7.5 正态性检验

正态性检验确定您绘制样本所基于的总体是否呈非正态分布的单样本假设检验。

许多统计过程均依赖于总体正态性，且使用正态性检验确定否定此假设是不是分析中的重要步骤。

正态性检验的原假设假定总体为正态分布。

备择假设假定总体为非正态分布。

要确定样本数据是否来自非正态总体，您可以从四种检验中进行选择。

图形方法您可以使用正态概率图来评估总体正态性，如果样本的总体呈正态分布，该图将根据您期望它们接近的值绘制顺序数据值。

如果总体呈正态分布，绘制的点将大致形成一条直线。

正态数据的概率图非正态数据的概率图Anderson-Darling 检验此检验是将样本数据的经验累积分布函数与假设数据呈正态分布时期望的分布进行比较。

如果实测差异足够大，该检验将否定总体呈正态分布的原假设。

Ryan-Joiner 正态性检验此检验通过计算数据与数据的正态分值之间的相关性来评估正态性。

如果相关系数接近 1，则总体就很有可能呈正态分布。

Ryan-Joiner 统计量可以评估这种相关性的强度；如果它未达到适当的临界值，您将否定总体呈正态分布的原假设。

此检验类似于 Shapiro-Wilk 正态性检验。

Kolmogorov-Smirnov 正态性检验此检验是将样本数据的经验累积分布函数与假设数据呈正态分布时期望的分布进行比较。

如果实测差异足够大，该检验将否定总体呈正态分布的原假设。

如果这些检验的 p 值低于您选择的 a 水平，您可以否定原假设并断定总体呈非正态分布。

“粗笔检验”一种非正式的近似正态性检验，称为“粗笔检验”，常应用于概率图。

想象有一支“粗笔”从拟合线上划过：如果它覆盖了图中的所有数据点，则数据可能为正态分布；如果图中的点距离拟合线很远以致粗笔边缘之外还有很多点，则数据可能为非正态分布。

这种非正式的方法并不能代替正态性检验的统计推断，但它可以作为一种有用的快速直观评估方式。

在下列图形中，将粗笔检验应用到了上面的概率图中。

灰色带形就表示在拟合线上划的粗笔。

正态性检验方法简介一、 Anderson-Darling 检验Anderson —Darling 检验（简称A-D 检验）是一种拟合检验，此检验是将样本数据的经验累积分布函数与假设数据呈正态分布时期望的分布进行比较，如果差异足够大，该检验将否定总体呈正态分布的原假设。

样本数据的经验累积分布函数与理论累积分布函数之间的差异可通过两种分布之间的二次AD 距离进行衡量，若二次AD 距离小于置信水平下的临界值，则可认为样本数据来源于正态分布。

Anderson-Darling 检验的计算步骤如下：1. 提出假设：样本数据服从正态分布:0H ；分布不服从正态样本数据:0H ； 2. 计算统计量2A ，其计算步骤为：➢ 首先将样本数据按照从小到大的顺序进行排序并编号，排在第i 位的数据为i x ；➢ 其次进行样本数据的标准化，计算公式如下：Sxx Y i i -=（式1-1） 其中，x 为所有样本数据的平均值，S 为所有样本数据的标准差。

➢ 接着计算)(i Y F ，计算公式为)()(i i Y Y F φ=（式1-2）其中，其中φ为标准正态分布函数，可查表获得。

➢ 最后A 2值，计算公式如下：[]{})(1ln )(ln )12(1112i N iNi YF Y F i NN A -+=-+---=∑（式1-3）其中，N 为样本总个数，i 为样本序号3. 计算判定统计量2'A ，计算公式为：)25.275.01(222'NN A A ++= (式1-4) 4. 查找临界值：根据给定的显著性水平α，查《Anderson-Darling 临界值表》,得到临界值2'αA ；5. 作出判定：若2'A ≥2'αA ，则在α水平上，拒绝0H ,即认为样本数据不服从正态分布；若2'A <2'αA ，则不能拒绝0H ，即认为样本数据服从正态分布。

