2018届人教B版(理) 平面向量的概念与线性运算 单元测试

5-1平面向量的概念与线性运算基础巩固强化1.(文)(2018·宁波十校联考)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.PA →＋PB →＝0 B.PC →＋PA →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.PA →＋PB →＋PC →＝0[答案] B[解析] 如图，根据向量加法的几何意义，BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故PA →＋PC →＝0.(理)已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( )A.23B.43 C ．－3 D ．0[答案] D[解析] CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →.∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →.∴32CD →＝AB →－AC →， ∴CD →＝23AB →－23AC →.又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0.2．(2018·四川理，7)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |[答案] C[解析] 本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念． 因a |a |表示与a 同向的单位向量，b |b |表示与b 同向的单位向量，要使a |a |＝b|b |成立，则必须a 与b 同向共线，所以由a ＝2b 可得出a|a |＝b|b |.[点评] a ＝－b 时，a 与b 方向相反；a ∥b 时，a 与b 方向相同或相反．因此A 、B 、D 都不能推出a |a |＝b|b |.3．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3，n )，若2a －b 与b 共线，则实数n 的值是( ) A ．3＋2 3 B ．9 C ．6 D ．3－2 3[答案] B[解析] 2a －b ＝(－1,6－n )，∵2a －b 与b 共线，∴－1×n －(6－n )×3＝0， ∴n ＝9.4．设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形 [答案] D[解析] 解法一：设AC 的中点为G ，则OB →＋OD →＝b ＋d ＝a ＋c ＝OA →＋OC →＝2OG →，∴G 为BD 的中点，∴四边形ABCD 的两对角线互相平分，∴四边形ABCD 为平行四边形．解法二：AB →＝OB →－OA →＝b －a ， CD →＝OD →－OC →＝d －c ＝－(b －a )＝－AB →，∴AB 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．5．设OA →＝e 1，OB →＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|APPB |＝4，如图所示，则OP →＝( )A.15e 1－25e 2B.25e 1＋15e 2C.15e 1＋45e 2D.25e 1－15e 2 [答案] C[解析] AP →＝4PB →，∴AB →＝AP →＋PB →＝5PB →， OP →＝OB →＋BP →＝OB →－15AB →＝OB →－15(OB →－OA →)＝45OB →＋15OA →＝15e 1＋45e 2.6．P 是△ABC 内的一点，AP →＝13(AB →＋AC →)，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( )A ．2B ．3 C.32 D ．6[答案] B[解析] 由AP →＝13(AB →＋AC →)，得3AP →＝AB →＋AC →，∴PB →＋PC →＋PA →＝0，∴P 是△ABC 的重心． ∴△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为3.7．(2018·福建省惠安三中模拟)已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值等于________．[答案] 12[解析] ∵a ∥b ，∴3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，∴x ＝12.8．已知点A (2,3)，C (0,1)，且AB →＝－2BC →，则点B 的坐标为________．[答案] (－2，－1)[解析] 设点B 的坐标为(x ，y )，则有AB →＝(x －2，y －3)，BC →＝(－x,1－y )，因为AB →＝－2BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2x ，y －3＝－－y ，解得x ＝－2，y ＝－1.9．(2018·东北三省四市联考)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，AB →·AC →＝－1，若AO →＝x 1AB →＋x 2AC →(O 是△ABC 的外心)，则x 1＋x 2的值为________．[答案]136[解析] O 为△ABC 的外心，AO →＝x 1AB →＋x 2AC →，AO →·AB →＝x 1AB →·AB →＋x 2AC →·AB →，由向量数量积的几何意义，AO →·AB →＝12|AB →|2＝2，∴4x 1－x 2＝2，①又AO →·AC →＝x 1AB →·AC →＋x 2AC →·AC →，∴－x 1＋x 2＝12，②联立①②，解得x 1＝56，x 2＝43，∴x 1＋x 2＝136.10．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解析] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线． (2)解：∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.能力拓展提升11.(2018·珠海调研)已知△ABC 及其平面内点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] B[解析] 解法1：由已知条件MB →＋MC →＝－MA →.如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E ，延长CM 交AB 于F ，则E 、F 分别为AC 、AB 的中点，即M 为△ABC 的重心．AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3.解法2：∵AB →＋AC →＝MB →－MA →＋MC →－MA →＝MB →＋MC →－2MA →＝mAM →，∴MB →＋MC →＝(m －2)AM →， ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴(m －2)AM →＝AM →，∴m ＝3.12．如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A ．(12，12)B ．(23，23)C ．(13，13)D ．(23，12)[答案] C[解析] 解法1：令BF →＝λBE →，由题可知：AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ(12AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋12λAC →；同理，令CF →＝μCD →，则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →＝AC →＋μ(12AB →－AC →)＝12μAB→＋(1－μ)·AC →，平面向量基本定理知对应系数相等，可得⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23.所以AF →＝13AB →＋13AC →，故选C.解法2：设CF →＝λCD →，∵E 、D 分别为AC 、AB 的中点， ∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ(12a －b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1a ＋(1－λ)b ， ∵BE →与BF →共线，a 、b 不共线， ∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b ＝13a ＋13b ，故x ＝13，y ＝13. 13．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.