【成才之路】2020版高中数学 1-3-1同步练习 新人教B版选修2-2

选修2-2 1.1.2一、选择题1．已知物体做自由落体运动的方程为s (t )＝12gt 2，若Δt →0时，s1＋Δt －s 1Δt无限趋近于9.8m/s ，则正确的说法是( )A ．9.8m/s 是物体在0～1s 这段时间内的速度B ．9.8m/s 是物体在1s ～(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．9.8m/s 是物体在t ＝1s 这一时刻的速度D ．9.8m/s 是物体从1s ～(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度 [答案] C[解析] 由瞬时速度的定义可知选C ，某一时刻和某一时间段是两个不同的物理概念． 2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 [答案] B[解析] 由导数的定义可知选B.3．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则t ＝2s 时，此木块在水平方向的瞬时速度为( ) A ．1 B.18 C.12 D.14 [答案] C[解析] Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，Δs Δt ＝12＋18Δt ，则s ′|t ＝2＝lim Δt →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋18Δt ＝12.故选C.4．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 [答案] A[解析] f ′(1)＝lim x →1f x －f 1x －1＝lim x →1a ＝a ＝2.故选A. 5．若f ′(x 0)＝2，则lim k →0 f x 0－k －f x 02k等于( )A ．－1B ．－2C ．1 D.12 [答案] A [解析] lim k →0f x 0－k －f x 02k＝－12·lim k →0 f [x 0＋－k ]－f x 0－k＝－12f ′(x 0)＝－1.故选A.6．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C7．已知函数y ＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.448．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0 [答案] B [解析] lim h →0 f x 0＋h －f x 0－hh＝lim h →02⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0＋h －f x 0－h 2h＝2lim h →0f x 0＋h －f x 0－h2h＝2f ′(x 0)．9．一物体作直线运动，其运动方程为s (t )＝－3t 2＋t ，则该物体的初速度为( ) A ．－3 B ．－2 C ．0 D ．1 [答案] D[解析] ∵Δs ＝－3(0＋Δt )2＋(0＋Δt )－(－3×02＋0) ＝－3(Δt )2＋Δt .Δs Δt ＝－3Δt ＋1.∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(－3Δt ＋1)＝1. 10．设f (x )＝x ·(1＋|x |)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．不存在 [答案] B[解析] f ′(0)＝lim Δx →0f 0＋Δx －f 0Δx＝lim Δx →0 Δx 1＋|Δx |Δx＝lim Δt →0 (1＋|Δx |)＝1.故选B.11．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则 lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx ＝________.lim x →x 0f x －f x 02x 0－x＝________.[答案] －11 －112[解析] lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx＝－lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－f ′(x 0)＝－11；lim x →x 0f x －f x 02x 0－x ＝－12lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝－12f ′(x 0)＝－112.12．已知函数y ＝x 3，当x ＝2时，lim Δx →0 Δy Δx ＝________. [答案] 12[解析] lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2＋Δx 3－23Δx＝lim Δx →0Δx3＋6Δx2＋12ΔxΔx＝lim Δx →0[(Δx )2＋6Δx ＋12]＝12. 13．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵Δy ＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－11＝Δx －1＋11＋Δx ＝Δx21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx1＋Δx， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 Δx1＋Δx＝0. 14．一物体的运动方程为s ＝7t 2－13t ＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. [答案] 1 [解析] lim Δt →0 Δs Δt＝lim Δt →0 7t 0＋Δt 2－13t 0＋Δt ＋8－7t 20＋13t 0－8Δt＝lim Δt →07Δt 2＋14Δt ·t 0－13ΔtΔt＝lim Δt →0 (7Δt ＋14t 0－13) ＝14t 0－13 令14t 0－13＝1， ∴t 0＝1. 三、解答题15．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度； (2)求质点在t ＝1时的瞬时速度．[解析] (1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)质点在t ＝1时的瞬时速度v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(－6－3Δt )＝－6. 16．利用导数的定义求函数y ＝x 2＋1的导数． [解析] 因为Δy ＝x ＋Δx2＋1－x 2＋1＝x ＋Δx 2＋1－x 2－1x ＋Δx 2＋1＋x 2＋1 ＝2x Δx ＋Δx2x ＋Δx2＋1＋x 2＋1， 所以Δy Δx＝2x ＋Δxx ＋Δx2＋1＋x 2＋1.所以f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝2x x 2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1. 17．已知一物体的运动方程是s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，0≤t <3，29＋3t －32，t ≥3，求此物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．[解析] 当t ＝1时，Δs ＝3(Δt ＋1)2＋2－3×12－2＝3Δt 2＋6Δt ， ∴Δs Δt＝3Δt ＋6，∴lim Δt →0 ΔsΔt ＝6， 即当t ＝1时的瞬时速度为6.当t ＝4时，Δs ＝29＋3(Δt ＋4－3)2－29－3(4－3)2＝3Δt 2＋6Δt ， ∴ΔsΔt＝3Δt ＋6， ∴lim Δt →0 Δs Δt＝6， 即当t ＝4时的瞬时速度为6.18．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求适合f ′(x 0)＋5＝g ′(x 0)的x 0值． [解析] 由导数的定义可知f ′(x 0)＝lim Δx →0＝x 0＋Δx 2－x 2Δx ＝2x 0，g ′(x 0)＝lim Δx →0 x 0＋Δx 3－x 3Δx＝3x 20，因为f ′(x 0)＋5＝g ′(x 0)，所以2x 0＋5＝3x 20， 即3x 20－2x 0－5＝0 解得：x 0＝－1或x 0＝53.。

