江西省南昌市2016届高三第三次模拟考试数学(理)试题(word版)

江西省南昌市第二中学2016届高三上学期第三次考试数学(理)试题W南昌二中20XX年―20XX年学年度上学期第三次考试高三数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）3 4i，则z （）4 3iA．3 i B．2 3i C．3 i D．2 3i2．已知条件p：|x 4| 6；条件q：(x 1)2 m2 0 (m 0)，若p是q的充分不必要1．已知复数z 33．在△ABC中，若点D满足BD 2DC，则AD （）2 1 2 5 2 1 2 1A．AC AB B．AB AC C．AC AB D．AC AB***-*****S54．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2 a5 0，则＝( )S2A. 11B. 5C.一8D.一1125．等差数列{an}中，2a3 a7 2a11 0，数列{bn}为等比数列，且b7 a7，则b6b8 的条件，则m的取值范围是（）A . [21，＋∞) B. [9，＋∞) C.[19，＋∞) D.(0，＋∞)值为（）A．4 B．2 6．函数yC．16 D．82x的图象大致为（）lnx7．等差数列{an}前n项和为sn，满足S30 S60，则下列结论中正确的是（） A ．S45是Sn中的最大值B．S45是Sn中的最小值C．S45=0 D．S90=0 8．若(A．4, )，且3cos2 4sin(B．4)，则sin2 的值为（）C．7927919D．1 99．若函数f(x) asin2x (a 2)cos2x的图像关于直线x （）8,则f(x)的最大值为A．2 BC．D10．如图所示，点A，B，C是圆O上三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M,若OC mOA nOB，(m 0,n 0)m n 2,则AOB的最小值为（）6 B．3C．22 D．3A．11．a为参数，函数f(x) (x a) 3x 2 a (x a) 38 x 3a是偶函数，则a可取值的集合是（）A．｛0，5｝B．｛2,5｝C．｛5，2｝D．｛1,20XX 年｝2x212. 已知函数f(x) ln(x 2) ,(a为常数且a 0)，若f(x)在x0处取得极值，2a且x0 [e 2,e2 2]，而f(x) 0在[e 2,e2 2]上恒成立，则a的取值范围（）A．a e 2e B.a e 2e C. a e 2e D. a e 2e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13．若a，b均为非零向量，且(a 2b) a，(b 2a) b，则a，b的夹角为。

2016届江西省南昌三中高三第三次（11月）月考数学理试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,4}，N ＝{2,3}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N ) 2．设,a b R ∈，则“2()0a b a -<”是“a b <”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非不充分不必要条件3．为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n =（ ）．A ．5B ．6C ．7D ．84．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，若a ⊥(2a －b )，则k 等于( )A ．6B ．－6C ．12D ．－125.设函数y=acosx+b （a 、b 为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx 的最大值是 ( )A.1B.4C.5D.76. 如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB AD AB BC BD ===，则sin C 的值为（ ）A B C D7．已知则( )8．C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB = ，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）A 1b =B a b ⊥C 1a b ⋅=D ()4C a b +⊥B9．函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--10.设已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别是12,x x 且12(0,1),(1,)x x ∈∈+∞,记分别以,m n 为横,纵坐标的点(,)P m n 所表示的平面区域为D ,若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点,则实数a 的取值范围是 （ ） A.(1,3] B.(1,3) C.(3,)+∞ D.[3,)+∞11. 已知函数13)(23+-=x ax x f ，若)(x f 存在唯一的零点0x ，且00>x ，则实数a的取值范围是（ ） A ．（-∞，-2） B ．（-∞，-1） C ．（1，+∞） D ．（2，+∞）12. 已知数列{}n a 满足(,01)n n a n k n k *=⋅∈<<N 下面说法正确的是（ ） ①当12k =时，数列{}n a 为递减数列； ②当112k <<时，数列{}n a 不一定有最大项； ③当102k <<时，数列{}n a 为递减数列； ④当1kk-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项． A ．①② B ．②④ C ．③④ D ．②③二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13. 复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是 __ . 14. 已知|a |=2，|b |=6,a 与的夹角为3π，则b a +在a 上的投影为 。

绝密★启封并使用完毕前江西师大附中2016届高三第三次模拟考试文科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|(3)0}A x Z x x =∈-≤，{|ln 1}B x x =<，则A B =（ ）A ．{0,1,2}B ．{1,2,3}C ．{1,2}D ．{2,3}2．定义运算bc ad d c b a -=,,，若21,2,z i i =，则复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知a R ∈，“函数31x y a =+-有零点”是“函数log a y x =在(0,)+∞上为减函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？（ ）A ．5B ．4C ．3D ．25．在ABC ∆中，设CB a =，AC b =，且||2,||1,1a b a b ==⋅=-，则||AB =（ ）A ．1BCD ．26．已知函数()sin(2)3f x x π=-，则下列结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在区间[0,]4π上是增函数C ．函数()f x 的图象可由()sin 2g x x =的图象向右平移6π个单位得到 D ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称7．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232,2,2,,2n x x x x 的方差为2；③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；④对分类变量x 与y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关”的把握越大．其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图所示的程序框图中，若()sin f x x =，()cos g x x =，[0,]2x π∈，且()h x m ≥恒成立，则m 的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．09．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(2,0,2)，(2,2,0)，(0,2,2)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）A B C D10．若实数,x y 满足约束条件104x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则22x y z =的最小值为（ ） A ．16 B ．1 C ．12 D ．1411．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈，2()log (1)f x x =+，则(31)f =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．1-12．已知偶函数()f x 是定义在{}|0x R x ∈≠上的可导函数，其导函数为()f x '．当0x <时，()()f x f x x '>恒成立．设1m >，记4(1)1mf m a m +=+，b =，4(1)()1m c m f m =++，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a b c >> C ．b a c << D ．b a c >>第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