[答案] 23[解析]由图知CD →＝CA →＋AD →，①CD →＝CB →＋BD →，②且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得：3CD →＝CA →＋2CB →， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.14．(2018·吉林省延吉市质检)已知：|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ＋)，则mn＝________.[答案] 3[解析] 设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →，∵∠AOC ＝30°，∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →|＝m ， |OC →|·sin30°＝|OE →|＝n |OB →|＝3n ，两式相除得：m3n＝|OC →|cos30°|OC →|sin30°＝1tan30°＝3，∴mn ＝3.15．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )． (1)若A 、B 、C 三点共线，求实数m 的值； (2)若∠ABC 为锐角，求实数m 的取值范围．[解析] (1)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m ))． ∴AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )， ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线，∴3(1－m )＝2－m ，∴m ＝12.(2)由题设知BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m )∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0⇒m >－34又由(1)可知，当m ＝12时，∠ABC ＝0°故m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 16．(文)已知a ＝(2x －y ＋1，x ＋y －2)，b ＝(2，－2)， (1)当x 、y 为何值时，a 与b 共线？(2)是否存在实数x 、y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |？若存在，求出xy 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)∵a 与b 共线， ∴存在非零实数λ使得a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝2λ，x ＋y －2＝－2λ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ∈R .(2)由a ⊥b ⇒(2x －y ＋1)×2＋(x ＋y －2)×(－2)＝0⇒x －2y ＋3＝0.① 由|a |＝|b |⇒(2x －y ＋1)2＋(x ＋y －2)2＝8.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝73.∴xy ＝－1或xy ＝359.(理)已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)，向量OP →＝OA →＋tAB →.(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？ (2)t 为何值时，点P 在第二象限？(3)四边形ABPO 能否为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，说明理由． (4)求点P 的轨迹方程．[解析] ∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )，∴P (1＋3t,2＋3t )． (1)∵P 在x 轴上，∴2＋3t ＝0即t ＝－23.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0.∴－23<t <－13.(3)∵AB →＝(3,3)，OP →＝(1＋3t,2＋3t )． 若四边形ABPO 为平行四边形，则AB →＝OP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3.而上述方程组无解，∴四边形ABPO 不可能为平行四边形．(4)∵OP →＝(1＋3t,2＋3t )， 设OP →＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t .∴x －y ＋1＝0为所求点P 的轨迹方程．1．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形[答案] A[解析] 由已知得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ，故AD →＝2BC →，由共线向量知识知AD ∥BC ，且|AD |＝2|BC |，故四边形ABCD 为梯形，所以选A.2．已知|a |＝3，|b |＝1，且a 与b 同向共线，则a ·b 的值是( ) A ．－3 B ．0 C ．3 D ．－3或3 [答案] C[解析] ∵a 与b 同向共线，∴a ·b ＝|a |·|b |cos0＝3，选C.3．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB→＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心[答案] D[解析] 设AB →＋AC →＝AD →，则可知四边形BACD 是平行四边形，而AP →＝λAD →表明A 、P 、D 三点共线．又D 在边BC 的中线所在直线上，于是点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心．4．(2018·洛阳部分重点中学检测)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则x ·yx ＋y的值为( )A ．3B.13C ．2D.12[分析] 由M 、N 、G 三点共线知，存在实数λ、μ使AG →＝λAM →＋μAN →，结合条件AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，可将AG →用AB →，AC →表示，又G 为△ABC 的重心，AG →用AB →，AC →表示的表示式唯一，可求得x ，y 的关系式．[答案] B[解析] 法1：由点G 是△ABC 的重心，知GA →＋GB →＋GC →＝0，得－AG →＋(AB →－AG →)＋(AC →－AG →)＝0，则AG →＝13(AB →＋AC →)．又M 、N 、G 三点共线(A 不在直线MN 上)，于是存在λ，μ∈R ，使得AG →＝λAM →＋μAN →(且λ＋μ＝1)，则AG →＝λx AB →＋μy AC →＝13(AB →＋AC →)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝1，λx ＝μy ＝13，于是得1x ＋1y ＝3，所以x ·y x ＋y ＝11x ＋1y＝13.法2：特殊化法，利用等边三角形，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ·y x ＋y ＝13. 5．(2018·豫南四校调研考试)已知△ABD 是等边三角形，且AB →＋12AD →＝AC →，|CD →|＝3，那么四边形ABCD 的面积为( )A.32B.332C ．3 3 D.932[答案] B [解析]如图，由条件知，CD →＝AD →－AC →＝12AD →－AB →，∴CD →2＝(12AD →－AB →)2，∴3＝14AD →2＋AB →2－AD →·AB →，∵|AD →|＝|AB →|，∴54|AD →|2－|AD →|·|AB →|cos60°＝3，解之得|AD →|＝2.又BC →＝AC →－AB →＝12AD →，∴|BC →|＝12|AD →|＝1，∴|BC →|2＋|CD →|2＝|BD →|2，∴BC ⊥CD .∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×22×sin60°＋12×1×3＝332，故选B.6．非零向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，若a 与b 共线，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.[答案] 13[解析] ∵非零向量a 、b 共线，∴存在实数λ，使a ＝λb ，即(sin θ，2)＝λ(cos θ，1)，∴λ＝2，sin θ＝2cos θ，∴tan θ＝2，∴tan(θ－π4)＝tan θ－11＋tan θ＝13.。

