湖北黄冈2013届高三五月模拟考试数学试卷(理科数学)

2013年高三数学（理）试题5月份高考模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 设集合}2,1,0,1{-=A ，}13|{<≤-=x x B ，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1-C ．{}10x x -<<D ． {}10x x -≤≤2．抛物线241x y =的焦点坐标是 A ．⎪⎭⎫⎝⎛0,161 B ．⎪⎭⎫⎝⎛161,0 C ．()1,0D ．()0,13． 已知31cos sin =-θθ ，则θ2sin 的值为A ． 32-B ．32C ．98-D ．984． 若函数()y f x =的图象与函数1log 2-=x y 的图象关于直线x y =对称，则(1)f x -=A ．x4 B ．14+x C ．x2D ．12+x5． 已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个不重合的平面，则α//β的一个充分条件是（ ） A ．m //α，m //β B ．α⊥γ，β⊥γC ．m ⊂α,n ⊂β， m ∥nD ． m 、n 是异面直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂β，n ∥α6．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且 包括边界），若目标函数 z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解 有无数个，则yx a-的最大值是A ．23B ．25C ．16D ．147．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f （x ）的图象恰好通过k （k ∈N *）个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数．下列函数：①()f x =sinx ； ② ()f x =π（x －1）2+3； ③ 1()()3x f x = ； ④ x x f 6.0log )(=． 其中是一阶格点函数的有A ．①②B ．①④C ．①②④D ．①②③④8．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数,x y ∈R ，等式()()()f x f y f x y =+成立．若数列{}n a 满足1(0)a f =，且11()(2)n n f a f a +=--（n ∈N*），则2009a 的值为A ． 4016B ．4017C ．4018D ．4019第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学（文）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．纯虚数z 满足23z -=，则纯虚数z 为A ．BC ．D ．5或1-2．命题甲：2≠x 或3≠y ；命题乙：5≠+y x ，则甲是乙的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件3．双曲线C 的焦距为，则双曲线的标准方程为A ．2212y x -= B ．2212x y -= C ．2212y x -=或2212x y -= D ．2212x y -=或2212y x -=4．直线l 过点与圆2220x y y +-=的圆心，则直线l 在x 轴上的截距为A B ． C ．1 D ． 1-5．已知函数()sin(2)3f x x π=+，则下面说法错误的是A ．()f x 在(0,)4π上是增函数 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象向右平移6π个单位得到曲线sin 2yx =D ．512x π=-是()f x 图象的一条对称轴 6．在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币，若硬币恰落在任何一个方格内不与方格线重叠，即可获奖．已知硬币的直径为2，方格边长为3(单位：cm )， 则游客获奖的概率为 A ．13 B ．15 C ．17 D ．197．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样(吨)0.0.0.0.0.第7题图侧视图 俯视图正视图 第8题图本的众数、中位数分别为A C ．2，2.5 D ．2.5， 2.258．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是A ．20π3B ．6πC ．16π3D ．10π39．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系． 对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下：由表中样本数据求得回归方程为y bx a =+，则点(,)a b 与直线18100x y +=的位置关系是A ．点在直线左侧B ．点在直线右侧C ．点在直线上D ．无法确定 10．已知定义在(0,)+∞上的单调函数()f x ，对(0,)x ∀∈+∞，都有2[()log ]3f f x x -=， 则方程()'()2f x f x -=的解所在的区间是 A ．（0，12） B ．（1,12） C ．（1，2） D ．（2，3）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模拟两可均不得分． 11．已知集合(2,1)A =-，{}3|log (1),B y y x x A ==-?，则A B =∩ ．12．已知实数a b 、满足21a b +=，则2a ab +的最大值为 ． 13．已知cos()43πα+=，则sin 2α的值为 ．14．若点(,)x y 满足22(1)(1)11212x y x y ⎧-+-≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则目标函数z x y =+的最小值为 ．15．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 ．16．如图，AB 是圆O 的直径，C D 、是圆O 上的点，60CBA ∠=，45ABD ∠=，CD xOA yBC =+，则x y +的值为 ．17．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用符号x 〈〉表示．对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：①1a a =〈〉；②11(0)0(0)n nn n a a a a +⎧〈≠⎪=⎨⎪=⎩．（Ⅰ）若a ={}n a 通项公式为 ；（Ⅱ）当13a>时，对任意*n N ∈都有n a a =，则a 的值为． 三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，a =(1,1)m =-，(cos cos ,sin sin 2n B C B C =-，且m n ⊥． （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）当7sin cos()12B C π+-取得最大值时，求角B 的大小和ABC ∆的面积． 第16题图1A D 1C CB A1B 第20题图 19．（本小题满分12分）已知{}n a 是首项为2的等比数列，123,2,3a a a 依次成等差数列，且12323a a a +≠． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式111n n S S λ+->-对任意*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分13分）如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，底面111A B C 是边长为4的等边三角形，且11B C A B ⊥．（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面11A BC ；（Ⅱ）设D 是棱11A C 上的点，且1A B ∥平面1B CD，当1B C =时，求1B D 与平面11A BC 所成的角的正切值．21．（本小题满分14分）我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．如图，“盾圆C ”是由椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与抛物线24y x =中两段曲线弧合成，12F F 、为椭圆的左、右焦点，2(1,0)F ，A 为椭圆与抛物线的一个公共点，252AF =．