南昌三中2015—2016学年度上学期第三次月考高三数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,4}，N ＝{2,3}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N ) 2．设,a b R ∈，则“2()0a b a -<”是“a b <”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非不充分不必要条件3．为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n =（ ）．A ．5B ．6C ．7D ．84．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，若a ⊥(2a －b )，则k 等于( )A ．6B ．－6C ．12D ．－125.设函数y=acosx+b （a 、b 为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx 的最大值是 ( )A.1B.4C.5D.76. 如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB AD AB BC BD ===，则sin C的值为（ ）A B C D7．已知则( )8．C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）A 1b =B a b ⊥C 1a b ⋅=D ()4C a b +⊥B9．函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--10.设已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别是12,x x 且12(0,1),(1,)x x ∈∈+∞,记分别以,m n 为横,纵坐标的点(,)P m n 所表示的平面区域为D ,若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点,则实数a 的取值范围是 （ ） A.(1,3] B.(1,3) C.(3,)+∞ D.[3,)+∞11. 已知函数13)(23+-=x ax x f ，若)(x f 存在唯一的零点0x ，且00>x ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（-∞，-2） B ．（-∞，-1） C ．（1，+∞） D ．（2，+∞）12. 已知数列{}n a 满足(,01)n n a n k n k *=⋅∈<<N 下面说法正确的是（ ） ①当12k =时，数列{}n a 为递减数列； ②当112k <<时，数列{}n a 不一定有最大项； ③当102k <<时，数列{}n a 为递减数列； ④当1kk-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项． A ．①② B ．②④ C ．③④ D ．②③二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13. 复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是 __ . 14. 已知|a |=2，|b |=6,a 与b 的夹角为3π，则b a +在a 上的投影为 。

NCS 项目第三次模拟测试卷数 学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分． 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，则UAB =A ．{3}B ．{1,2,4,5}C ．{1,2}D ．{1,3,5} 2．复数i+25（ i 是虚数单位）的共轭复数．．．．是 A ．i -2 B ．i +2 C ．i +-2 D ．i --23．函数()xf x =的定义域为 A.(0,1) B. (1,)+∞ C. (0,)+∞ D. (0,1)(1,)+∞4．0<x 是0)1ln(<+x 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．设函数()f x 是周期为6的偶函数，且当[0,3]x ∈时()3f x x =，则(2015)f = A ．6B ．3C ．0D ．6-6．设函数2()ln(1)3f x x x =++，若()10f a =，则()f a -= A ．13B ．7-C ．7D ．4-CBAOE12,j i S S j i=+=+⨯开始结束1,0i S ==2i i =+i 输出50101S >是否7．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的 是某零件的三视图，则该几何体的体积是 A ．5 B ．5.5 C ．6 D ．4 8．若动圆的圆心在抛物线2112y x =上，且与直线y ＋3＝0相切， 则此圆恒过定点A. (0,2) B ．(0，－3) C. (0,3) D ．(0,6) 9．从1,2,3,4,5,6中任取三个数，则这三个数构成一个等差数列的概率为 A.310 B. 37 C. 710 D. 3510．阅读如右程序框图，运行相应程序，则程序运行后输出的结果i = Ａ．97 B. 99 C. 100 D. 10111. 已知双曲线：22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c , 直线3()y x c =+与双曲线的一个交点M满足12212MF F MF F ∠=∠, 则双曲线的离心率为A 2B 3C ．2D 3112. 已知正△ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是A ．74π B.2πC. 94π D.3π第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．13．已知{}n a 为等差数列，公差为1，且5a 是3a 与11a 的等比中项，n S 是{}n a 的前n 项和，则12S 的值为 .14．已知点A （1，2），点P （,x y ）满足1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩， O 为坐标原点，则Z OA OP=•的最大值为 .15．对大于或等于2的自然数的3次方可以做如下分解：5323+=，119733++=，1917151343+++=，……，根据上述规律，310的分解式中，最大的数是 ．16．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是1F ，2F ，若21212(04)F F AF BF λλ=⋅<<，则离心率e 的取值范围是____________ ．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且3a b c +=，22sin 3sin sin .C A B = （Ⅰ）求C ∠；（Ⅱ）若3ABC S ∆=，求c .18．（本小题满分12分） 某单位有200人，其中100人经常参加体育锻炼,其余人员视为不参加体育锻炼. 在一次体检中，分别对经常参加体育锻炼的人员与不参加体育锻炼的人员进行检查．按照身体健康与非 健康 非健康 总计经常参加体育锻炼 p不参加体育锻炼q100 总计200已知p 是(1+2)x 展开式中的第三项系数，q 是(1+2)x 展开式中的第四项的二项式系数．（Ⅰ）求p 与q 的值；（Ⅱ）请完成上面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“身体健康与经常参加体育锻炼有关”． 19．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，(1)ABADλλ=>，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角C AB E --为直二面角. （Ⅰ）求证：平面ACE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）设F 是BE 的中点，二面角E AC F --的平面角的大小为θ，当[2,3]λ∈时，求cos θ的取值范围. 20．（本小题满分13分）已知两点(0,1)A -，(0,1)B ，(,)P x y 是曲线C 上一动点，直线,PA PB 斜率的平方差为1. （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）1122(,),(,)E x y F x y 是曲线C 上不同的两点，(2,3)Q 是线段EF 的中点，线段EF 的垂直平分线交曲线C 于,G H 两点，问,,,E F G H 是否共圆？若共圆，求圆的标准方程；若不共圆，说明理由. 21．（本小题满分14分） 已知函数()1(cos ),xf x ea x a R -=-+∈（Ⅰ）若函数()f x 存在单调减区间，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若0a =，证明：1[1,]2x ∀∈-，总有(1)2()cos(1)0f x f x x '--++>。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}{}12,1>=<=xx N x x M ，则=N M （ ）A ．φB ．{}0<x xC ．{}1<x xD ．{}10<<x x 2.复数ii i 2121+--在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.在ABC Rt ∆中，F E AC AB A ,,4,2,90===∠ 分别为BC AB ,的中点，则=⋅（ ）A ．9B ．9-C ．7D ．7- 4.已知直线l 经过圆042:22=--+y x y x C 的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为5，则直线l 的方程为（ ）A ．052=++y xB ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．032=+-y x 5.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12,21344672==S S ，则=2016S （ ） A ．22 B ．26 C ．30 D ．346.设22,21,20,19,1854321=====x x x x x ，将这五个数据依次输入下面程序框图进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是（ ）A ．2=S ，即5个数据的方差为2B ．2=S ，即5个数据的标准差为2C ．10=S ，即5个数据的方差为10D ．10=S ，即5个数据的标准差为10 7.如图所示，有一条长度为1的线段MN ，其端点N M ,在边长为3的正方形ABCD 的四边上滑动，当点N 绕着正方形的四边滑动一周时，MN 的中点P 所形成轨迹的长度为（ ） A ．28π+B ．π+8C ．212π+ D ．π+128.已知函数))((+∈N n n f 满足⎩⎨⎧<+≥-=100)],5([100,3)(n n f f n n n f ，则=)1(f （ ）A ．97B ．98C ．99D ．10010.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则此多面体的体积等于（ ） A ．332 B ．16 C ．364 D ．3211.若函数)2,2(,sin cos )(ππ-∈+=x x ax x x f 存在零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．),1(+∞C ．)1,(--∞D ．)0,(-∞12.如图所示，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，⊙222:b y x O =+，点F A 、分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是⊙O 上的动点，且PFPA 为定值，则椭圆C 的离心率为（ )A ．212- B ．213- C ．21 D ．215-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若二项展开式5)(x a +的第三项系数为80，则实数=a ______.14.若函数)(x f 的定义域为]2,2[-，则函数)12ln()2(+⋅=x x f y 的定义域为______. 15.已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且112,1+==n n n a a S a ，则=n S ______. 16.如图所示，半径为1的球内切于正三棱锥ABC P -中，则此正三棱锥体积的最小值为____.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，三边c b a ,,所对应的角分别是C B A ,,，已知c b a ,,成等比数列.