优秀教案21变化率与导数

第1-3课时（周二——周四3月2日-4日）课题：选修（2-2）1.1变化率与导数三维目标：1、 知识与技能（1）理解平均变化率的概念；（2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率；（5）理解导数的几何意义。

2、过程与方法（1）通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；（2）通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；（3）通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情态与价值观（1）通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想；(2) 通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.（3）通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成，导数及几何意义的理解。

教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数及几何意义的理解。

教 具：多媒体教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸 科学导入：★前面我们学习了函数及几种重要的函数，而且我们学习的很多公式所展示的两个量之间的关系也是函数关系：下面找两个学生写出著名的函数——二次函数的表达式和球的体积公式：⏹二次函数⏹气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=函数很明确地描述了两个变量之间的因果关系。

自变量的变化引起因变量的变化。

下面我们来看这种变化的各种特点：同学们，相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢, 从数学角度,如何描述这种现象呢?容量的增加与气球的半径增加这两者的变化的关系和本质是怎样呢？今天，我们就来通过此问题来研究这种变化的特点和规律。

3.1变化率与导数（教学设计）（2）3．1．2导数的概念教学目标：1、知识与技能：通过对课本实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，让学生知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法：①通过动手计算（作图）培养学生观察、分析、比较和归纳能力，并结合物理学中的知识进行对比。

②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣. 教学重点、难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解，由瞬时变化率过度到导数的概念难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点教学过程：一、创设情景，引入新课：1、回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在6549t≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。

为什么会产生这样的情况呢？二、师生互动、新课讲解：问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算(2)(2)h t ht+∆-=∆v的值？学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，所以我让学生利用计算器，分组完成问题二，问题三：当Δt 趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？让学生分组讨论，板演，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,Δt 趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，通过逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆问题四：运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示呢？运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示? 学生意识到将0t 代替2,可类比得到000()()lim t h t t h t t∆→+∆-∆（1）气球在体积v 0时的瞬时膨胀率如何表示呢？类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示000()()limv r v v r v v∆→+∆-∆（2）如果将这两个变化率问题中的函数用()f x 来表示，那么函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率如何呢？导数的概念：从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-例1：求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x∆=+∆∆再求0lim 6x f x ∆→∆=∆解：222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 例2：求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆例3（课本P75例1）：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。

变化率与导数教案113第二章变化率和导数2.1.1瞬时变化率一导数教学目标：(1) 理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2) 会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度⑶ 理解导数概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线(割线)的斜率与函数f(x)在区间［X A , X B ］上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。

从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。

所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设 P(X 1, f(x 1)) , Q(x o , f(x o ))，则割线 PQ 的斜率为 k PQ = f (xj- f (X o )X 1 — Xo设 X 1 - X o =A x ，贝U X 1 = △ x + X o ,... kP Q /X O FTS当点P 沿着曲线向点 Q 无限靠近时，割线 PQ 的斜率就会无限逼近点 Q 处切线斜率，即当△ x2、曲线上任一点(x o , f(x 0))切线斜率的求法:k = f(X o+也X)- f(X o)，当△ x 无限趋近于0时，k 值即为(x o , f(x o ))处切线的斜率。

3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度⑵位移的平均变化率：S (to+4) -s(to)(3) 瞬时速度：当无限趋近于o 时，S(t o十筑)一S(to)无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t o时的瞬时速度无限趋近于0时，k pQ怏+匆-5)无限趋近点Q 处切线斜率。

导数与函数变化率教案设计：一、教学目标1.了解导数的概念和定义，掌握基本求导公式和法则。

2.理解函数的单调性和极值，并能应用导数求解。

3.能够掌握函数的变化率的概念，应用导数求解。

4.能够运用导数的概念和方法解决实际问题。

二、教学内容1.导数的概念和定义2.求导法则3.函数的单调性和极值4.函数的变化率与导数5.应用导数解决实际问题三、教学过程第一节：导数的概念和定义1.引入教师通过引导学生想象一下：车在马路上行驶时，如果我们想知道车的速度是多少，应该怎么做？引导学生想到了导数的概念。