阶段性测试题十(选修1－2综合能力检测) 时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是( )A．a＋1b>b＋1aB.ba>b＋1a＋1C．a＋1a>b＋1bD.2a＋ba＋2b>ab[答案] A[解析] 由a>b>0得1b>1a>0，两式相加得a＋1b>b＋1a.2．变量y与x之间的回归方程( )A．表示y与x之间的确定关系B．表示y与x之间的不确定关系C．反映y与x之间的真实关系D．反映y与x之间真实关系达到的最大限度的吻合[答案] D3．下列说法中，正确的是( )①回归方程适用于一切样本和总体；②回归方程一般都有时间性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．A．①②B．②③C．③④ D．①③[答案] B[解析] ①回归方程只适用于我们所研究的样本和总体，故①错误．④回归方程得到的预报值可能是取值的平均值，故④是错误的．4．已知数列{an }的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a 4，猜想an＝( )A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－1[答案] B[解析] 当n＝2时，S2＝22·a2，a1＋a2＝4a2又∵a1＝1，∴a2＝13＝22×(2＋1)当n＝3时，S3＝9a3，∴a1＋a2＋a3＝9a3∴1＋13＋a3＝9a3，∴a3＝16＝23×(3＋1)当n＝4时，S4＝16a4，∴a1＋a2＋a3＋a4＝16a4，∴a4＝110＝24×(4＋1)猜想an＝2n(n＋1).5．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是( ) A．a k＋a k＋1＋…＋a2kB．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2kD．a k－1＋a k＋…＋a2k－2[答案] D[解析] 由归纳推理可知D正确．6．复数z满足方程|z＋21＋i|＝4，那么复数z的对应点P组成的图形为( ) A．以(1，－1)为圆心，4为半径的圆B．以(1，－1)为圆心，2为半径的圆C．以(－1,1)为圆心，4为半径的圆D．以(－1,1)为圆心，2为半径的圆[答案] C[解析] |z＋21＋i|＝|z＋(1－i)|＝|z－(－1＋i)|＝4，设－1＋i的对应点为C(－1,1)，则|PC|＝4，因此动点P的轨迹是以C(－1,1)为圆心，4为半径的圆．7．(2020·浙江文，3)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则2z＋z2＝( )A．1＋i B．－1＋iC．1－i D．－1－i[答案] A[解析] 本小题主要考查复数及其运算．∵z＝1＋i，∴2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝2(1－i)2＋2i＝1＋i.故选A.8．“复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”是“b≠0”的( )A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．非必要非充分条件[答案] C[解析] 由复数的有关概念，复数为纯虚数的充要条件是实部为零而虚部不为0.9．使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝n(n＋1)12(an2＋bn＋c)对一切正整数n都成立的常数a、b、c的值为( ) A．a＝3，b＝11，c＝10B．a＝2，b＝11，c＝10C．a＝3，b＝9，c＝10D．满足条件的a、b、c不存在[答案] A[解析] 由等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝n(n＋1)12(an2＋bn＋c)对一切正整数n 都成立的常数a 、b 、c 一定满足n ＝1，n ＝2，n ＝3成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧1·22＝1×(1＋1)12(a ＋b ＋c)1·22＋2·32＝2(2＋1)12(4a ＋2b ＋c)1·22＋2·32＋3·(3＋1)2＝3(3＋1)12(9a ＋3b ＋c)，∴a＝3，b ＝11，c ＝10，故选A. 10．下述流程图输出d 的含义是( )A ．点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离B ．点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的平方 C ．点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离倒数D ．两条平行线间的距离 [答案] A[解析] 由流程图知d 表示点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离． 11．已知f(x)＝sin π3(x ＋1)－3cos π3(x ＋1)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝( )A ．2 3 B. 3 C ．1D ．0[答案] D[解析] ∵f(x)＝2sin π3x，∴f(x)的周期T＝6，∴原式＝335×(f(1)＋f(2)＋…＋f(6))＝0，故选D.12．某一算法流程图如图，输入x＝1的结果( )A.32B．0C．－112D．－92[答案] D[解析] 由流程图可得y＝12×1－5＝－92.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．观察下列等式：1＝1，1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5，……猜想第n个式子为________．[答案] 1－22＋32＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)．14．设z ＝(4－3i)4(3－i)6(1－i)12，则|z|＝__________.[答案] 625[解析] ∵z＝(4－3i)4(3－i)6(1－i)12∴|z|＝|4－3i|4·|3－i|6|1－i|12＝54·26(2)12＝54＝625. 15．(2020·安徽文，12)程序框图(即算法流程图)如右图所示，其输出结果是________．[答案] 127[解析] 本题考查程序框图的基本知识．输入a ＝1，循环一次时，a ＝3，循环二次时，a ＝7，循环三次时，a ＝15，循环四次时，a ＝31，循环五次时，a ＝63，循环六次时，a ＝127，此时循环终止，输出127.16．有下列说法：①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法．②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．