（1）若332tan 1tan 1=+C A ，求角B 的值； （2）若ABC ∆外接圆的面积为π4，求ABC ∆面积的取值范围. 18.（本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据)6,,2,1)(,(⋅⋅⋅=i y x i i 如下表所示：已知变量y x ,具有线性负相关关系，且,480,396161==∑∑==i i i iy x现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲544+=x y ；乙1064+-=x y ；丙1052.4+-=x y ，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的. （1)试判断谁的计算结果正确？并求出b a ,的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”个数ξ的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，AB PD PB PC PA ABC ====∠,,60 .（1）求证：平面⊥PAC 平面ABCD ； （2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）如图所示，已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于B A ,两点，抛物线C 在B A ,两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4.（1）求抛物线C 的方程；（2）设N M ,是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足OB OA ON OM k k k k ⋅=⋅，求OMN ∆面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数)()(,ln )(2R a e x g x ax x x f x∈=-+=.（1）是否存在a 及过原点的直线l ，使得直线l 与曲线)(),(x g y x f y ==均相切？若存在，求a 动点值及直线l 动点方程；若不存在，请说明理由； （2）若函数)()()(x g x f x F =在区间]1,0(上是单调函数，求a 的取值范围. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）如图所示，直线AB 为圆O 的切线，切点为B ，点C 在圆O 上，ABC ∠的平分线BE 交圆O 于点E ，DB 垂直BE 交圆O 于点D .（1）证明：DC DB =；（2）设圆O 的半径为1，3=BC ，延长CE 交AB 于点F ，求线段BF 的长.23.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为）），（为参数，20(sin ,cos 1πααα∈⎩⎨⎧=+-=t t y t x ，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=. （1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点M ，求点M 的直角坐标； （2）若直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，线段AB 的中点横坐标为21，求直线l 的普通方程.24.（本小题满分10分） 已知函数11)(+--=x x x f . （1）求不等式1)(<x f 的解集；（2）若不等式)()(a f x f a ≥对任意R a ∈恒成立，求实数x 的取值范围.九江市2016年第三次高考模拟统一考试理科数学参考答案及评分标准1.D ∵ {}0>=x x N ，∴=N M {}10<<x x . 2.C i i i i i 5254222121--=-=+--. 3.D7)4221(21)21(21)(21)21(2222-=-⋅=-⋅=+⋅-=⋅，故选D.亦可用坐标法.7.B 轨迹为四条线段加四个四分之一的圆，长度ππ+=⨯⨯⨯+⨯=821241424. 8.B ∵,98)101()]104([)99(,97)100(====f f f f f ,98)99()]102([)97(,97)100()]103([)98(======f f f f f f f f,97)98()]101([)96(===f f f f 依此类推，得98)1()97()99(==⋅⋅⋅==f f f .9.B 某宾馆随机安排E D C B A 、、、、五名男生入住3个标间，共有9033222325=A A C C 种情形，B A 、入住同一标间有183323=A C 种情形，∴B A 、入住同一标间的概率为519018==P . 10.C 如图所示，该多面体的直观图为直三棱柱111C B A ABC -截去一个三棱锥111C B A A -，即四棱锥C C BB A 11-，∴364444213211=⋅⋅⋅⋅=-C C BB A V .11.D )(sin cos )sin()cos()(x f x ax x x ax x x f =+=---=-, ∴函数)2,2(,sin cos )(ππ-∈+=x x ax x x f 是偶函数， 当0≥a 时，)2,2(,0sin cos )(ππ-∈>+=x x ax x x f 恒成立， 函数)2,2(,sin cos )(ππ-∈+=x x ax x x f 无零点， 当0<a 时，)2,0(,0cos sin )1(cos sin sin )(π∈<+-=++-='x x ax x a x ax x a x x f ，∴函数)(x f 在)2,0(π上单调递减，∵02)2(,01)0(<=>=a f f ππ，∴)(x f 在)2,0(π上只有一个零点，由)(x f 是偶函数可知，函数)2,2(,sin cos )(ππ-∈+=x x ax x x f 恰有两个零点.12.D 设222),0,(b a c c F -=-， 设),(11y x P ，要使得PFPA 是常数，则有])[()(21212121y c x y a x ++=++λ，λ是常数，∵,22121b y x =+∴)2(2212212c cx b a ax b ++=++λ，比较两边系数得)(2222c b a b +=λ，c a λ=，故)()(2222c b a a b c +=+，即3322a c ca =-，即0123=+-e e ，即0)1)(1(2=-+-e e e ，又10<<e ，∴215-=e . 13.2 x a x a C T 32325310)(==,∴80103=a ，解得2=a .14.]1,21(-∵⎩⎨⎧>+≤≤-012,222x x ，∴121≤<-x .15.2)1(+n n 当1=n 时，2112a a S =，即2112a a a =，∴22=a . 当2≥n 时，12+=n n n a a S ，n n n a a S 112--=，两式相减得)(211-+-=n n n n a a a a ， ∵0≠n a ，∴211=--+n n a a ，∴{}12-k a ，{}k a 2都是公差为2的等差数列，又11=a ，22=a ， ∴{}n a 是公差为1的等差数列，∴n n a n =⨯-+=1)1(1，∴=n S 2)1(+n n . 16.38 设正三棱锥ABC P -的底面积为0S ，侧面积为S 3，高为h ，斜高为h '，底面边长为a ，内切球的半径为r . 由等积转换得r S r S h S V ⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=313313100，即031S S h +=，∴a h h 2331'=-， ∴aa h h 1232122+⋅=-，∴222212)1(a a h h +=-，解得h h h a 212222-=， )2(23433122>-=⋅⋅=h h h h a V ，22)2()4(3--='h h h V ，令0='V 得4=h ， 故当4=h 时，38min =V . 17.解：（1）332sin sin )sin(sin cos sin cos tan 1tan 1=+=+=+C A C A C C A A C A ，（2分） 又∵c b a ,,成等比数列，得ac b =2，由正弦定理有C A B sin sin sin 2=，（3分）∵B C A -=+π，∴B C A sin )sin(=+，得332sin sin 2=B B ，即23sin =B ，（5分） 由ac b =2知，b 不是最大边，∴3π=B .（6分）（2）∵ABC ∆外接圆的面积为π4，∴ABC ∆的外接圆的半径2=R ，（7分）由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得acb c a B 2cos 222-+=，又ac b =2，∴21cos ≥B .当且仅当c a =时取等号，又∵B 为ABC ∆的内角，∴30π≤<B ，（9分）由正弦定理R Bb2sin =，得B b sin 4=.（10分） ∴ABC ∆的面积B B b B ac S ABC 32sin 8sin 21sin 21===∆，（11分）∵30π≤<B ，∴23sin 0≤<B ，∴]33,0(∈∆ABC S .（12分） 18.解：（1）∵变量y x ,具有线性负相关关系，∴甲是错误的.（2分） 又∵,480,396161==∑∑==i i i iy x∴80,5.6==y x ，满足方程1064+-=x y ，故乙是正确的.（4分） 由,480,396161==∑∑==i i i iy x得90,8==b a .(6分）（2）由计算可得“理想数据”有3个，即)75,8(),83,6(),90,4(，故3,2,1,0=ξ.(7分）ξ的分布列为201)0(363303===C C C P ξ，209)1(362313===C C C P ξ，209)2(361323===C C C P ξ，201)3(360333===C C C P ξ， 列表如下：∴2203202201200=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .（12分） 19.（1）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接PO ， ∵ABCD 为菱形，∴O 为BD AC ,的中点.（1分）∵PC PA =，∴AC PO ⊥.∵PD PB =，∴BD PO ⊥.（3分）又O BD AC = ，∴≠⊂BD AC ,平面ABCD ，∴⊥PO 平面ABCD ，（4分）又≠⊂PO 平面PAC ，∴平面⊥PAC 平面ABCD .（5分）（2）不妨设2===AB PD PB ，∵ABCD 为菱形，60=∠ABC ，∴ABC ∆为正三角形,BD AC ⊥，1=PO ，（7分）依题意建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，)0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(-D C B P .（8分）),1,0,3(),1,1,0(),1,0,3(--=-=-=PD PC PB设平面PCD 的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,0，即⎩⎨⎧=--=-03,0z x z y 令1=x 得)3,3,1(--=m .(10分）7217232,cos =⋅=>=<， ∴直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为721. 