九年级数学二次函数复习2

九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习【基础知识回顾】一、二次函数与一元二次方程：二、二次函数解析式的确定：1、设顶点式，即：设2、设一般式，即：设3、设交点式，即：设【提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设以y轴为对称轴，可设顶点在x轴上，可设抛物线过原点等】三、二次函数的应用1、实际问题中解决最值问题：2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题【提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】【重点考点例析】考点一：二次函数的最值例1 （呼和浩特）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x （）A．有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为对应训练1．已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定考点二：确定二次函数关系式例2 如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．对应训练2．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．考点三：二次函数与x轴的交点问题例3 若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②m＞；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3对应训练3．（株洲）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（）A．（-3，0） B．（-2，0） C．x=-3 D．x=-2考点四：二次函数的实际应用例4 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=- （x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是 m．例5 （重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：月份x 1 2 3 4 5 6输送的污水量y1（吨）12000 6000 4000 3000 2400 20007至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1=x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2=x-x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）对应训练4．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来．考点五：二次函数综合性题目例6 如图，抛物线交x轴于点A（-3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，-3）．将抛物线沿y轴翻折得抛物线．（1）求的解析式；（2）在的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．对应训练6．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．【聚焦中考】1．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．-3 B．3 C．-6 D．92．抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（）A．3 B．2 C．1 D．03．（济南）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．4．牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价x（元/件）…20 30 40 50 60 …每天销售量（y件）…500 400 300 200 100 …（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（3）洛阳市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？5．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．6．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？【备考真题过关】一、选择题1、如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A． B． C．3 D．42、已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限4．（资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1且x＞5 D．x＜-1或x＞53、如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．其中正确的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④4、如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C-D-E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．45、若二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞16、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．﹣3 B．3C．﹣6 D．9二、解答题7、如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h= （t-19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？8、某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）9、某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．薄板的边长（cm）20 30出厂价（元/张）50 70（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价），①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？10、抛物线y= x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（-2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．11、如图，一次函数y=- x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大第 11 页 共 11 页 值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．14．已知抛物线y= x 2+1（如图所示）．（1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ；（2）已知y 轴上一点A （0，2），点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ．若△PAB 是等边三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，点M 在直线AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。

