高二理科数学《几种常见函数的导数》人教版选修2-2.doc

1.2．1 几种常见函数的导数
一、教学目标：熟记公式(C )¢＝0 (C为常数)，(x)¢＝1，( x2 )¢＝2x，
．
二、教学重点：牢固、准确地记住五种常见函数的导数，为求导数打下坚实的基础. 教学难点：灵活运用五种常见函数的导数.[来
三、教学过程：
（一）公式1：(C )¢＝0 (C为常数)．
证明：y＝f(x)＝C, Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝C－C＝0,
也就是说，常数函数的导数等于0．
公式2：函数的导数
证明：（略）
公式3：函数的导数
公式4：函数的导数
公式5：函数的导数
（二）举例分析
例1. 求下列函数的导数．
⑴⑵⑶
解：⑴
⑵
⑶
练习
求下列函数的导数：
⑴y＝x5；⑵y＝x6；（3）（4）（5）
例2．求曲线和在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积。

例3．已知曲线上有两点A（1，1），B（2，2）。

求：（1）割线AB的斜率；（2）在[1，1+△x]内的平均变化率；
（3）点A处的切线的斜率；（4）点A处的切线方程
例4．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0 的最短距离．
（三）课堂小结
几种常见函数的导数公式网]
(C )¢＝0 (C为常数)，(x)¢＝1 ，( x 2 )¢＝2x，．
（四）课后作业。

§1.2.1几个常见函数的导数教学目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式； 教学难点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式． 教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．【教师过渡】 ：“为解决这一问题，我们先研究一些生活中的具体实例”(二)、探究新知，揭示概念探究1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆ 函数 导数y c = 0y '=0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．探究2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim11x x y y x ∆→∆→∆'===∆函数 导数y x = 1y '=1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．探究3．函数2()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 函数 导数2y x = 2y x '=2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ． 探究4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x -∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆ 函数 导数1y x = 21y x'=-探究5．函数()y f x x ==的导数 因为()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ ()()()x x x x x x x x x x +∆-+∆+=∆+∆+ ()()x x x x x x x +∆-=∆+∆+ 所以0011lim lim 2x x y y x x x x x∆→∆→∆'===∆+∆+ 函数 导数y x =12y x '=（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=（四）、知识应用，深化理解例1. 求下列函数的导数．⑴3x ⑵21x ⑶x 解：⑴=')(3x 133-x 23x =⑵='⎪⎭⎫ ⎝⎛21x )(2'-x 32--=x 32x -= ⑶=')(x )(21'x 12121-=x 2121-=x .21x = 求下列函数的导数。

1.2.1几个常用函数的导数【学习目标】会用导数的定义求几个常用函数的导数；利用公式解决简单的问题。

【学习重点】推导几个常用函数的导数；【学习难点】推导几个常用函数的导数；【问题导学】1.回顾导数的定义，归纳求函数)(x f y =导数的方法步骤及导数的几何意义？曲线)(x f y =上一点),(00y x 的切线方程的方法步骤？2.阅读教材P12，根据函数为常数）c c x f y ()(==与x x f y ==)(的导数的推导过程，在同一坐标系中画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义求出它们的导数（1）从图象看它们的导数分别表示什么；（2）这三个函数中，哪个增加的最快，哪个增加的最慢？（3）函数(0)y kx k =≠的导函数是什么，它的增减快慢与什么有关？3.画出2)(x x f y ==的图像，并用定义推导函数2)(x x f y ==的导数，当0>x 时，随着x 的增大导数发生什么样的变化？对应的函数图像发生什么样的变化？当0<x 呢？若)0(2>=x x y 表示路程关于时间的函数，如何解释？4.阅读教材P13，结合函数x 1y =导数的推导过程，画出函数x1y =的图象，根据图像，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1,1）处的切线方程。

5.归纳：xx f x x f x x f c x f 1)(,)(,)(,)(2====的导数分别是什么？【实践演练】1.用定义求函数3x y =的导数：2.用定义求函数x x y 1+=的导数，并求曲线x x y 1+=上一点)25,2(A 处的切线方程。