（Ⅰ）求椭圆的方程；第21题图（Ⅱ）是否存在过2F 的一条直线l ，与“盾圆C ”依次交于M N G H 、、、四点，使得1F MH ∆与1F NG ∆的面积比为6:5？若存在，求出直线22．（本小题满分14分）已知函数()(ln )f x x a x =+有极小值2e --． （Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）若Z k ∈，且1)(-<x x f k 对任意1>x 恒成立，求k 的最大值； （Ⅲ）当1,(,)n m n m Z >>∈时，证明：()()nm mnnm mn >．数学（文）试卷答案ABCB ADBD BC 11答案：(2,1)- 12答案：14 13答案：1314答案：3 15答案：516答案： 17答案：（Ⅰ）1n a =-；11答案：A 【解析】设()zbi b R =∈9b =∴=，则z =．2答案：B 【解析】甲⇒/乙，例如，1,4x y ==；乙⇒甲，“若5≠+y x ，则2≠x 或3≠y ”的逆否命题为“若2x =且3y =，则5x y +=” 此逆否命题为真命题，所以原命题为真命题．3答案：C 【解析】由题知2c b ==1a =，这样的双曲线标准方程有两个．4答案：B 【解析】直线方程为1y x =+． 5答案：A 【解析】A 中，()f x 在(0,)4π上不是单调函数．6答案：D 【解析】考查几何概型，游客获奖的概率为2321()39P -==． 7答案：B 【解析】样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标，为2 2.52.252+= 中位数是频率为0.5时，对应的样本数据，由于(0.080.160.300.44)0.50.49+++⨯=，故中位数为0.0120.5 2.020.25+⨯=． 8答案：D 【解析】此几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，体积1110[4241]233V πππ=⨯+⨯=．9答案：B【解析】样本数据的中心点为(18,110)，在直线y bx a =+上，则18110100a b +=> 10答案：C 【解析】由题2()log f x x C -=（C 为常数），则2()log f x x C =+故22[()log ]()log 3f f x x f C C C -==+=，得2C =，故2()log 2f x x =+，记21()()()2log ln 2g x f x f x x x '=--=-在(0,)+∞上为增函数 且112ln 21(1)0,(2)10ln 22ln 22ln 2g g -=-<=-=>, 故方程()'()2f x f x -=的解所在的区间是（1，2）．11答案：(2,1)- 12答案：14 13答案：1314答案：3 【解析】222210x y x y +--+≥即()()22111x y -+-≥，表示以()1,1为圆心、以1为半径的圆周及其以外的区域，目标函数z 在点(1,2)和点(2,1)处取到最小值3． 15答案：5 【解析】由题意，得：5,016,18,24,32,41,5n k n k n k n k n k n k ==⇒==⇒==⇒==⇒==⇒==⇒终止当2n =时，执行最后一次循环；当1n =时，循环终止，这是关键，输出5k =． 16答案：3-【解析】()()CD xOA yBC xOA y OC OB x y OA yOC =+=+-=++ 设1OA =，建立如图所示坐标系，则1(,12CD =-+(1,0)OA =-，1(,22OC =-，故3x y +=17答案：（Ⅰ）1n a =-；1-或12-【解析】（Ⅰ）若a=11a ==,则21a ===． （Ⅱ）当13a>时，由n a a =知，1a <，所以1a a a =〈〉=，21a a =〈〉，且1(1,3)a ∈．①当1(1,2)a ∈时，211a a a1=〈〉=-，故1112a a a -=⇒=（12a =舍去）②当1[2,3)a ∈时，212a a a 1=〈〉=-，故21a a a1-=⇒=（1a =舍去）综上，1a =-或1218解答：（1）因为m n ⊥，所以cos cos sin sin 0B C B C -+= 即()cos 2B C +=-，因为A B C π++=，所以cos()cos B C A +=- 所以cos 24A A π==． 4分 （2）由3,44A CB ππ==-，故73sin cos()sin cos()sin )126226B C B B B B B πππ+-=+-=+=+ 由3(0,)4B π∈cos()4B C π-+最大值时，3B π=． 8分 由正弦定理，2sin sin a bA B==，得b =故13sin sin()22434ab C ππ=+=． 12分 19解答： (Ⅰ) 由题，设{}n a 的公比为q ，则12n n a q -=，由123,2,3a a a 依次成等差数列，所以23423a a =+．即2826q q =+，解得1q =或13q =又12323a a a +≠，所以1q ≠，故13q = 所以数列{}n a 的通项公式为123n n a -=． 6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得，123n n a -=，所以12(1)133(1)1313n n nS -==-- 8分 则111212332311123123123n n n n nn n S S -+--⨯-===--⨯-⨯--，2315n ⨯-≥，231[,1)2315n ∴-∈⨯- 由111n n S S λ+->-恒成立，得35λ<． 12分20解答：（1）证明：侧面11BCC B 是菱形，11B C BC ∴⊥，又11B C A B ⊥故1B C ⊥平面11A BC ，所以平面1AB C ⊥平面11A BC ． 6分 （Ⅱ）记1B C 与1BC 的交点为E ，连结DE ．1B C ⊥平面11A BC ，1B D ∴与平面11A BC 所成的角为1B DE ∠． 8分1A B ∥平面1B CD ，1A B DE ∴∥，E 为1B C 的中点，D ∴为11AC 的中点．因为底面111A B C 是边长为4的等边三角形，1B D ∴=则1Rt DB E中，1B D =1,3B E DE =∴=，11tan B E B DE DE ∴∠==， 故1B D 与平面11A BC所成的角的正切值为3． 13分 21解答：（Ⅰ）由24y x =的准线为1x =-，2512A AF x ∴=+=，故记3(2A 又1(1,0)F -，所以12752622a AF AF =+=+=，故椭圆为22198x y +=． 4分 （Ⅱ） 设直线l 为1(0)x my m =+≠， (,)(,)(,)(,)M M N N G G H H M x y N x y G x y H x y 、、、 联立221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(89)16640m y my ++-=，则2216896489M H M H m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩① 联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，则44N G N G y y my y +=⎧⎨=-⎩ ②8分1F MH ∆与1F NG ∆的面积比11F MH M HF NGN GS MH y y S NG y y ∆∆-===-整理得112212618958F MH F NGS m S m ∆∆==⇒=+ 12分若4m =， 由②知N G 、坐标为1(,2、，不在“盾圆C ”上；同理4m =也不满足，故符合题意的直线l 不存在． 14分22答案：（Ⅰ）()1ln f x a x '=++，令1()0a f x x e --'>⇒>，令1()00a f x x e --'<⇒<<故()f x 的极小值为112()a a f e e e -----=-=-，得1a =． 4分（Ⅱ）当1x >时，令()ln ()11f x x x x g x x x +==--，∴()'22ln ()1x xg x x --=- 令()2ln h x x x =--，∴'11()10x h x x x-=-=>，故()y h x =在(1,)+∞上是增函数 由于''(3)1ln30,(4)2ln 40h h =-<=->，∴ 存在()03,4x ∈，使得'0()0h x =． 则()'01,,()0x x h x ∈<，知()g x 为减函数；()'0,,()0x x h x ∈+∞>，知()g x 为增函数．∴ 000min 000ln ()()1x x x g x g x x x +===-∴ 0,k x <又()03,4x ∈ ，k Z ∈，所以max k =3． 9分（Ⅲ）要证()()mnn m mn nm >即证ln ln ln ln m m nm n n n nm m +>+即证ln ln 11n n m m n m >--，令ln ()1x xx x ϕ=-，得()21ln ()1x x x x ϕ--'=-令1()1ln ,'()10,(1)()g x x x g x x g x x=--=->>∴ 为增函数， 又(1)0,()1ln 0g g x x x ==--> ，所以'()0x ϕ>∴ ()y x ϕ=是增函数，又 1n m >>=∴ ()()nm mnnm mn >． 14分。