人教版数学九年级上学期《二次函数》章节知识点归纳总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：（1）一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。

（2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二次函数的定义域(x)是全体实数．2. 二次函数 2y ax bx c =++ 的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． （2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．3. 二次函数解析式的几种形式（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0） （2）顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （ h ，k ）]（3）交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)[仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线]其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根，a ≠0. x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-)/2a在三种形式的互相转化中，有如下关系:h= -b / 2a ； k=(4ac-b 2) / 4a ； x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-) / 2a说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)；(2) 当h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点；(3) 如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax2+k4.抛物线的性质（1）.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

九年级上册数学二次函数知识点篇1：九年级上册数学知识点二次函数九年级上册数学知识点二次函数二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

二次函数可以表示为f(乘)=a乘^2b乘c(a不为0)。

其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的，自变量乘和因变量y之间存在如下关系：一般式y=a乘∧2;b乘c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);顶点式y=a(乘m)∧2k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(乘-h)∧2k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为乘=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=a乘∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(乘-乘1)(乘-乘2)[仅限于与乘轴有交点A(乘1，0)和B(乘2，0)的抛物线];重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(乘-乘1)(乘-乘2))/((乘3-乘1)(乘3-乘2)(y2(乘-乘1)(乘-乘3))/((乘2-乘1)(乘2-乘3)(y1(乘-乘2)(乘-乘3))/((乘1-乘2)(乘1-乘3)。

由此可引导出交点式的系数a=y1/(乘1乘乘2)(y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

乘是自变量，y是乘的二次函数乘1,乘2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2乘的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。

注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。

2画出对称轴，并注明乘=什么3与乘轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！【高效培优】2022—2023学年九年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教版）【单元复习】第二十二章二次函数（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）温馨提示：一分努力勤奋一份收获，必考重难点突破是培优最佳途径！知识精讲第二十二章二次函数一、二次函数的定义：1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.2.二次函数的性质（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.（2）函数的图像与的符号关系.①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.二、二次函数的解析式①一般式：(a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。

2021年九年级数学中考复习——函数专题：二次函数实际应用（二）1．为确保贫困人口到2020年底如期脱贫，习总书记提出扶贫开发“贵在精准，重在精准，成败之举在于精准”，近年来扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农因地制宜种植一种有机生态水果并拓宽了市场，有机生态水果产量呈逐年上升，去年这种水果的产量是亩产约1000千克．（1）预计明年这种水果产量要达到亩产1440千克，求这种水果亩产量去年到明年平均每年的增长率为多少？（2）某水果店从果农处直接以每千克30元批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的平均销售价每降低1元，每天可多卖出50千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时．该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？2．一种工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件．（1）当每件售价130元时，获得的利润为多少元？（2）每天获得利润为W元，求每天获得的利润W与降价x元之间的函数关系式？要使每天获得的利润最大，每件需降价多少元？最大利润为多少元？3．某商品的成本为20元，市场调查发现：当售价为180元时，每周可售出50件，每涨价10元每周少售出1件．现要求每周至少售出35件，且售价不低于180元．（1）设售价为x元（x为10的整数倍），每周利润为y元，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）当售价为多少时，（销售这种商品）每周的利润最大？