±，方程（Ⅱ）有两个不同的实根±，即原方程恰有4个不同的实根；②当k=0时，原方程恰有5个不同的实根；③当k=时，方程（Ⅰ）的解为±，±，方程（Ⅱ）的解为±，±，即原方程恰有8个不同的实根；④当k=﹣2时，方程化为（|x2﹣1|+1）（|x2﹣1|﹣2）=0，解得|x2﹣1|=2或|x2﹣1|=﹣1（不合题意，舍去）；所以x2﹣1=±2，解得x2﹣1=2，即x=±，方程有2个实数根；所以存在不同的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个，命题（4）正确；综上，正确的命题是（1）、（2）、（4）．故答案为：（1）（2）、（4）．三、解答题：本大题共5小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．【分析】（I）由题意，n=1时，由已知可知a1（λa1﹣2）=0，分类讨论：由a1=0，及a1≠0，结合数列的和与项的递推公式可求（II）由a1＞0且λ=100时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项【解答】解（I）当n=1时，∴a1（λa1﹣2）=0=0若取a1=0，则S n=0，a n=S n﹣S n﹣1∴a n=0（n≥1）若a1≠0，则，当n≥2时，2a n=，=a n两式相减可得，2a n﹣2a n﹣1∴a n=2a n，从而可得数列{a n}是等比数列﹣1∴a n=a1•2n﹣1==综上可得，当a1=0时，a n=0，当a1≠0时，（II）当a1＞0且λ=100时，令由（I）可知∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b1＞b2＞…＞b6=＞0当n≥7时，∴数列的前6项和最大18．如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC为等边三角形，AE=1，BD=2，CD与平面ABCDE所成角的正弦值为．（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥平面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（1）证明：取BC的中点为M，连接FM，则可证AM⊥平面BCD，四边形AEFM 为平行四边形，所以EF∥AM，所以EF⊥平面DBC；…（2）解：取AB的中点O，连结OC，OD，则OC⊥平面ABD，∠CDO即是CD与平面ABDE所成角，，设AB=x，则有，得AB=2，取DE的中点为G，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OG为z轴，建立如图空间直角坐标系，则，由（1）知：BF⊥平面DEC，又取平面DEC的一个法向量=（，﹣1，2），设平面BCE的一个法向量=（1，y，z），由，由此得平面BCE的一个法向量=（1，，2），则cos＜，＞====所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为…19．某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20，30）30 18[30，40）36 24[40，50）12 9[50，60] 4 3（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[20，30）抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[20，30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图能求出从年龄段[20，30）抽取的人数．（2）由频率分布直方图能求出全校教师的平均年龄．（3）由题设知X的可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列和数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，0.35×40=14．…（2）由频率分布直方图得：全校教师的平均年龄为：25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35．…（3）∵在年龄段[20，30）内的教师人数为120×0.35=42（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为，B项培训结业考试成绩优秀的概率为，∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为，…∵在年龄段[30，40）内的教师人数为120×0.4=48（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为，B项培训结业考试成绩优秀的概率为，∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为…由题设知X的可能取值为0，1，2．∴，，…∴X的概率分布为X 0 1 2PX的数学期望为…20．已知抛物线方程为x2=2py（p＞0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k（k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．（1）求；（2）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为，求直线AB的斜率k．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和点满足直线方程，由向量的数量积的坐标表示，化简即可得到所求值；（2）求得切线的斜率和切线的方程，运用弦长公式，可得|AB|，|CD|，求得四边形ABCD 的面积，运用对勾函数的性质，解方程可得k的值．【解答】解：（1）设直线AB方程为，联立直线AB与抛物线方程，得x2﹣2pkx﹣p2=0，则x1+x2=2pk，x1x2=﹣p2，可得=x1x2+y1y2=x1x2=x1x2+（kx1+）（kx2+）=（1+k2）x1x2++（x1+x2）=（1+k2）（﹣p2）++•2pk=﹣p2；（2）由x2=2py，知，可得曲线在A，B两点处的切线的斜率分别为，即有AM的方程为，BM的方程为，解得交点，则，知直线MF与AB相互垂直．由弦长公式知，|AB|=•=•=2p（1+k2），用代k得，，四边形ACBD的面积，依题意，得的最小值为，根据的图象和性质得，k2=3或，即或．21．已知函数f（x）=e﹣x（lnx﹣2k）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（1）求f（x）的单调区间；（2）设，对任意x＞0，证明：（x+1）g（x）＜e x+e x﹣2．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，通过解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证成立，从而证明，设F（x）=1﹣xlnx﹣x，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）因为，由已知得，∴．所以，…设，则，在（0，+∞）上恒成立，即k（x）在（0，+∞）上是减函数，由k（1）=0知，当0＜x＜1时k（x）＞0，从而f'（x）＞0，当x＞1时k（x）＜0，从而f'（x）＜0．综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）…（2）因为x＞0，要证原式成立即证成立，现证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2恒成立，当x≥1时，由（1）知g（x）≤0＜1+e﹣2成立；当0＜x＜1时，e x＞1，且由（1）知g（x）＞0，∴．设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，F′（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，F′（x）＜0，所以当x=e﹣2时，F（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2，即0＜x＜1时，g（x）＜1+e﹣2．综上所述，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．①…令G（x）=e x﹣x﹣1（x＞0），则G'（x）=e x﹣1＞0恒成立，所以G（x）在（0，+∞）上递增，G（x）＞G（0）=0恒成立，即e x＞x+1＞0，即．②当x≥1时，有：；当0＜x＜1时，由①②式，，综上所述，x＞0时，成立，故原不等式成立…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．选修4﹣1：平面几何如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．（I）求证：∠DEA=∠DFA；（II）若∠EBA=30°，EF=，EA=2AC，求AF的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AD，BC，证明A，D，E，F四点共圆，可得结论；（Ⅱ）证明△EFA∽△BCA，可得，所以AF×AB=AC×AE，从而可求AF的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接AD，BC．因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=∠ACB=∠EFA=90°，故A，D，E，F四点共圆，∴∠DEA=∠DFA；（Ⅱ）解：在直角△EFA和直角△BCA中，∠EAF=∠CAB，所以△EFA∽△BCA，所以所以AF×AB=AC×AE设AF=a，则AB=3﹣a，所以a（3﹣a）=，所以a2﹣2a+1=0，解得a=1所以AF的长为1．23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|•|PB|=t1t2，即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|，∴m2﹣2m=±1，解得，1．又满足△＞0．∴实数m=1，1．24．函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域A；（2）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a、b∈（B∩∁R A）时，证明：|．【考点】交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法．【分析】（1）分类讨论x的范围，根据负数没有平方根，利用绝对值的代数意义求出x的范围，即可确定出A；（2）求出B与A补集的交集，得到a、b满足的集合，把所证等式两边平方，利用作差法验证即可．【解答】（1）解：由题意得：|x+1|+|x+2|﹣5≥0，当x≤﹣2时，得x≤﹣4；当﹣2＜x＜﹣1时，无解；当x≥﹣1时，得x≥1，∴A={x|x≤﹣4或x≥1}；（2）证：∵B={x|﹣1＜x＜2}，∁R A={x|﹣4＜x＜1}，∴B∩∁R A={x|﹣1＜x＜1}，∴a、b∈{x|﹣1＜x＜1}，要证＜|1+|，只需证4（a+b）2＜（4+ab）2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4a2+4b2﹣a2b2﹣16=（b2﹣4）（4﹣a2），∵a、b∈{ x|﹣1＜x＜1}，∴（b2﹣4）（4﹣a2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴＜|1+|成立．2016年7月25日。