例1. 采用Anderson-Darling 判断表1中的数据是否符合正态分布。

正态性检验的几种常用的方法本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！0引言正态分布是自然界中一种最常见和最重要的一种分布.以正态总体为前提的统计方法也已经被越来越多的教学、科研工作者所掌握.但是，在一个实际问题中，总体一定是正态总体吗？如果不顾这个前提是否成立，盲目套用公式，可能影响统计方法的效果，因此,正态性检验是统计方法应用中的重要问题.但一般的数理统计教材中，关于正态性检验方法只介绍/拟合优度检验,但该方法不仅对正态分布且对其他分布也适用，对正态性检验不具有特效.本文在查阅了该问题的大量文献的基础上，结合正态分布的特点介绍了几种常见的正态性检验方法,并对各种方法的优劣点作了简要介绍.本文的结构安排如下,第一部分介绍了正态分布的一些基本知识,第二部分首先介绍定性的正态性检验:利用概率纸检验,其次简要介绍/拟合优度检验;再次介绍了正态性检验的特效方法:W检验与D检验,最后介绍有方向性的正态性检验:峰度检验与偏度检验.第三部分简要地比较了各种检验法的优劣性.1正态分布的基本知识正态分布的概念定义1若随机变量X的密度函数为另我们称p=0，a=1的正态分布为标准正态分布,记为X?N(0，1),标准正态分布随机变量的密度函数和分布函数分别用由引理可知,任何正态分布都可以通过标准正态分布表示.若X~N(p,,a2),则3=0,3k=3若随机变量的分布函数F(x)可表示为：F(x)=(1-s)Fj(x)+sF2(x)(0彡s3.注：引理1、2、3、的证明见参考文献1和引理5的证明见参考文献M.2几种常见的正态性检验方法利用概率纸检验分布的正态性正态概率纸的构造正态概率纸是一种具有特殊刻度的坐标纸，它能使由正态变量的取值x和相应的分布函数值F(x)组成的数对(x,F(x))在这张纸上呈一条直线.因此，它计算使用简单方便.关于利用概率纸检验分布的正态性的原理，由于篇幅有限,不便阐述,见参考文献2].下面重点介绍利用概率纸检验总体正态性假设的一般步骤：1)把从总体中获得的n个样本观测值按由小到大的次序排列成:x(0(2)忘 (x)2)将数(x(l),n /4)(i=1,2,?…,n)画在正态概率纸上3)观察这n个点的位置,进行判断.如果这些点明显地不成一条直线,则拒绝总体正态性的假设；如果各点离直线的偏差都不大，可以认为总体近似服从正态分布.这时可以凭直觉画一条直线,使它离各点的偏离程度尽可能的小，其中在纵轴刻度为50%附近各点离直线的偏差要优先照顾,使其尽可能的小,并且使直线两边的点数大致相等.另外，若发现有些点系统地偏离直线,在拒绝总体正态性假设后，可以考虑其他分布类型.特别地,如果几个较大的值明显地倾向于由其他值确定的直线的下方,考虑函数变换y=log(x)或y=槡x后,总体是否服从正态分布.同时,利用概率纸还可以估计正态分布的参数,和a.虽然不够精确,但十分简便.正态概率纸法的应用例1对某种高温合金钢的15个试样在580°C的温度和/mm2的压力下进行试验,其断裂时间为t(单位:小时），表1给出了按由小到大的次序排列的xw,及对数变化下的值lg(10x(4))(k=1,2,?…,15),试用正态概率纸法分析高温合金钢的寿命分布.解将这15个结果值分别同和丨8(10k))组成点分别画在两张正态概率纸上，来检查这组结果值是否构成一条直线,是否服从正态分布（见图1).图1的左图是由(x(k),所呈现的结果，可以看见这些点不成一条直线.图1的右图是由（x(k),lg(10x(k)))所呈现的结果，可以看到这些点明显接近一条直线，所以说这些观测值的对数为正态分布的假设是适当的.利用概率纸检验分布的正态性,靠的是人的视觉，主观性较强,所以检验的方法必须由定性的转为定量的.下面介绍几种定量的检验方法./拟合优度检验当我们通过试验取得一系列数据后，经常会遇到总体正态性假设的检验：W检验与D检验．2．3W检验与D检验检验检验的一般步骤W检验是在1965年提出，检验的基本步骤如下：1)建立原假设H：X服从正态分布；2)把从总体中获得的n个样本观测值按由小到大的次序排列成:x(1)(2)忘 (x)3)选择恰当的统计量W为：其中b/2]表示n/2的整数部分；系数A(W)可查W检验的系数表，Xx(.)-x]2i=1n/2]表示数n/2的整数部分.4)根据给定的检验水平a和样本容量n查W检验统计量W的p分位数得统计量W的a分位数Wa.5)计算并判断:给定样本值x1,?…,x?,计算W并与Wa比较,若WWa,所以不拒绝原假设.虽然W检验是一种有效地正态性检验方法,但它一般只适用于容量为3至50的样本，随着n的增大，一般用于计算分位数的分布拟合的技术不能使用.检验1971年,提出了D检验，该检验不需要附系数表，另外，它适用于的样本容量n的范围为：50耷n耷检验的基本步骤如下：1)建立原假设H：X服从正态分布；2)把从总体中获得的n个样本观测值按由小到大的次序排列成:x(1)(2)Hxu)3)选择恰当的统计量Y为：4)根据给定的检验水平a和样本容量n查D检验统计量Y的p分位数,得统计量Y的a/2分位数Ya/2和1-a/2分位数5)计算并判断:给定样本值x1,?…,x?计算y并与及Y1_f比较,若YY1_f则拒绝札,反之,则不能拒绝H.注：有关D检验的原理及D检验的分位数表见参考文献6].以上两种检验需要提供分位数表及统计量的计算较为繁琐，下面介绍另外两种正态性检验的方法:偏度检验与峰度检验．偏度检验与峰度检验2．4．1偏度检验设x〖,?…，xn为来自总体X的一组样本，由引理4知，若X服从正态分布,则偏度为0.若有一组数据x〖,…，x?,观察发现数据有正偏度或负偏度的倾向，就在偏度方向产生了对正态性假设的怀疑.因此，把总体正态性检验转化成原假设札：3s=0的检验.偏度检验的一般步骤如下：1)根据实际问题中的先验信息建立原假设札：3=0与备择假设H：3s>0,或H：30时,若bs>bs(1-a)则拒绝H,反之,则不能拒绝H；②当备择假设为H：3s3或H13时,若bk>bk(1-a)则拒绝H,反之,则不能拒绝H.②当备择假设为H：3ka1).测量偏差服从混合正态分布,混合正态分布的定义见定义4,由引理5知测量偏差的分布的峰度3>3,因此给出备择假设为圮：3k>3,把表3的数据代入公式（10),其中n=40;经计算得\=,取检验水平a=,查\的p分位数表得\()=,因为>,因而拒绝原假设,认为总体为峰度大于3的分布.3结束语正态分布,称为有方向的检验.如果实际问题中不具备该信息,则无法使用该方法来检验.因此,我们在使用以上方法进行正态性检验时一定要注意具体问题中所包含的信息,从中适宜的检验方法．本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！。