最大利润是多少？（3）若希望每周利润不得低于10400元，则售价x的范围为．4．在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．求OD的长．5．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？6．如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系．（1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？7．某品牌钢笔进价为每支20元，经销商小周在销售中发现，每月销售量y（支）与销售单价x（元）之间满足一次函数y＝﹣10x+500的关系，在销售中销售单价不低于进价，而每支钢笔的利润不高于进价的60%，设小周每月获得利润为w（元）．（1）当销售单价定为每支多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（2）如果小周想要每月获得的利润不低于2000元，那么小周每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）．8．某超市销售一种牛奶，进价为每箱36元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售100箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？9．李师傅承包了一片池塘养鱼，他用总长为120m的围网围成如图所示的6个矩形区域，其中除矩形AEFJ外，其它5个矩形的面积都相等．若AE＝xm，矩形ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，y取得最大值，最大值是多少？10．陆臻同学善于总结改进学习方法，他发现每解题1分钟学习收益量为2；对解题过程进行回顾反思效果会更好，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．某一天他共有30分钟进行学习，且用于回顾反思的时间不能超过用于解题的时间．（1）求陆臻回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；（2）陆臻如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量＝解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）参考答案1．解：（1）设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为x，由题意，得：1000（1+x）2＝1440，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：平均每年的增长率为20%．（2）设每千克的平均销售价为m元，由题意得：w＝（m﹣30）[200+50×（40﹣m）]＝﹣50（m﹣37）2+2450，∵﹣50＜0，∴当m＝37时，w取得最大值为2450．答：当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元．2．解：（1）当每件售价130元时，135﹣130＝5（元），即降价5元，由题意得：（130﹣100）（100+4×5）＝30×（100+20）＝30×120＝3600（元），∴当每件售价130元时，获得的利润为3600元．（2）由题意得：W＝（135﹣x﹣100）（100+4x）＝﹣4x2+40x+3500＝﹣4（x﹣5）2+3600，∴当x＝5时，每天获得的利润最大，最大利润为3600元．∴每天获得的利润W与降价x元之间的函数关系式为：W＝﹣4x2+40x+3500，要使每天获得的利润最大，每件需降价5元，最大利润为3600元．3．解：（1）由题意得：y＝（x﹣20）（50﹣）＝﹣x2+70x﹣1360，∵要求每周至少售出35件，∴50﹣≥35，解得：x≤330，又∵售价不低于180元，∴180≤x≤330．∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+70x﹣1360（180≤x≤330，且x为10的整数倍）；（2）∵y＝﹣x2+70x﹣1360＝﹣（x﹣350）2+10890，∵二次项系数为负，当x≤350时，y随x的增大而增大，又∵180≤x≤330，∴当x＝330时，y＝10850，最大值∴当售价为330元时，（销售这种商品）每周的利润最大，最大利润是10850元；（3）∵每周利润不得低于10400元，∴﹣（x﹣350）2+10890≥10400，∴（x﹣350）2≤4900，解得：280≤x≤420，又∵180≤x≤330，∴280≤x≤330．故答案为：280≤x≤330，且x为10的整数倍．4．解：（1）设y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），把x＝0，y＝3代入上式得，3＝a（0﹣0.4）2+3.32，解得a＝﹣2，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32．（2）把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，化简得（x﹣0.4）2＝0.36，解得x1＝﹣0.2（舍去），x2＝1，∴OD＝1m．5．解：（1）由题意得：w＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000．∵每件的利润不高于成本价的60%．∴20≤x≤20（1+60%），∴20≤x≤32，∴w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）．（2）∵w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32），∴对称轴为直线x＝﹣＝35，又∵a＝﹣10＜0，∴抛物线开口向下，∴当20≤x≤32时，w随x的增大而增大，∴当x＝32时，w有最大值，最大值为﹣10×322+700×32﹣10000＝2160（元）．∴当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2160元．6．解：（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），设抛物线解析式为：y＝a（x﹣6）2+10，将点B（0，4）代入，得：36a+10＝4，解得：a＝﹣，故该抛物线解析式为y＝﹣（x﹣6）2+10；（2）根据题意，当x＝6+4＝10时，y＝﹣×16+10＝＞6，∴这辆货车能安全通过．7．解：（1）由题意得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，∵a＝﹣10＜0，20≤x≤20（1+60%），∴当20≤x≤32时，w随x的增大而增大，＝﹣10（32﹣35）2+2250＝2160．∴当x＝32时，w最大答：当销售单价定为每支32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2160元．（2）设小周每月的成本需要p（元），根据题意得：p＝20（﹣10x+500）＝﹣200x+10000，∵w＝﹣10x2+700x﹣10000≥2000，∴30≤x≤40，又∵20≤x≤32，﹣200＜0，∴当30≤x≤32时，w≥2000，p随x的增大而减小，＝﹣200×32+10000＝3600．∴当x＝32时，p的值最小，p最小值答：想要每月获得的利润不低于2000元，小周每月的成本最少需要3600元．8．