③通过回归方程y ^＝b ^x ＋a ^及其回归系数b ^，可以估计和观测变量的取值和变化趋势．④因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验．其中正确命题是________．[答案] ①②③三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)调查某桑场采桑员和辅助工关于桑毛虫皮炎发病情况结果如表：利用2×2认为两者有关系会犯错误的概率是多少？[解析] 因为a＝18，b＝12，c＝5，d＝78，所以a＋b＝30，c＋d＝83，a＋c＝23，b＋d＝90，n＝113.所以χ2＝n(ad－bc)3(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝113×(18×78－5×12)230×83×23×90≈39.6>6.635.所以有99%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系．认为两者有关系会犯错误的概率是1%.18．(本题满分12分)求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．[证明] ∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，∴a2＋b2≥22|a＋b|≥22(a＋b)，同理b2＋c2≥22(b＋c)，c2＋a2≥22(c＋a)，∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c)．19．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1. (1)求a 2、a 3、a 4.(2)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式． [解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得a n ＝2－1a n －1，代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得 a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97.(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得 (a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)， 即1a n －1－1a n －1－1＝1，所以{1a n －1}是等差数列． 由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1， 变形得a n －1＝22n －1， 所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的通项公式． 20．(本题满分12分)2020年一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间位于192吨到3246吨，船员的人数从5人到32人，船员的人数关于船的吨位的回归分析得到如下结果：船员人数＝9.1＋0.006×吨位．(1)假定两艘轮船相差1000吨，船员平均人数相差是多少？(2)对于最小的船估计的船员数为多少？对于最大的船估计的船员数是多少？[解析] (1)船员平均人数之差＝0.006×吨位之差＝0.006×1000＝6，∴船员平均相差6；(2)最小的船估计的船员数为9．1＋0.006×192＝9.1＋1.152＝10.252≈10(人)． 最大的船估计的船员数为9．1＋0.006×3246＝9.1＋19.476＝28.576≈28(人)．21．(本题满分12分)设i是虚数单位，f(x)＝ix.(1)求f(i)，f(f(i))，f(f(f(i)))，f(f(f(f(i))))；(2)求f(i)＋f(f(i))＋…＋的值．[解析] (1)由题意可知f(x)＝ix，∴f(i)＝i2＝－1，∴f(f(i))＝f(－1)＝－i，f(f(f(i)))＝f(－i)＝1，f(f(f(f(i))))＝f(1)＝i.(2)结合(1)可知＝f(i)＝－1，从而f(x)＝ix是周期为T＝4的周期函数，且f(i)＋f(f(i))＋f(f(f(i)))＋f(f(f(f(i))))＝－1－i＋1＋i＝0，又2020＝501×4＋3∴f(i)＋f(f(i))＋…＋＝f(i)＋f(f(i))＋f(f(f(i))) ＝－1＋(－i)＋1＝－i.22．(本题满分14分)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若m，n∈[－1,1]，m＋n≠0时，有f(m)＋f(n)m＋n>0.(1)证明：f(x)在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f(x＋12)<f(1x－1)；(3)若f(x)≤t2－2at＋1对任意x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围．[解析] (1)任取－1≤x1<x2≤1，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)＋f(－x2)x1－x2·(x1－x2)．因为－1≤x1<x2≤1，所以x1＋(－x2)≠0.由已知f(x 1)＋f(－x 2)x 1－x 2>0，又x 1－x 2<0，所以f(x 1)－f(x 2)<0， 即f(x)在[－1,1]上为增函数．(2)因为f(x)在[－1,1]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x＋12≤1－1≤1x －1≤1x ＋12<1x －1.解得{x|－32≤x <－1，x∈R}．(3)由(1)可知，f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(1)＝1，故对x∈[－1,1]，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t 2－2at ＋1对任意x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，需t 2－2at ＋1≥1成立，故t 2－2at≥0，记g(a)＝t 2－2at ，对a∈[－1,1]，g(a)≥0恒成立，只需g(a)在[－1,1]上的最小值大于等于0，所以⎩⎨⎧g(－1)≥0g(1)≥0，即⎩⎨⎧t 2＋2t≥0t 2－2t≥0.所以⎩⎨⎧t≥0或t≤－2t≥2或t≤0.所以t≥2或t≤－2或t ＝0.即实数t 的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。