2016年3月高三模拟考试理科数学试题卷时量 120分钟 总分 150分考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对条形码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答的答案无效。
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
一：选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数iz -=11，则z z -对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知33cos 25πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2πϕ<，则tan ϕ为A ．43-B ．43C ．34- D ．343．下列命题中，真命题是 A ．0R x ∃∈，00x e≤ B ．R x ∀∈，22x x >C ．0a b +=的充要条件是1ab=- D ．1a >，1b >是1ab >的充分条件4．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为A ．1193B ．1359C ．2718D ．3413 5.若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．66．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，F E ,是线段11D B 上的两个动点，且22=EF，则下列结论中错误的是A．BFAC⊥；B．三棱锥BEFA-的体积为定值；C．//EF平面ABCDD．异面直线AE、BF所成的角为定值。
侧视图正视图俯视图11221=R 绝密★启用前湖南省东部六校2016届高三联考试题理科数学答案总分：150分 时量：120分钟 考试时间：2015年12月8日由株洲市二中高三理科数学备课组命制一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；每小题只有一个正确答案） 1．已知全集U=R ，集合{}lg(1)A x y x ==-，集合{}225B yy x x ==++，则A B =I（ C ）A ．∅B ．（1，2]C ．[2,)+∞D ．(1,)+∞ 2．已知复数z 满足()3425i z -=，则z =（ D ）A ．34i --B ．34i -+C ．34i -D ．34i +3．设α为锐角，若cos ()6πα+＝45，则sin (2)3πα+的值为（ B ）A ．2512B ．2425C ．2425-D ．1225-4．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如上图所示，其中茎为十位数，叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为 ( C ) A.158 B.94 C.35D.915．已知双曲线22221x y a b-= （0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，以1F 、2F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为 ( C )A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=6．下左图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入（ D ） A ．M q i = B ．M q N = C ． N q M N =+ D ．Mq M N=+7．一个几何体的三视图如上右图，则该几何体的体积为 ( D ) A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π68．若,a b ∈R ，命题p :直线y ax b =+与圆221x y +=相交；命题2q :1a b >-，则p 是q 的 ( A )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知)(x f 是偶函数，它在[)+∞,0上是减函数，若(lg )(2)f x f >，则x 的取值范围是（ C ）A ．1(,1)100 B ．1(0,)(1,)100+∞U C ．1(,100)100D ．()()0,1100,+∞U 10．已知不等式组220,22,22x y x y ⎧+-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P ，作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ，当PAB ∆的面积最小时，cos APB ∠的值为（ B ）A ．78 B ．12 C ．34 D ．3211．如上右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r,则2x y +的最小值为（ C ）A ．2B ．13 C ．3223+ D ．34 12．设点P 在曲线2x y e =上，点Q 在曲线2ln ln -=x y 上，则|PQ |的最小值为 ( D )A ．1－ln 2 B.2 (1－ln 2) C ．)2ln 1(2+ D.2(1＋ln 2)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．如果n x x )13(32-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是 21 ． 14．函数3sin 3cos y x x =+([0,]2x π∈) 的单调递增区间是 ]3,0[π.15．对于问题：“已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(-，解关于x 的不等式02>+-c bx ax ”，给出如下一种解法：解：由02>++c bx ax 的解集为)2,1(-，得0)()(2>+-+-c x b x a 的解集为)1,2(-，即关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为)1,2(-.参考上述解法，若关于x 的不等式0<++++c x bx a x k 的解集为)1,21()31,1(Y --，则关于x 的不等式0111<++++cx bx ax kx 的解集为_____），（），（211-3-Y _______． 16．已知椭圆C 的方程为13422=+y x ，B A 、为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上不同于B A 、的动点，直线4=x 与直线PB PA 、分别交于N M 、两点，若)0,7(D ，则过N M D 、、三点的圆必过x 轴上不同于点D 的定点，其坐标为 )0,1( ．A MB GN C三、解答题：（本大题分必做题和选做题两部分，满分70分，解答须写出详细的计算步骤、证明过程）（一）必做题：17．（本小题满分12分）株洲市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登石峰山健身的活动，有N 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为)2520[，，)3025[，，)35,30[，)40,35[，)45,40[，)50,45[，)55,50[等七组,其频率分布直方图如下图所示。
“湖南省五市十校教研教改共同体”2016届高三12月联考数学（理科）分值：150分；时量：120分钟命题单位：雷锋学校 南方中学 东山学校 宁乡一中 审校单位：箴言中学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{0,}A b =，2{|30}B x Z x x =∈-<，若ϕ≠B A ，则b 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或22. 复数212ii+=-（ ） A ．i B ．i - C ．42i + D ．1i +3. 已知向量1(,)2a k =，(1,4)b k =-，若a ⊥b ，则实数k 的值为 （ ）A ．19B ．29C ．－17D ．24. 若1:1,:1p x q x><，则p 是q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 交通管理部门为了解机动车驾驶员对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。
假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人。