20.解：（1）依题意得),2(),,2(p p B p p A -， 由px y 2=，得pxp y 2='，∴抛物线C 在A 处的切线斜率为1，（1分） 由抛物线C 的对称性，知抛物线C 在B 处的切线卸斜率为1-，（2分） ∴4221=⋅⋅p p ，解得2=p .（3分） ∴抛物线C 的方程为x y 42=.（4分）（2）由已知可得4-=⋅O B O A k k ，设),,41(),,41(222121y y N y y M 则4161222121-=⋅=⋅y y y y k k ON OM ， ∴421-=y y .（6分）令直线MN 的方程为n ty x +=，联立方程组⎩⎨⎧+==nty x x y ,42消去x 得0442=--n ty y ，（7分）则t y y n y y 4,42121=+-=，∵421-=y y ，∴1=n .(8分） ∴121616214)(2121222122121+=+=-+=-=∆t t y y y y y y S OMN .（10分） ∵02≥t ，∴2≥∆OMN S .（11分）综上所示，OMN ∆面积的取值范围是),2[+∞.（12分）21.解：（1）∵x e x g =')(，设曲线)(x g y =在点),(11xe x 处切线过原点，则切线方程为x e y x 1=，∵点),(11x e x 在切线上，∴111x e e x x ⋅=，∴11=x ，∴切线方程为ex y =，（2分）设直线ex y =与曲线)(x f y =切于点),(22y x ， ∵x a x x f 12)(-+='，∴e x a x x f =-+='22212)(，∴2212x x e a +-=.（3分） 又∵22222ln ex x ax x =-+，∴2222222ln )12(ex x x x x e x =-+-+， ∴01ln 222=-+x x ，解得12=x ，∴1-=e a .（4分）故存在1-=e a 及ex y l =:，使得直线l 与曲线)(),(x g y x f y ==均相切.（5分）（2）x e x ax x x F ln )(2-+=，x ex x a x a x x F ln 1)2()(2+-+-+-='，（6分） 令x x a x a x x h ln 1)2()(2+-+-+-=，则a x x x x h -+++-='2112)(2， 易知)(x h '在]1,0(上单调递减，从而a h x h -='≥'2)1()(.（8分）①当02≥-a 时，即2≤a 时，0)(≥'x h ，)(x h 在区间]1,0(上单调递增，∵0)1(=h ，∴0)(≤x h 在]1,0(上恒成立，即0)(≤'x F 在]1,0(上的恒成立.∴)(x F 在区间]1,0(上的单调递减，∴2≤a 满足题意.（10分）②当02<-a 时，即2>a 时，∵02)1(<-='a h ，当0>x 且0→x 时，+∞→')(x h ， 故函数)(x h '存在唯一零点]1,0(0∈x ，且)(x h 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减， 又∵0)1(=h ，∴)(x F 在)1,(0x 上单调递增.注意到),0(,0)(0x e e h a a ∈<--，∴)(x F 在),0(a e -上单调递减，这与)(x F 在区间]1,0(上是单调函数矛盾，∴2>a 不合题意.综合①②得，a 的取值范围是]2,(-∞.（12分）22.解：（1）由弦切角定理得，BCE ABE ∠=∠.（1分）∵CBE ABE ∠=∠，∴CE BE BCE CBE =∠=∠,.（3分）又∵BE DE ⊥，∴DE 是直径， 90=∠DCE .（4分）由勾股定理得DC DB =.（5分）（2）设DE 与BC 相交于点G ，由（1）知，DC DB BDE CDE =∠=∠,，故DG 是BC 的中垂线.（6分） ∵,3=BC ∴23=BG .（7分） 连接BO ，∵圆O 的半径为1，∴ 60=∠BOG ， 30=∠=∠=∠CBE BCE ABE ，∴BF CF ⊥.（9分），∴23=BF .（10分）23.解：曲线C 的直角坐标方程为0422=+-y x x ，即4)2(22=+-y x .（1分）得⎩⎨⎧=+-=ααsin ,cos 1t y t x 代入上式并整理得05cos 62=+-αt t .（2分） （1）令020)cos 6(2=-=∆α，解得5,32sin ,35cos ===t αα.（4分） ∴点M 的直角坐标为)352,32(.（5分） （2）设B A ,两点对应的参数分别为21,t t ，则αcos 621=+t t .（6分） 线段AB 的中点对应的参数为αcos 32210=+=t t t .（8分） 则21cos 312=+-α，解得4,22cos παα==.（9分） ∴直线l 的普通方程为01=+-y x .（10分）24.（1）⎪⎩⎪⎨⎧-≤<<--≥-=1,2,11,2,1,2)(x x x x x f （2分） 由1)(<x f 得1)(1<<-x f ，∴121<-<-x .（4分） 即2121<<-x ，不等式1)(<x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2121x x .（5分） （2）当0=a 时，不等式)()(a f x f a ≥恒成立，此时R x ∈.（6分）当0≠a 时，问题等价于不等式aa f x f )()(≥对任意),0()0,(+∞-∞∈ a 恒成立， ∵2)11()11(111111)(=++-≤+--=+--=aa a a a a a a a f .（8分） 当且仅当0)11)(11(≤+-aa 时，即01<≤-a 或10≤<a 时，取等号， ∴2)(≥x f ，此时1-≤x ，∴实数x 的取值范围是]1,(--∞.（10分）。

2016年江西省南昌三中高考数学模拟试卷（文科）（五）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）1．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）2．已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是（）A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或23．复数z满足z（3﹣4i）=1（i是虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．4．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=e x B．y=lnx2C．y=D．y=sinx5．若点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线6．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A． +++1 B．2+3π++1 C． ++D．+++17．“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．若直线通过点M（cosα，sinα），则（）A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．9．函数是（）A．以4π为周期的偶函数 B．以2π为周期的奇函数C．以2π为周期的偶函数 D．以4π为周期的奇函数10．已知函数，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N+）且对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m﹣n）（a m﹣a n）＞0，那么实数a的取值范围是（）A．[，3） B．（，3） C．（2，3）D．（1，3）11．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36π B．64π C．144πD．256π12．已知函数f（x），对∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称f（x）为“三角形函数”，已知函数f（x）=mcos2x+msinx+3是“三角形函数”，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，） B．[﹣2，] C．[0，] D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知函数f（x）=（1﹣3m）x+10（m为常数），若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且a1=2，则数列{a n}的前10项的和为．14．若函数f（x）=k•cosx的图象过点P（，1），则该函数图象在P点处的切线倾斜角等于．15．若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为．16．设F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2=，则双曲线C的离心率是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数．（1）求函数f（x）的周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点，若b+c=2a，且=6，求a的值．18．某校男女篮球队各有10名队员，现将这20名队员的身高绘制成如图所示茎叶图（单位：cm）．男队员身高在180cm以上定义为“高个子”，女队员身高在170cm以上定义为“高个子”，其他队员定义为“非高个子”．用分层抽样的方法，从“高个子”和“非高个子”中共抽取5名队员．（Ⅰ）从这5名队员中随机选出2名队员，求这2名队员中有“高个子”的概率；（Ⅱ）求这5名队员中，恰好男女“高个子”各1名队员的概率．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．20．已知椭圆M：（a＞b＞0），点F1（﹣1，0）、C（﹣2，0）分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F1的直线l（不与x轴重合）交M于A，B两点．（1）求椭圆M的标准方程；（2）若，求△AOB的面积；（3）是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．已知a为实数，函数f （x）=a•lnx+x2﹣4x．（1）是否存在实数a，使得f （x）在x=1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f （x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=2alnx+x2﹣5x﹣，若存在x0∈[1，e]，使得f （x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2016年江西省南昌三中高考数学模拟试卷（文科）（五）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）1．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集的定义求得∁R B，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩（∁R B）．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，∴∁R B={x|x≤﹣1，或 x＞5}，则A∩（∁R B）={x|﹣3＜x≤﹣1}，故选：C．