选修2-2 1.1.3一、选择题1．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．165°[答案] B[解析] ∵y ＝12x 2－2， ∴y ′＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋Δx 2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2Δx ＝lim Δx →0 x ·Δx ＋12Δx 2Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12Δx ＝x . ∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.故选B. 2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在[答案] B[解析] 切线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，即f ′(x 0)＝－12＜0.故选B. 3．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线[答案] C[解析] 根据导数的几何意义可知，曲线在某点处的切线斜率为该点的导数，因此C 正确．故选C.4．(2020·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－x －1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x －2[答案] A[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.5．曲线y ＝1x 在点P (1,1)处的切线方程是( ) A ．x ＋y ＋2＝0 B ．x ＋y －2＝0C ．y －1＝－1x2(x －1) D ．y －1＝1x2(x －1) [答案] B[解析] 斜率k ＝lim Δx →0 11＋Δx －1Δx ＝lim Δx →0 －Δx 1＋Δx Δx＝－1. 所以切线方程为y －1＝－1×(x －1)．故选B.6．设f (x )为可导函数，且满足lim －2x →0f 1－f 1－2x 2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2[答案] B[解析] 根据导数的定义知f ′(1)＝－1.故选B.7．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点的切线方程是( ) A ．y ＝－4x －1B ．y ＝4x －1C ．y ＝4x ＋8D ．y ＝4x 或y ＝4x －4[答案] B[解析] 由3＝2a (a )2＋1得a ＝1或a ＝－1(舍)．又y ′|x ＝1＝4，所以切线方程为y －3＝4(x －1)，即y ＝4x －1.故选B.8．(2020·辽宁文，12)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4) B ．[π4，π2) C ．(π2，3π4] D ．[3π4，π) [答案] D[解析] 考查导数的几何意义、均值不等式及三角不等式∵y ′＝－4e x e x ＋12 ∴tan x ＝－4e x e x ＋12＝－4e x e x 2＋2e x ＋1＝－4e x ＋1ex ＋2， ∵e x ＞0∴e x ＋1ex ≥2(当且仅当x ＝0时取等号) ∴e x ＋1ex ＋2≥4， ∴0＜4e x ＋1ex ＋2≤1， ∴－1≤tan α＜0，∵α∈[0，π)，∴α∈[34π，π)． 故选D.9．y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B.14C.12D ．1[答案] B [解析] y ′＝2ax ，设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1，∴x 0＝12a. ∵切点在直线y ＝x 上，∴y 0＝12a代入y ＝ax 2＋1得12a ＝14a＋1 ∴a ＝14.故选B. 10．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标是( ) A ．(1,0)B ．(－1，－4)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(0,1)或(4,1)[答案] C[解析] 设P 0(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝3x 20＋1＝4， 所以x 0＝±1.因此P 0(1,0)或(－1，－4)．故选C.二、填空题11．曲线y ＝x 2－3x 在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－94 [解析] ∵y ′＝2x －3，令y ′＝0，得x ＝32， 代入曲线方程y ＝x 2－3x 得y ＝－94. 12．抛物线y ＝x 2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －5，则点P 的坐标为________．[答案] (2,4)[解析] lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx＝2x ， 令2x ＝4，∴x ＝2，即在点(2,4)处的切线平行于直线y ＝4x －5.13．曲线f (x )＝x 3在点A 处的切线的斜率为3，则该曲线在点A 处的切线方程为____________．[答案] 3x －y －2＝0或3x －y ＋2＝0[解析] 设点A (x 0，x 30)，则k ＝f ′(x 0)＝3x 20＝3.∴x 0＝±1.∴切点的坐标为(1,1)或(－1，－1)，∴所求的切线方程为y －1＝3(x －1)或y ＋1＝3(x ＋1)，即3x －y －2＝0或3x －y ＋2＝0.14．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是________．[答案] 2x －y ＋4＝0[解析] ∵y ′＝6x －4，∴y ′|x ＝1＝2.所求直线的斜率为2，所以所求直线的方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.三、解答题15．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．[解析] 因为f ′(1)＝lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝4， 所以过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k ＝－1，k ＝－14， 所以所求直线方程为y －2＝－14(x －1)， 即x ＋4y －9＝0.16．求曲线y ＝x 3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．[解析] 因为f ′(3)＝lim Δx →0 3＋Δx 3－33Δx ＝27， 所以在点(3,27)处的切线方程为y －27＝27(x －3)，即y ＝27x －54.此切线与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×2×54＝54.17．试求过点M (1,1)且与曲线y ＝x 3＋1相切的直线方程．[解析] Δy Δx ＝x ＋Δx 3＋1－x 3－1Δx ＝3x Δx 2＋3x 2Δx ＋Δx3Δx＝3x Δx ＋3x 2＋(Δx )2，lim Δx →0 Δy Δx＝3x 2，因此y ′＝3x 2. 设过(1,1)点的切线与y ＝x 3＋1相切于点P (x 0，x 30＋1)，据导数的几何意义，函数在点P 处的切线的斜率为k ＝3x 2①，过(1,1)点的切线的斜率k ＝x 30＋1－1x 0－1②，由①＝②得，3x 20＝x 30x 0－1，解之得x 0＝0或x 0＝32，所以k ＝0或k ＝274，因此y ＝x 3＋1过点M (1,1)的切线方程有两条，分别为y －1＝274(x －1)和y ＝1，即27x －4y －23＝0和y ＝1. 18．已知曲线y ＝x 2－1与y ＝x 3＋1在x 0点的切线互相垂直，求x 0的值．[解析] 函数y ＝x 2－1在x 0处的导数为： y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 x 0＋Δx2－1－x 20＋1Δx＝lim Δx →0 2x 0·Δx ＋Δx 2Δx＝2x 0.函数y ＝x 3＋1在x 0处的导数为： y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0x 0＋Δx 3＋1－x 30－1Δx ＝lim Δx →0Δx 3＋3x 0·Δx 2＋3x 20·Δx Δx ＝3x 20， ∵两曲线在x 0处的切线互相垂直，显然两切线的斜率都存在，∴2x 0·3x 20＝－1，解得x 0＝－136.。