2.导数的定义介绍导数的定义：设函数y=f（x），若极限lim Δx→0（f（x+Δx）－f（x））/Δx存在，称为函数f（x）在点x处的导数。

3.图像解释导数通过画图来解释导数的概念，帮助学生掌握。

第二节：求导法则1.基本求导法则（1）常数函数（2）幂函数（3）指数函数（4）对数函数（5）三角函数2.综合例题分析通过综合例题来演示求导过程，让学生掌握求导的方法。

第三节：函数的单调性和极值1.函数的单调性介绍函数的单调性：设函数y=f（x）在区间（a，b）内具有一阶导数，那么如果f’（x）>0，则函数在该区间单调递增，如果f’（x）<0，则函数在该区间单调递减。

2.函数的极值介绍函数的极值：设函数y=f（x）在点x=c处连续，那么如果在（c-d，c）上f（x）≤f（c）,在（c， c+d）上f（x）≤f（c），则c为函数y=f（x）的极大值点；如果在（c-d， c）上f（x）≥f （c），在（c， c+d）上f（x）≥f（c），则c为函数y=f（x）的极小值点。

3.图像分析单调性和极值通过图像分析函数的单调性和极值，帮助学生理解。

第四节：函数的变化率与导数1.函数的变化率介绍函数的变化率：使用导数来研究函数的变化率，函数在某一点的导数就是该点的变化率。

2.应用导数求解通过例题来演示应用导数求解的过程，让学生掌握应用导数求解的方法。

第一课时 变化率与导数、导数的计算 教学设计一、导入设计：多媒体展示只是框图，并介绍高考重点难点。

设计意图与教学活动：本节课是侧重于构建知识结构的复习课，首先给出导数本章的知识网络，它既有导数的初步知识，又有导数的应用。

这一过程通过课件展示知识网络，教师讲述重点难点，让学生对导数以及导数的应用有整体性的认识把握：导数的初步知识包括导数的概念、求导数的方法，导数的应用主要介绍函数的单调性，可导函数的极值与函数的最大值与最小值。

其中重点是理解导数定义的本质；难点是导数的灵活应用。

一、学习目标：（导入与目标展示 3分钟）1、变化率与导数① 了解导数概念的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)② 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，会在已知切点的情况下求切线方程；③理解导函数的概念; 瞬时变化率 平均速度 瞬时速度 平均变化率 割线斜率 切线斜率 导 数 基本初等函数导数公式、导数运算法则 导数与函数单调性的关系导数与极（最）值的关系2、导数的运算 ①能根据导数定义求函数xy x y x y C y 1,,,2====的导数②能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数设计意图与教学活动：通过多媒体展示目标，使学生明白本节课的任务，重点难点，激发主动学习的热情，做到有的放矢。

二、自学探究（包括教师点拨17分钟）1、自学课本P73—78（1）通过问题2了解平均变化率和顺势变化率的关系，如何由平均变化率得到瞬时变化率？（2）函数的瞬时变化率与导数是怎样定义的？导数与瞬时变化率的关系是怎样的？（3）导数有什么几何意义？设计意图与教学活动：以问题探究的形式帮助学生完成知识的构建、教师适时点评学生可以回答的问题：平均变化率和瞬时变化率，导数几何意义与已知切点切线方法 需要教师强调、点拨的问题：1、导数的本质研究的是当自变量的增量趋向于0（0→∆x ）时，函数的增量与自变量的增量的比值的极限。

变化率与导数教学设计一、内容与内容解析变化是自然界的普遍现象，丰富多彩的变化问题随处可见。

函数是描述运动变化规律的重要工具。

如何定量刻画千变万化的变化现象，是数学研究的重要课题。

17世纪创立的微积分就源于研究运动物体的变化规律，它是数学发展中的里程碑。

本节课的核心内容是平均变化率和瞬时变化率。

这是微积分中的两个核心概念，有着极其丰富的实际背景和广泛的应用。

对于宏观地描述一个简单的变化过程，可以利用平均变化率的这个指标，但是随着对变化问题研究的深入和细化，用平均变化率已经不足刻画一个较复杂的变化问题，需要引进瞬时变化率的概念。