2．已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是（）A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】当k﹣3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k﹣3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值．【解答】解：由两直线平行得，当k﹣3=0时，两直线的方程分别为 y=﹣1 和 y=，显然两直线平行．当k﹣3≠0时，由=≠，可得 k=5．综上，k的值是 3或5，故选 C．3．复数z满足z（3﹣4i）=1（i是虚数单位），则|z|=（）A．B．C．D．【考点】复数求模．【分析】直接通过复数方程两边求模，化简求解即可．【解答】解：复数z满足z（3﹣4i）=1（i是虚数单位），可得|z（3﹣4i）|=1，即|z||3﹣4i|=1，可得5|z|=1，∴|z|=，故选：D．4．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=e x B．y=lnx2C．y=D．y=sinx【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可．【解答】解：y=，y=e x为（0，+∞）上的单调递增函数，但不是偶函数，故排除A，C；y=sinx在整个定义域上不具有单调性，排除D；y=lnx2满足题意，故选：B．5．若点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线【考点】抛物线的定义．【分析】把直线x=﹣1向左平移一个单位变为x=﹣2，此时点P到直线x=﹣2的距离等于它到点（2，0）的距离，这就是抛物线的定义．【解答】解：因为点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，所以点P到直线x=﹣2的距离等于它到点（2，0）的距离，因此点P的轨迹为抛物线．故选D．6．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A． +++1 B．2+3π++1 C． ++D．+++1【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图求出圆锥母线，高，底面半径．余下部分的几何体的表面积应为剩余的圆锥侧面，圆锥底面，截面三角形三部分面积之和．【解答】解：由三视图求得，圆锥母线l==，圆锥的高h==2，圆锥底面半径为r==，截去的底面弧的圆心角为直角，截去的弧长是底面圆周的，圆锥侧面剩余，S1=πrl==底面剩余部分为S2==+1另外截面三角形面积为S3==所以余下部分的几何体的表面积为S1+S2+S3=++1+．故选A7．“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性．【分析】由“λ＜1”可得 a n+1﹣a n＞0，推出“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”．由“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”，不能推出“λ＜1”，由此得出结论．【解答】解：由“λ＜1”可得 a n+1﹣a n=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n﹣2λ+1＞0，故可推出“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”，故充分性成立．由“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”可得 a n+1﹣a n=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n﹣2λ+1＞0，故λ＜，故λ＜，不能推出“λ＜1”，故必要性不成立．故“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的充分不必要条件，故选A．8．若直线通过点M（cosα，sinα），则（）A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．【考点】恒过定点的直线．【分析】由题意可得（bcosα+asinα）2=a2b2，再利用（bcosα+asinα）2≤（a2+b2）•（cos2α+sin2α），化简可得．【解答】解：若直线通过点M（cosα，sinα），则，∴bcosα+asinα=ab，∴（bcosα+asinα）2=a2b2．∵（bcosα+asinα）2≤（a2+b2）•（cos2α+sin2α）=（a2+b2），∴a2b2≤（a2+b2），∴，故选D．9．函数是（）A．以4π为周期的偶函数 B．以2π为周期的奇函数C．以2π为周期的偶函数 D．以4π为周期的奇函数【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．【分析】先根据奇偶性的定义判断函数为偶函数，再根据周期性的定义确定选项即可．【解答】解：，所以函数f（x）是偶函数f（4π+x）=f（x）≠f（2π+x）故4π是函数f（x）的一个周期．故选A．10．已知函数，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N+）且对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m﹣n）（a m﹣a n）＞0，那么实数a的取值范围是（）A．[，3） B．（，3） C．（2，3）D．（1，3）【考点】数列与函数的综合．【分析】由函数f（x）=，数列a n满足a n=f（n）（n∈N*），且对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m﹣n）（a m﹣a n）＞0，我们得函数f（x）=为增函数，根据分段函数的性质，我们得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得a＞1，且3﹣a＞0，且f（7）＜f（8），由此构造一个关于参数a的不等式组，解不等式组即可得到结论．【解答】解：∵对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m﹣n）（a m﹣a n）＞0，∴数列{a n}是递增数列，又∵f（x）=，a n=f（n）（n∈N*），∴1＜a＜3且f（7）＜f（8）∴7（3﹣a）﹣3＜a2解得a＜﹣9，或a＞2故实数a的取值范围是（2，3）故选C．11．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36π B．64π C．144πD．256π【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．12．已知函数f（x），对∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称f（x）为“三角形函数”，已知函数f（x）=mcos2x+msinx+3是“三角形函数”，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，） B．[﹣2，] C．[0，] D．（﹣2，2）【考点】三角函数的最值．【分析】若f（x）=mcos2x+msinx+3是“三角形函数，则，分类讨论，即可求出m的取值范围．【解答】解：若f（x）=mcos2x+msinx+3是“三角形函数，则，∵f（x）=mcos2x+msinx+3=﹣m（sinx﹣）2+m+3，当m＞0时，f（x）min=f（﹣1）=﹣m+3，f（x）max=f（）=m+3，则，解得0，当m=0时，f（a）=f（b）=f（c）=3，符合题意，当m＜0时，f（x）max f（﹣1）=﹣m+3，f（x）min=f（）=m+3，则，解得﹣＜m＜0，综上所述m的取值范围为（﹣，），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知函数f（x）=（1﹣3m）x+10（m为常数），若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且a1=2，则数列{a n}的前10项的和为﹣340 ．【考点】数列的求和．【分析】由题意可得a1=f（1）=1﹣3m+10=2，可解得：m=3，从而可得数列为等差为﹣8的等差数列，由求和公式即可得解．【解答】解：∵f（x）=（1﹣3m）x+10（m为常数），若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且a1=2，∴a1=f（1）=1﹣3m+10=2，可解得：m=3，∴a n=f（n）=﹣8n+10，即数列为等差为﹣8的等差数列，∴数列{a n}的前10项的和S=10×=﹣340．故答案为：﹣340．14．若函数f（x）=k•cosx的图象过点P（，1），则该函数图象在P点处的切线倾斜角等于．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】把点P（，1）代入解析式求出k的值，由求导公式求出f′（x），由导数的几何意义求出切线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角．【解答】解：因为f（x）=k•cosx的图象过点P（，1），所以1=k•cos，解得k=2，则f（x）=2cosx，所以f′（x）=﹣2sinx，所以在点P（，1）处的切线斜率是﹣2sin=﹣，则在P点处的切线倾斜角是，故答案为：．15．若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为．【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点A时，从而得到b值即可．【解答】解：由约束条件作出可行域（如图），当平行直线系y=﹣2x+z经过可行域内的点A（，）时，z取得最小值，即2×+=3，解之得b=．故答案为：．16．设F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2=，则双曲线C的离心率是 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣x，由垂直的条件可得FA的方程，代入渐近线方程，可得A，B的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣x，由FA的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=x，可得A的横坐标为，由FA的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=﹣x，可得B的横坐标为．由2=，可得2（﹣c）=﹣c，即为﹣c=，由e=，可得﹣1=，即有e4﹣5e2+4=0，解得e2=4或1（舍去），即为e=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数．（1）求函数f（x）的周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点，若b+c=2a，且=6，求a的值．【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+），易得周期，解不等式2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得单调递增区间；（2）由（1）和A∈（0，π）可得A=，再由向量式可得bc=12，结合余弦定理可得．