第一章 1.4 第1课时一、选择题1．设f (x )是连续函数，且为偶函数，在对称区间[－a ，a ]上的积分⎠⎛－a af (x )d x ，由定积分的几何意义得⎠⎛－a af (x )d x 的值为( )A ．0B ．2⎠⎛－af (x )d xC. ⎠⎛－af (x )d xD ．⎠⎛0a f (x )d x[答案] B[解析] 偶函数图象关于y 轴对称，对称区间上面积相等．2．求由曲线y ＝e x ，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1][答案] B[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝e xy ＝1可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1.所以积分区间为[0,2]．故选B.3.⎠⎛011d x 的值为( )A ．0B ．1 C.12 D ．2[答案] B[解析] 由定积分的几何意义可得⎠⎛011d x 是由x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝1围成的矩形的面积．4．计算f (x )＝x 2在[0,1]上的定积分时，有下列说法：①在0到1之间插入n －1个分点，将区间[0,1]n 等分，过每个分点作x 轴的垂线，将曲边三角形分成n 个小曲边梯形(或三角形)，这n 个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；②当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 近似代替； ③当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替； ④当n 很大时，用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 代替f (x )在⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C [解析] 用f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值得到的积分和是不相等的，但当n →∞时其积分和的极限值相等，都等于f (x )在[0,1]上的定积分．故选C.5．下列积分值等于1的积分是( ) A.⎠⎛01x d xB ．⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD ．⎠⎛0112d x[答案] C[解析] ⎠⎛011d x 的几何意义是由直线x ＝0，x ＝1, y ＝0和y ＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.6．设f (x )在[a ，b ]上连续，将[a ，b ]n 等分，在每个小区间上任取ξi ，则⎠⎛ab f (x )d x 是( )A.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi ) B ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi)·b －an C.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·ξi D ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·(ξi ＋1－ξi ) [答案] B[解析] 由定积分的定义可知B 正确．7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为( )A.33 B ．32C.34D ．1[答案] A8．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－aaf (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－a af (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正[答案] D[解析] 对于A ：因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确，对于B ：因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方或上方且面积相等，故B 正确，C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．故选D.二、填空题9.lim n →＋∞ ⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n ＋1n ·1n 写成定积分是________． [答案] ⎠⎛01x d x10．已知⎠⎛02f (x )d x ＝3，则⎠⎛02[f (x )＋6]d x ＝________.[答案] 1511．定积分⎠⎛243d x 的几何意义是________．[答案] 由直线x ＝2，x ＝4，y ＝0和y ＝3所围成的矩形的面积 三、解答题12．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．[解析] 由曲线所围成的区域图形可知：(1)sin x d x ；(2)⎠⎛-4212x 2d x ；(3)－⎠⎛49(－x 12 )d x .一、选择题1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，可以用________近似代替．( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1n B ．f ⎝⎛⎭⎫2n C ．f ⎝⎛⎭⎫i n D ．f (0)[答案] C2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点函数值f (ξi )(ξ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确 [答案] C3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛ab f (x )d x ( )A ．一定为正B ．一定为负C ．当0<a <b 时为正，当a <b <0时为负D ．以上结论都不对 [答案] A [解析] ∵f (x )>0， ∴曲边梯形在x 轴上方， ∴⎠⎛ab f (x )d x >0.故选A.4．已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4[答案] D[解析] 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S △AEF ＝12|AE ||EF |＝12×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.二、填空题5．正弦曲线y ＝sin x 在[0,2π]上的一段曲线与x 轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．[答案] ⎠⎛2π0|sin x |d x6．已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )d x 等于________．[答案] 367．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛ab f (x )d x 等于________．[答案] 8 三、解答题8．