第1讲平面向量的概念及其线性运算一、选择题1。

已知两个非零向量a，b满足|a+b|=｜a-b|,则下面结论正确的是（）A.a∥bB.a⊥bC。

{0,1，3} D。

a+b=a-b答案B 2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（)．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若a＋b＝0,则a＝－b。

∴a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立．答案A3．已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点，且2错误!＋错误!＋错误!＝0，那么( ）．A。

错误!＝错误! B.错误!＝2错误!C.错误!＝3错误!D．2错误!＝错误!解析由2错误!＋错误!＋错误!＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点,故错误!＝错误!。

答案A4．设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若错误!＝λ错误!(λ∈R），错误!＝μ错误!(μ∈R)，且错误!＋错误!＝2,则称A3，A4调和分割A1，A2。

已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是( )．A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C、D可能同时在线段AB上D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上解析若A成立，则λ＝错误!，而错误!＝0,不可能；同理B也不可能；若C成立,则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，错误!＋错误!＞2，与已知矛盾;若C，D同时在线段AB的延长线上时，λ＞1,且μ＞1,错误!＋错误!＜2，与已知矛盾，故C,D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确．答案D5．已知A，B，C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心，动点P满足错误!＝错误!错误!，则点P一定为三角形ABC的（)．A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点（非重心）C．重心D．AB边的中点解析设AB的中点为M，则错误!错误!＋错误!错误!＝错误!,∴错误!＝错误!（错误!＋2错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!，即3错误!＝错误!＋2错误!，也就是错误!＝2错误!，∴P,M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．答案B6．在四边形ABCD中，错误!＝a＋2b，错误!＝－4a－b，错误!＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( ）．A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对解析由已知错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2错误!.∴错误!∥错误!，又错误!与错误!不平行，∴四边形ABCD是梯形．答案C二、填空题7．设a,b是两个不共线向量，错误!＝2a＋p b,错误!＝a＋b，错误!＝a－2b，若A，B，D三点共线,则实数p的值为________．解析∵错误!＝错误!＋错误!＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使错误!＝λ错误!。

单元滚动检测五平面向量考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分,共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟,满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．如图所示，四边形ABCD是梯形,AD∥BC，则错误!＋错误!＋错误!等于( )A.错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!2．设D为△ABC所在平面内一点，错误!＝3错误!,则（)A.错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!B.错误!＝错误!错误!＋错误!错误!C。

错误!＝错误!错误!－错误!错误! D.错误!＝错误!错误!－错误!错误!3．已知点A(1,3)，B（4，－1)，则与向量错误!方向相反的单位向量是( ）A．（－错误!，错误!) B．（－错误!，错误!）C．(错误!，－错误!）D．(错误!,－错误!）4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0),｜b｜＝1，则|a＋2b|等于( ）A.错误!B．2错误!C．4 D．125．已知|错误!|＝1，|错误!|＝2,错误!·错误!＝0，点D在∠CAB内,且∠DAB ＝30°，设错误!＝λ错误!＋μ错误!(λ,μ∈R）,则错误!等于（)A．3 B。

错误! C.错误!D．2错误!6．设O，A，B为平面上三点，且P在直线AB上，错误!＝m错误!＋n错误!，则m＋n等于( )A．0 B．－1 C．1 D．不能确定7．△ABC的内角A,B,C所对边长分别是a，b，c，设向量n＝(错误!a ＋c,sin B－sin A）,m＝（a＋b，sin C），若m∥n，则角B的大小为( ) A。

错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!8。

如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°,且AC＝BC＝4,点M满足错误!＝3错误!，则错误!·错误!等于( )A．2 B．3C．4 D．69．已知向量a＝（3，－2)，b＝（x，y－1),且a∥b，若x，y均为正数，则错误!＋错误!的最小值是（)A.错误!B。