若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为（ ）A ．101B ．808C ．1212D ．2012 6. 已知正数,x y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则y xz )21(4⋅=-的最小值为（ ）A ．1B ．3241 C ．161 D ．3217. 已知0,0,lg 2lg 4lg 2xyx y >>+=，则11x y+的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．32+．28. 执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．119. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ） A ．203 B ．163 C ．86π- D ．83π- 10. 等比数列}{n a 中，182,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则'(0)f ＝（ ）A ．62B ．92C ．122D ．15211. 设双曲线22221x y a b -=的两条渐近线与直线2a x c=分别交于A,B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若6090AFB ︒<∠<︒, 则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(2,2) C ．(1,2) D ．(2,)+∞12. 设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e -C ．33[,)24eD ．3[,1)2e第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题～第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题～第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13. 定积分()12xx e dx +⎰= .14. 已知a >0，且二项式6()a x x-展开式中含1x 项的系数是135，则a = .15. 将正整数 排成一个三角形数阵：13 5 7 9 11 13 15 17 19． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥的所有数之和为 .16. 函数2()||f x x a =-在区间]1,1[-上的最大值()M a 的最小值是 .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)设向量(sin ,cos ),(cos ,3cos ),a x x b x x x R ==∈，函数()()f x a a b =⋅+.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）ABC ∆中边,,a b c 所对的角为A,B,C,若当()2B f 取最大值时，求ABC ∆的面积。
炎德·英才大联考长郡中学2016届高三月考卷（六）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数2()1a i iω+=+，其中a 为实数，若ω的实部为2，则ω的虚部为（ ） A ．32- B ．12- C ．12 D ．322.设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．b c a >>4.一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为 A ．1481 B ．2081 C ．2281 D ．25815.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A C ．0 D ．6.某几何体三视图如图所示，该几何体的体积为（ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-7.已知1sin cos ,(0,)2αααπ+=∈，则1tan 1tan αα-=+（ ）A B ． C ．8.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足0120AFB ∠=. 过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为（ ）A B ．1 C ．2 9.两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（ ） A ．1 B ．3 C ．19 D ．4910.已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，'()()0f x f x x+>，则关于x 的函数1()()g x f x x=+的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．0或211.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ． 2512.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，12()f x x =，若()()g x f x x b =--有三个零点，则实数b 的取值集合是（ ）A ．11(2,2),44k k k Z -+∈ B ．15(2,2),22k k k Z ++∈ C ．11(4,4),44k k k Z -+∈ D ．19(4,4),22k k k Z ++∈二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合2{|20}P y y y =-->，2{|0}Q x x ax b =++≤，若P Q R = ，(2,3]P Q = ，则a b +=.14.若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段弧，则22a b +=.15.数列{}n a 中，11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且对2n ∀≥，都有221nn n na a S S =-，则数列{}n a 的通项公式n a = . 16.已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，113()(|tan ||tan |tan )222f x x x ααα=++++（α为常数，且22ππα-<<），若对实数x R ∈，都有(3)()f x f x -≤恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知a c -=，sin B C =. （1）求cos A 的值； （2）求cos(2)6A π-的值.18. （本小题满分12分）为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男性，设调查的3人在这一时间段以上网为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望； （2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：19. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，平面AEC ⊥平面ABCD ，090ACB ∠=，//EF BC ，12EF BC =，2AC BC ==，AE EC =. （1）求证：AF CF =；（2）当二面角A EC D --时，求三棱锥A EFC -的体积.20. （本小题满分12分）已知椭圆22:14x C y +=的短轴的端点分别为,A B ，直线,AM BM 分别与椭圆C 交于,E F 两点，其中点1(,)2M m 满足0m ≠，且m ≠（1）求椭圆C 的离心率e ； （2）用m 表示点,E F 的坐标；（3）若BME ∆面积是AMF ∆面积的5倍，求m 的值.21. （本小题满分12分） 已知函数()2ln pf x px x x=--. （1）若2p =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线；（2）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； （3）设函数2()eg x x=，若在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的半径为6，线段AB 与圆O 相交于点,C D ，4AC =，BOD A ∠=∠，OB 与圆O 相交于点E . （1）求BD 长；（2）当CE OD ⊥时，求证：AO AD =.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为4πθ=，曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩.（θ为参数）（1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于,A B 两点，若8||||3MA MB ∙=，求点M 轨迹的直角坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|21||4|f x x x =+--. （1）解不等式()0f x >；（2）若()3|4|f x x m +-≥对一切实数x 均成立，求m 的取值范围.参考答案一、选择题 ADCAA BBAAC BC12.C 【解析】由()f x 为奇函数，且(1)f x -为偶函数知(1)(1)f x f x --=-，令1x x =+，则()(2)(2)(4)f x f x f x f x =--=-+=+，所以()f x 是周期为4的周期函数，又[0,1]x ∈时，12()f x x =，画出()f x 的函数图象如图所示，由()()g x f x x b =--有三个零点，即()f x 的图象与y x b =+的图象有三个交点，由图易得当11(,)44b ∈-时，()f x 与y x b =+在[2,2]-内有三个交点，又()f x 是以4为周期的周期函数，故当11(4,4)44b k k ∈-+，k Z ∈时，()()g x f x x b =--有三个零点，故选C.二、填空题 13. -5 14. 1815. 1,12,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪+⎩【解析】当2n ≥时，由221n n n na a S S =-，得2112()n n n n nn n S S a S S S S ---=-=-， 所以1221n n S S --=，又122S =，所以2{}n S 是以2为首项，1 为公差的等差数列，21nn S =+，所以21n S n =+， 所以2221n a n n =-∙+，2(1)n a n n =-+， 又11a =不满足上式，所以1,12,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪+⎩. 16. 42ππα-≤<【解析】当02πα≤<时，tan 0α≥，所以当0x >时，3()tan 2f x x α=+为增函数，三、解答题17.【解析】（1）在三角形ABC 中，由sin sin b cB C=及sin B C =，可得b =，又a c -=，有2a c =，所以222cos 2b c a A bc +-===. （2）在三角形ABC中，由cos A =sin A =，于是21cos 22cos 14A A =-=-，sin 22sin cos A A A ==cos(2)cos 2cos sin 2sin 666A A A πππ-=+=18.【解析】（1）由已知，每个男性周末上网的概率为56，故X ～5(3,)6B ，3315()()()66kk k P x k C -==，0,1,2,3k =，52EX np ==.