3.画出曲线221y x =-+的图像，用导数来分析函数图像的变化情况？基础练习1．已知函数3()f x x =的切线的斜率等于1，则切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定2．与直线x+2y+4=0垂直的抛物线y=x 2的切线方程是（ ）A ． 2x-y+3=0B ．2 x-y-3=0C ．2 x-y+1=0D ．2 x-y-1=03．曲线2y x =在点P 处的切线斜率为1，则点P 的坐标为________4.已知.2ax y =,,且 x 'y =,则 a=5．利用导数定义求函数b ax x y ++=2（a 、b 为常数）的导数．6．已知P （-1，1），Q （2，4）是曲线2x y =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y=2x 的切线方程。

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1.3。

1函数的单调性与导数［学习目标] 1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系。

2。

能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间（其中多项式函数的最高次数一般不超过三次).知识点一函数的单调性与其导数的关系在区间（a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x）〉0单调递增f′（x）<0单调递减f′（x)＝0常函数思考以前,我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1＜x2的前提下，比较f（x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f（x）比较复杂的情况下，比较f（x1)与f（x2）的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性?答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态,即函数单调递增;如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减。

知识点二利用导数求函数的单调区间利用导数确定函数的单调区间的步骤：（1）确定函数f（x)的定义域.（2)求出函数的导数f′(x).（3)解不等式f′（x）＞0,得函数的单调递增区间；解不等式f′（x)＜0，得函数的单调递减区间。

§1. 2.1几个常见函数的导数教学目标:1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y = c、y = x、y = y =-的导数公式;X2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.教学重点：四种常见函数y = c. y = x . y = x2.歹=丄的导数公式；x9 1教学难点：四种常见函数y二c、y二兀、y二兀〈丿二一的导数公式.教学过程设计(一)、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么，对于函数y = /(x),如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很因难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数.【教师过渡】:“为解决这一问题，我们先研究一些生活屮的具体实例”(二)、探究新知，揭示概念探究1.函数y = f(x) = c的导数根据导数定义，因为冬=介+心)-/(—口 = 0Ax Ax Ax所以= lim — = lim 0 = 0A XT() /\ r A XT()y = 0表示函数y = c图像(图3. 2-1) ±每一点处的切线的斜率都为0.若)表示路程关于时间的函数, 则y = 0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.探究2.函数y = f(x) = X的导数_ /(x +Ax)-/(x) _ x + 心一兀Ax Ax A Y因为所以y = lim — = lim 1 = 1Ax->o A r 心->0)/ = 1表示函数y = x 图像(图3. 2-2)上每一点处的切线的斜率都为1 .若y = x 表示路程关于时间的函数,则)/ = 1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.探究3.函数y = f(x) = x 2的导数因为_ /(% +Ax)-/(x) _ (x +Ax)2 -x 2A¥A X A X x 2 + 2xAx + (Ar)2 - x 2Ar=2x +Ax所以 y = lim —= 心->0 Axlim(2x +Ar) = 2xA XT O/ = 2x 表示函数y = F 图像(图3.2-3)上点(兀』)处的切线的斜率都为2厂 说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当xvO 时，随着兀的增加,函数y = x 2减少得越來越慢；当x>0时，随着兀的增加，函数y = F 增加得越來越快.若y = x 2表示路程关于时间的函数，则j/ = 2x 可以解释为某物体做变速运动，它在时刻兀的瞬时速度为2兀・ 探究4.函数y = /(x)=丄的导数x1 1因为乞=/(兀+心)一/(兀)=兀+心一匚Ar Ar Av_ x-(x +A.r) _ 1x(x +x 2 +x ・ Ax所以)/ = lim —— = lim (— ----------- )=——△1—()探究5・函数y = f(x) = ^的导数/(x +A Y )-/(X ) _ A /X + A A -- Vx Ax Ax Ax_ (yJx + Ax - V X )(A /X 4-A X + >/x) A T (J H +Ax + Vx) _(x + Av)-x心(>/兀+ A Y +仮)函数导数y = 4x,1(2)推广：若 y = fM = x\neQ^f 则 f\x) = nx^1(四入知识应用，深化理解 例1.求下列函数的导数.(l)x 3(2)丄 (3)7XX求下列函数的导数。