第38题 平面向量的线性运算及平面向量的共线问题I ．题源探究·黄金母题【例1】如图，已知四边形ABCD 是等腰梯形，,E F 分别是,AD BC 的中点，,M N 是线段EF 上的两个点，且EM MN NF ==，下底是上底的2倍，若AB a =，BC b =，求AM ．【解析】1122AD AB BC CD a b a a b =++=+-=+， ∴111242AE AD a b ==+． 又1113()()2224EF AB DC a a a =+=+=，∴1134EM EF a ==，所以1111()()4242AM AE EM a b a a b =+=++=+II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标1理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】分析：222|2|||44||a b a a b b +=+⋅+4421cos60412=+⨯⨯⨯+=所以|2|12a b +==秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2a b+的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为【名师点睛】平面向量中涉及到有关模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.【例3】【2015全国新课标Ⅰ卷】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-【答案】A【解析】由题知13AD AC CD AC BC =+=+＝1()3AC AC AB +-＝1433AB AC -+，故选A ． 【例4】【2015高考新课标2理13】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．【名师点睛】本题考查向量共线，明确平面向量共线定理，利用待定系数法得参数的关系是解题关键，属于基础题．【例5】【2015北京高考卷】在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若M N x A B y A =+，则x =______；y =_______．【答案】11,26- 【解析】由题意知无论,AB AC 的位置关系如何，对结果 都没有任何变化，即结论唯一，不妨设AC AB ⊥，4,3AB AC ==，因此以以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2A M CB N ，1(2,),(4,0),(0,3)2MN AB AC =-==，则1(2,)(4,0)(0,3)2x y -=+，42x =，132y =-，所以11,26x y ==-．【例6】【2014福建8】设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 （ ）..2.3.4A OMB OMC OMD OM【答案】D【解析】由已知得，111,,,222OA OM CA OB OM DB OC OM AC =+=+=+1,2OD OM BD =+而,,CA AC DB BD =-=-所以4OA OB OC OD OM +++=，选D .【名师点睛】本题主要考查向量的加法法则与减法法则及几何意义.解决此类问题时经常出现的错误有：忽视向量的起点与终点，导致加法与减法混淆，对此，要注意三角形法则与平行四边形法则适用的条件.【例7】【2015高考广东卷】设a 是已知的平面向量且0a ≠,关于向量a 的分解,有如下四个命题： ①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ； ②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ；④给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使λμ=+a b c ．上述命题中的向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B【解析】利用向量加法的三角形法则，易知①是对的；利用平面向量的基本定理，易知②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量b λ有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须b c a λμλμ+=+≥，所以④是假命题.综上，选B ．【例8】【2015高考山东理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠= ,则BD CD ⋅=（ ）（A ）232a - （B ）234a - （C ）234a 错误！未找到引用源。