（2）因为2808.9 6.6359k ==>，故有99%把握认为年轻人的休闲方式与性别有关系.19.【解析】（1）因为090ACB ∠=，平面AEC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面AEC ， 又//EF BC ，所以EF ⊥平面AEC ，所以,EF AE EF CE ⊥⊥，又AE EC =，所以CEF ∆∽AEF ∆，∴AF CF =.（2）取AC 的中点O ，因为AE EC =，所以EO AC ⊥，又平面AEC ⊥平面ABCD ， 所以EO ⊥平面ABCD .如图，建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0)C A D --，设(0,0,)E m ，∴(1,0,)EC m =-， (1,2,)ED m =--，设平面ECD 的法向量为1(,,1)n x y =，则由1100n EC n ED ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，即020x m x y m -=⎧⎨-+-=⎩， 得,x m y m ==，∴1(,,1)n m m =.由（1）知EF ⊥平面AEC ，所以平面AEC 的法向量为2(0,1,0)n FE ==，∴121212cos ,||||n n n n n n ∙<>===，∴1m =.所以11111123323A EFC F AEC ACE V V EF S --∆==∙=⨯⨯⨯⨯=.20.【解析】（1）依题意知：2,a c ==e =，（2）∵1(0,1),(0,1),(,)2A B M m -，且0m ≠，∴直线AM 的斜率为112k m =-，直线BM 的斜率为232k m =， ∴直线AM 的方程为112y x m =-+，直线BM 的方程为312y x m=-，由2214112x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得22(1)40m x mx +-=，∴240,1m x x m ==+，∴22241(,)11m m E m m -++，由2214312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22(9)120m x mx +-=，∴2120,9m x x m ==+，∴222129(,)99m m F m m -++.（3）∵1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠，1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠，AMF BME ∠=∠，5AMF BME S S ∆∆=，∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =， ∴22541219m mm mm m m m =--++， ∵0m ≠，∴22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=，又∵m ≠，∴230m -≠，∴21m =，∴1m =±为所求. 21．【解析】已知函数()2ln pf x px x x=--. （1）2()22ln f x x x x=--，(1)0f =， '222()2f x x x=+-，'(1)2f =， 则切线为：2(1)y x =-，即220x y --=.（2）2'2222()p px x pf x p x x x-+=+-=， 由()f x 在定义域(0,)+∞内为增函数，所以'()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立， ∴220px x p -+≥即221xp x ≥+，对0x ∀>恒成立，设22()(0)1x h x x x =>+，222'222222422()(1)(1)x x x h x x x +--==++， 易知，()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，则max ()(1)1h x h ==， ∴(1)1p h ≥=，即[1,)p ∈+∞.（3）设函数2()()()2ln p e x f x g x px x xϕ+=-=--，[1,]x e ∈， 则原问题⇔在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得0max ()0()0x g x ϕ>⇔>.2'22222(2)()p e px x p e x p x x x ϕ+-++=+-=， 01当0p =时，'222()0x e x x ϕ-+=>，则()x ϕ在[1,]x e ∈上单调递增，max ()()40x e ϕϕ==-<，舍；02当0p <时，12()()2ln e x p x x x xϕ=---， ∵[1,]x e ∈，∴10x x -≥，20e x>，ln 0x >，则()0x ϕ<，舍； 03当0p >时，2'2(1)2()()0p x e x x x ϕ++-=>， 则()x ϕ在[1,]x e ∈上单调递增，max ()()40p x e pe e ϕϕ==-->，整理得241e p e >-， 综上，24(,)1e p e ∈+∞-. 22．【解析】（1）∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠，∴OCA ODB ∠=∠. ∵BOD A ∠=∠，∴OBD ∆∽AOC ∆，∴BD OD OC AC =， ∵6,4OC OD AC ===，∴664BD =，∴9BD =. （2）∵,OC OE CE OD =⊥，∴COD BOD A ∠=∠=∠.∴00180180AOD A ODC COD OCD ADO ∠=-∠-∠=-∠-∠=∠. ∴AD AO =.23．【解析】（1）直线:l y x =，曲线22:12x C y +=.（2）设点00(,)M x y 及过点M的直线为010:x x l y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.由直线1l 与曲线C相交可得：222000032202t x y ++++-=，8||||3MA MB ∙=2200228||332x y +-⇒=，即：220026x y +=，2226x y +=表示一椭圆，取y x m =+代入2212x y +=，得：2234220x mx m ++-=，由0∆≥得m ≤≤，故点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x =±之间的两段弧.24．【解析】（1）当4x ≥时，()21(4)50f x x x x =+--=+>， 得5x >-，所以4x ≥成立； 当142x -≤<时，()214330f x x x x =++-=->，得1x >，所以14x <<成立； 当12x <-时，()50f x x =-->，得5x <-，所以5x <-成立.综上，原不等式的解集为{|15}x x x ><-或.（2）令()()3|4||21|2|4||21(28)|9F x f x x x x x x =+-=++-≥+--=， 当142x -≤≤时等号成立.即有()F x 的最小值为9，所以9m ≤.即m 的取值范围为(,9]-∞.。
2016届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第六次月考数学（理）试题一、选择题1．设复数2()1a i iω+=+，其中a 为实数，若ω的实部为2，则ω的虚部为（ ） A ．32- B ．12- C ．12 D ．32【答案】A 【解析】试题分析：()()()()()()()()()222221111()1211111124a i i a a i a i a a a i a i i i ω⎡⎤+-++-⎡⎤+⎡⎤====+++---⎢⎥⎢⎥⎣⎦++-⎣⎦⎣⎦()2112a a i =+-，又ω的实部为2，所以2a =，所以ω的虚部为()213122a -=-． 【考点】复数的运算．2．设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．b c a >> 【答案】D【解析】试题分析：因为0.3012311log 20()()1log 322a cb =<<=<=<=，所以b c a >>．【考点】指数幂、对数的大小比较．3．一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为 A ．1481 B ．2081 C ．2281 D ．2581【答案】A【解析】试题分析：分两种情况311，，及221，，这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数是311，，时，试验发生包含的事件是35，满足条件的事件数是131342C C C，∴这种结果发生的概率是13134258813C C C =；同理求得第二种结果的概率是681，根据互斥事件的概率公式得到8614818181P =+=，故选A ． 【考点】1．互斥事件与对立事件；2．等可能事件的概率．【思路点睛】本题是一个等可能事件的概率问题，考查互斥事件的概率，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件．恰好取5次球时停止取球，分两种情况311，，及221，，，这两种情况是互斥的，利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率，再根据互斥事件的概率得到结果．4．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）AC．0 D．【答案】A【解析】试题分析：由程序框图可知，第一次循环：12 22a S i===；第二次循环：23a S i===；第三次循环：30,4a S i===……，第八次循环：89a S i===；由于98i=>停止循环，所以输出S=A．【考点】程序框图．5．某几何体三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．82π- B．8π- C．82π- D．84π-【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱而成，所以该几何体的体积为221221284V p p骣琪=-创创=-琪桫．试卷第2页，总17页【考点】简单组合体的三视图及体积． 6．已知1sin cos ,(0,)2αααπ+=∈，则1tan 1tan αα-=+（ ） A．．【答案】B【解析】试题分析：13sin cos ,(0,),sin cos 0,(,)282παααπαααπ+=∈∴=-<∴∈()27sin cos 12sin cos sin cos 42αααααα∴-=-=∴-=1tan sin cos 211tan sin cos 2αααααα--=-=-=++Q B ．【考点】同角的基本关系．7．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足0120AFB ∠=．