利用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛-22 4－x 2d x ；(2)⎠⎛011－x 2d x .[解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，∴有⎠⎛-224－x 2d x ＝π·222＝2π. (2)∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．∴⎠⎛011－x 2d x ＝14π·12＝14π.9．求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝x 3围成的曲边梯形的面积．(提示：此处用到了求和公式13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2＝[n (n ＋1)2]2)[解析] 将[0,2]平均分成n 等份，每份2n ，第i 个小曲边梯形的面积S 1＝2n ·(2i n )3，S ＝lim n →＋∞ 2n [(2n )3＋(4n )3＋…＋(2n n )3]＝lim n →＋∞ 16n 4(13＋23＋…＋n 3)＝lim n →＋∞ 4(n ＋1)2n 2＝4.。

选修2-2 1.1.1一、选择题1．函数y＝f(x)，当自变量从x0到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x处的变化率C．在x1处的变化率D．在[x0，x1]上的变化率[答案] A2．函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为( )A．Δx＋2B．2Δx＋(Δx)2C．Δx＋3D．3Δx＋(Δx)2[答案] C3．物体做直线运动所经过的路程s可表示为时间t的函数s＝s(t)＝2t2＋2，则在一小段时间[2,2＋Δt]上的平均速度为( )A．8＋2ΔtB．4＋2ΔtC．7＋2ΔtD．－8＋2Δt[答案] A4．函数y＝1x在x＝1到x＝2之间的平均变化率为( )A．－1B．－1 2C．－2D．2[答案] B5．函数f(x)＝2x＋1在区间[1,5]上的平均变化率为( )A.11 5B．－11 5C．2 D．－2 [答案] C[解析] ΔyΔx＝f x2－f x1x2－x1＝f5－f15－1＝2.6．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔyΔx为( )A．Δx＋1Δx＋2B．Δx－1Δx－1C．Δx＋2D．Δx－1Δx＋2[答案] C[解析] ΔyΔx＝1＋Δx2＋1－12－1Δx＝Δx＋2.7．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度是( )A．2Δt＋4B．－2Δt＋4C．2Δt－4D．－2Δt－4[答案] D [解析] Δs Δt＝4－21＋Δt 2－4＋2×12Δt＝－2Δt－4.8．在x ＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x 、②y＝x 2、③y＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( ) A ．④ B ．③ C ．② D ．① [答案] B[解析] Δx＝0.3时，①y＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4.故选B. 9．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx，14Δx2B.⎝⎛⎭⎪⎫Δx，14Δx2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx，14Δx＋12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx，141＋Δx2[答案] C10．函数y ＝－x 2、y ＝1x 、y ＝2x ＋1、y ＝x 在x ＝1附近(Δx 很小时)，平均变化率最大的一个是( )A ．y ＝－x 2B ．y ＝1xC ．y ＝2x ＋1D ．y ＝x [答案] C[解析] y ＝－x 2在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝－(2＋Δx)；y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率为k 2＝－11＋Δx；y ＝2x ＋1在x ＝1附近的平均变化率为k 3＝2；y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率为k 4＝11＋Δx＋1；当Δx 很小时，k 1<0，k 2<0,0<k 4<1，∴最大的是k 3.故选C.二、填空题11．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，ΔyΔx＝________. [答案] (Δx)2＋6Δx＋12 [解析] ΔyΔx＝2＋Δx3－2－23＋2Δx＝(Δx)2＋6Δx＋12.12．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx＝12时平均变化率为________．[答案] 6－2[解析]Δy Δx ＝1＋Δx－1Δx ＝11＋Δx＋1＝6－2. 13．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r∈(0，＋∞)，则当半径r∈[1,1＋Δr]时，圆面积S 的平均变化率为________．[答案] 2π＋πΔr [解析] ΔSΔr＝1＋Δr2·π－π·12Δr＝2π＋π·Δr.14．函数y ＝cosx 在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时的变化率为________；在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2时的变化率为________．[答案]33－6π －3π[解析] 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，Δy Δx ＝cosπ6－cos0π6－0＝33－6π；当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2时，Δy Δx ＝cosπ2－cos π3π2－π3＝0－12π6＝－3π. 因此，y ＝cosx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6和区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上的平均变化率分别是33－6π和－3π.三、解答题15．已知函数f(x)＝2x ＋1，g(x)＝－2x ，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率：(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．[解析] (1)函数f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为f －1－f －3－1－－3 ＝[2×－1＋1]－[2×－3＋1]2＝2，g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为 g－1－g －3－1－－3＝[－2×－1]－[－2×－3]2＝－2.(2)函数f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为 f5－f 05－0＝2×5＋1－2×0＋15＝2，g(x)在区间[0,5]上的平均变化率为g5－g05－0＝－2×5－－2×05＝－2.16．