由平均变化率的概念拓展至瞬时变化率的概念，这不是两个平行概念间的迁移，而是在原有概念基础上的质的飞跃。

如果说平均变化率是静态的概念，那么瞬时变化率则是一个动态的概念。

其蕴涵的无限分割的微分的思想，无限逼近的极限的思想是两个极为重要的数学思想。

因此本节课的重点是理解瞬时变化率的概念，学会用瞬时变化率来“度量”变化过程。

二、目标与目标解析抽象的数学往往都具有丰富的实践背景，变化率概念的形成和发展也不例外。

课堂教学需要再现数学概念的形成与发展过程，让学生体会数学的重要思想和丰富内涵，感受数学工具在解决实际问题的作用，使学生认识到数学概念的形成也是人的思想的自然合理、符合逻辑的发展过程。

因此确定本节课的教学目标为：1.从具体案例中，发现平均变化率是在刻画变化规律中过程的重要指标作用和局限性。

2.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，激发学生求变、求新的学习热情。

3.自然合理地形成微分、逼近、极限等数学观点，体会微积分的思想及其内涵，理解导数就是瞬时变化率。

三、教学问题诊断分析函数是刻画运动变化的重要数学模型，函数的图象与性质是学生定性分析变化现象的重要认知基础。

或许学生能够从函数图象上感受函数变化的快与慢。

但学生往往缺乏从定量和抽象的层面去分析数学问题本质的习惯与能力。

导数的变化率教案一、教学目标：1. 让学生理解导数的定义和意义，掌握导数的计算方法。

2. 引导学生理解变化率的概念，并能运用变化率解决实际问题。

3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学重点：1. 导数的定义和计算方法。

2. 变化率的概念及应用。

三、教学难点：1. 导数的计算。

2. 变化率在实际问题中的应用。

四、教学准备：1. 教师准备PPT和教学案例。

2. 学生准备笔记本和笔。

五、教学过程：1. 导入：教师通过PPT展示导数和变化率的概念，引导学生回顾初中阶段的学习内容，为新课的学习做好铺垫。

2. 导数的定义与计算：教师讲解导数的定义，通过PPT展示导数的几何意义和物理意义。

教师引导学生学习导数的计算方法，包括基本函数的导数公式、导数的四则运算等。

3. 变化率的概念：教师讲解变化率的概念，引导学生理解变化率是描述函数在某一点处变化快慢的物理量。

教师通过实例讲解如何运用变化率解决实际问题。

4. 课堂练习：教师布置练习题，让学生独立完成。

练习题包括导数的计算和变化率的应用。

教师在练习过程中给予学生个别辅导，帮助学生巩固所学知识。

6. 课后作业：教师布置课后作业，让学生巩固所学知识。

作业包括导数的计算、变化率的应用等。

六、教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，分析教学过程中的优点和不足，为下一节课的教学做好准备。