黄冈市2013年5月高三适应考试数学参考答案（文科）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 卷答案 C D C C D A B B C A B 卷答案BCBBCDAABD11、12 12．2+2i 13．3314π-14． ⎥⎦⎤⎝⎛31,0 15．1 16． 1nd c n -- 17、②④ 18．解：（Ⅰ）由题意可得⎩⎨⎧=+=+=65514251a a a a a a 因为0>d ，所以15a a >．解得⎩⎨⎧==5151a a 所以1=d ．故数列{}n a 的通项公式n a n =．…………6分（Ⅱ）由于n an b 2=（n ∈*N ），所以2n n n a b n =⋅．231122232(1)22n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ． ①23121222(1)22n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅ ． ②①-②得 231122222n n n S n +-=⋅++++-⋅12(12)212n n n +-=-⋅-．所以 11222n n n S n ++=-+⋅．………………12分19（Ⅰ）连结OC ，OP 2AC CB == ，O 为AB 中点，2AB =, OC ∴⊥AB ，1OC =.同理, PO ⊥AB ，1PO =.又2PC =,2222PC OC PO ∴=+=,90POC ∴∠= .PO ∴⊥OC .PO ⊥OC ,PO ⊥AB ,AB OC O ⋂=,PO ∴⊥平面ABC .PO ⊂平面PAB∴平面PAB ⊥平面ABC . 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知OP 垂直平面ABC∴OP 为三棱锥P ABC -的高，且1OP =6111221312121=⨯⨯⨯⨯⨯==∴--ABC P ABC D V V ……12分20．（Ⅰ）连接BC,由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700.∴BC=107. 6分（Ⅱ）∵710120sin 20sin ︒=θ， ∴sin θ =73 ∵θ是锐角，∴74cos =θ ()x x x f cos cos sin sin 22θ+θ==()ϕ+=+x x x sin 75cos 74sin 73∴()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-75,75. ………………13分21.解：（1）由C x x f x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2332')(，得132'23)('2-⎪⎭⎫⎝⎛+=x f x x f ．取32=x ，得13232'232332'2-⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，解之，得132'-=⎪⎭⎫⎝⎛f ， 4分（2）因为C x x x x f +--=23)(．从而()1313123)('2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=x x x x x f ，列表如下：x )31, (--∞ 31-)1 , 31(- 1 ) , 1(∞+)(' x f＋ 0 － 0 ＋ )(x f↗有极大值↘有极小值↗∴)(x f 的单调递增区间是)31,(--∞和),1(∞+；)(x f 的单调递减区间是)1,31(-． 9分（3）函数xxe C x x e x xf xg ⋅+--=⋅-=)())(()(23，有xx e C x x e x x g )()12()2/+--+--=（=（–x 2– 3 x+C –1）ex，当函数在区间]2,3[-∈x 上为单调递增时，等价于h （x ）= –x 2– 3 x+C –1≥0在]2,3[-∈x 上恒成立, 只要h （2）≥0，解得c ≥11， 12分当函数在区间]2,3[-∈x 上为单调递减时，等价于h （x ）= –x 2– 3 x+C –1≤0在]2,3[-∈x 上恒成立, 即∆=0)1(49≤-+c ，解得c ≤ –45，所以c 的取值范围是1145<<-c ． …………14分 22．解：（1）当M 为椭圆短轴端点时，△AMB 面积最大，∴1235223a b c a ⎧⋅⋅=⎪⎨=⎪⎩⟹a=3,c=2,b=5∴椭圆E 的方程为22195x y +=.………………………………………………（5分） （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线MD 的方程为1111x x y y -=+，代入椭圆方程22195x y +=，整理得，2112115140x x y y y y --+-=.()1113115y x y y x -+=- ，13145y y x ∴=-.从而131595x x x -=-，故点1111594,55x y P x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.同理，点2222594,55x y Q x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭. 三点M 、1F 、N 共线，121222y y x x ∴=++，从而()1221122x y x y y y -=-.从而 ()()()()121221121234121212341212124457557595944455y y x y x y y y y y y y x x k k x x x x x x x x x x --+-----=====--------.……14分命题人：黄梅一中 石亚林 蔡圣兵 审题人：黄州区一中 杨安胜 黄冈教科院 丁明忠。

湖北省2013届高三最新理科数学（精选试题16套+2008-2012五年湖北高考理科试题）分类汇编15：几何证明选讲一、填空题1 ．（湖北省黄冈市2013届高三3月份质量检测数学（理）试题）(几何证明选讲)已知C点在⊙O直径BE的延长线上,CA切⊙O于A点,若AB=AC,则ACBC_______.【答案】332 ．（湖北省七市2013届高三4月联考数学（理）试题）(几何证明选讲)如右图,A B是⊙O的直径,P是A B延长线上的一点,过P作⊙O的切线,切点为C,PC=23,若∠CAP=30°,则⊙O的直径AB=_________.【答案】43 ．（湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（Ⅱ）数学（理）试题）(1)如图,圆O是△ABC的外接圆,过C点的切线交AB的延长线于点D,CD=,AB=BC=3,则AC的长为____.【答案】4．（湖北省武汉市2013届高三第二次（4月）调研考试数学（理）试题）(选修4-l:几何证明选讲) 如图,0的割线PAB交0于A、B两点,割线PCD经过圆心.,则0【答案】55 ．（2012年湖北高考试题（理数，word 解析版））(选修4-1:几何证明选讲)如图,点D 在O 的弦AB 上移动,4AB =,连接OD ,过点D 作OD 的垂线交O 于点C ,则CD 的最大值为__________.【答案】2【解析】由勾股定理,得CD ==r 为O 的半径,是定值),所以当OD 取最小值时,CD 取得最大值.显然当OD AB ⊥时,OD 取得最小值,故此时122CD AB ==,故所求的CD 的最大值2.【点评】本题考查直角三角形的性质以及转化与化归的能力.本题将求解CD 的最大值转化为求OD 的最小值,进而转化为点到直线的距离,体现了转化与化归的数学思想的作用之巨大.来年需注意弦切角,切线长定理,相似三角形的性质等题型.6 ．（湖北省黄冈市2013届高三数学（理科）综合训练题 ）(选修4-1:几何证明选讲)如图,已知Rt ABC ∆的两条直角边AC,BC 的长分别为3cm,4cm,以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D,则BD=___________【答案】165; 7 ．（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学理试题（三）（word 版） ）如右图,PA 切圆O 于点A,割线PBC 经过圆心0,PA =3,PB = 1 ,OA 绕点O 逆时针转600到OD,则PD 的长为_____.第15题图【答案】8 ．（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学理试题（二）（word 版） ）(选修4-l:几何证明选讲)如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E,EF 丄DB,垂足为 F,若AB=6,AE =1,则DF·DB=_______【答案】59 ．