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为（ ） A．1 CD ．2【答案】A【解析】试题分析：设,AF a BF b ==，由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab=+-=++=+-()222a b a b +⎛⎫≥+- ⎪⎝⎭()234a b =+，22324MN a b AF BF MN AB MN AB +=+=∴≥∴≥【考点】1．抛物线方程及性质；2．余弦定理．8．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（ ） A ．1 B ．3 C ．19 D ．49【答案】A 【解析】试题分析：222240x y ax a +++-=，即试卷第4页，总17页()224x a y ++=,2224140x y by b +--+=，即()2221x y b +-=,依题意可得，两圆外切，则两圆心距离等于两圆的半径之和,则123=+=，即3249a b +=,所以22222221111552999a ba ab a b⎛⎛⎫⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当22224a b b a=即2a b =±时取等号，故选C ．【考点】1．圆与圆的位置关系；2．基本不等式．9．已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，'()()0f x f x x+>，则关于x 的函数1()()g x f x x=+的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．0或2 【答案】C【解析】试题分析：由于函数1()()g x f x x=+，可得0x ≠，因而()g x 的零点跟()xg x 的非零零点是完全一样的，故我们考虑()()1xg x xf x =+ 的零点．由于当0x ≠时，'()()0f x f x x+>，① 当0x >时，''''()(())(())()()(())0f x xg x xf x xf x f x x f x x==+=+>，所以，在(0,)+∞上，函数()xg x 单调递增函数．又∵0lim[()1]1x xf x →+=，∴在(0,)+∞上，函数()()11xg x xf x =+>恒成立，因此，在(0,)+∞上，函数()()1xg x xf x =+ 没有零点．②当0x <时，由于'''(())(())()()xg x xf x xf x f x ==+'()(())0f x x f x x=+<，故函数()xg x 在(,0)-∞上是递减函数，函数()()11xg x xf x =+>恒成立，故函数()xg x 在(,0)-∞上无零点．综上可得，函1()()g x f x x=+在R 上的零点个数为0，故选C ． 【考点】根的存在性及根的个数判断．10．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．25 【答案】B【解析】试题分析：在1BB 上取点K ，使得11B K ＝，则HK ⊥面11BCC B ，连结PK ，则222216HP HK PK PK ＝＋＝＋．在平面11BCC B 上，以1CC 所在直线为x 轴，以GF 所在直线为y 轴，由题意可知，P 点轨迹为抛物线，其方程为221x y -＝，K 点坐标为()04，，设()P x y ，，则221x y =-（其中1[22371],x y ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦，，，()22222421816615PK x y y y y y y =+-=-+-+=-+当17,223y ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，2m i n 6|PK ＝，故2min |16622HP ＝＋＝． 【考点】正方体和抛物线的综合应用．【思路点睛】本题考查了空间直角坐标系的应用问题，也考查了空间中的距离的最值问题，建立空间直角坐标系，过点H 作HM BB ⊥'，垂足为M ，连接MP ，得出222HP HM MP =+；当MP 最小时，2HP 最小，利用空间直角坐标系求出2HP 的最小值即可．11．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，12()f x x =，若()()g x f x x b =--有三个零点，则实数b 的取值集合是（ ）A ．11(2,2),44k k k Z -+∈ B ．15(2,2),22k k k Z ++∈C ．11(4,4),44k k k Z -+∈D ．19(4,4),22k k k Z ++∈【答案】C【解析】试题分析：由已知得：)()(x f x f -=-，且)1()1(-=--x f x f ，从而)1()1()1(x f x f x f -=--=+，所以)(x f 的图象关于直线1x =对称；且有试卷第6页，总17页)()1)1(()1)1(()2(x f x f x f x f -=-+-=++=+，进而有：)()2()4(x f x f x f =+-==+，所以函数)(x f 是以4为周期的周期函数；又因为当[01]x ∈，时,12()f x x =，所以当)0,1[-∈x 时，21)()(x x f --=；那么作出函数在R 上的图象如下：函数()()g x f x x b =--有三个零点，等价于方程：b x x f +=)(有三个实根，即函数)(x f 的图象与直线y x b =+有三个不同的交点；由41121)(2121=⇒=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='-x x x x f ，即当直线y x b =+与12()f x x =的图象相切时切点的坐标为)21,41(，此时41=b ；由图象及对称性不难知当)41,41(-∈b 时函数)(x f ))2,2[(-∈x 的图象与直线y x b =+有三个不同的交点；再由函数的周期性得：∈b 11(44)44k k -+，时函数)(x f 的图象与直线y x b =+有三个不同的交点；故选C ．【考点】1．函数的图象及性质；2．函数的零点．【思路点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用，函数的零点和方程的根的关系，体现了转化和数形结合的数学思想，由题意，画出函数()f x 的图象，利用数形结合的方法找出()f x 与函数y x b =+有三个零点时b 的求值．二、填空题12．已知集合2{|20}P y y y =-->，2{|0}Q x x ax b =++≤，若P Q R = ，(2,3]P Q = ，则a b += ．【答案】-5【解析】试题分析：2{|20}{|21}P y y y y y y =-->=><-或，若P Q R = ，(2,3]P Q = ，由P Q R = ，(2,3]P Q = ，所以13{|}Q x x =-≤≤，∴13-，是方程20x ax b ++=的两根，由根与系数关系得：1335a b a b -=-+=-∴+=-，． 【考点】1．交集及其运算；2．并集及其运算．13．若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段弧，则22a b += ． 【答案】18【解析】试题分析：由题意得直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为2=，即2222|221)221)18.a b =⇒+=+-= 【考点】直线与圆位置关系14．数列{}n a 中，11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且对2n ∀≥，都有221nn n na a S S =-，则数列{}n a 的通项公式n a = ．【答案】1,12,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪+⎩【解析】试题分析：当2n ≥时，由221nn n na a S S =-，得2112()n n n n n n n S S a S S S S ---=-=-，所以1221n n S S --=，又122S =，所以2{}nS 是以2为首项，1为公差的等差数列，21nn S =+，所以21n S n =+，所以2221n a n n =-⋅+，2(1)n a n n =-+，又11a =不满足上式，所以1,12,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪+⎩． 【考点】1．等差数列的性质；2．数列递推式． 【思路点睛】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的性质；由数列递推式得到1221n n S S --=（2n ≥），由此证得数列所以2{}nS 是以2为首项，1为公差的等差数列，由此可求其通项公式后可得n S ，再由()12n n n a S S n -=-≥求数列{}n a 的通项公式．15．已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，试卷第8页，总17页113()(|tan ||tan |tan )222f x x x ααα=++++（α为常数，且22ππα-<<），若对实数x R ∈，都有(3)()f x f x -≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】42ππα-≤<【解析】试题分析：令1tan 2t α=，则当0x >时，()()2312f x x t x t t =++++，若t ≥，则当x >时，()3f x x t =+，当x <时，()()()33f x f x x t x t =--=--+=-由()()3f x f x -≤恒成立，可得()y f x =的图象恒在()3y f x =-的图象上方，则1tan 02α≥；当0t <时，当0x ≥时，()232x x t f x t t x t x t x t -≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪+≥-⎩，，，，由()32f x x t x t =+≥-，，得()f x t ≥；当2t x t-<<-时，()f x t =；由()0f x x x t=-≤≤-，，得()f x t ≥．∴当0x >时，()min f x t =．∵函数()f x 为奇函数，∴当0x <时，()m a x fx t =-．∵对x R ∈，都有()()3f x f x -≤，∴333t t --≤，解得102t -≤<，即有11tan 022α-≤<，综上可得t a n 1α≥-，解得42k k k Z πππαπ-+≤<+∈，．又22ππα-<<，所以42ππα-≤<．【考点】函数奇偶性的性质．