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=2cos2x﹣1+sin（﹣2x）=cos2x﹣cos2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（2）由f（A）=sin（2A+）=可得2A+=2kπ+或2A+=2kπ+（k∈Z），由A∈（0，π）可得A=，又=bccosA=bc=6，∴bc=12，∴cosA==﹣1=﹣1，解得a=218．某校男女篮球队各有10名队员，现将这20名队员的身高绘制成如图所示茎叶图（单位：cm）．男队员身高在180cm以上定义为“高个子”，女队员身高在170cm以上定义为“高个子”，其他队员定义为“非高个子”．用分层抽样的方法，从“高个子”和“非高个子”中共抽取5名队员．（Ⅰ）从这5名队员中随机选出2名队员，求这2名队员中有“高个子”的概率；（Ⅱ）求这5名队员中，恰好男女“高个子”各1名队员的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）由茎叶图可得选出2名队员的方法有10种，有“高个子”的选取方法有7种，记得结论；（Ⅱ）由茎叶图可得选出2名队员的方法有28种，其中男女“高个子”各1名队员的抽法有16种，记得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意及茎叶图可得：“高个子”共8名队员，“非高个子”共12名队员，共抽取5名队员，所以从“高个子”中抽取2名队员，记这5名队员中“高个子”为C1，C2，“非高个子”队员为D1，D2，D3，选出2名队员有：C1C2，C1D1，C1D2，C1D3，C2D1，C2D2，C2D3，D1D2，D1D3，D2D3，共10中选取方法，有“高个子”的选取方法有7种，所以选取2名队员中有“高个子”的概率是；（Ⅱ）记“高个子”男队员分别为A1，A2，A3，A4，记“高个子”女队员分别为B1，B2，B3，B4，从中抽出2名队员有：，共28种抽法，其中男女“高个子”各1名队员的抽法有16种，所以男女“高个子”各1名队员的概率是．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA1，可通过证明AB⊥平面OA1C得要证的结论；（Ⅱ）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1⊥OC，再根据OA1⊥AB，得到OA1为三棱柱ABC ﹣A1B1C1的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B．因为CA=CB，所以OC⊥AB．由于AB=AA1，，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB．因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C．又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以．又，则，故OA1⊥OC．因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．又△ABC的面积，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．20．已知椭圆M：（a＞b＞0），点F1（﹣1，0）、C（﹣2，0）分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F1的直线l（不与x轴重合）交M于A，B两点．（1）求椭圆M的标准方程；（2）若，求△AOB的面积；（3）是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）通过左焦点、左顶点的坐标可知，进而可得结论；（2）通过两点式可知直线l的方程为：，并与椭圆方程联立可得B点纵坐标，进而利用三角形面积公式计算即得结论；（2）通过设B（x0，y0）（﹣2＜x0＜2），利用=0即=0，化简即可．【解答】解：（1）由F1（﹣1，0）、C（﹣2，0）得：．…∴椭圆M的标准方程为：；…（2）因为，F1（﹣1，0），所以过A、F1的直线l的方程为：，即，…解方程组，得，…∴；…（2）结论：不存在直线l使得点B在以AC为直径的圆上．理由如下：设B（x0，y0）（﹣2＜x0＜2），则．假设点B在以线段AC为直径的圆上，则=0，即=0，因为C（﹣2，0），F1（﹣1，0），所以==，…解得：x0=﹣2或﹣6，…又因为﹣2＜x0＜﹣6，所以点B不在以AC为直径的圆上，即不存在直线l，使得点B在以AC为直径的圆上．…21．已知a为实数，函数f （x）=a•lnx+x2﹣4x．（1）是否存在实数a，使得f （x）在x=1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f （x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=2alnx+x2﹣5x﹣，若存在x0∈[1，e]，使得f （x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）假设存在实数a，使f （x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，解出a的值，根据x=1的左右均为增函数，则x=1不是极值点．（2）先对f（x）进行求导，在[2，3]上单调增，则f'（x）≥0在[2，3]上恒成立．求得a 的取值范围．（3）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数h（x）=x+在[1，e]上的最小值小于零．对h（x）求导．求出h（x）的最小值即可．【解答】解：（1）函数f （x）定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x﹣4=假设存在实数a，使f （x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，∴a=2，…2分此时，f′（x）=，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f （x）递增；当x＞1时，f′（x）＞0，f （x）递增．∴x=1不是f （x）的极值点．故不存在实数a，使得f （x）在x=1处取极值．…4分（2）f′（x）=，①当a≥2时，∴f′（x）≥0，∴f （x）在（0，+∞）上递增，成立； (6)分②当a＜2时，令f′（x）＞0，则x＞1+或x＜1﹣，∴f （x）在（1+，+∞）上递增，∵f （x）在[2，3]上存在单调递增区间，∴1+＜3，解得：﹣6＜a＜2综上，a＞﹣6．…10分（3）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数h（x）=x+在[1，e]上的最小值小于零．=，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，所以h（x）的最小值为q，由h（e）=e+可得a＞，因为，所以a＞；…12分②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜﹣2；…14分③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）最小值为h（1+a）=2+a﹣aln（1+a），因为0＜ln（1+a）＜1，所以，0＜aln（1+a）＜a故h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）＜0成立．综上可得所求a的范围是：或a＜﹣2．…16分解法二：由题意得，存在x∈[1，e]，使得a（lnx﹣）＞x+成立．令m（x）=lnx﹣，∵m（x）在[1，e]上单调递增，且m（1）=﹣1＜0，m（e）=1﹣＞0故存在x1∈（1，e），使得x∈[1，x1）时，m（x）＜0；x∈（x1，e]时，m（x）＞0故存在x∈[1，x1）时，使得a＜成立，…（☆）或存在x∈（x1，e]时，使得a＞成立，…（☆☆）…12分记函数F（x）=，F′（x）=当1＜x≤e时，（x2﹣1）lnx﹣（x+1）2=（x2﹣1）•∵G（x）=lnx﹣=lnx﹣﹣1递增，且G（e）=﹣＜0∴当1＜x≤e时，（x2﹣1）lnx﹣（x+1）2＜0，即F′（x）＜0∴F（x）在[1，x1）上单调递减，在（x1，e]上也是单调递减，…14分∴由条件（☆）得：a＜F（x）max=F（1）=﹣2由条件（☆☆）得：a＞F（x）min=F（e）=综上可得，a＞或a＜﹣2．…16分．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．【考点】圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CE•BE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=∴∠ACB=60°[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．ρ[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得 [2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．。

2016—2017学年度“三模”考试高三数学（理）试卷一、选择题1、已知集合2{|10}A x x =-=， {}1,2,5B =-，则A B ⋂=（ ）A. {}1,2-B. {}1-C. {}1,5-D. ∅2、已知复数2z m i =+，且()2i z +是纯虚数，则实数m =（ ）A. 1B. 2C. -1D. -23、设随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ,若()P c a ξ>=，则(4)P c ξ>-=（ ）A ．aB ．a -1C ．a 2D ．a 21- 4、下列满足()()f x f x '=的其中一个函数是（ ）A ．()1f x x =-B ．()f x x =C ．()0f x =D ．()1f x = 5、 阅读下列程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（ ）A. 4B. 5C.6D.76、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A.163π B. 3π C. 29π D. 169π7、《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：今有垣（墙，读音）厚五尺，两鼠对穿，大鼠日穿（第一天挖）一尺，小鼠也日穿一尺.大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）. 问何日（第几天）两鼠相逢（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48、过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若35AB CD ≥，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦9、已知函数f （x ）=，则下列关于函数y=f[f （kx ）+1]+1（k≠0）的零点个数的判断正确的是（ ）A ． 当k ＞0时，有3个零点；当k ＜0时，有4个零点B ． 