（湖北省武汉市2013届高三5月模拟考试数学（理）试题）(几何证明选讲)如图3,圆O 的半径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足30ABC ∠=︒,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA =__________.【答案】 解析连接OA ,则60AOC ∠=︒,90OAP ∠=︒,因为1OA =,所以PA =10．（湖北省八市2013届高三3月联考数学（理）试题）(选修4-1:几何证明选讲)如图所示,圆O 的直径6AB =,C 为圆周上一点,3BC =,过C 作圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则DAC ∠=______________.【答案】30º11．（湖北省八校2013届高三第二次联考数学（理）试题）(选修4—1:几何证明选讲)如图,割线PBC 经过圆心O ,1==OB PB ,OB 绕点O 逆时针旋转120°到OD ,连PD 交圆O 于点E ,则PE=____________.【答案】第15题图12．（湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）(几何证明选讲)如图,过半径为4的O 上的一点A 引半径为3的O '的切线,切点为B ,若O 与O '内切于点M ,连结AM 与O '交于C 点,则AB AM =_________.【答案】答案:12解析:作两圆的公切线MDE ,连结AO ,CO ',则2AB AC AM = 所以222AB AM AC AC AM AM AM== 由弦切角定理知2AOM EMA ∠=∠,2CO M EMA '∠=∠,则AOM CO M '∠=∠,AO CO ', 所以434AC OO AM AO '-==,即12AB AM . 13．（湖北省襄阳市2013届高三3月调研考试数学（理）试题）(选修4-1:几何证明选讲)如图,已知AB是O 的一条弦,点P为 AB 上一点,PC 丄0P,PC交O于C,若AP = 4,【答案】14．（湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试数学（理）试题）(选修4—1,几何证明选讲)如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=________.【答案】515．（湖北省浠水一中2013届高三理科数学模拟测试 ）(选修4-1:几何证明选讲)M 第16题图如图,PA 是圆O 的切线,A 是切点,直线PO 交圆O 于B 、C 两点,D 是OC 的中点,连结AD 并延长交圆O 于点E ,若PA =30APB =,则AE =______【答案】解析:易知,2,1==OA OD 由余弦定理得47=AD ,712=DE ,故2897=AE 16．（湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学理试题 ）(几何证明选讲选做题).如图,已知5AD =,8DB =,AO =O 的半径OC 的长为___.A【答案】5。

湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三（上）期末联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i为虚数单位，复数z满足zi=2+i，则z等于（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．1+2i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：将zi=2+i变形，可求得z，再将其分母实数化即可．解答：解：∵zi=2+i，∴z====1﹣2i，故选D．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将其分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分））设集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B={（x，y）|x+y﹣n≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（∁U B）的充要条件是（）A．m＞﹣1，n＜5 B．m＜﹣1，n＜5 C．m＞﹣1，n＞5 D．m＜﹣1，n＞5考点：集合的包含关系判断及应用．专题：压轴题．分析：由P（2，3）∈A∩（∁U B）则点P既适合2x﹣y+m＞0，也适合x+y﹣n＞0，从而求得结果．解答：解：∁U B={（x，y）|x+y﹣n＞0}∵P（2，3）∈A∩（∁U B）∴2×2﹣3+m＞0，2+3﹣n＞0∴m＞﹣1，n＜5故选A点评：本题主要考查元素与集合的关系．3．（5分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中随机地取一点P，则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据点P与正方体各表面的距离都大于，则所在的区域为以棱长为的正方体内，则概率为两正方体的体积之比．解答：解：符合条件的点P落在棱长为的正方体内，根据几何概型的概率计算公式得．故选A．点评：本题主要考查几何概型中的体积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域体积和试验的全部结果所构成的区域体积，两者求比值，即为概率．4．（5分）（2012•湘潭三模）求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（）A．B．C．D．考点：定积分的简单应用．分析：画出图象确定所求区域，用定积分即可求解．解答：解：如图所示S=S△ABO﹣S曲边梯形ABO，故选B．点评：用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，本题属于基本运算．5．（5分）函数f（x）=2x+x3﹣2的零点个数是（）个．A．0B．1C．2D．3考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）=2x+x3﹣2在R上单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点，从而得出结论．解答：解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在R上单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，故函数f（x）=2x+x3﹣2在R上有唯一零点．故选B．点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．6．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 程序框图． 专题： 图表型．分析：由题意可知，该程序的作用是求解n=的值，然后利用裂项求和即可求解解答：解：由题意可知，该程序的作用是求解n=的值，而．故选C ． 点评： 本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能 7．（5分）设函数y=f （x ）在定义域内的导函数为y=f ′（x ），y=f （x ）的图象如图1所示，则y=f ′（x ）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 函数的单调性与导数的关系．专题：数形结合．分析：先从f（x）的图象判断出f（x）的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象．解答：解：由f（x）的图象判断出f（x）在区间（﹣∞，0）上递增；在（0，+∞）上先增再减再增∴在区间（﹣∞，0）上f′（x）＞0，在（0，+∞）上先有f′（x）＞0再有f′（x）＜0再有f′（x）＞0故选D点评：解决函数的单调性问题，一般利用单调性与导函数符号的关系：导函数大于0函数递增；导函数小于0函数递减．8．（5分）已知两不共线向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（）A．||=||=1 B．（+）⊥（﹣）C．与的夹角等于α﹣βD．与在+方向上的投影相等考点：平面向量数量积的运算；向量的模；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由模长公式可得==1，故A正确；由数量积为0可得向量垂直，故B正确；由夹角公式可得向量夹角的余弦值，但角的范围不一定，故C错误；而D由投影相等可与模长相等等价，结合A可知正确，故可得答案．