正态性检验安德森-达令检验、柯尔莫哥洛夫-斯米诺夫检验、雅克-贝拉检验、偏度检验、峰度检验、爱泼斯-普利检验、夏皮洛-威尔克检验。

有些统计方法只适用于正态分布或近似正态分布资料，如用均数和标准差描述资料的集中或离散情况，用正态分布法确定正常值范围及用t检验两均数间相差是否显著等，因此在用这些方法前，需考虑进行正态性检验。

正态分布的特征是对称和正态峰。

分布对称时众数和均数密合，若均数-众数>0，称正偏态。

因为有少数变量值很大，使曲线右侧尾部拖得很长，故又称右偏态；若均数-众数<0称负偏态。

因为有少数变量值很小，使曲线左侧尾部拖得很长，故又称左偏态，见图7.1(a)。

正态曲线的峰度叫正态峰，见图7.1(b)中的虚线，离均数近的或很远的变量值都较正态峰的多的称尖峭峰，离均数近或很远变量值都较正态峰的少的称平阔峰。

图7.1频数分布的偏度和峰度正态性检验的方法有两类。

一类对偏度、峰度只用一个指标综合检验，另一类是对两者各用一个指标检验，前者有W法、D法、正态概率纸法等，后者有动差法亦称矩法。

现仅将W法与动差法分述于下；1．W法此法宜用于小样本资料的正态性检验，尤其是n≤50时，检验步骤如下；（1）将n个变量值Xi从小至大排队编秩。

X1<X2<……<XN< p>见表7.5第（1）栏，表中第（2）、第（3）栏是变量值，第（2）栏由上而下从小至大排列，第（3）栏由下而上从小至大排列。

第（4）栏是第（3）栏与第（2）栏之差。

（2）由附表5按n查出ain系数列入表7.5第（5）栏，由于当n为奇数时，对应于中位数秩次的ain为0，所以中位数只列出，不参加计算。

第（6）栏是第（5）栏与第（4）栏的乘积。

（3）按式（7.8）计算W值羈（7.8）式中分子的∑，当n 是偶数时，为的缩写，当n 是奇数时为的缩写，表7.5第（6）栏的合计平方后即为分子。

分母按原始资料计算。

（4）查附表6得P 值，作出推断结论，按n 查得W （n ，α），α是检验前指定的检验水准，若W>W （n ，α）则在α水准上按受H0，资料来自正态分布总体，或服从正态分布；若W≤W （n ，α），则在α水准上拒绝H0，接受H1，资料非正态。