解：（1）根据题意，得：y＝100+10x，由60﹣x≥36得x≤24，∴1≤x≤24，且x为整数；（2）设所获利润为W，则W＝（60﹣x﹣36）（10x+100）＝﹣10x2+140x+2400＝﹣10（x﹣7）2+2890，∵a＜0∴函数开口向下，有最大值，∴当x＝7时，W取得最大值，最大值为2890，答：超市定价为53元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2890元．9．解：（1）∵除矩形AEFJ外，其它5个矩形的面积都相等，且AE＝xm，∴IC＝3ID＝3xm，3AE+3AD+5IC＝120，∴3x+3AD+5×3x＝120，∴AD＝（40﹣6x）m，∴y＝4x（40﹣6x）＝﹣24x2+160x，∵AD＞0，40﹣6x＞0，∴0＜x＜，∴y＝﹣24x2+160x（0＜x＜）；（2）y＝﹣24x2+160x＝﹣24+，∵﹣24＜0，∴x＝时，y取得最大值，最大值是．10．解：（1）当0≤x≤5时，设y＝a（x﹣5）2+25，把（0，0）代入，得：0＝25a+25，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣5）2+25＝﹣x2+10x；当5＜x≤15时，y＝25．综上，y＝；（2）设陆臻用于回顾反思的时间为x（0≤x≤15）分钟，学习收益总量为Z，则他用于解题的时间为（30﹣x）分钟．当0≤x≤5时，Z＝﹣x2+10x+2（30﹣x）＝﹣x2+8x+60＝﹣（x﹣4）2+76．＝76．∴当x＝4时，Z最大当5＜x≤15时，Z＝25+2（30﹣x）＝﹣2x+85．∵Z随x的增大而减小，∴Z＜﹣2×5+85＝75．综上所述，当x＝4时，Z＝76，此时30﹣x＝26．最大∴陆臻用于回顾反思的时间为4分钟，用于解题的时间为26分钟时，才能使这30分钟的学习收益总量最大．。

北师大版九年级数学下册第二章二次函数章末综合题复习1、已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)．(1)求抛物线的表达式；(2)将(1)中所求的抛物线向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度会得到怎样的抛物线？(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动将抛物线的开口方向相反，求符合此条件的抛物线的表达式．2、如果将抛物线y＝2x2＋bx＋c沿直角坐标平面先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到了抛物线y＝2x2－4x＋3.(1)试确定b，c的值；(2)求出抛物线y＝2x2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标．3、成都市某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为16元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y(万个)与销售单价x(元)之间关系是一次函数的关系，部分数据如下：(1)求y与x之间的函数关系式；(2)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定(一件产品的利润率不得高于50%)，请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润．4、如图所示，用一根长度为18米的原材料制作一个矩形窗户边框(即矩形ABFE和矩形DCFE)，原材料刚好全部用完．设窗户边框AB长度为x米，窗户总面积为S平方米(注：窗户边框粗细忽略不计)．(1)求S与x之间的函数关系式；(2)若窗户边框AB的长度不少于2米，且边框AB的长度小于BC的长度，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．5、已知二次函数y＝ax2的图象与直线y＝x＋2交于点(2，m)．(1)判断y＝ax2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当x＞0时，y的值随x值的增大而变化的情况；(2)设直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2的交点分别为A，B，如图所示．试确定A，B两点的坐标；(3)连接OA，OB，求△AOB的面积．6、如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋3的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴交于点B.(1)求此二次函数的关系式和点B的坐标；(2)在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△P AB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7、如图是二次函数y＝(x＋m)2＋k的图象，其顶点坐标为M(1，－4)．(1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△P AB＝54S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴的交点为A(0，3)，与x轴的交点分别为B(2，0)，C(6，0)．直线AD∥x轴，在x轴上位于点B右侧有一动点E，过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P，Q.(1)抛物线的表达式为________；(2)当点E在线段BC上时，求△APC面积的最大值；(3)是否存在点P，使以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；(2)如图，设直线l与该抛物线两个交点分别为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．10、如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由．11、如图，已知二次函数y＝x2－4x＋3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标．12、如图，顶点为M的抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．13、如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4的顶点坐标为(3，254)，与y 轴交于点A .过点A 作AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，点C 是第四象限的抛物线上的一个动点，过点C 作y 轴的平行线，交直线AB 于点D .(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点E 在y 轴的负半轴上，且AE ＝AD ，直线CE 交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4于点F . ①求点F 的坐标；②过点D 作DG ⊥CE 于点G ，连接OD ，ED ，当∠ODE ＝∠CDG 时，求直线DG 的函数表达式．14、如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)与x 轴、y 轴分别交于A (－1，0)，B (3，0)，C 三点． (1)求抛物线的表达式；(2)x 轴上是否存在点P ，使PC ＋12PB 最小？若存在，请求出点P 的坐标及PC ＋12PB 的最小值；若不存在，请说明理由；(3)连接BC ，设E 为线段BC 的中点．若M 是抛物线上一动点，将点M 绕点E 旋转180°得到点N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N 的坐标．