解答：解：由模长公式可得==1，==1，即=，故A正确；∵（）•（）=||2﹣||2=0，∴（）⊥（），故B正确；由夹角公式可得．当α﹣β∈[0，π]时，＜＞=α﹣β；当α﹣β∉[0，π]时，＜＞≠α﹣β，故C不正确；由投影相等可得，故D正确．故选C点评：本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的模长和投影及夹角，属中档题．9．（5分）已知直线：A1x+B1y+C1=0（C1≠0）与直线l2：A2x+B2y+C2=0（C2≠0）交于点M，O为坐标原点，则直线OM的方程为（）A．B．C．D．考点：两条直线的交点坐标；直线的一般式方程．专题：综合题；直线与圆．分析：将两直线的一般式中的常数项均变为1，验证O、M的坐标是否均满足该直线的方程即可判断．解答：解：x+y+1=0，l2：x+y+1=0，两式相减得（﹣）x+（﹣）y=0．∵点O、M的坐标都满足该直线的方程，∴点O、M都在该直线上，∴直线OM的方程为（﹣）x+（﹣）y=0．故选A．点评：本题考查两条直线的交点坐标，考查转化思想与分析验证能力，属于难题．10．（5分）若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A．10πB．25πC．50πD．100π考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题．分析：几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．解答：解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，其外接与球，它的对角线的长为球的直径，得长方体的体对角线的长为，∴长方体的外接球的半径为，∴球的表面积为50π，故选C．点评：本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．（一）必考题（11～14题）（二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）11．（5分）（2012•临沂二模）为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是48．考点：频率分布直方图．专题：常规题型．分析：根据前3个小组的频率之比为1：2：3，可设前三组的频率为x，2x，3x，再根据所以矩形的面积和为1建立等量关系，求出x，最后根据样本容量等于频数除以频率求出所求．解答：解：由题意可设前三组的频率为x，2x，3x，则6x+（0.0375+0.0125）×5=1解可得，x=0.125所以抽取的男生的人数为故答案为：48．点评：频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，样本容量等于频数除以频率等知识，属于基础题．12．（5分）若是函数f（x）=asinx+bcosx（a、b均为常数）图象的一条对称轴，则的值为．考点：正弦函数的对称性；函数的值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由辅助角公式可得f（x）=asinx+bcosx=（θ为辅助角），结合对称轴经过函数图象的最高点或最低点可求解答：解：∵f（x）=asinx+bcosx=（θ为辅助角）∵x=是函数的对称轴且对称轴经过函数图象的最高点或最低点，∴．故答案为：点评：本题考查了正弦函数的性质的应用，利用辅助角公式化简函数y=asinx+bcosx为一个角的一个三角函数的形式是求解问题的关键13．（5分）（2011•河南模拟）（1﹣ax）2（1+x）6的展开式中，x3项的系数为﹣16，则实数a的值为2或3．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用完全平方公式将第一个因式在看；利用二项展开式的通项公式求出第二个因式的x3，x2，x项的系数；求出（1﹣ax）2（1+x）6的展开式中，x3项的系数，列出方程求出a的值．解答：解：∵（1﹣ax）2=1﹣2ax+a2x2，又（1+x）6展开式的通项为T r+1=C6r x r，所以（1+x）6展开式中含x3，x2，x项的系数分别是C63；C62；C61．所以（1﹣ax）2（1+x）6的展开式中，x3项的系数为C63﹣2aC62+a2C61∴C63﹣2aC62+a2C61=﹣16解得a=2或a=3．故答案为：2或3．点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查等价转化的能力．14．（5分）若z=x+2y，则z的取值范围是．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图所示的阴影部分．将直线l：z=x+2y进行平移并加以观察，可得当直线ly经过原点时，z达到最小值0；当直线l与余弦曲线相切于点A 时，z达到最大值，用导数求切线的方法算出A的坐标并代入目标函数，即可得到z的最大值．由此即可得到实数z的取值范围．解答：解：作出可行域如图所示，可得直线l：z=x+2y与y轴交于点．观察图形，可得直线l：z=x+2y经过原点时，z达到最小值0直线l：z=x+2y与曲线相切于点A时，z达到最大值．∵由得，∴代入函数表达式，可得，由此可得z max==．综上所述，可得z的取值范围为．故答案为：点评：本题给出约束条件，求目标函数z=x+2y的取值范围．着重考查了简单线性规划和运用导数求函数图象的切线的知识，属于中档题．15．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，已知在△ABC中，∠B=90°．O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，则CD的长为3．考点：圆的切线的判定定理的证明．专题：选作题．分析：利用圆的切线性质、切割线定理、勾股定理即可得出．解答：解：由AD与圆O相切于点D，根据切割线定理可得AD2=AE•AB，又AD=2，AE=1，∴．由CD，CB都是圆O的切线，根据切线长定理可得，设CD=x，则CB=x．由切线的性质可得：AB⊥BC，∴AB2+BC2=AC2，∴42+x2=（x+2）2，得x=3，即CD=3．故答案为3．点评：熟练掌握圆的切线性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键．16．（5分）（2012•湖南）在极坐标系中，曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上，则a=．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2将极坐标方程化成普通方程，利用交点在极轴上进行建立等式关系，从而求出a的值．解答：解：∵曲线C1的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，∴曲线C1的普通方程是x+y﹣1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρ=a（a＞0）∴曲线C2的普通方程是x2+y2=a2∵曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个焦点在极轴上∴令y=0则x=，点（，0）在圆x2+y2=a2上解得a=故答案为：点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程与普通方程的转化，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=|x+2|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣|3x﹣4|≤1；（2）若f（x）+|x﹣a|＞1恒成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）依题意|x+2|﹣|3x﹣4|≤1，通过分类讨论去掉绝对值符号，再解，最后取其并集即可；（2）方法1：在数轴上，设点A，B，M对应的实数分别为﹣2，a，x，利用绝对值的几何意义得|MA|+|MB|≥|AB|即可；方法2：由绝对值三角不等式得|x+2|+|x﹣a|≥|（x+2）﹣（x﹣a）|=|a+2|，即可求得实数a的取值范围．解答：解：（1）由f（x）﹣|3x﹣4|≤1得|x+2|﹣|3x﹣4|≤1，即或或得解集为{x|x≤，或x≥}．（6分）（2）方法1：在数轴上，设点A，B，M对应的实数分别为﹣2，a，x，则“f（x）+|x﹣a|＞1恒成立”⇔“|x+2|+|x﹣a|＞1恒成立”⇔“|MA|+|MB|＞1恒成立”．∵|MA|+|MB|的最小值为|AB|，即|a+2|，∴|a+2|＞1，得a+2＞1，或a+2＜﹣1，即a＞﹣1，或a＜﹣3．方法2：由绝对值三角不等式得|x+2|+|x﹣a|≥|（x+2）﹣（x﹣a）|=|a+2|，∴|a+2|＞1，解得a＞﹣1，或a＜﹣3．