过曲线f(x)＝x3上两点P(2,8)和Q(2＋Δx,8＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．[解析] ∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)3－8＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx，∴割线PQ的斜率k＝ΔyΔx＝Δx3＋6Δx2＋12ΔxΔx＝Δx2＋6Δx＋12.设Δx＝0.1时割线的斜率为k1，则k1＝0.12＋6×0.1＋12＝12.61.17．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．[解析] 第一年婴儿体重平均变化率为11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)；第二年婴儿体重平均变化率为14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)．18．已知某质点按规律s＝2t2＋2t(单位m)做直线运动，求：(1)该质点在前3s内的平均速度；(2)该质点在2s到3s内的平均速度．[解析] (1)由题设知，Δt＝3s，Δs＝s(3)－s(0)＝24，∴平均速度为v＝ΔsΔt＝243＝8m/s.(2)由题意知，Δt＝3－2＝1s，Δs＝s(3)－s(2)＝12m，Δs Δt ＝12m/s.∴平均速度为v＝。

选修2-2 1.2.1一、选择题1．函数f(x)＝－10的导数是( ) A ．0 B ．负数 C ．正数 D ．不确定 [答案] A2．若f(x)＝3x ，则3f′(1)等于( ) A ．0 B.13 C ．1 D.32 [答案] C3．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为3π4的点是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，π28B ．(2,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14 [答案] D4．若函数f(x)＝x ，则f′(1)等于( )A．0B．－1 2C．2D.1 2[答案] D5．直线y＝x5的斜率等于5的切线的方程为( ) A．5x－y＋4＝0B．x－y－4＝0C．x－y＋4＝0或x－y－4＝0D．5x－y＋4＝0或5x－y－4＝0[答案] D[解析] ∵y′|x＝x0＝5x4＝5，∴x＝±1.∴切点坐标为(1,1)，(－1，－1)．又切线斜率为5，由点斜式得切线方程为5x－y＋4＝0或5x－y－4＝0.故选D.6．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝5t，则质点在t＝4时的速度为( )A.125 23B.1105 23C.25523D.110523[答案] B[解析] ∵s′|t ＝4＝15t －45|t ＝4＝110523.故选B.7．已知函数f(x)＝x 3的切线斜率等于1，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 [答案] B[解析] 设切点为(x 0，x 30)，∵f′(x)＝3x 2， ∴k＝f′(x 0)＝3x 20，即3x 20＝1，∴x 0＝±33， 即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线，故选B.8．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0 [答案] A9．(2020·江西文，4)若函数f(x)＝ax 4＋bx 2＋c 满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0 [答案] B[解析] 本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f′(x)＝4ax 3＋2bx ，f′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b)，f′(1)＝4a ＋2b ，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2，要善于观察，故选B.10．若对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为( ) A．f(x)＝x4B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x4＋1D．f(x)＝x4－1[答案] B[解析] 由f′(x)＝4x3知，f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入四个选项中验证，B正确，故选B.二、填空题11．物体的运动方程为s＝t3，则物体在t＝1时的速度为________，在t＝4时的速度为________．[答案] 3 48[解析] s′＝3t2，s′|t＝1＝3，s′|t＝4＝48.12．在曲线y＝4x2上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．[答案] (2,1)[解析] ∵y＝4x－2，∴y′＝－8x－3，∴－8x－3＝－1，∴x3＝8，∴x＝2，∴P点坐标为(2,1)．13．函数y＝x2过点(2,1)的切线方程为________．[答案] (4＋23)x－y－7－43＝0或(4－23)x－y－7＋43＝0.[解析] y′＝2x，设切点P(x0，y)，则y＝x2.切线斜率为2x0＝x2－1x－2，∴x20－4x＋1＝0，∴x＝2±3，∴斜率k＝2x＝4±23，∴切线方程为y －1＝(4±23)(x －2)．14．已P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．[答案] 4x －4y －1＝0[解析] y ＝x 2的导数为y′＝2x ，设切点M(x 0，y 0)， 则y′|x＝x 0＝2x 0.∵PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，又切线平行于PQ ，∴k＝y′|x＝x 0＝2x 0＝1.∴x 0＝12. ∴切点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.∴切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.三、解答题15．求曲线y ＝x 3上过点M(2,8)的切线与坐标轴围成的三角形面积． [解析] ∵y′＝(x 3)′＝3x 2， ∴k＝f′(2)＝3·22＝12， 则切线方程为y －8＝12(x －2)， 即12x －y －16＝0. 令x ＝0，得y ＝－16， 令y ＝0，得x ＝43，∴S＝12|x|·|y|＝323.即所围成的三角形的面积为323.16．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程．[解析] ∵y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，点⎝⎛⎭⎪⎫2，12在曲线y ＝1x 上，∴曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为y′|x ＝2＝－122＝－14，由直线方程的点斜式，得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即y ＝－14x ＋1.17．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．[解析] ∵过抛物线上一点的切线且与直线x －y －2＝0平行的直线与x －y －2＝0的距离最短．y′＝2x ，令2x ＝1 ∴x＝12代入y ＝x 2得y ＝14，∴切点为⎝⎛⎭⎪⎫12，14，则切线方程为y －14＝x －12， 即x －y －14＝0.∴x－y －14＝0与x －y －2＝0的距离为|2－14|12＋－12＝728， ∴728即为所求的最短距离． 18．过点P(－2,0)作曲线y ＝x 的切线，求切线方程． [解析] 设切点为Q(x 0，x 0)，∵y′＝12x，∴过点Q 的切线斜率为：12x 0＝x 0x 0＋2∴x 0＝2，∴切线方程为：y －2＝122(x －2) 即：x －22y ＋2＝0.。