正态性检验和方差齐性检验计算均数、方差、标准差、变异系数、进行t检验、u检验的先决条件有两个：一是总体呈正态分布，二是两组数据所来自的总体方差齐。

如何断定一个样本来自于正态总体呢？这要进行正态性检验。

最常用的方法有两种：一是矩法检验，二是P-P图和Q-Q图，三是正态性D检验或W检验。

正态性检验1．矩法2．P-P图/Q-Q图PP图和QQ图原理一样，都是用图形来大致检测数据是否服从某种分布的。

以PP图为例，横坐标是某检验分布的概率值，纵坐标是观测数据的经验分布的概率值（谁作横坐标谁作纵坐标无所谓）。

如果数据服从检验分布，那么图形画出来应该是一条直线（对角线）；至于QQ图，只不过把概率换成了分位点而已。

红细胞数组中值频数累计频数累计频率概率单位420- 430 2 2 1.4 2.8 440- 450 4 6 4.2 3.27 460- 470 7 13 9.0 3.66 480- 490 16 29 20.1 4.16 500- 510 20 49 34.0 4.59 520- 530 25 74 51.4 5.04 540- 550 24 98 68.1 5.47 560- 570 22 120 83.3 5.97 580- 590 16 136 94.4 6.59 600- 610 2 138 95.8 6.73 620- 630 5 143 99.3 7.46 640-660 650 1 144 100.087654324005006007003．正态性D 检验 正态性W 检验Shapiro-Wilk 即正态性W 检验统计量。

Kolmogorov-Smirnov test 的原理是寻找最大距离（Distance ）， 所以常称为D 法。

当N≤2000时正态性检验用Shapiro-Wilk 统计量，N>2000时用Kolmogorov D 统计量。

∑∑-+-=nx x n x n i D i/)(]2/)1([24W=[∑a in (X a-i+1-X i )]2 /∑(X -X )2方差齐性检验2221S S F =111-=n ν 122-=n ν（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

正态性检验的基本原理和步骤：
正态性检验有多种方法可供选择。

结合我们所学，可以通过雅克-贝拉检验（即JB 检验）的方法来做。

其中，n 为样本容量，S 为偏度，K 为峰度。

雅克和贝拉证明，在正态性假定下（即原假设为该组数据服从正态分布），则由该组数据计算的JB 统计量渐进地（即要求该检验应尽量在大样本条件下进行）服从自由度为2的χ2分布。

如果在一项应用中计算出来的JB 统计量的值大于给定显著性水平下的临界值， 则拒绝正态分布的原假设。

反之则无法拒绝。

许多软件可以直接计算JB 统计量的值和对应的P 值。

Excel 则需要我们在偏度与峰度系数的基础上，计算JB 统计量的值，并与给定显著性水平下自由度为2的χ2分布临界值进行比较，得出结论。

22(3)64n K JB S ⎡⎤-=+⎢⎥⎣⎦。

7.5正态分布教学设计新知导入：情景：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400 g.由于各种不可控制的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差,则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐,获得误差X的观测值(单位:g)如下:(1) 如何描述这100个样本误差数据的分布?(2) 如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布?可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如图.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积之和为1.观察图形可知:误差观测值有正有负,并大致对称地分布在X=0的两侧,而目小误差比大误差出现得更频繁.随着样本数据量越来越大,让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知,频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线.新知讲解：正态分布函数f(x)=1σ√2πe−(x−u)22σ2,x∈R ,μ∈R ,σ>0 为正态密度函数，称它的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线.若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X 服从正态分布，记为X~N(μ，σ2)。

μ，σ分别表示总体的平均数与标准差。

特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.思考：观察正态曲线及相应的密度函数，可以发现正态曲线有哪些特点？1、曲线是单峰的，关于直线x=μ对称2、曲线在x=μ处达到峰值3、当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴4、曲线与x轴之间的面积为1.思考：一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有什么影响？它们反映正态分布的哪些特征？当参数σ取值固定时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移。