当k ＞0时，有4个零点；当k ＜0时，有3个零点C ． 无论k 为何值，均有3个零点D ． 无论k 为何值，均有4个零点10、在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ ）A. 4B.8C. 16D. 3211、已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，若有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n N*∈）的前n 项和等于3231，则n 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．712、已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），12017a =，22016a =， n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2017S 的值为（ ）A ．2017×2016 B.2016 C.2017 D.1 二、填空题：13、O 为ABC ∆内一点，且20OA OB OC ++=， ABC ∆和OBC ∆的面积分别是ABC S ∆和OBC S ∆，则OBCABCS S ∆∆的比值是__________． 14、函数()()2sin 2,cos 223(0)36f x x g x m x m m ππ⎛⎫⎛⎫=+=--+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,对任意10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,存在20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得()()12g x f x =成立, 则实数m 的取值范围是 ． 15、若数列{}n a 是等差数列，对于)(121n n a a a nb +++=，则数列{}n b 也是等差数列.类比上述性质，若数列{}n c 是各项都为正数的等比数列，对于0>n d ，则n d = 时，数列{}n d 也是等比数列.16、已知直线1()4y k x =+与曲线y x =恰有两个不同的交点，记k 的所有可能取值构成集合A ；P (x ，y )是椭圆221169y x +=上一动点，111(,)P x y 与点P 关于直线y ＝x ＋1对称，记114y -的所有可能取值构成集合B ，若随机的从集合A ，B 中分别抽出一个元素12,λλ，则12λλ>的概率是___________ 三、解答题17、（本小题满分12分）已知n m x f ⋅=)(，其中)1,cos 2(x m =，)2sin 3,cos (x x n =)(R x ∈．（1）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若2)(=A f ，2a =，求ABC ∆ 的周长的取值范围．18 、（本小题满分12分）2016年11月20日-22日在江西省南昌市举行了首届南昌国际马拉松赛事，赛后某机构用“10分制”调查了很多人（包括普通市民，运动员，政府官员，组织者，志愿者等）对此项赛事的满意度．现从调查人群中随机抽取16名，如图茎叶图记录了他们的满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）（2）若满意度不低于9.5分，则称该被调查者的满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极满意”的概率；（3）（3）以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极满意”的人数，求ξ的分布列及数学期望． （4）19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2.(1)证明：DE ⊥平面ACD ； (2)求二面角B －AD －E 的大小．20．（本小题满分12分）如图，椭圆2212210x y C a b a b+=：（＞＞）的离心率为32，x 轴被曲线22C y x b =-：截得的线段长等于1C 的长半轴长．（1）求1C 的方程；（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A 、B ，直线MA ，MB 分别与1C 相交于D ，E ． （i ）证明：MD ME ⊥；（ii ）记MAB △，MDE △的面积分别是1S ，2S ．问：是否存在直线l ，使得121723S S =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分）设定义在区间[]12,x x 上的函数()y f x =的图像为C ，1122,()),())A x f x B x f x （、（,且()(),M x f x 为图像C 上的任意一点，O 为坐标原点，当实数λ满足()121x x x λλ=+-时，记向量()1ON OA OB λλ=+-,若MN k ≤恒成立，则称函数()y f x =在区间[]12,x x 上可在标准k 下线性近似，其中k 是一个确定的正数。

南昌三中2015—2016学年度第三次模拟考试高三数学（理）试卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1．设集合错误！未找到引用源。

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中元素的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．复数z 满足()1i z i +=，则z =（ ）A ．1+iB ．1i -C ．1i --D ．1+i -3．有3个不同的社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为（ ）A ．13 B ．12 C ．23 D ．344．下列判断错误的是（ ）A ．若q p ∧为假命题，则q p ,至少之一为假命题 B. 命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ” C ．“若//且//，则//”是真命题 D ．“若22bm am <，则b a <”的否命题是假命题5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点与抛物线x y 202=的焦点重合，且其渐近线方程为x y 34±=，则双曲线C 的方程为（ ） A ．221916x y-= B ．221169x y -= C ．2213664x y -= D ．2216436x y -= 6．二项式3(ax -(0a >)的展开式的第二项的系数为22ax dx -⎰的值为( )(A) 73 (B) 3 (C)3或73 (D)3或103-7. 已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列，则231a a a +等于（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 8.已知实数x y ，满足52180,20,30,x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k 的最大值是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．39. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，这个空间几何体的顶点均在同一个球面上，则此球的体积与表面积之比为( )A ．31B ．13C ．41D ．3210. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）A ．1007B ．2015C ．2016D ．302411．已知椭圆：2221(02)4x y b b+=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22||||BF AF +的最大值为5，则b 的值是（ ）A ．1BC ．32D 12. 若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数f (x )的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则称点(A ，B )是函数f (x )的一个“姊妹点对”．点对(A ，B )与(B ，A )可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x (x <0)2ex (x ≥0)， 则f (x )的“姊妹点对”有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知x ，y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝________.14．已知偶函数f(x)，当 [)0,2x ∈时， ()2sin f x x =，当 [)2,x ∈+∞时， 2()log f x x = 则 ()(4)3f f π-+= .15．已知正项数列{n a }，1a ＝2，(n a ＋1)n a ＋2＝1，2a ＝6a ，则11a ＋12a ＝________． 16．已知O 是锐角△ABC 的外心，B ＝30°，若cos sin A C BA ＋cos sin CABC ＝λBO ，则λ＝_________．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c o s2B C－－sinB ·sinC ＝24．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若a ＝4，求△ABC 面积的最大值．18（本小题满分12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[]2000,0，(]4000,2000，(]6000,4000，(]8000,6000，(]10000,8000五组，并作出如下频率分布直方图（图1）： （Ⅰ）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如右下表格，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率. 现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ. 若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望()E ξ和方差()D ξ.附：临界值表随机量变22()()()()()()a b c d a d b cK a b c d a c b d +++-=++++19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ， △PAD 是等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形， ∠ADC ＝120°,AB ＝2AD ．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PBD ； （Ⅱ）求二面角A －PB －C 的余弦值．20．