七、教学评价：教师通过课堂表现、课后作业和课堂练习对学生进行评价，了解学生对导数和变化率的掌握情况，为下一步的教学提供依据。

八、教学计划：1. 下一节课内容：导数的应用。

2. 教学方法：讲解、案例分析、课堂练习。

3. 教学目标：让学生掌握导数的应用，能运用导数解决实际问题。

4. 教学难点：导数的应用。

5. 教学准备：教师准备PPT和教学案例，学生准备笔记本和笔。

6. 教学过程：同上。

7. 教学反思：同上。

8. 教学评价：同上。

六、教学内容：导数的应用1. 最大值和最小值问题：教师通过案例引导学生如何使用导数求解函数的最大值和最小值。

第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数（1）教材分析导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率，以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具.在本章,我们将利用丰富的背景与大量实例,学习导数的基本概念与思想方法;通过应用导数研究函数性质、解决生活中的最优化问题等实践活动，初步感受导数在解决数学问题与实际问题中的作用.教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．课时分配本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A 版）数学选修1－1第三章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时，主要讲解导数的概念及利用定义求导数.教学目标重点: 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．知识点：导数的概念.能力点：掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤教育点：通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验自主探究点：通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程.考试点：利用导数的概念求导数.易错易混点：对0x ∆→的理解，0,0,x x ∆>∆<0,0x x ∆>∆≠但0x ∆≠. 拓展点：导数的几何意义.教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学一、引入新课师生活动：教师：请说出函数()y f x =从x 1到x 2的平均变化率公式．学生：2121()()f x f x x x --．教师：如果用x 1与增量△x 表示，平均变化率的公式是怎样的？ 学生：11()()f x x f x x+∆-∆教师：高台跳水的例子中，在时间段650,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.学生：在教师的讲述中思考用什么量来反映运动员的运动状态． 提问：用一个什么样的量来反映物体在某一时刻的运动状态？ 学生：体会并明确瞬时速度的作用．提问：我们如何得到物体在某一时刻的瞬时速度？例如，要求物体在2s 的瞬时速度，应该怎么解决？【设计意图】让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系，感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度.【设计说明】应使学生明确平均速度与瞬时速度的关系，为下一阶段实验活动作铺垫.二、探究新知已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++，完成下列表格中02t =秒附近的平均速度的计算并填充好表格，观察平均速度的变化趋势．师：观察以上表格，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？将结果投影，引导同学们一起观察.在学生观察的基础上指出：当t ∆趋近于0时，平均速度都趋近于一个确定的常数，这个常数就是瞬时速度．[设计意图] 让学生通过定量分析感受平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过程．给学生充分的感性材料, 使学生从感性上获得求瞬时速度的方法．培养学生归纳、概括能力.师:你认为通过实验所得结果（常数）就是瞬时速度吗？这个数据到底是精确值还是近似值？启发学生归纳出结论：0t ∆→时，平均速度所趋近的这个常数是可以得到的，它不是近似值，是一个精确值，它与变量t ∆无关，只与时刻0t 有关．[设计意图] 使学生认识到平均速度当时间间隔趋向于零时的极限就是瞬时速度，为给出导数概念提炼出一个具体的极限模型．一般地,函数()y f x =在x x =o 处的瞬时变化率是00()()limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆o o ,我们称它为函数()y f x =在x x =o 处的导数,记作()f x 'o 或|x x y ='o ,即()f x 'o =00()()lim lim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆o o .三、理解新知求函数()y f x =在点0x 处的导数的步骤大致分为以下三步：第一步，求函数增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；第二步，求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； 第三步，求平均变化率的极限，即导数'00()lim x yf x x∆→∆=∆．[设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例1求2y x =在点1x =处的导数． 解:222(1)12()y x x x ∆=+∆-=∆+∆,22()2y x x x x x ∆∆+∆==+∆∆∆, ∴00limlim(2)2x x yx x ∆→∆→∆=+∆=∆.1'|2x y =∴=注意:2()x ∆括号别忘了写.变式训练: 求224y x x =+在点3x =处的导数.解:2222(3)4(3)(2343)2()16y x x x x ∆=+∆++∆-⨯+⨯=∆+∆,216yx x∆=∆+∆, 00lim lim(216)16x x y x x ∆→∆→∆=∆+=∆, 即3'|16x y ==.[设计意图]通过变式训练,便于学生全面的认识利用定义求导数的步骤, 提高理解、运用知识的能力． 例2 已知21y x =+,求'y .解:[]2()1(21)y x x x ∆=+∆+-+2x =∆,2yx∆∴=∆,0lim2x yx∆→∆∴=∆,即'2y =.变式训练: 已知y =,求'y .解:y ∆=,y x x∆=∆∆,0limlimx x y x x ∆→∆→∆==∆∆=’ 'y ∴=[设计意图] 由一个问题引申为一类问题，提高学生的解题能力．同时,便于学生发现不同题目解题过程的 区别与联系,有利于学生用联系的观点看问题．五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答： 1．知识：导数的概念.2．思想：特殊与一般、化归的思想．教师总结: 本节课学习了导数的概念，导数的概念表明：当自变量的增量趋向于零时，函数在某点的平均变化率的无限地趋向于函数在该点的瞬时变化率，这是非常重要的极限思想．求导数的步骤大致分为以下三步： 第一步，求函数增量； 第二步，求平均变化率并化简； 第三步，求平均变化率的极限，即导数． [设计意图] 加强对学生学习方法的指导．六、布置作业1．阅读教材P74—76； 2.书面作业必做题： P79 习题3.1 A 组 1,2,3,4,5. 选做题：1.如果质点A 按照规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为 . 2.设函数()f x 可导，则0(1)(1)lim3x f x f x∆→+∆-=∆ .3. 设函数()f x 3ax =+，若'(1)3f =，则a = .4.函数1y x x=+在1x =处的导数等于 . 5.质点M 按规律223s t =+做直线运动(位移单位:cm ，时间单位：s)，求质点M 在2t =时的瞬时速度，并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比较. 答案:1. 18 2.1(1)3f ' 3. 3 4. 0 5. 瞬时速度为8/cm s ,用两种方法求得的结果相同. 课外思考:函数()y f x =在一点处的导数有什么几何意义吗?[设计意图]设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用导数的概念，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生深刻思考、领悟导数的意义，为下节课的学习做铺垫．七、教后反思1.“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想.学生通过“经历”、“体会”、“感受”，最后形成概念的学习过程，充分体现了学生为本的现代教育观.2.作业的布置尽量满足多样化的学习需求,做到因材施教,但在具体实施中,分寸的把握需视情况而定.八、板书设计。

