高考数学同角三角函数的基本关系及诱导公式课件

2
奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.
3.给角求值的基本原则
负化正,大化小,化到锐角为终了.
【基础自测】
题组一:走出误区
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若α,β为锐角,则sin 2α+cos2β=1. ( ) (2)若α∈R,则tan α= sin 恒成立. ( )
cos
7
【规律方法】同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α+cos2α=1可实现α的正弦、余弦的互
化,利用 sin =tan α可以实现角α的弦切互化.
cos
(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另 外两个三角函数值,因为利用“平方关系”公式,需求 平方根,会出现两解,需根据角所在的象限判断符号,当 角所在的象限不明确时,要进行分类讨论. (3)分式中分子与分母是关于sin α,cos α的齐次式, 往往转化为关于tan α的式子求解.
( ,) ”换为“sin α=k,k∈R,α∈ ( ,) ”,如何
2
2
求cos α呢?
【解析】因为α∈ ( ,) ,所以cos α<0,由平方关系知
2
cos α= 1 sin2 1 k2 .
2.(2019·安阳模拟)若 1 cos =3,则cos α-
sin
2sin α= ( )
A.-1
考点二 诱导公式的应用
【典例】(1)若 sin( ) 1，则 cos(2 ) 的值为
6
4
3
________.
(2)设f(α)= 2sin( )cos( ) cos( ) (1+2sin α
1 sin2 cos( 3 ) sin2 ( )
≠0).
2
2
①化简f(α);
②若α=- 23,求f(α)的值.
3
【状元笔记】 完全平方式转换法: 对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这 三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α 可以知一求二.
命题角度3 同角关系和诱导公式的综合应用
【典例】已知θ是第四象限角,且 sin( ) 3，
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2.三角函数的诱导公式
组数 一
二
三
四
五
六
角
正弦 余弦 正切
2kπ+α (k∈Z)
π+α
sin α cos α tan α
-_s_i_n__α__ _-_c_o_s__α_ _t_a_n__α__
-α
_-_s_i_n__α_ _c_o_s__α__ _-_t_a_n__α_
π-α
_s_i_n__α__ _-_c_o_s__α_ _-_t_a_n__α_
3
答案:1
3
【误区警示】在表示角α与角β的关系时,易错误地写 成β=π-α.
考点一 同角三角函数基本关系式的应用
【题组练透】
1.已知cos α=k,k∈R,α∈ ( ,) ,则sin α=( )
2
A.－ 1－k2
B. 1－k2
C. 1－k2
D. 1 k2
【解析】选B.由cos α=k,k∈R,α∈( ,) ,可知k<0,
cos
2 2
=sin
2θ.
3.(必修4P23推导改编)在平面直角坐标系xOy中,角α 与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若 sin α= 1 ,则sin β=________.
3
【解析】因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以
β=2kπ+π-α,k∈Z,
所以sin β= sin(2k －) sin(－) sin 1 .
2
【解析】选D.因为cos α= － 1 sin2
－
1－(
5 )2 5
－2 5，所以tan
5
α=
sin ＝－1 . cos 2
2.(必修4P20T4改编)化简 1－cos2 2 =________.
cos 2tan 2
【解析】 1－cos2 2
cos 2tan 2
答案:sin 2θ
cos
sin2 2 2gsin
5sin 2cos
【解析】原式= tan 4 2 4 1 .
5tan 2 5 2 2 6
【答题模板微课】——整体代换法在化简求值中的模
板化过程,题3的求解过程可模板化为:
建模板:“ sin 4cos tan 4 ”,……原式变形
5sin 2cos 5tan 2
“因为tan α=2,所以原式= tan 4 2 4 ”,
2sin2 sin sin(2sin 1)
cos 1 .
sin tan
②当α=-
23 时,f(α)= f( 23 )
6
6
1 tan( 23 )
1 tan( 4
)
1 tan
1 3
3.
6
6
63
【规律方法】 1.诱导公式的两个应用 (1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. (2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.
tan2 2tan tan2 1
(1)2 2 1
2
2
(1)2 1
3. 5
2
【状元笔记】
弦切互化法:
主要利用公式tan x= sin x 进行切化弦或弦化切,
cos x
如 asin x bcos x ,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型
csin x dcos x
可进行弦化切.
-α
2
_c_o_s__α__ _s_i_n__α__
+α 2
_c_o_s__α__ -_s_i_n__α__
【常用结论】 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;sin α= tan α·cos α.
2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指 的
2
sin(2 )tan( )
______ .
cos( )tan(13 )tan( 5)
【解析】原式
sin2 cos2 sinsin sin2 cos2 coscos
g sintan cos(tan)tan
1 sin2 gsin 1 cos2 sin
1 tan 2
.
答案:- 1
tan 2
2sin x 3cos x 2tan x 3
………………原式变形
又因为tan x= 1,
3
所以原式= tan x =3
2tan x 3
13
,3………整体代换
21 3 3
即原式= tan x = 3
2tan x 3
13 3
10
. 3 10
21 3 7 7
3
3
………………………化简求值
答案:- 10
sin α+cos α= , 2
3
平方得(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α= , 2
9
则2sin αcos α=- <70,
9
所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α= , 16
9
又因为α∈(0,π),所以sin α-cos α>0, 所以sin α-cos α= . 4
B.1
C.- 2
5
D.-1或- 2
5
【解析】选C.由已知得
3sin α=1+cos α>0,cos α=3sin α-1,
cos2α=1-sin2α=(3sin α-1)2, sin α= ,3
5
所以cos α-2sin α=3sin α-1-2sin α
=sin α-1=- 2.
5
3.已知tan α=2,求 sin 4cos 的值.
命题角度2 利用sin α±cos α与sin α·cos α之
间的关系求值
【典例】(2018·潍坊模拟)若α∈(0,π),sin(π-α) +cos α= 2 ,则sin α-cos α的值为 ( )
3
A. 2 3
B. 2 3
C. 4
D. 4
3
3
【解析】选C.由诱导公式得sin(π-α)+cos α=
6
【解析】(1)因为 sin( ) 1 ,
6
4
所以 sin( ) 1 ,
64
cos(2 ) cos[2( )]
3
6
1 2sin2 ( ) 1 2 1 7 .
6
16 8
答案: 7
8
(2)①f(α)= (2sin)g(cos) (cos)
1 sin2 sin cos2 2sincos cos cos(2sin 1)
3
所以cos α=- 2,
3
则α为第二或第三象限角,
所以sin α= 1 cos2 5 .
3
所以tan α=
sin
5 3
5.
cos 2
2
3
题组二:走进教材
1.(必修4P20练习T1改编)已知sin α= 5, ≤α≤
52
π,则tan α= ( )
A.-2 B.2 C. 1
2
D.- 1
5tan 2 5 2 2
………………………………整体代换
“即原式= tan 4 2 4 1 . ”
5tan 2 5 2 2 6
……化简求值
套模板:已知tan x= 1 ,则 sin x 3cos x =______.
3
2sin x 3cos x