已知椭圆2222:1x y C a+=(0)a b >>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -=相切，过点(4,0)P 且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求OA OB ⋅的取值范围；（3）若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．21（本小题满分12分）已知函数()x exf x e=，()2ln g x ax x a =--（,a R e ∈为自然对数的底数）. （1）求()f x 的极值；（2）在区间(0,]e 上，对于任意的0x ，总存在两个不同的12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求a 的取值范围.请考生在第22—24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 22．选修4-4 几何证明选讲如图，BC 是圆O 的直径，点F 在弧BC 上，点A 为弧BF 的中点，作AD BC ⊥于点D ，BF 与AD 交于点E ，BF 与AC 交于点G ． （1）证明：AE BE =；（2）若9AG =，7GC =，求圆O 的半径．23．选修4-4 极坐标与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，曲线13cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）求曲线1C 的普通方程；（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．24．已知函数()|||2|f x x m x =---.（1）若函数()f x 的值域为[4,4]-，求实数m 的值；（2）若不等式()|4|f x x ≥-的解集为M ，且[2,4]M ⊆，求实数m 的取值范围.高三数学（理）答案一、选择题（每小题5分，共60分）1． A2． B 3． A 4． C 5． A 6． B 7. C 8. B 9. B 10. D 11．D A ． 12. C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1.4514. 2+15．2591+ 16．1三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17.解：（I ）由422si n si n 2cos2-=⋅--C B C B ，得()cos sin sin 24B C B C --⋅=，所以()cos 2B C +=-. 所以)cos 02A A π=<<，即4π=A . （Ⅱ）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得()bc bc c b 2221622-≥-+=，当且仅当cb =时取等，即()228+≤bc . 所以)1sin 42ABC S bc A ∆==≤.所以ABC ∆面积的最大值为)4.18（本小题满分12分）（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，经济损失超过4000元的有30人，则表格数据如下22100(60101020)=4.76280207030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯.因为4.762 3.841>，( 3.841)0.05p k ≥=.所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关． （Ⅱ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率.由题意知ξ的取值可能有0,1,2,3，3~(3,)10B ξ，()100034310710303003=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ，()100044110710312113=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ，()1000189********223=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛==C P ξ，()10002710710330333=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ，从而ξ的分布列为3()30.910E np ξ==⨯=，37()(1)30.631010D np p ξ=-=⨯⨯=19．（本小题满分12分）（I ）证明：在平行四边形ABCD 中,令1=AD ,则BD =，在ABD ∆中,222AB BD AD =+，所以BD AD ⊥. 又平面⊥PAD 平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAD .所以平面⊥PAD 平面PBD . （II ）由（I ）得BD AD ⊥，以D 为空间直角原点， 建立空间直角坐标系xyz D -，如图所示，令1=AD ，()()()1100,01022A B C P ⎛- ⎝⎭，，，，，，, ()()1313031002AB PB BC ⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎝⎭，，，，，，，，， 设平面PAB 的法向量为()111,,x y z =n ，则0,0,AB PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得111110,10,2x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令11y =，得111x z ==， 所以平面PAB 的法向量为)=n ； 设平面PBC 的法向量为()222,,x y z =m ，0,0,BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即22220,10,2x x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩令22z =，得21y =， 所以平面PBC 的法向量为()0,1,2=m . 所以3cos ,5⋅<>==n m n m n m ，所以所求二面角C PB A --的余弦值为35-.20．试题解析：（1）由题意知12c e a ==，∴22222214c a b e a a -===，即2243a b =，又b ==224,3a b ==，故椭圆的方程为22143x y +=． （2）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)y k x =-， 由22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：2222(43)3264120k x k x k +-+-=，由2222(32)4(43)(6412)0k k k ∆=--+->，得：214k <，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+，①∴22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++∴22222121222264123287(1)41625434343k k OA OB x x y y k k k k k k -⋅=+=+-+=-+++∵2104k ≤<，∴28787873434k -≤-<-+，∴13[4,)4OA OB ⋅∈-，∴OA OB ⋅的取值范围是13[4,)4-．（3）证明：∵B E 、两点关于x 轴对称，∴22(,)E x y -，直线AE 的方程为121112()y y y y x x x x +-=--，令0y =得：112112()y x x x x y y -=-+， 又11(4)y k x =-，22(4)y k x =-，∴12121224()8x x x x x x x -+=+-，由将①代入得：1x =，∴直线AE 与x 轴交于定点(1,0)．21（本小题满分12分）试题解析：（1）因为e ()e x xf x =，令()0f x '=，得1x =． 当(),1x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x ∈∞+时，()0f x '<，()f x 是减函数．所以()f x 在1x =时取得极大值()11f =，无极小值． （2）由（1）知，当(0,1)x ∈时，()f x 单调递增；当(]1,e x ∈时，()f x 单调递减.又因为1e(0)0,(1)1,(e)e e 0f f f -===⋅>，所以当(0,e]x ∈时，函数()f x 的值域为(]0,1. 当0a =时，()2ln g x x =-在(0,e]上单调，不合题意；当0a ≠时，所以对任意给定的(]00,e x ∈，在区间(]0,e 上总存在两个不同的1x ， 2x请考生在第22—24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 22．选修4-4 几何证明选讲如图，BC 是圆O 的直径，点F 在弧BC 上，点A 为弧BF 的中点，作AD BC ⊥于点D ，BF 与AD 交于点E ，BF 与AC 交于点G ． （1）证明：AE BE =；（2）若9AG =，7GC =，求圆O 的半径．22.试题解析：（1）连接AB ，因为点A 为的中点， 故BA AF =，ABF ACB ∴∠=∠又因为AD BC ⊥，BC 是O 的直径，BAD ACB ∴∠=∠ ABF BAD ∴∠=∠ AE BE ∴=（2）由ABG ACB ∆∆知2916AB AG AC =⋅=⨯ 12AB =直角ABC ∆中由勾股定理知20BC =圆的半径为1023．选修4-4 极坐标与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，曲线13cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）． （1）求曲线1C 的普通方程；（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值． 23.试题解析：（1）由3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩得cos 3sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22cos sin 1a α+=得22194x y += （2）曲线C 的普通方程是：2100x y +-=设点(3cos ,2sin )M αα，由点到直线的距离公式得：)10d αϕ==--其中34cos ,sin 55ϕϕ== 0αϕ∴-=时，min d =98(,)55M 24．已知函数()|||2|f x x m x =---.（1）若函数()f x 的值域为[4,4]-，求实数m 的值；（2）若不等式()|4|f x x ≥-的解集为M ，且[2,4]M ⊆，求实数m 的取值范围.24.试题解析：(1) 由不等式的性质得：222x m x x m x m ---≤--+=- 因为函数()f x 的值域为[]4,4-，所以24m -=，即24m -=-或24m -=所以实数=2m -或6.(2) ()4f x x ≥-，即24x m x x ---≥-当24x ≤≤时，4+2+4+22x m x x x m x x -≥--⇔-≥--=， 2x m -≥，解得：2x m ≤-或2x m ≥+，即解集为(],2m -∞-或[)2,m ++∞， 由条件知：+220m m ≤⇒≤或246m m -≥⇒≥所以m 的取值范围是(][),06+-∞∞，.。