教案题目:变化率与导数教案作者单位：云南省曲靖市富源县第六中学邮箱：联系电话：姓名：叶志波课题：变化率与导数教案学校：富源县第六中学高二数学组授课教师：叶志波教学目标1．了解平均变化率、瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解平均变化率几何意义，会求函数在某点处附近的平均变化率及函数在某点的导数；3.理解导数概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想．教学重点求函数在某点处附近的平均变化率及函数在某点的导数教学难点在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率教学方法学案导学，“看—做—议—讲”结合法教学课时一课时教学工具多媒体、直尺等教学过程一、新课引入早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果——微积分的产生。

导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数最有效的工具，今天我们将开始导数的学习之旅。

二、教师板书课题、引领学生解读学习目标请同学们先看一下我们本节课的学习目标．（教师板书课题），之后教师解读学习目标，特别注意重点目标解读．三、学生自主预习课本给出导学案中4个自学需要解决的问题，让学生带着问题预习课本第2-6页，期间教师走进学生中间观察学生自学情况，适当的给予自学引导．四、讲授新课问题情境1：很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球的半径有什么变化情况？从数学角度如何解释这种现象?在引导学生解决问题的过程中，发现随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小，让学生思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?得出平均膨胀率为1212)()(V V V r V r --.问题情境2：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：米)与起跳后的时间t （单位：秒)存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题：（1） 运动员在这段时间里是静止的吗?（2） 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 1．通过探究理解什么是函数的平均变化率？如何表示？对于函数()x f y =，给定自变量的两个值1x 和2x ，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从()1x f 变为()2x f ，我们把式子()()1212x x x f x f --称为()x f y =从1x 到2x 的平均变化率．习惯上用x ∆表示12x x -，即x ∆=12x x -，可把x ∆看作是相对于1x 的一个“增量”，可用x x ∆+1代替2x ，类似地，y ∆=()()12x f x f -，于是，平均变化率可表示为y x∆∆． 2．让学生思考第4页思考题并回答平均变化率的几何意义是什么？ 设()()()()1122,,,A x f x B x f x 是曲线()x f y =上任意不同的两点，函数()x f y =的平均变化率y x∆∆=()()1212x x x f x f --=()()x x f x x f ∆-∆+11为割线AB 的斜率．3．让学生阅读课本并回答瞬时速度是什么？如何表示物体在某一时刻的瞬时速度?一般地，设物体的运动规律是()t s s =，则物体在t 到t t ∆+这段时间内的平均速度为tt s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()(．如果t ∆无限趋近于0时，t s∆∆无限趋近于某个常数a ，就说当t ∆趋向于0时，ts∆∆的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度，0lim x sv t∆→∆=∆． 4．引导学生思考第5页探究，讲解函数在处的瞬时变化率怎样表示？导数的定义是什么？一般地，函数()x f y =处0x x =的瞬时变化率是：()()0000limlim x x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数，记作()0f x '　或0x x y ='即()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim ＝． 五、例题分析题型一：函数的平均变化率 例1．已知函数()221f x x ＝－．（1）求当14x ＝，且1x ∆＝时，函数增量y ∆和平均变化率yx∆∆； （2）若设21x x x ∆＝＋．分析（1）问中的平均变化率的几何意义． 设计意图：例1要求学生理解函数的平均变化率的相关概念，能求函数的平均变化率，抓住求函数平均变化率的要点即为求函数的函数值．此外，需要学生理解平均变化率的几何意义，为导数的几何意义这部分内容作铺垫．教学过程中教师要带领学生归纳求平均变化率的步骤：（1）求自变量的该变量x ∆=12x x -；（2）求函数值的该变量y ∆=()()12x f x f -；（3）求平均变化率y x∆∆=()()1212x x x f x f --． 题型二：函数在某点处的导数 例2：求函数2y=x 在2x ＝处的导数．设计意图：通过本题的练习让学生掌握求函数在某点处导数的方法，此题即是本节课的重点内容也是难点内容，特别是学生对极限思想的首次接触，可能在理解上存在问题，教师对极限思想需要认真的分析讲解．另外，教师带领学生归纳出求函数在某点处的导数步骤：（1）求函数值的该变量()()00x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率y x ∆∆=()()x x f x x f ∆-∆+00（3）取极限，得导数()xyx f x ∆∆='→∆00lim ．课堂练习1．如果函数y ax b =+在区间[]1,2上的平均变化率为3，则a = ．2．一个物体的运动方程为()20s t t t =-≥，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么该物体在3秒末的瞬时速度是多少？3．已知函数()232f x x x =-+，且()04f x '=，求0x 的值． 【自助训练】1．求函数1y=x 在3x ＝处的导数．2．已知()f x 在0x x =处的导数为4，则()()0002limx f x x f x x∆→+∆-∆= ．课堂小结 本节课你有什么收获？ 课后作业习题1．1（A 组）：2板书设计左黑板 右黑板变化率与导数1．平均变化率2．平均变化率的几何意义 3．瞬时速度4．导数（瞬时变化率）学生展示区课后反思。