【思路点睛】令1tan 2t α=，讨论t ，把0x ≥时的()f x 改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得0x <时的函数的最大值，由对x R ∈，都有()()3f x f x -≤，可得()243t t --≤，求解该不等式得答案．三、解答题16．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6a cb -=，sin B C =．（1）求cos A 的值； （2）求cos(2)6A π-的值．【答案】（1）4（2）8【解析】试题分析：（1）在三角形ABC 中，由正弦定理及sin sin B C =，可得b =，又ac -=，在根据余弦定理的推论即可求出cos A 的值；（2）在三角形ABC 中，由cos A =，可得sin A =即可求出结果．试题解析：（1）在三角形ABC 中，由sin sin b cB C=及sin B C =，可得b =，又6a c -=，有2a c =，所以222222cos 2b c a A bc +-===．（2）在三角形ABC 中，由cos A =，可得sin A =，于是21c o s 22c o s 14A A =-=-，sin 22sin cos A A A ==，所以53c os 2)6668A AA πππ-=+=．【考点】1．正弦定理；2．余弦定理；3．同角的基本关系．17．为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男性，设调查的3人在这一时间段以上网为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：试卷第10页，总17页【答案】（1）52；（2）有99%把握认为年轻人的休闲方式与性别有关系． 【解析】试题分析：（1）由表中看出每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为505606P ==，随机变量X 服从二项分布，运用独立重复试验公式求出概率后列出分布列，运用二项分布公式求X 的期望；（2）根据计算出的临界值，同临界值表进行比较，得到假设不合理的程度约为99%．试题解析：（1）由已知，每个男性周末上网的概率为56， 故X～5(3,)6B ，3315()()()66k k kPx k C -==，0,1,2,3k =，52EX np ==．（2）因为2808.9 6.6359k ==>，故有99%把握认为年轻人的休闲方式与性别有关系． 【考点】1．二项分布；2．独立性检验．18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，平面AEC ⊥平面ABCD ，090ACB ∠=，EF BC ∥，12EFBC =，2AC BC ==，AE EC =．（1）求证：AF CF =；（2）当二面角A EC D --时，求三棱锥A EFC -的体积． 【答案】（1）详见解析；（2）13【解析】试题分析：（1）由90ACB ∠=︒，平面AEC ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的性质定理可得：BC ⊥平面AEC ，又//EF BC ，可得EF ⊥平面AEC ，又AE EC =，利用勾股定理可得AF CF =．（2）取AC的中点O ，可得EO AC EO ⊥⊥，平面ABCD ，如图建立空间直角坐标系，设()00E m ，，，设平面ECD 的法向量为 1()1n x y =u r ，，，利用 110n EC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uu u rur uu u r ，可得()11n m m =u r ，，，同理可得平面AEC 的法向量为()2010n FE ==u u r uur，，，利用法向量的夹角公式可得m ，再利用三棱锥的体积计算公式即可得出．试题解析：（1）因为090ACB ∠=，平面AEC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面AEC ， 又//EF BC ，所以EF ⊥平面AEC ，所以,EF AE EF CE ⊥⊥，又AE EC =，所以CEF ∆∽AEF ∆，∴AF CF =． （2）取AC 的中点O ，因为AE EC =，所以EO AC ⊥，又平面AEC ⊥平面ABCD ， 所以EO ⊥平面ABCD ．如图，建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0)C AD --，设(0,0,)E m ，∴(1,0,)EC m =-， (1,2,)ED m =--，设平面ECD 的法向量为1(,,1)n x y =，则由1100n EC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x m x y m -=⎧⎨-+-=⎩， 得,x m y m ==，∴1(,,1)n m m =．由（1）知EF ⊥平面AEC ，所以平面AEC 的法向量为2(0,1,0)n FE ==，∴121212cos ,3||||n n n n n n ⋅<>===，∴1m =． 所以11111123323A EFC F AEC ACE V V EF S --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯=．【考点】1．棱柱、棱锥、棱台的体积；2．平面与平面垂直的性质．【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为θ)0(πθ≤≤，设12,n n分别为平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为θ，向量12,n n 的夹角为ω，则有πωθ=+（图1）或ωθ=（图2）其中1212cos ||||n n n n ω⋅=⋅．试卷第12页，总17页19．已知椭圆22:14x C y +=的短轴的端点分别为,A B ，直线,AM BM 分别与椭圆C 交于,E F 两点，其中点1(,)2M m 满足0m ≠，且m ≠（1）求椭圆C 的离心率e ； （2）用m 表示点,E F 的坐标；（3）若BME ∆面积是AMF ∆面积的5倍，求m 的值．【答案】（1）2e =；（2）222129(,)99m m F m m -++;（3）1m =± 【解析】试题分析：（1）利用椭圆的离心率计算公式ce a=；（2）利用点斜式分别写出直线AM BM 、的方程，与椭圆的方程联立即可得到点E F 、的坐标；（3）利用三角形的面积公式及其关系得到5MA MB MEMF=，再利用坐标表示出即可得到m 的值．试题解析：（1）依题意知：2,a c ==e = （2）∵1(0,1),(0,1),(,)2A B M m -，且0m ≠，∴直线AM 的斜率为112k m =-，直线BM 的斜率为232k m =， ∴直线AM 的方程为112y x m =-+，直线BM 的方程为312y x m=-，由2214112x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得22(1)40m x mx +-=，∴240,1m x x m ==+，∴22241(,)11m m E m m -++， 由2214312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22(9)120m x mx +-=，∴2120,9m x x m ==+，∴222129(,)99m m F m m -++． （3）∵1||||s i n 2A M F S M A M F A M F ∆=∠，1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠，AMF BME ∠=∠，5AMF BME S S ∆∆=，∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =，∴22541219m mm mm m m m=--++， ∵0m ≠，∴22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=，又∵m ≠230m -≠，∴21m =，∴1m =±为所求．【考点】1．直线与圆锥曲线的关系；2．椭圆的简单性质． 20．已知函数()2ln pf x px x x=--． （1）若2p =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线；（2）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； （3）设函数2()eg x x=，若在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围．【答案】（1）220x y --=；（2）[1,)p ∈+∞;（3）24(,)1ep e ∈+∞- 【解析】试题分析：（1）求出函数在1x =处的值，求出导函数，求出导函数在1x =处的值即切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程．（2）求出函数的导函数，令导函数大于等于0恒成立，构造函数，求出二次函数的对称轴，求出二次函数的最小值，令最小值大于等于0，求出p 的范围．（3）通过()g x 的单调性，求出()g x 的最小值，通过对p 的讨论，求出()f x 的最大值，令最大值大于等于()g x 的最小值求出p 的范围．试卷第14页，总17页试题解析：已知函数()2ln pf x px x x=--． （1）2()22ln f x x x x=--，(1)0f =， '222()2f x x x=+-，'(1)2f =， 则切线为：2(1)y x =-，即220x y --=．（2）2'2222()p px x pf x p x x x -+=+-=，由()f x 在定义域(0,)+∞内为增函数，所以'()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立， ∴220px x p -+≥即221xp x ≥+，对0x ∀>恒成立， 设22()(0)1x h x x x =>+，222'222222422()(1)(1)x x x h x x x +--==++， 易知，()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，则max ()(1)1h x h ==， ∴(1)1p h ≥=，即[1,)p ∈+∞． （3）设函数2()()()2ln p ex f x g x px x xϕ+=-=--，[1,]x e ∈， 则原问题⇔在[1,]e 上至少存在一点0x ，使得0max ()0()0x g x ϕ>⇔>．