15、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝12x ＋12相交于A (－1，0)，B (4，m )两点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c交y 轴于点C (0，－32)，交x 轴正半轴于点D ，抛物线的顶点为M .(1)求抛物线的表达式及点M的坐标；(2)设P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△P AB的面积最大时，求此时△P AB的面积及点P的坐标；(3)Q为x轴上一动点，N是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD(点Q与点M对应)时，求点Q的坐标．16、如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－5，与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；(3)如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；(4)若点K为x轴上一点，连接CK，请你直接写出2CK＋KB的最小值．参考答案1、已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)．(1)求抛物线的表达式；(2)将(1)中所求的抛物线向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度会得到怎样的抛物线？(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动将抛物线的开口方向相反，求符合此条件的抛物线的表达式．解：(1)根据题意设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)2－3，将(0，－5)代入，得a－3＝－5.解得a＝－2.∴抛物线的表达式为y＝－2(x＋1)2－3＝－2x2－4x－5.(2)y＝－2(x－1)2.(3)所求抛物线的表达式为y＝2(x－1)2.2、如果将抛物线y＝2x2＋bx＋c沿直角坐标平面先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到了抛物线y＝2x2－4x＋3.(1)试确定b，c的值；(2)求出抛物线y＝2x2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标．解：(1)∵y＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1，∴现将其向上平移2个单位长度，向右平移3个单位长度可得原函数，即y＝2(x－4)2＋3.∴y＝2x2－16x＋35.∴b＝－16，c＝35.(2)由y＝2(x－4)2＋3，得顶点坐标为(4，3)，对称轴为直线x＝4.3、成都市某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为16元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y (万个)与销售单价x (元)之间关系是一次函数的关系，部分数据如下：(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定(一件产品的利润率不得高于50%)，请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b . 把(20，60)，(30，40)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝60，30k ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝100. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋100.(2)∵每个生产成本为16元，一件产品的利润率不得高于50%， ∴x ≤(1＋50%)×16＝24.设该公司每月获得的利润为w 万元，则 w ＝y (x －16) ＝(－2x ＋100)(x －16) ＝－2x 2＋132x －1 600 ＝－2(x －33)2＋578.∵图象开口向下，对称轴左侧w 随x 的增大而增大， ∴当x ＝24时，w 最大，最大值为416.答：公司销售单价定为24元时可获利最大，最大利润为每月416万元．4、如图所示，用一根长度为18米的原材料制作一个矩形窗户边框(即矩形ABFE 和矩形DCFE )，原材料刚好全部用完．设窗户边框AB 长度为x 米，窗户总面积为S 平方米(注：窗户边框粗细忽略不计)．(1)求S 与x 之间的函数关系式；(2)若窗户边框AB 的长度不少于2米，且边框AB 的长度小于BC 的长度，求此时窗户总面积S 的最大值和最小值．解：(1)由题意可得，S ＝x ·18－3x 2＝－32x 2＋9x .(2)由题意可得，2≤x ＜18－3x2，解得2≤x ＜3.6，∵S ＝－32x 2＋9x ，2≤x ＜3.6，∴当x ＝3时，S 取得最大值，此时S ＝272；当x ＝2时，S 取得最小值，此时S ＝12.答：窗户总面积S 的最大值是272平方米，最小值是12平方米．5、已知二次函数y ＝ax 2的图象与直线y ＝x ＋2交于点(2，m )．(1)判断y ＝ax 2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当x ＞0时，y 的值随x 值的增大而变化的情况；(2)设直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2的交点分别为A ，B ，如图所示．试确定A ，B 两点的坐标； (3)连接OA ，OB ，求△AOB 的面积．解：(1)把点(2，m )代入y ＝x ＋2，解得m ＝4， ∴交点坐标为(2，4)． 把点(2，4)代入y ＝ax 2，得 a ＝1.∴二次函数的表达式为y ＝x 2.∴抛物线的对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，0)， 当x ＞0时，y 随x 的增大而增大． (2)由题意，得x 2＝x ＋2，解得x 1＝2，x 2＝－1，则y 1＝4，y 2＝1. ∴A (2，4)，B (－1，1)．(3)设直线y ＝x ＋2与y 轴的交点为D ，则点D 坐标为(0，2)， ∴S △AOB ＝S △DOB ＋S △DOA ＝12×2×1＋12×2×2 ＝3.6、如图，已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图象与x 轴的一个交点为A (4，0)，与y 轴交于点B . (1)求此二次函数的关系式和点B 的坐标；(2)在x 轴的正半轴上是否存在点P ，使得△P AB 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把点A (4，0)代入二次函数，得 0＝－16＋4b ＋3， 解得b ＝134.∴二次函数的关系式为y ＝－x 2＋134x ＋3.当x ＝0时，y ＝3， ∴点B 的坐标为(0，3)．(2)作AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，连接BP ，则BP ＝AP ，此时点P 即为所求． 设BP ＝AP ＝x ，则OP ＝4－x ， 在Rt △OBP 中，BP 2＝OB 2＋OP 2， 即x 2＝32＋(4－x )2， 解得x ＝258.∴OP ＝4－258＝78，即P (78，0)．∴在x 轴的正半轴上存在点P ，使得△P AB 是以AB 为底边的等腰三角形，且点P 的坐标为(78，0)．