（12分）点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想与绝对值不等式的几何意义，考查推理与运算能力，属于难题．18．（12分）已知定义域为R的函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=cos3x，h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）的单调递增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图可求得其周期T，继而可求得ω，再利用点（，2）在图象上可求得φ，从而可求得其解析式；（2）利用三角函数间的关系及倍角公式，辅助角公式可求得h（x）=sin（6x+）+，利用正弦函数的单调性即可求得h（x）的单调递增区间．解答：解：（1）∵T=（﹣）=，∴ω==3，∴f（x）=2sin（3x+φ）．∵点（，2）在图象上，∴2sin（3×+φ）=2，即sin（φ+）=1，∴φ+=2kπ+（k∈Z），即φ=2kπ+．故f（x）=2sin（3x+）．（6分）（2）h（x）=2sin（3x+）cos3x=2（sin3xcos+cos3xsin）cos3x=（six3xcos3x+cos23x）=（sin6x+cos6x+1）=sin（6x+）+．由2kπ﹣≤6x+≤2kπ+（k∈Z）得函数h（x）的单调递增区间为[﹣，+]（k∈Z）．（12分）点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数中的恒等变换应用及正弦函数的单调性，考查化归思想与综合运算能力，属于难题．19．（12分）某单位进行这样的描球游戏：甲箱子里装有3个白球，2个红球，乙箱子里装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）．（1）求在1次游戏中①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；（2）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望EX．考点：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：综合题．分析：（1）①求出基本事件总数，计算摸出3个白球事件数，利用古典概型公式，代入数据得到结果；②获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据①求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果；（2）确定在2次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2，求出相应的概率，即可写出分布列，求出数学期望．解答：解：（1）①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件A i（i=，0，1，2，3），则P（A3）=•=②设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，又P（A2）=•+•=且A2、A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=+=（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．P（X=0）=（1﹣2=，P（X=1）=C21×（1﹣）=，P（X=2）=（2=，所以X的分布列是X的数学期望E（X）=0×+1×+2×=．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．20．（12分）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（1）求证：PC⊥AC；（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；（3）求点B到平面MAC的距离．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：方法1：（1）通过证明PC⊥平面ABC，然后证明PC⊥AC．（2）取BC的中点N，连MN，证明MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，说明∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．利用．求出二面角M﹣AC﹣B的余弦值．（3）先证明NE⊥平面MAC，通过解三角形求出点N到平面MAC的距离，利用点N是线段BC的中点，推出点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍．方法2：（1）同方法一；（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P（0，0，z），求出有关点的坐标，利用，求出设平面MAC的一个法向量为，求出平面ABC的一个法向量为．利用．得到二面角M﹣AC﹣B的余弦值．（3）利用点B到平面MAC的距离．解答：解：方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）（2）取BC的中点N，连MN．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH．由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．在△ACN中，．在Rt△AMN中，．在Rt△NCH中，．在Rt△MNH中，∵，∴．故二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．（8分）（3）作NE⊥MH于E．∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC，∴点N到平面MAC的距离为．∵点N是线段BC的中点，∴点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为．（12分）方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P（0，0，z），则．．∵，且z＞0，∴，得z=1，∴．设平面MAC的一个法向量为=（x，y，1），则由得得∴．平面ABC的一个法向量为．．显然，二面角M﹣AC﹣B为锐二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．（8分）（3）点B到平面MAC的距离．（12分）点评：本题考查直线与平面的垂直的判定定理的应用，二面角的求法，点到平面的距离的求法，几何法与向量法的区别与联系，考查空间想象能力与计算能力．21．（13分）已知斜率为﹣2的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点为．直线l2与y轴交于点M（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点P，Q，O 为坐标原点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）求λ的值；（3）求m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；方程思想；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）平方差法：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程作差，据中点坐标公式、直线斜率公式即可求得a2值；（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4），l2：y=kx+m，由，用横坐标表示出来即可求得λ值；（3）将直线l2的方程与椭圆方程联立消y，由（2）的结论及韦达定理可得k，m的关系式，再由△＞0消掉k即可求得m的取值范围；解答：解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则．∵，，∴两式相减得，即=0，即，得，所以椭圆C的方程为2x2+y2=1．（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4），l2：y=kx+m（∵l2与y轴相交，∴l2的斜率存在）．由，得，得，即，将①代入②得（λ﹣3）m=0，∵m≠0，∴λ=3．（3）将y=kx+m代入2x2+y2=1，得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）=0．∵λ=3，∴由消去x3、x4得，．由△＞0得k2＞2（m2﹣1），即2（m2﹣1），即，即，解得，或．所以m的取值范围为，或．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，弦长公式、韦达定理、判别式是解决该类问题的基础知识，应熟练掌握，涉及弦中点问题常考虑“平方差法”．