第一部分平面向量的概念及线性运算向量a( a z 0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入，使得bi a.【基础练习】1. 判断正误（在括号内打或“X”）⑴零向量与任意向量平行.（）（2）若a// b, b// c,贝U a// c.（）⑶向量云B与向量6D是共线向量，贝y A B, C, D四点在一条直线上.（）（4）当两个非零向量a, b共线时，一定有b=入a,反之成立.（）⑸在厶ABC中, D是BC中点，则A D= 2（心A B.（）2. 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若③向量ABW BA相等.则所有正确命题的序号是（）A.①B.③C.①③D.①②3.(2017•枣庄模拟）设D ABC所在平面内一点，K D= —4A C若目C= X D C X€ R), 则X =()A.2B.3C. —2D. —34.(2015 •全国n卷）设向量a, b不平行，向量入a+ b与a+ 2b平行，则实数X =5.（必修4P92A12改编）已知？ABCD勺对角线AC和BD相交于Q且OA= a,O B= b,则张 _____ BC= ______ (用a, b 表示).1 26.（2017 •嘉兴七校联考）设D, E分别是△ ABC的边AB BC上的点，AD= -AB BE=§BC若DE= 入l AB+ 入2AC 入 1 , 入2为实数）,贝V 入 1 = _____________ , 入2= _______________ .考点一平面向量的概念【例1】下列命题中，不正确的是 _________ （填序号）.①若I a| = |b| ,则a= b；②若A, B, C, D是不共线的四点，贝厂’AB=承”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a= b, b= c,贝V a= c.【训练1】下列命题中，正确的是 _________ （填序号）.①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；a, b都是单位向量，则a= b；考点三共线向量定理及其应用【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若 AB= a + b , BC= 2a + 8b , CD= 3( a — b ).求证：A, B , ⑵ 试确定实数k ,使ka + b 和a + kb 共线.【训练 3】已知向量 AB= a + 3b , BC= 5a + 3b , CD=- 3a + 3b ，则( )A.AB, C 三点共线 B.A, B, D 三点共线 C.A, C D 三点共线D.B, C, D 三点共线第二部分平面向量基本定理与坐标表示1. 平面向量的基本定理如果e 1, e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 对实数入1,入2,使a =入e+入2e 2.其中，不共线的向量 e 1, e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解3. 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a =(X 1, y” , b = (X 2, y 2)，贝U③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小 答案③考点二平面向量的线性运算1【例2】(2017 •潍坊模拟)在厶ABC 中, P , Q 分别是AB BC 的三等分点，且 AP= 3AB BQ= 13BC 若AB= a , AC= b ,则 PQ=( )311 A ・3a +3b 1 1B. — 3a +3b 1 1 C.J a -3b1 1 D. - 3a — 3b【训练2】(1)如图，正方形 ABCDK 点 E 是DC 的中点, 靠近B 点的三等分点，那么 EF 等于(A .^AB ^2D 三点共线;a ,有且只有-点F 是BC 的一个A BC.a+ b= (x i + X2, y土y) , a—b= (x i—X2, y i—y2), X a=(入x i, hy , | a| = ：x1+y?.(2) 向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标②设A(x i，y i)，B(x?，y?)，则AB= (x? —X i，y?—y i)，| AB = : (x?—X i)?+( y? —y i) 24. 平面向量共线的坐标表示设a= (x i, y i) , b= (x?, y?)，贝y a// b? x i y? —x?y i = o.【基础练习】i.(?0i7 •东阳月考)已知向量a= (2 , 4) , b= ( —1 , 1),则2a+ b 等于()A.(5 , 7)B.(5 , 9)C.(3 ,7)D.(3 , 9)2.(20i5 -全国I卷)已知点A(0 , i), B(3 , 2),向量AC= ( —4, —3),则向量BC=( )A.( —7,—4)B.(7 ,4)C.( —1,4)D.(i ,4)3.(20i6 -全国n卷)已知向量a= (m4) , b= (3 , —2)，且a / b,则m=4.(必修4Pi0iA3改编)已知？ABCD勺顶点A—i, —2),耳3 , —i) , C(5 , 6),则顶点D的坐标为考点一平面向量基本定理及其应用【例1】(2014 •全国I卷)设D, E, F分别为△ ABC的三边BC CA AB的中点，贝U EB+ F C= ( )A.ADB.[A DC.1B CD. BC >4【训练1】如图，已知AB= a , AC= b , BD= 3DC用a , b表示AD则AD= __ .a DC"考点二平面向量的坐标运算【例2】(1)已知向量a = (5 , 2) , b= ( —4, —3) , c= (x , y),若3a—2b+ c = 0,则c =( ) A.( —23 , —12) B.(23 , 12)C.(7 , 0)D.( —7 , 0)【训练2】(1)已知点A— 1 , 5)和向量a= (2, 3),若AB= 3a ,则点B的坐标为()A.(7 , 4)B.(7 , 14)C.(5 , 4)D.(5 , 14)⑵(2015 •江苏卷)已知向量a= (2 , 1), b= (1 , —2).