2'22222(2)()p e px x p e x p x x x ϕ+-++=+-=，01当0p =时，'222()0x ex xϕ-+=>，则()x ϕ在[1,]x e ∈上单调递增，max ()()40x e ϕϕ==-<，舍；02当0p <时，12()()2ln ex p x x x xϕ=---，∵[1,]x e ∈，∴10x x -≥，20ex>，ln 0x >，则()0x ϕ<，舍； 03当0p >时，2'2(1)2()()0p x e x x xϕ++-=>， 则()x ϕ在[1,]x e ∈上单调递增，max ()()40p x e pe e ϕϕ==-->，整理得241ep e >-， 综上，24(,)1ep e ∈+∞-． 【考点】1．导数在最大值、最小值问题中的应用；2．函数的单调性与导数的关系；3．利用导数研究曲线上某点切线方程．【方法点睛】用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 21．选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的半径为6，线段AB 与圆O 相交于点,C D ，4AC =，BOD A ∠=∠，OB 与圆O 相交于点E ．（1）求BD 长；（2）当CE OD ⊥时，求证：AO AD =． 【答案】（1）9；（2）详见解析 【解析】试题分析：本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．（1）证明OBD AOC V V ∽，通过比例关系求出BD 即可．（2）通过三角形的两角和，求解角即可． 试题解析：（1）∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠，∴OCA ODB ∠=∠． ∵BOD A ∠=∠，∴OBD ∆∽AOC ∆，∴BD ODOC AC=， ∵6,4OC OD AC ===，∴664BD =，∴9BD =． （2）∵,OC OE CE OD =⊥，∴COD BOD A ∠=∠=∠．∴00180180AOD A ODC COD OCD ADO ∠=-∠-∠=-∠-∠=∠．∴AD AO =．【考点】相似三角形的判定． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为4πθ=，曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩．（θ为参数）（1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于,A B 两点，若8||||3MA MB ⋅=，求点M 轨迹的直角坐标方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x =±【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l 的普通方程，消去参数可得曲线C 的直角坐标方程；（2）设点00(,)M x y 以及平行于直线1l 的直试卷第16页，总17页线参数方程，直线1l 与曲线C 联立方程组，通过8||||3MA MB ⋅=，即可求点M 轨迹的直角坐标方程，通过两个交点推出轨迹方程的范围．试题解析：（1）直线:l y x =，曲线22:12x C y +=． （2）设点00(,)M x y 及过点M的直线为0102:x x tl y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）． 由直线1l 与曲线C相交可得：222000032202t x y +++-=， 8||||3MA MB ⋅=2200228||332x y +-⇒=，即：220026x y +=，2226x y +=表示一椭圆，取y x m =+代入2212x y +=，得：2234220x mx m ++-=， 由0∆≥得m ≤故点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x = 【考点】1．直线与圆锥曲线的综合问题；2．简单曲线的极坐标方程；3．参数方程化成普通方程．23．选修4-5：不等式选讲 设函数()|21||4|f x x x =+--． （1）解不等式()0f x >；（2）若()3|4|f x x m +-≥对一切实数x 均成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）{|15}x x x ><-或；（2）(,9]-∞ 【解析】试题分析：（1）分类讨论，当4x ≥时，当142x -≤<时，当12x <-时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集．（2）利用绝对值的性质，求出()3|4|f x x +-的最小值为9，故9m <．试题解析：（1）当4x ≥时，()21(4)50f x x x x =+--=+>， 得5x >-，所以4x ≥成立； 当142x -≤<时，()214330f x x x x =++-=->，得1x >，所以14x <<成立； 当12x <-时，()50f x x =-->，得5x <-，所以5x <-成立． 综上，原不等式的解集为{|15}x x x ><-或．（2）令()()3|4||21|2|4||21(28)|9F x f x x x x x x =+-=++-≥+--=， 当142x -≤≤时等号成立． 即有()F x 的最小值为9， 所以9m ≤．即m 的取值范围为(,9]-∞．【考点】1．绝对值不等式的解法；2．函数最值的应用．。
第 1 页 共 11页2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的．1．已知（为虚数单位），则复数( )2(1)1i i z-=+i z =A ．B ．C ．D ．1i +1i-1i-+1i--【解析】由题意得，得．故选D ．2(1)2111i iz i i i--===--++考点：复数的运算．2．设，是两个集合，则“”是“”的( )A B A B A = A B ⊆A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由题意得，A B A A B =⇒⊆ ，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件．故选C ．考点：集合的关系．3．执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( )A ．B ．C ．D ．76739894【解析】由题意得，输出的为数列的前三S 1(21)(21)n n ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭项和，而，所以1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+，从而．故选B ．11(122121n n S n n =-=++337S =考点：程序框图，裂项相消求数列的和．1第 2 页 共 11 页4．若变量，满足约束条件，则的最小值为( )x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x y x z -=3A ． B ．C ．1D ．27-1-【解析】如图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当，时，y x z -=3的最小值是7-．故选2x =-1y =A ．考点：线性规划．5． 设函数，则是( ))1ln()1ln()(x x x f --+=)(x f A ． 奇函数，且在是增函数B ． 奇函数，且在是减函数)1,0()1,0(C ． 偶函数，且在是增函数D ． 偶函数，且在是减函数)1,0()1,0(【解析】试题分析：显然，定义域为，关于原点对称，()f x (1,1)-又∵，∴为奇函数，显然在上单调()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-()f x ()f x (0,1)递增．故选A ．考点：函数的性质．6．已知的展开式中含的项的系数为30，则( )5(xax -23x =a A ．B ．C ．6D ．33-6-【解析】，令，可得，从而．故选D ．5215(1)r r r rr T C a x-+=-1r =530a -=6a =-考点：二项式定理．7． 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布C 的密度曲线）的点的个数的估计值为( ))1,0(N A ．2386B ．2718C ．3413D ．4772附：若，则),(~2σμN X ,6826.0)(=+≤<-σμσμX P ．9544.0)22(=+≤<-σμσμX P 【解析】根据正态分布的性质，．故选．1(01)(11)0.34132P x P x <<=-<<=C 考点：正态分布．8． 已知点，，在圆上运动，且 ． 若点的坐标为,A B C 122=+y x BC AB ⊥P )0,2(第 3 页 共 11 页则的最大值为( )||PC PB PA ++A ．6 B ．7C ．8D ．9【解析】由题意得为圆的直径，故可设，，，AC (,)A m n (,)B m n --(,)C x y ∴，而，∴的(6,)PA PB PC x y ++=- 22(6)371249x y x -+=-≤||PC PB PA ++最大值为7．故选．B 考点：圆的性质，平面向量数量积．9． 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，x x f 2sin )(=ϕ)20(πϕ<<)(x g 若对满足的，，有，则( )2|)()(|21=-x g x f 1x 2x 3||min 21π=-x x =ϕA ．B ．C ．D ．125π3π4π6π【解析】向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨设ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min 3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-．故选D ．考点：三角函数的图象和性质．10． 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率）( )原工件的体积新工件的体积=A ．B ．C ．D ．π98π916π2124）－（π21212）－（【解析】问题等价于圆锥的内接长方体的体积，如下图所示，则有，∴，212x h -=22h x =-∴长方体的体积为22(2)(22)x h x x =-，当且仅当4(22)x x x =-A A 3224()3x x x ++-≤3227=时，等号成立，2223x x x =-=即∴利用率为．故选A ．232162719123ππ=A A考点：圆锥内接长方体，基本不等式求最值．侧侧侧侧侧侧1育（列讲话，员中开我第 4 页 共 11 页二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．__________．⎰=-2)1(dx x 【解析】．⎰=-2)1(dx x 2201|02x x -=考点：定积分的计算．12．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样的方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员的人数是_________．]151,139[【解析】由茎叶图可知，在区间]151,139[的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为435720=⨯人．考点：系统抽样，茎叶图．13．设是双曲线的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰F C 1:2222=-by a x C P PF 为其虚轴的一个端点，则的离心率为________．C 【解析】根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线(,0)F c (0,)b (,2)c b -上，∴，从而．222241c b a b -=ce a==考点：双曲线的标准方程及其性质．14．设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则n S }{n a n 11=a 321,2,3S S S ___________．=n a 【解析】等比数列中，，∴}{n a 2111S a a q q =+=+231S q q =++，24(1)31q q q +=+++解得，∴．3q =13n n a -=考点：等比、等比数列的通项公式及其前n 项和．的意业。