人教版高中选修2-21.1 变化率与导数课程设计一、学科目标本章节主要涉及变化率和导数的部分知识和概念，学生需要掌握以下几个方面的能力：1.理解变化率的概念和意义；2.掌握求解函数在某一点处的导数以及导数的几何意义；3.学会应用导数来求解实际问题。

二、教学内容与方法1. 教学内容1.变化率的概念2.导数的概念3.导数的几何意义4.导数的计算方法5.导数的应用2. 教学方法1.课堂讲授：详细讲解上述知识点的概念、原理及其应用；2.练习辅导：通过课堂练习测试学生对知识掌握情况；3.课堂互动：引导学生在课堂上相互讨论，学生之间互相探讨，互相启发。

三、教学过程第一节变化率的概念1. 知识目标1.了解变化率的概念；2.熟悉变化率的计算方法；3.掌握变化率在实际问题中的应用。

2. 教学过程1.导入引导：通过题目、图片等方式简单介绍变化率的概念；2.概念讲解：详细阐述变化率的概念和计算方法；3.例题演示：让学生通过一些例题来了解变化率的应用；4.课堂练习：由老师出题，让学生体验变化率的计算过程。

第二节导数的概念1. 知识目标1.熟悉导数的概念；2.掌握导数的几何意义；3.学会求解函数在某一点处的导数。

2. 教学过程1.导入引导：通过多个例子简单介绍导数的概念及其意义；2.概念讲解：详细阐述导数的概念和计算方法；3.几何意义的阐述：讲解如何通过图像了解导数的几何意义；4.例题演示：让学生通过一些例题来了解如何求解导数；5.课堂练习：由老师出题，让学生体验如何求解导数。

第三节导数的应用1. 知识目标1.熟悉导数的应用；2.了解如何通过导数解决实际问题。

2. 教学过程1.导入引导：通过生活实例简单介绍导数的应用；2.概念讲解：详细阐述导数的应用；3.例题演示：让学生通过一些实际问题来了解如何应用导数解决问题；4.课堂练习：由老师出题，让学生体验如何应用导数解决实际问题。

四、教学评估1. 课堂练习在课程结束后，老师会针对每个知识点出题，通过学生的实际操作，测试是否掌握该知识点。