7、如图是二次函数y ＝(x ＋m )2＋k 的图象，其顶点坐标为M (1，－4)． (1)求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P ，使S △P AB ＝54S △MAB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y ＝(x ＋m )2＋k 的顶点坐标为M (1，－4)， ∴y ＝(x －1)2－4.令y ＝0，即(x －1)2－4＝0. 解得x 1＝3，x 2＝－1. ∴A (－1，0)，B (3，0)．(2)∵△P AB 与△MAB 同底，且S △P AB ＝54S △MAB ，∴|y P |＝54|y M |＝54×4＝5，即y P ＝±5.又∵点P 在二次函数y ＝(x －1)2－4的图象上， ∴y P ≥－4.∴y P ＝5.令(x －1)2－4＝5，解得x 1＝4，x 2＝－2， ∴存在这样的点P ，其坐标为(4，5)或(－2，5)．8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 轴的交点为A (0，3)，与x 轴的交点分别为B (2，0)，C (6，0)．直线AD ∥x 轴，在x 轴上位于点B 右侧有一动点E ，过点E 作平行于y 轴的直线l 与抛物线、直线AD 的交点分别为P ，Q .(1)抛物线的表达式为y ＝14x 2－2x ＋3；(2)当点E 在线段BC 上时，求△APC 面积的最大值；(3)是否存在点P ，使以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(2)设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧6k ＋m ＝0，m ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，m ＝3.∴直线AC 的表达式为y ＝－12x ＋3.设△APC 的面积为S ，直线l 与AC 的交点为F . 设P (t ，14t 2－2t ＋3)(2≤t ≤6)，则F (t ，－12t ＋3)．∴PF ＝－14t 2＋32t .∴S ＝S △PF A ＋S △PFC ＝12PF ·t ＋12PF ·(6－t ) ＝12(－14t 2＋32t )×6＝－34(t －3)2＋274. ∴当t ＝3时，S 最大＝274，即△APC 面积的最大值为274.(3)存在点P ，使以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似． 理由：连接AB ，则在△AOB 中，∠AOB ＝90°，AO ＝3，BO ＝2， 设E (n ，0)(n ＞2)，则Q (n ，3)，P (n ，14n 2－2n ＋3)，当14n 2－2n ＋3＝3时，此时，点P ，Q 重合， 即n ＝0(舍)或n ＝8，不能构成△APQ ，∴n ≠8. ①当2＜n ＜8时，AQ ＝n ，PQ ＝－14n 2＋2n ，若△AOB ∽△AQP ，则AO AQ ＝OBQP ，即3n ＝2－14n 2＋2n . ∴n ＝0(舍)或n ＝163.∴E (163，0)．若△AOB ∽△PQA ，则AO PQ ＝OBQA，即2n ＝3－14n 2＋2n . ∴n ＝0(舍)或n ＝2(舍)；②当n ＞8时，AQ ＝n ，PQ ＝14n 2－2n ，若△AOB ∽△AQP ，则AO AQ ＝OBQP ，即3n ＝214n 2－2n . ∴n ＝0(舍)或n ＝323.∴E (323，0)．若△AOB ∽△PQA ，则AO PQ ＝OBQA ，即2n ＝314n 2－2n . ∴n ＝0(舍)或n ＝14.∴E (14，0)．综上所述，存在点P ，使以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似，此时点E 的坐标为(163，0)，(323，0)或(14，0)．9、已知直线l ：y ＝kx ＋1与抛物线y ＝x 2－4x . (1)求证：直线l 与该抛物线总有两个交点；(2)如图，设直线l 与该抛物线两个交点分别为A ，B ，O 为原点，当k ＝－2时，求△OAB 的面积．解：(1)证明：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝x 2－4x ，化简，得x 2－(4＋k )x －1＝0， ∴Δ＝(4＋k )2＋4＞0.∴直线l 与该抛物线总有两个交点． (2)当k ＝－2时，y ＝－2x ＋1. 设直线AB 交x 轴于点C .令y ＝0，则－2x ＋1＝0, ∴x ＝12.∴C (12，0)．∴OC ＝12.过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4x ，y ＝－2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝1＋2，y ＝－1－22或⎩⎨⎧x ＝1－2，y ＝22－1.∴A (1－2，22－1)，B (1＋2，－1－22)． ∴AF ＝22－1，BE ＝1＋2 2. ∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12OC ·AF ＋12OC ·BE ＝12OC ·(AF ＋BE ) ＝12×12×(22－1＋1＋22) ＝ 2.10、如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△P AC 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标及△P AC 的周长；若不存在，请说明理由．解：在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝0，则－x 2＋2x ＋3＝0.解得x 1＝－1，x 2＝3. ∴A (－1，0)，B (3，0)．在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令x ＝0，则y ＝3.∴C (0，3)．连接BC 交抛物线的对称轴于点P ，连接AP ，则点P 即为所求．此时△P AC 的周长最小，等于AC ＋BC . ∵A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)，∴AC ＝12＋32＝10，BC ＝32＋32＝3 2. ∴AC ＋CB ＝10＋3 2.∴△P AC 的周长最小为10＋3 2. 设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋t .把点B (3，0)，C (0，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋t ＝0，t ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，t ＝3. ∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3. ∴y P ＝－1＋3＝2.∴存在点P (1，2)使△P AC 的周长最小，最小值为10＋3 2.11、如图，已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A ，B ，P ，F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标．解：在y ＝x 2－4x ＋3中，令y ＝0，则x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3. ∴A (1，0)，B (3，0)．①当AB 为平行四边形一条边时，如图1， 则AB ＝PF ＝2.∵抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∴点P 的坐标为(4，3)；当点P 在对称轴左侧时，点P 的坐标为(0，3)； ②当AB 是平行四边形的对角线时，如图2， AB 的中点坐标为(2，0)．设点P 的横坐标为m ，则PF 的中点坐标为(m ＋22，0)，∴m ＋22＝2，解得m ＝2.