若na+ nb= (9 , —8)( m n € R),则m—n的值为_________ .考点三平面向量共线的坐标表示【例3】(1)已知平面向量a= (1 , 2), b= ( — 2 , m,且a / b,贝U 2a+ 3b= ___________(2)(必修4P101练习7改编)已知A (2 , 3) , B (4 , — 3)，点P 在线段AB 的延长线上，且| AFf =|| Bp ，则点P 的坐标为 ____________单位向量是()⑵若三点A (1 , - 5),政a , — 2) , q — 2, - 1)共线，则实数a 的值为 _____________ .第三部分 平面向量的数量积及其应用1. 平面向量数量积的有关概念⑴ 向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ,记O A a , O B- b ,则/ AOB- 0 (0 ° < 0 < 180°)叫做向量a 与b 的夹角.⑵ 数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为 0，则数量| a || b |cos 0叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a • b ,即a • b = | a || b |cos ___ 0,规定零向量与任一向量的数量积为0，即0 • a = 0.⑶数量积几何意义：数量积a • b 等于a 的长度| a |与b 在a 的方向上的投影| b |cos 0的乘积. 2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a = (x i , y i ), b = (X 2, y 2), 0为向量a , b 的夹角.⑴ 数量积：a • b = | a || b |cos 0 = X 1X 2+ y i y 2.(2) 模：| a | = , a • a = , x i + y i . 亠宀 a • bX 1X 2+ y i y 2(3) 夹角：C0S 0= 1 冲=——2222.丨 a ll b | 寸x i + y i •寸X 2 + y 2⑷ 两非零向量 a 丄b 的充要条件：a • b = 0? X 1X 2+ y i y 2= 0.(5)| a • b | <| a || b |(当且仅当 a // b 时等号成立)？ | X 1X 2+ yyl w 寸x ；+ y ： • p x 2+ y 2. 3. 平面向量数量积的运算律：(1) a - b = b • a (交换律).(2)入a • b = X (a • b ) = a •(入b )(结合律).(3)( a + b ) - c = a - c + b - c (分配律). 【基础练习】1. (2015 •全国 n 卷)向量 a = (1 , — 1), b = ( — 1, 2)，则(2a + b ) - a 等于( )A. — 1B.0C.1D.22. (2017 •湖州模拟)已知向量a , b ,其中|a | = 3, | b | = 2，且(a — b )丄a ，则向量a 和b 的 夹角是 ________ .2 n3. (2016 •石家庄模拟)已知平面向量a , b 的夹角为, |a | = 2,|b | = 1，则| a + b | = ________ .【训练3】 (1)(2017 •浙江三市十二校联考)已知点A (1 , 3) , B (4 , — 1)，则与AB 同方向的3-4-- D4 - 53 - 5-3 - 5 -4 -4 - 5-3 - 5A35. (必修4P104例1改编)已知I a| = 5, | b| = 4, a与b的夹角0 = 120°,则向量b在向量a方向上的投影为 _________ .6. _______________________________________ (2017 •瑞安一中检测)已知a , b , c 是同一平面内的三个向量，其中 a = (1 , 2) , |b | = 1, 且a + b 与a — 2b 垂直，则向量 a • b =； a 与b 的夹角0的余弦值为 ________________________________ .【考点突破】考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用(用已知表示未知) 【例1】(1)(2015 •四川卷)设四边形ABCD 为平行四边形, 足B M= 3^C 6N = 2hf c 则 AM ・ NM 等于（ ） A.20B. 15C.9D.6⑵(2016 •天津卷)已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点连接DE 并延长到点F ,使得DE= 2EF,则AF • BC 的值为(【训练1】(1)(2017 •义乌市调研)在Rt △ ABC 中 , / A = 90° , AB= AC= 2,点D 为AC 的中 点，点E 满足1BE= 3B C 则尺E ・E3D= _____⑵(2017 •宁波质检)已有正方形 ABC 啲边长为1,点E 是AB 边上的动点，贝U 0E- CB 勺值为 ________ ； 6E - [5C 的最大值为 ______ . 考点二平面向量的夹角与垂直【例2】(1)(2016 •全国n 卷)已知向量a = (1 , m ) , b = (3 , — 2),且(a + b )丄b ,则 作( )A. — 8B. — 6C.6D.8⑵ 若向量a = (k , 3), b = (1 , 4), c = (2, 1),已知2a — 3b 与c 的夹角为钝角，贝U k 的取值 范围是_______________ .【训练2】(1)(2016 •全国川卷)已知向量BA= 1 ,右3 , BC= , 2 ,则/ ABC=()A.30 °B.45 °C.60°D.120°2 2 2(2)(2016 •全国I 卷)设向量 a = (m 1) , b = (1 , 2),且 |a + b | = | a | + | b | ,贝 Um ^ .考点三平面向量的模及其应用n【例3】(2017 •云南统一检测)已知平面向量a 与b 的夹角等于—,若|a | = 2 , | b | = 3,则 |2a — 3b | =()| AB = 6, |AD | = 4，若点 M N 满D, E 分别是边AB BC 的中点,11A . —8B.81。