22．（14分）在数列中，a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0．（1）求{a n}的通项公式；（2）若，求数列{（﹣1）n b n}的前n项和T n；（3）求证：．数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．考点：等差数列与等比数列．专题：分析：（1）方法一：由已知变形得，利用“累乘求积”即可得出；方法二：利用得到a n的关系式，再利用“累乘求积”即可得出；（2）根据所求的数列的通项公式的特点，利用等差数列的前n项和公式，可先求出当n为偶数时的T n，进而即可得出n为奇数时的T n；（3）通过构造函数，利用函数的单调性及裂项求和即可证明．解答：解：（1）方法1：∵，且S1=a1=1，∴当n≥2时，，且S1=1也适合．当n≥2时，，且a1=1也适合，∴．方法2：∵nS n+1﹣（n+3）S n=0，∴（n﹣1）S n﹣（n+2）S n﹣1=0，两式相减，得n（S n+1﹣S n）=（n+2）（S n﹣S n﹣1），即na n+1=（n+2）a n，即．又∵可求得a2=3，∴也适合上式．综上，得．当n≥2时，，且a1=1也适合，∴．（2）．设．当n为偶数时，∵，∴．当n为奇数（n≥3）时，，且T1=c1=﹣4也适合上式．综上：得．（3）令f（x）=x﹣ln（1+x）．当x＞0时，∵，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，得ln（1+x）＜x．令，得，∴，∴，∴．点数列掌握数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、通项公式与前n项和的关系评：、“累乘求积”、构造函数并利用函数的单调性及裂项求和是解题的关键．。

湖北高考模拟试题湖北省优秀学科教师 黄冈名师 黄冈学术带头人黄冈骨干教师 黄冈师范学院硕士生导师黄梅首届名师 黄梅十佳教师 中国奥赛一级教练员黄梅一中 王卫华邮编4３5500 133299488３9参考公式:锥体的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 柱体的体积公式V=S ｈ , 其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()C 1n kk kn n P k p p -=-.一．选择题：本大题共１0小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．已知方程20()x bx c b c R ++=∈、的一个根是45i -+，则b c +=( )A.－4９B. 49C. ３3 D ． -３32.已知命题3:1,20p x x ∃>->,那么p ⌝是（ ）A. 31,20x x ∀≤-≤ B ． 31,20x x ∃>-≤ C ． 31,20x x ∀>-≤ D ． 31,20x x ∃≤-≤３．一个正三棱锥的棱长相等，体积为64图所示,则此三棱锥的左视图的面积是（ )A ．2 B.32 C. 23 D ．4．执行右面的程序框图，如果输入ａ=5，那么输出的n 的值为( Ａ. 2 Ｂ． 3 C. 4 Ｄ． 55.已知{}n a 为等比数列，5963a a +=，73a =，则113a a +=( )Ａ. 543 Ｂ.903 C. 54 D ． 9０ 6.设函数()[]f x x x =-，其中][x 为不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-,[1.2]1=.又函数24()3x g x -=,()f x 在区间(1,1)-上零点的个数记为m ,()f x 与()g x 图像交点的个数记为n ,则()nmg x dx ⎰的值是（ )A ．0ﻩ B.769-ﻩ C.29- D. 749-7.已知长方体1111D C B A ABCD -的体积为24,且异面直线1BC 与AD 所成角的正切值为12，则该长方体过同一顶点的三条棱长之和的最小值为( ) A. 18 B. 362 C. 9 D ． 68.如图所示,旋转一次的圆盘，指针落在圆盘中３分处的概率为a ,落在圆盘中2分处的概率为b ,落在圆盘中0分处的概率为c (a ,ｂ，ｃ∈(0，1))，已知旋转一次圆盘得分的数学期望为2分,则错误!的最小值为( )Ａ.错误!未定义书签。

湖北省2013届高三5月高考模拟及答题适应性考试数学（理）试题A本试题卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数1i 2i-在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．下列命题中错误的是A ．命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠”B ．若R ∈y x ,，则“x y =”是“2)2(y x xy +≥”成立的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p q ∨为假命题，则命题p 和q 中必一真一假D ．对命题p ：R ∈∃x ，使得210x x -+<，则p ⌝：R ∈∀x ，则210x x -+≥3．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g)4sin(πω+x 的图象，只要将()x f y =的图象A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则2 2侧视图俯视图判断框中应填A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n >5．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数b ax z +=)0,(>b a 的最大值是12，则22a b +的最小值是A ．613 B ． 365 C ．65 D ．36136．在OAB ∆中，120=∠AOB ，2=OA ，1=OB ，D 、C 分别是线段AB 和OB 的中点，则=⋅ A ．2- B ．23-C ．21- D ．437．如图，已知三棱锥的俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边长为2的直角三角形，则该三 棱锥的正视图可能为8．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 A ．169 B ．21 C ． 167D ．8322 1 1 A ． 2 1 1 B ． 2 1 1 C ． 21 1 D ．11 12 3 1 6 11 6 1 24 50 35 10 1 ……………………………9．设点P 是双曲线22197x y -=右支上一动点，,M N 分别是圆()2241x y ++=和()2241x y -+=上的动点，则PM PN -的取值范围是A ．[]4,8B ．[]2,6C ．[]6,8D ．[]8,12 10．()f x 是定义在()11-，上的函数，对于(),11x y ∀∈-，，有()())1(xyyx f y f x f --=-成立，且当()1,0x ∈-时，()0f x >．给出下列命题：①()00f =； ②函数()f x 是偶函数；③函数()f x 只有一个零点； ④)41()31()21(f f f <+．其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． (一)必考题（11—14题）11．已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--=,1,,11,12x e x x x f x 则⎰-21d )(x x f =__________．12．若nxx )12(-的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则它的第4项系数是________．13．如图是斯特林数三角阵表，表中第r 行每一个 数等于它左肩上的数加上右肩上的数的1r -倍， 则此表中：（Ⅰ）第6行的第二个数是______________； （Ⅱ）第1n +行的第二个数是___________．（用n 表示）14．已知直角三角形ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且不等式cb a 111++ cb a m++≥恒成立，则实数m 的最大值是___________．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑． 如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，A ，B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，OA =2，C 为OA 的中点，连结BC 并延长交圆O 于点D ，则CD = ． 