当参数μ取值固定时，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X 的分布比较分散。

正态性检验的一般方法汇总1. 引言正态性检验是统计学中一项重要的方法，用于确定数据是否服从正态分布。

正态分布在许多统计分析和假设检验中起着关键的作用，因此正态性检验对于数据分析的准确性和可靠性至关重要。

本文将综合介绍正态性检验的一般方法，包括直方图和正态概率图的可视化检验方法以及统计量检验方法。

2. 直方图检验直方图是一种用柱状图表示数据分布情况的可视化工具。

在正态性检验中，直方图可以帮助我们初步判断数据是否服从正态分布。

具体操作时，我们将数据划分为若干个区间，并统计每个区间内数据的频数。

如果直方图呈现钟形曲线，则表明数据具有较好的正态性。

反之，如果直方图呈现偏态分布，则可能说明数据不符合正态分布。

3. 正态概率图检验正态概率图是一种常用的正态性检验方法，其基本原理是将数据的分位数与标准正态分布的分位数进行比较。

通过在图上绘制数据的累积分布函数与标准正态分布的理论分布函数之间的关系，我们可以直观地判断数据是否服从正态分布。

在正态概率图中，数据点应当分布在一条直线上，如果数据点在直线上，则说明数据分布接近正态分布。

4. 统计量检验除了可视化方法，我们还可以使用统计量进行正态性检验。

常见的统计量检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验、Shapiro-Wilk检验和D'Agostino-Pearson检验等。

这些检验方法都基于假设检验的原理，通过计算统计量并与理论分布进行比较，从而判断数据是否服从正态分布。

4.1 Kolmogorov-Smirnov检验Kolmogorov-Smirnov检验是一种常见的非参数检验方法，用于检验数据是否来自特定的分布。

在正态性检验中，Kolmogorov-Smirnov检验可以用来检验数据是否符合正态分布。

该检验基于经验分布函数和理论分布函数之间的最大差异，通过计算统计量并与临界值进行比较，可以判断数据的正态性。

4.2 Shapiro-Wilk检验Shapiro-Wilk检验是一种适用于小样本数据的正态性检验方法，其原理是通过计算统计量来衡量数据与正态分布之间的偏差程度。

正态性检验的方法与意义正态性检验是统计学中常用的一种方法，用于检验数据是否符合正态分布。

正态分布是统计学中最重要的分布之一，许多统计方法都基于数据服从正态分布的假设。

因此，对于数据是否符合正态分布的检验具有重要的意义。

本文将介绍正态性检验的方法和其意义。

一、正态性检验的方法正态性检验的方法有多种，常用的方法包括：1. 直方图和正态概率图：直方图是一种常用的可视化方法，可以通过观察数据的分布情况初步判断是否符合正态分布。

正态概率图则是将数据的累积分布函数与正态分布的累积分布函数进行比较，如果数据点大致位于一条直线上，则说明数据符合正态分布。

2. Shapiro-Wilk检验：Shapiro-Wilk检验是一种常用的正态性检验方法。

该方法基于样本数据与正态分布的理论值之间的差异来判断数据是否符合正态分布。

如果p值小于设定的显著性水平（通常为0.05），则拒绝原假设，即数据不符合正态分布。

3. Kolmogorov-Smirnov检验：Kolmogorov-Smirnov检验也是一种常用的正态性检验方法。

该方法通过计算样本数据的累积分布函数与正态分布的理论值之间的最大差异来判断数据是否符合正态分布。

如果计算得到的检验统计量大于临界值，则拒绝原假设，即数据不符合正态分布。

4. Anderson-Darling检验：Anderson-Darling检验是一种较为严格的正态性检验方法。

该方法通过计算样本数据的累积分布函数与正态分布的理论值之间的差异来判断数据是否符合正态分布。

如果计算得到的检验统计量大于临界值，则拒绝原假设，即数据不符合正态分布。

二、正态性检验的意义正态性检验的意义在于判断数据是否符合正态分布，从而决定是否可以应用基于正态分布的统计方法。

具体来说，正态性检验的意义包括以下几个方面：1. 合理选择统计方法：许多统计方法都基于数据服从正态分布的假设，如果数据不符合正态分布，则需要选择其他适用的统计方法。