第1讲平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算3.两个向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ．1．辨明两个易误点(1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点．(2)在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 2．三点共线的等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )²OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．1.教材习题改编 如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是( )A ．EF →＝CD →B ．AB →与DE →共线 C ．BD →与CD →是相反向量 D ．AE →＝12|AC →|D 根据向量的概念可知选D.2.教材习题改编 下列结论正确的是( ) A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若a ，b 是两个单位向量，则a ＝bC ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若AB ＝AC ，则AB →＝AC →C 根据向量的概念可知选C.3.教材习题改编 如图，▱ABCD 的对角线交于M ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示MD →为( )A ．12a ＋12b B ．12a －12b C ．－12a －12bD ．－12a ＋12bD MD →＝12BD →＝12(b －a )＝－12a ＋12b ，故选D.4.教材习题改编 已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A 若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |即p ⇒q ， 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线，即a ＝λb 且λ＞0，故q ⇒/p . 所以p 是q 的充分不必要条件，故选A.5.教材习题改编 向量e 1与e 2不共线，若a ＝e 1－e 2与b ＝－2e 1＋λe 2共线，则λ的值为________．因为e 1与e 2不共线，且a ＝e 1－e 2与b ＝－2e 1＋λe 2共线，所以存在μ∈R ，使e 1－e 2＝μ(－2e 1＋λe 2)＝－2μe 1＋μλe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2μ－1＝μλ，所以λ＝2. 2平面向量的有关概念给出下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．0【解析】 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b ＝0时，则a 与c 不一定平行． 【答案】 D对于向量的概念的三点注意(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．1．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4A 只有④正确．2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.平面向量的线性运算(高频考点)平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求已知向量的和； (2)用已知向量表示未知向量； (3)求参数的值．(1)(2015²高考全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A ．AD →＝－13AB →＋43AC →B ．AD →＝13AB →－43AC →C ．AD →＝43AB →＋13AC →D ．AD →＝43AB →－13AC →(2)(2015²高考北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________．【解析】 (1)AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.(2)因为 AM →＝2MC →，所以AM →＝23AC →.因为 BN →＝NC →，所以AN →＝12(AB →＋AC →)，所以MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →. 又MN →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.【答案】 (1)A (2)12 －16向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．角度一 求已知向量的和1．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A ．AD →B ．12AD →C ．BC →D ．12BC → A EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A.角度二 用已知向量表示未知向量2．(2017²龙岩模拟) 如图所示，下列结论正确的是( )①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝32a －b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④C ①根据向量的加法法则，得PQ →＝32a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT →＝32a －32b ，故②错误；③PS →＝PQ →＋QS →＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；④PR →＝PQ →＋QR →＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误．故选C.角度三 求参数的值3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A ．23B ．13C ．－13D ．－23A 如图所示，过点D 分别作AC ，BC 的平行线，分别交BC ，AC 于点F ，E ， 所以CD →＝CE →＋CF →.因为AD →＝2DB →，所以CE →＝13CA →，CF →＝23CB →，故CD →＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.平面向量共线定理的应用已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)， 求证：A 、B 、D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值． 【解】 (1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2， BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →， 所以AB →与BD →共线， 且有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线． (2)因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， 所以存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2. 由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1.1．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1D 因为A 、B 、C 三点共线，所以AB →∥AC →，设AB →＝mAC →(m ≠0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝m μ，所以λμ＝1，故选D.2．已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同，若a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则t ＝________．因为a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，且a 与b 起点相同．所以a －t b 与a －13(a ＋b )共线．即a －t b 与23a －13b 共线．所以存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝23λ，t ＝13λ，解得λ＝32，t ＝12，即t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上．12, )1. 如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →＋12AB →C ．BC →－12BA →D ．BC →＋12BA →A 因为CD →＝CB →＋BD →，CB →＝－BC →，BD →＝12BA →，所以CD →＝－BC →＋12BA →.2．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对C 由已知，得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，故AD →∥BC →.又因为AB →与CD →不平行，所以四边形ABCD 是梯形．3．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直A 由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →， CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，因此AD →＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →－AB →)＝CB →＋23BC →＝－13BC →，故AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行．4．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )A ．aB ．bC ．cD ．0D 依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.5．已知P 是△ABC 内的一点，AP →＝13(AB →＋AC →)，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( )A ．2B ．3C ．32D ．6B 由AP →＝13(AB →＋AC →)，得3AP →＝AB →＋AC →，AP →＋(AP →－AB →)＋(AP →－AC →)＝0.所以PB →＋PC →＋PA →＝0，P 是△ABC 的重心．所以△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为3.6．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB ．12a －b C ．a ＋12bD ．12a ＋b D 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .7．(2017²唐山统考)已知a 与－b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ的值为________．因为a ＋λb 与－(b －3a )共线，所以存在实数μ，使a ＋λb ＝μ(3a －b )， 即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3μ，λ＝－μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧μ＝13，λ＝－13. －138．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确命题的个数为________．BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，故①错；BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0.所以正确命题为②③④. 39．若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________．因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|AB →＋AC →|＝2 3.2 310．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， 所以AB →＝2DC →.因为点E 在线段CD 上， 所以DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． 因为AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，所以2μλ＝1，即μ＝λ2.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 11. 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.因为BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，所以OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .因为OD →＝a ＋b ，所以ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，所以MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a－16b . 综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .12．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|的值为( )A ．13B ．12C ．1D ．2A 因为D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ，所以四边形MAEC 为平行四边形，所以MD →＝12ME →＝12(MA →＋MC →)．因为MB →＋32MA →＋32MC →＝0，所以MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3MD →，所以|MD →||BM →|＝|MD →||3MD →|＝13，故选A . 13. 在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝( )A ．25a －45bB ．25a ＋45bC ．－25a ＋45bD ．－25a －45bB 如图，过点F 作BC 的平行线交DE 于G ，则G 是DE 的中点，且GF →＝12EC →＝14BC →，所以GF →＝14AD →，则△AHD ∽△FHG ，从而HF →＝14AH →，所以AH →＝45AF →，AF →＝AD →＋DF →＝b ＋12a ，所以AH →＝45(b ＋12a )＝25a ＋45b ，故选B.14．已知点G 是△ABC 的重心，过G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，求xy x ＋y的值．法一：由已知得M ，G ，N 三点共线，所以AG →＝λAM →＋(1－λ)AN →＝λxAB →＋(1－λ)yAC →，因为点G 是△ABC 的重心，所以AG →＝23³12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λx ＝13（1－λ）y ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13x 1－λ＝13y，得13x ＋13y ＝1， 即1x ＋1y ＝3，通分变形得，x ＋y xy ＝3，所以xy x ＋y ＝13. 法二：利用等边三角形，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ＝23，y ＝23，所以xy x ＋y ＝13. 15. 如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．(1)延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ， 所以AG →＝a ＋b ， AD →＝12AG →＝12(a ＋b )， AE →＝23AD →＝13(a ＋b )， AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE →＝23BF →，又因为BE →，BF →有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．。