16．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==t y t x 21,2(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程 为2cos sin ρθθ=．设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则⋅= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()x x x x f sin sin cos 2cos sin 22-+=ϕϕ（πϕ<<0）在π=x 处取最小值．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C ．18．（本小题满分12分）某车站每天上午安排A 、B 两种型号的客车运送旅客，A 型车发车时刻可能是8：00，8：20，8：40；B 型车发车时刻可能是9：00，9：20， 9：40．两种型号的车发车时刻是相互独立的．下表是该车站最近100天发车时刻统计频率表： 频 数 频 率A 型车8：00发车 25 0．25 A 型车8：20发车 m 0．50 A 型车8：40发车 25 0．25B 型车9：00发车 25 0．25 B 型车9：20发车 50 0．50 B 型车9：40发车25 n （Ⅰ）直接写出表中的m ，n 的值； （Ⅱ）某旅客8：10到达车站乘车，根据上表反映出的客车发车规律，（ⅰ）求该旅客能乘上A 型客车的概率；（ⅱ）求该旅客候车时间ξ（单位：分钟）的分布列和数学期望．（注：将频率视为概率）19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，65=a ，且1a ，3a ，7a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n an n n b 2)1(4⋅--=λ(*n ∈N ），问:是否存在非零整数λ，使数列{}n b 为递增数列． 20．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥A C ，M 、N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在线段A 1B 1上．（Ⅰ）证明：AM ⊥PN ；（Ⅱ）是否存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成 的二面角为30º，若存在，试确定点P 的位置，若不存 在，请说明理由． 21．（本小题满分13分）已知平面内一动点P 到椭圆15922=+y x 的右焦点F 的距离与到直线2-=x 的距离相等．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点)0,(m M （0>m ）作倾斜角为60的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，若点F 始终在以线段AB 为直径的圆内，求实数m 的取值范围；A B CNMP A 1 B 1 C 1（Ⅲ）过点)0,(m M （0>m ）作直线与曲线C 相交于A ，B 两点，问：是否存在一条垂直于x 轴的直线与以线段AB 为直径的圆始终相切？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由﹒22．（本小题满分14分）设函数()ln f x x x =． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）设1212,0,,0,x x p p >>且121,p p +=证明：()())(22112211x p x p f x f p x f p +≥+；（Ⅲ）设0,,,21>n x x x ，0,,,21>n p p p ，且121=+++n p p p ，如果e 2211≥+++n n x p x p x p ，证明：e )()()(2211≥+++n n xf p x f p x f p ．一、选择题：1．D 2．C 3．B 4．D 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．C二、填空题：11．22e e π+- 12．160- 13．274；111!2n n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭14． 15． 553 16． 0三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）f (x )＝2sin x ·1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)． ∵f (x )在x ＝π处取最小值， ∴sin(π＋φ)＝－1，∴sin φ＝1，∵0＜φ＜π，∴φ＝π2． ………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），知f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x ．由f (A )＝32，得cos A ＝32．∵角A 是△ABC 的内角，∴A ＝π6．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝2sin B ，∴ sin B ＝22．∵b ＞a ，∴B ＝π4，或B ＝3π4．当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12；当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝π12．故C ＝7π12，或C ＝π12． ………………………………12分18．解：（Ⅰ）m =50，n =0．25． ………………………………2分（Ⅱ）（ⅰ）设某旅客8：20，8：40乘上车事件分别为A ，B ，则A ，B 互斥．∴()()()113244P A B P A P B +=+=+=． …………………………………5分 （ⅱ）可能取值为10,30,50,70,90ξ=，则()1102P ξ==，()1304P ξ==，()3115014416P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭，()311701428P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭，()3119014416P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭．ξ的分布列是ξ30．…………………12分19．解：（Ⅰ）设公差为（d ≠0），由题意，知，． 于是 解得．．………………………………………………………4分 （Ⅱ）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅．20．解：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，．由题意，可设．（Ⅰ）∵)21,1,0(=，， ．∴ AM ⊥PN ．……………………… 6分（Ⅱ）设),,(z y x n =是平面PMN 的一个法向量，)21,21,21(-=， 则 即得令x =3，得y =1+2λ，z=2-2λ，∴)22,21,3(λλ-+=．若存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º， 则|cos<n m ,>|=23)22()21(9|22|22=-+++-λλλ．化简得． ∵△＝100-4⨯4⨯13＝-108<0，方程无解． ∴不存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º．……………12分 21．解：（Ⅰ）易知椭圆的右焦点坐标为．由抛物线的定义，知P 点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线． 所以，动点P 的轨迹C 的方程为． ……………………………………4分 （Ⅱ）由题意知，直线AB 的方程为． 代入，得． 设，则．因为点始终在以线段为直径的圆内， 为钝角． 又，， ，． 即， ． 因此， ．综上，实数的取值范围是．（Ⅲ）设过点的直线方程为，代入，得 ．设，则，． 于是．的中点坐标为 又 ．设存在直线满足条件，则． 化简，得．所以，对任意的恒成立， 所以 解得，．所以，当时，存在直线与以线段为直径的圆始终相切．…………13分 22．解：（Ⅰ）．由，得；由，得．在单调递减；在单调递增．在取最小值．………………………………………………4分 （Ⅱ）令，不妨设， 则． ， ．而是增函数，．，所以在是增函数．，即．．………………………………8分（Ⅲ）先证明．当时，由（Ⅱ）知不等式成立．假设当时，不等式成立，即．当时，，．．……………………………14分。