∴点P 的坐标为(2，－1)．综上所述，点P 的坐标为(4，3)或(0，3)或(2，－1)．图1 图212、如图，顶点为M 的抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，在y 轴上是否存在一点P ，使得△P AM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝0，则－x 2＋2x ＋3＝0. 解得x 1＝3，x 2＝－1. ∴A (3，0)，B (－1，0)．∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴M (1，4)．∴AM 2＝(3－1)2＋42＝20. 设点P 坐标为(0，p )， 则AP 2＝32＋p 2＝9＋p 2， MP 2＝12＋(4－p )2＝17－8p ＋p 2. ①若∠P AM ＝90°，则AM 2＋AP 2＝MP 2. ∴20＋9＋p 2＝17－8p ＋p 2，解得p ＝－32.∴P (0，－32)．②若∠APM ＝90°，则AP 2＋MP 2＝AM 2. ∴9＋p 2＋17－8p ＋p 2＝20，解得p 1＝1，p 2＝3. ∴P (0，1)或(0，3)．③若∠AMP ＝90°，则AM 2＋MP 2＝AP 2. ∴20＋17－8p ＋p 2＝9＋p 2，解得p ＝72.∴P (0，72)．综上所述，当点P 的坐标为(0，－32)或(0，1)或(0，3)或(0，72)时，△P AM 为直角三角形．13、如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4的顶点坐标为(3，254)，与y 轴交于点A .过点A 作AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，点C 是第四象限的抛物线上的一个动点，过点C 作y 轴的平行线，交直线AB 于点D .(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点E 在y 轴的负半轴上，且AE ＝AD ，直线CE 交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4于点F . ①求点F 的坐标；②过点D 作DG ⊥CE 于点G ，连接OD ，ED ，当∠ODE ＝∠CDG 时，求直线DG 的函数表达式．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4的顶点坐标为(3，254)，∴y ＝a (x －3)2＋254＝ax 2－6ax ＋9a ＋254.∴9a ＋254＝4.∴a ＝－14.∴抛物线的表达式为y ＝－14x 2＋32x ＋4.(2)①设C (m ，－14m 2＋32m ＋4)．∵AD ＝AE ，AD ∥x 轴，CD ∥y 轴，∴AD ＝AE ＝m . ∵OA ＝4，∴OE ＝m －4.∵点E 在y 轴的负半轴上，∴E (0，4－m )． 设直线CE 的表达式为y ＝kx ＋b . 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4－m ，mk ＋b ＝－14m 2＋32m ＋4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14m ＋52，b ＝4－m.∴直线CE 的表达式为y ＝(－14m ＋52)x ＋4－m .联立两个函数表达式，得－14x 2＋32x ＋4＝(－14m ＋52)x ＋4－m .∴－14x 2＋(14m －1)x ＋m ＝0，x 2＋(4－m )x －4m ＝0，(x ＋4)(x －m )＝0，解得x 1＝－4，x 2＝m .∴定点F (－4，－6)．②如图，过点E 作EH ⊥CD 于点H ，交DG 于点Q ，连接OQ ，由①知OE ＝m －4. ∵∠DAE ＝∠ADH ＝∠EHD ＝90°，AD ＝AE ，∴四边形AEHD 是正方形． ∴∠EDH ＝45°，AD ＝AE ＝DH ＝EH . ∵∠ODE ＝∠CDG ，∴∠ODE ＋∠EDQ ＝∠EDQ ＋∠CDG ＝45°，即∠ODQ ＝45°. ∴∠ADO ＋∠CDG ＝45°.在OA 的延长线上取AP ＝QH ，连接PD ， 又∵∠P AD ＝∠QHD ＝90°，AD ＝DH ， ∴△P AD ≌△QHD (SAS )． ∴PD ＝DQ ，∠ADP ＝∠CDG . ∴∠ADP ＋∠ADO ＝45°＝∠ODQ . 又∵OD ＝OD ，∴△PDO ≌△QDO (SAS )．∴OP ＝OQ .∵EH ＝DH ，∠EHC ＝∠DHQ ，∠GEH ＝∠CDG ， ∴△EHC ≌△DHQ (ASA )．∴CH ＝QH ＝14m 2－32m －4－(m －4)＝14m 2－52m ＝AP .∴OQ ＝OP ＝OA ＋AP ＝4＋14m 2－52m .∵OE ＝m －4，EQ ＝EH －QH ＝m －(14m 2－52m )＝－14m 2＋72m ，在Rt △OEQ 中，由勾股定理，得OE 2＋EQ 2＝OQ 2， ∴(m －4)2＋(－14m 2＋72m )2＝(4＋14m 2－52m )2，m 3－10m 2－24m ＝0，解得m 1＝0(舍)，m 2＝12，m 3＝－2(舍)． ∴D (12，4)，Q (6，－8)．设直线DG 的表达式为y ＝k ′x ＋b ′，则⎩⎪⎨⎪⎧12k′＋b′＝4，6k′＋b′＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k′＝2，b′＝－20. ∴直线DG 的函数表达式为y ＝2x －20.14、如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)与x 轴、y 轴分别交于A (－1，0)，B (3，0)，C 三点． (1)求抛物线的表达式；(2)x 轴上是否存在点P ，使PC ＋12PB 最小？若存在，请求出点P 的坐标及PC ＋12PB 的最小值；若不存在，请说明理由；(3)连接BC ，设E 为线段BC 的中点．若M 是抛物线上一动点，将点M 绕点E 旋转180°得到点N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N 的坐标．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)与x 轴交于点A (－1，0)，B (3，0)， ∴设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a . ∴－3a ＝3.∴a ＝－1.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)在x 轴下方作∠ABD ＝30°，交y 轴负半轴于点D ，则BD ＝2OD . ∵B (3，0)，∴OB ＝3.根据勾股定理，得BD 2－OD 2＝32， ∴4OD 2－OD 2＝9. ∴OD ＝3，BD ＝2 3.∵抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3， ∴C (0，3)．∴OC ＝3.∴CD ＝3＋ 3. 过点P 作PB ′⊥BD 于点B ′， 在Rt △PB ′B 中，PB ′＝12PB ，∴PC ＋12PB ＝PC ＋PB ′.当点C ，P ，B 在同一条直线上时，PC ＋12PB 最小，最小值为CB ′，∵S △BCD ＝12CD ·OB ＝12BD ·CB ′，∴CB ′＝CD·OB BD ＝（3＋3）×323＝3（3＋1）2， 即PC ＋12PB 的最小值为3（3＋1）2.∵OB ＝OC ＝3，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°. ∴∠DBC ＝45°＋30°＝75°.∴∠BCP ＝90°－75°＝15°.∴∠OCP ＝30°. ∵OC ＝3，∴OP ＝ 3.∴P (3，0)．