第一节平面向量的概念及其线性运算A组基础题组1.已知O,A,B是同一平面内的三个点,直线AB上有一点C满足2AC+CB=0,则OC=()A.2OA-OBB.-OA+2OBC.23OA-13OB D.-13OA+23OB2.(2016甘肃兰州模拟)如图所示,下列结论中正确的是()①PQ=32a+32b;②PT=32a-b;③PS=32a-12b;④PR=32a+b.A.①②B.③④C.①③D.②④3.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向4.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是()A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对5.在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若EF=m AB+n AD(m,n∈R),则mn的值为()A.-12B.-2 C.2 D.126.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且BC=a,CA=b,给出下列命题:①AD=12a-b;②BE=a+12b;③CF=-12a+12b;④AD+BE+CF=0.其中正确命题的个数为.7.若|AB|=|AC|=|AB-AC|=2,则|AB+AC|=.8.已知G为△ABC的重心,令AB=a,AC=b,过点G的一条直线分别交AB,AC于P,Q两点,且AP=ma,AQ=nb,则1m +1n=.9.如图,以向量OA=a,OB=b为邻边作▱OADB,BM=13BC,CN=13CD,用a,b表示OM,ON,MN.10.已知a,b不共线,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t,使C,D,E三点在同一条直线上?若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.B组提升题组11.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且OA+OB+CO=0,则△ABC的内角A等于()A.30°B.45°C.60°D.90°12.已知:如图,|OA|=|OB|=1,OA与OB的夹角为120°,OC与OA的夹角为30°,若OC=λOA+μOB(λ、μ∈R),则λμ等于()A.32B.233C.12D.213.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5AM=AB+3AC,则△ABM与△ABC的面积的比值为()A.15B.25C.35D.4514.(2016内蒙古包头九中期中)如图,在△ABC中,AH⊥BC于H,M为AH的中点,若AM=λAB+μAC,则λ+μ=.15.如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b.(1)用a,b表示向量AD,AE,AF,BE,BF;(2)求证:B,E,F三点共线.16.已知P为△ABC内一点,且3AP+4BP+5CP=0,延长AP交BC于点D,若AB=a,AC=b,用a、b表示向量AP、AD.答案全解全析A组基础题组1.A依题意,得OC=OB+BC=OB+2AC=OB+2(OC-OA),所以OC=2OA-OB,故选A.2.C①根据向量的加法法则,得PQ=32a+32b,故①正确;②根据向量的减法法则,得PT=32a-32b,故②错误;③PS=PQ+QS=32a+32b-2b=32a-12b,故③正确;④PR=PQ+QR=32a+32b-b=32a+12b,故④错误.故选C.3.D∵c∥d,∴c=λd(λ∈R),即ka+b=λ(a-b),∴k=λ,λ=-1.∴k=-1,则c=b-a,故c与d反向.4.C由已知,得AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC,故AD∥BC.又因为AB与CD不平行,所以四边形ABCD是梯形.5.B易知AEBC =EFFB=12,∴EF=13EB,∴EF=13EB=13(EA+AB)=1312DA+AB=1 6DA+13AB=13AB-16AD,∴m=13,n=-16,∴mn=-2.6.答案 3解析BC=a,CA=b,AD=12CB+AC=-12a-b,故①错;BE=BC+12CA=a+12b,故②正确;CF=12(CB+CA)=12(-a+b)=-12a+12b,故③正确;∴AD+BE+CF=-b-12a+a+12b+12b-12a=0,故④正确.∴正确命题为②③④.7.答案23解析∵|AB|=|AC|=|AB-AC|=2,∴△ABC是边长为2的正三角形,∴|AB+AC|为△ABC的边BC上的高的2倍,∴|AB+AC|=2 8.答案 3解析连接AG并延长交BC于点E,如图所示,由重心的性质可知AG=23AE=23×12(AB+AC)=13(AB+AC),又AB=1mAP,AC=1nAQ,所以AG=131mAP+1nAQ=13mAP+13nAQ.因为G,P,Q三点共线,所以13m +13n=1,即1m +1n=3.9.解析∵BA=OA-OB=a-b,∴BM=13BC=16BA=16a-16b,∴OM=OB+BM=16a+56b.∵OD=a+b,∴ON=OC+13CD=12OD+16OD=23OD=23a+23b,∴MN=ON-OM=23a+23b-16a-56b=12a-16b.综上,OM=16a+56b,ON=23a+23b,MN=12a-16b.10.解析存在.理由:由题设知,CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在同一条直线上的充要条件是存在实数k,使得CE=k CD,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.因为a,b不共线,所以有t-3+3k=0, t-2k=0,解得t=65.故存在实数t=65,使C,D,E三点在同一条直线上.B组提升题组11.A由OA+OB+CO=0得,OA+OB=OC,由O为△ABC外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知,四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°,故∠BAC=30°.12.D过C作OB的平行线交OA的延长线于D.由题意可知,∠COD=30°,∠OCD=90°,∴OD=2CD,又由题意知OD=λOA,DC=μOB,∴λ|OA|=2μ|OB|,即λ=2μ,故λμ=2.13.C设AB的中点为D,连接MD,MC,由5AM=AB+3AC,得5AM=2AD+3AC,故C,M,D三点共线,且5DM=3DC,即在△ABM与△ABC中,边AB上的高的比值为35,所以△ABM与△ABC的面积的比值为35.14.答案12解析设BH=x CB,∵AM=12(AB+BH)=12[AB+x(AB-AC)]=12[(1+x)AB-x AC],且AM=λAB+μAC,∴1+x=2λ,-x=2μ,∴λ+μ=12.15.解析(1)延长AD到G,使AD=12AG,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,所以AG=a+b.AD=12AG=12(a+b),AE=23AD=13(a+b),AF=12AC=12b,BE=AE-AB=13(a+b)-a=13(b-2a),BF=AF-AB=12b-a=12(b-2a).(2)证明:由(1)可知BE=23BF, 又因为BE,BF有公共点B,所以B,E,F三点共线.16.解析∵BP=AP-AB=AP-a,CP=AP-AC=AP-b,3AP+4BP+5CP=0, ∴3AP+4(AP-a)+5(AP-b)=0,∴AP=13a+512b.设AD=t AP(t∈R),则AD=13ta+512tb.①又设BD=k BC(k∈R),由BC=AC-AB=b-a,得BD=k(b-a). 而AD=AB+BD=a+BD.∴AD=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.②由①②得13t=1-k,512t=k,解得t=43.代入①得AD=49a+59b.∴AP=13a+512b,AD=49a+59b.。