湖南省2016届高三六校联考试题数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|650,|3,A x x x B x y x A B =-+≤==-=I （ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,52.命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是（ ） A ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数 B ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数 C ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数 D ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数3.若执行右边的程序框图，输出S 的值为6，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．32?k <B ．65?k <C ．64?k <D ．31?k < 4.下列函数中在3(,)44ππ上为减函数的是（ ） A ．22cos 1y x =- B ．tan y x =- C ．cos(2)2y x π=-D ．sin 2cos 2y x x =+5.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ） A ．15 B ．7 C ．9 D ．106.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为：A ．3πB ．103πC ．6πD ．83π7.若231(2)(1)x x x++-的展开式中的常数项为a ，则20(31)a x dx -⎰的值为（ ）A ．6B ．20C ．8D ．249.已知数列{}n a 的通项公式5n a n =-，其前n 项和为n S ，将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*m N ∈，使对任意*n N ∈，总有n n S T λ<+恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．2λ≥B ．3λ>C ．3λ≥D ．2λ>10.已知两个不相等的非零向量,a b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排成一列而成．记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =++++g g g g g 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（ ）A ．22min 22S a a b b =++gB ．22min 23S a b =+C ．若a b ⊥，则min S 与a 无关D ．S 有5个不同的值 11.设22,,a x xy y b p xy c x y =-+==+，若对任意的正实数,x y ，都存在以,,a b c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是（ ） A ．(1,3) B ．(]1,2 C ．17(,)22D ．以上均不正确12.已知,A B 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，不同两点,P Q 在椭圆C上，且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为,m n ，则当21ln ln 2b a m n a b mn++++取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A ．3 B ．3 C ．12D ．2 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 13.已知复数21iz i=-，则z =________．14.在ABC ∆中，2,BC AC ABC ==∆的面积为4，则AB 的长为_________． 15.已知圆2224250x y x y a +-++-=与圆222(210)2210160x y b x by b b +---+-+=相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且满足22221122x y x y +=+，则b =________．16.给出下列命题：（1）设()f x 与()g x 是定义在R 上的两个函数，若1212()()()()f x f x g x g x +≥+恒成立，且()f x 为奇函数，则()g x 也是奇函数；（2）若12,x x R ∀∈，都有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，且函数()f x 在R 上递增，则()()f x g x +在R 上也递增；（3）已知0,1a a >≠，函数,1(),1x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩，若函数()f x 在[]0,2上的最大值比最小值多52，则实数a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭； （4）存在不同的实数k ，使得关于x 的方程222(1)10x x k ---+=的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为________．三、解答题 ：本大题共8小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设10,100a λ>=，当n 为何值时，数列1lg n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和最大？ 18.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，//AE DB ，且ABC ∆为等边三角形，1,2AE BD ==，CD 与平面ABCDE 所成角的正弦值为64． （1）若F 是线段CD 的中点，证明：EF ⊥平面DBC ； （2）求二面角D EC B --的平面角的余弦值．19.（本小题满分12分）某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按[)[)[)[)20,3030,4040,5050,60、、、分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加A B 、两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[)20,30抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[)20,30和[)30,40内各抽取1人，设这两人中A B 、两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望． 20.（本小题满分12分）已知抛物线方程为22(0)x py p =>，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线与抛物线交于,A B 两点，过,A B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M ．（1）求OA OB u u u v u u u vg； （2）设直线MF 与抛物线交于,C D 两点，且四边形ACBD 的面积为2323p ，求直线AB 的斜率k ．21.（本小题满分12分）已知函数()(ln 2)xf x e x k -=-（k 为常数， 2.71828e =L 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直．（1）求()f x 的单调区间； （2）设1(ln 1)()xx x g x e-+=，对任意0x >，证明：2(1)()x x x g x e e -+<+． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）如图，AB是Oe的直径，弦BD CA、的延长线相交于点E，EF垂直于BA的延长线于点F．（1）求证：DEA DFA∠=∠；（2）若030EBA∠=，3,2EF EA AC==，求AF的长．23.（本小题满分10分）已知曲线C的极坐标方程是2cosρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是3212x my t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设点(,0)P m，若直线l与曲线C交于,A B两点，且1PA PB=g，求实数m的值．24.（本小题满分10分）函数()125f x x x=+++-．（1）求函数()f x的定义域A；（2）设{}|12B x x=-<<，当实数()Ra b B C A∈I、时，证明：124a b ab+<+．参考答案1.D【解析】本题主要考查集合的运算.错误!未找到引用源。