(3)如备用图，设M (m ，－m 2＋2m ＋3)， ∵以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是矩形， ∴∠BMC ＝90°.∵点A 在x 轴负半轴上，且∠BOC ＝90°， ∴点M 在x 轴上方的抛物线上．过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，MF ⊥y 轴于点F ， ∴∠MEO ＝∠MFO ＝90°＝∠EOF . ∴四边形OEMF 是矩形． ∴∠EMF ＝90°.∴∠BME ＝∠CMF . 又∵∠BEM ＝∠CFM ＝90°， ∴△BEM ∽△CFM . ∴BE CF ＝MEMF， 即3－m －m 2＋2m ＋3－3＝－m 2＋2m ＋3m .∴m ＝1±52或3(舍去)．∴M (1＋52，5＋52)或(1－52，5－52)．∵点N 是点M 关于点E (32，32)的对称点，∴点N 的坐标为(5－52，1－52)或(5＋52，1＋52)．15、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝12x ＋12相交于A (－1，0)，B (4，m )两点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c交y 轴于点C (0，－32)，交x 轴正半轴于点D ，抛物线的顶点为M .(1)求抛物线的表达式及点M 的坐标；(2)设P 为直线AB 下方的抛物线上一动点，当△P AB 的面积最大时，求此时△P AB 的面积及点P 的坐标； (3)Q 为x 轴上一动点，N 是抛物线上一点，当△QMN ∽△MAD (点Q 与点M 对应)时，求点Q 的坐标．解：(1)把点B (4，m )代入y ＝12x ＋12中，得m ＝52，∴B (4，52)．把点A (－1，0)，B (4，52)，C (0，－32)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝52，c ＝－32.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，c ＝－32.∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－x －32. ∵y ＝12x 2－x －32＝12(x －1)2－2， ∴点M 的坐标为(1，－2)．(2)如图1所示，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点P 的坐标为(m ，12m 2－m －32)， 则H (m ，12m ＋12)， ∴PH ＝12m ＋12－(12m 2－m －32)＝－12m 2＋32m ＋2. ∵点P 为直线AB 下方的抛物线上一动点，∴－1＜m ＜4.∴S △P AB ＝12×HP ·(x B －x A )＝12×(－12m 2＋32m ＋2)×5＝－54(m －32)2＋12516. ∵－54＜0，∴当m ＝32时，S △P AB 最大，最大为12516， 此时点P (32，－158)． (3)如图2所示，在y ＝12x 2－x －32中，令y ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，∴D (3，0)． ∵M (1，－2)，A (－1，0)，∴△AMD 为等腰直角三角形．∵△QMN ∽△MAD ，∴△QNM 为等腰直角三角形，且∠MQN ＝90°，MQ ＝NQ .设点N 的坐标为(n ，12n 2－n －32)， 易证：△QEN ≌△MFQ ，∴FQ ＝EN ＝2，MF ＝EQ ＝12n 2－n －32. ∴12n 2－n －32＋1＝n ＋2.解得n ＝5或－1(舍)． ∴点Q 的坐标为(7，0)．根据对称性可知，点Q 的坐标为(－5，0)时也满足条件，∵△ADM 是等腰直角三角形，∴当点Q 是AD 的中点，N 与A 或D 重合时，△QMN ∽△MAD ，此时Q (1，0)．综上所述，点Q 的坐标为(7，0)或(－5，0)或(1，0)．16、如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5，与x 轴交于A (－1，0)，B (5，0)两点，与y 轴交于点C .(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D 是y 轴上的一点，且以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点D 的坐标；(3)如图2，CE ∥x 轴与抛物线相交于点E ，点H 是直线CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴平行的直线与BC ，CE 分别相交于点F ，G ，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H 的坐标及最大面积；(4)若点K 为x 轴上一点，连接CK ，请你直接写出2CK ＋KB 的最小值．解：(1)∵点A (－1，0)，B (5，0)在抛物线y ＝ax 2＋bx －5上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b －5＝0，25a ＋5b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4. ∴抛物线的表达式为y ＝x 2－4x －5.(2)令x ＝0，则y ＝－5，∴C (0，－5)．∴OC ＝OB ＝5.∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°.∴AB ＝6，BC ＝52，AC ＝26.要使以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有AB CD ＝BC BC 或AB BC ＝BC CD. ①当AB CD ＝BC BC时，CD ＝AB ＝6， ∴D (0，1)．②当AB BC ＝BC CD 时，652＝52CD， ∴CD ＝253.∴D (0，103)． ∴点D 的坐标为(0，1)或(0，103)． (3)设H (t ，t 2－4t －5)，∵CE ∥x 轴，∴点E 的纵坐标为－5.∵点E 在抛物线上，∴x 2－4x －5＝－5.∴x ＝0(舍)或x ＝4.∴E (4，－5)．∴CE ＝4.∵B (5，0)，C (0，－5)，∴直线BC 的表达式为y ＝x －5.∴F (t ，t －5)．∴HF ＝t －5－(t 2－4t －5)＝－(t －52)2＋254. ∵CE ∥x 轴，HF ∥y 轴，∴CE ⊥HF .∴S 四边形CHEF ＝12CE ·HF ＝－2(t －52)2＋252. ∴当t ＝52时，四边形CHEF 的面积最大为252. 当t ＝52时，t 2－4t －5＝254－10－5＝－354， ∴H (52，－354)． (4)如图3，作点C 关于x 轴的对称点E (0，5)，将△BKC 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BHF ，连接HK ，EF ，EK ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，∵B (5，0)，C (0，－5)，∴BO ＝CO ＝5.∴BC ＝52，∠CBO ＝45°.∵点C ，点E 关于x 轴对称，∴EK ＝CK .∵将△BKC 绕点B 逆时针旋转60°得到△BHF ，∴BK ＝BH ，CK ＝HF ，BF ＝BC ＝52，∠KBH ＝60°＝∠CBF .∴△KBH 是等边三角形．∴KB ＝KH .∴2CK ＋KB ＝HF ＋EK ＋KH .∴当E ，K ，H ，F 四点共线时，2CK ＋KB 的值最小，最小值为EF 的长．∵∠FBM ＝180°－45°－60°＝75°，BF ＝52，∴BM ＝53－52，MF ＝53＋52.∴EF＝（53－52＋5）2＋（53＋52＋5）2＝53＋5，即2CK＋KB的最小值为53＋5.。