第一章 1.2 第2课时一、选择题1．若f (x )＝cos π4，则f ′(x )为导学号05300134( )A ．－sin π4B ．sin π4C ．0D ．－cos π4答案] C解析] f (x )＝cos π4＝22，∴f ′(x )＝0.2．函数f (x )＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值为导学号05300135( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案] A解析] f ′(x )＝α·x α－1，∴f ′(－1)＝α·(－1)α－1＝－4，∴α＝4. 3．给出下列命题： ①y ＝ln2，则y ′＝12②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2x ·ln2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2其中正确命题的个数为导学号05300136( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案] C解析] 由求导公式知②③④正确．4．设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝导学号05300137( )A. 2B ．－ 2C ．0D ．22答案] A解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A.5．设函数f (x )＝cos x 则⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫π2′等于导学号05300138( ) A ．0 B ．1C ．－1D ．以上均不正确答案] A解析] ∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝cos π2＝0， ∴⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫π2′＝0′＝0，故选A. 6．设函数f (x )＝sin x ，则f ′(0)等于导学号05300139( ) A ．1 B ．－1C ．0D ．以上均不正确答案] A解析] ∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x ， ∴f ′(0)＝cos0＝1.故选A.7．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是导学号05300140( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．12答案] D解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝12，故图象在x ＝2处的切线斜率为12.8．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为导学号05300141( ) A.12 B ．－12C ．1eD ．－1e答案] C解析] ∵y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1，又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e . 二、填空题9．函数f (x )＝sin x 在x ＝π3处的切线方程为________．导学号05300142答案] x －2y ＋3－π3＝010．(2021·新课标Ⅱ文，16)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.导学号05300143答案] 8解析] 由y ′＝1＋1x 可得曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线斜率为2，故切线方程为y ＝2x －1，与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1联立得ax 2＋ax ＋2＝0，明显a ≠0，所以由Δ＝a 2－8a ＝0⇒a ＝8.11．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是______________．导学号05300144 答案] y ＝x －1解析] ∵曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0) ∴y ′|x ＝1＝1，切线的斜率为1， 所求切线方程为：y ＝x －1. 三、解答题12．(1)y ＝e x在点A (0,1)处的切线方程；导学号05300145 (2)y ＝ln x 在点A (1,0)处的切线方程． 解析] (1)∵(e x )′＝e x ，∴y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为1.∴切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0. (2)∵(ln x )′＝1x，∴y ＝ln x 在点A (1,0)处的切线的斜率为1. ∴切线方程为y ＝1×(x －1)，即x －y －1＝0.一、选择题1．物体运动的图象(时间x ，位移y )如图所示，则其导函数图象为导学号05300146( )答案] D解析] 由图象可知，物体在OA ，AB ，BC 三段都做匀速运动，位移是时间的一次函数，因此其导函数为常数函数，并且直线OA ，直线AB 的斜率为正且k OA >k AB ，直线BC 的斜率为负，故选D.2．下列函数中，导函数是奇函数的是导学号05300147( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x C ．y ＝ln x D ．y ＝cos x －12答案] D解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.3．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2021(x )的值是导学号05300148( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x答案] D解析] 依题意：f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ， f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，按以上规律可知：f2021(x)＝f3(x)＝－cos x，故选D.4．(2022·山东文，10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线相互垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是导学号 05300149()A ．y＝sin x B．y＝ln xC．y＝e x D．y＝x3答案] A解析]设两切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．选项A中，y′＝cos x，cos x1cos x2＝－1，当x1＝0，x2＝π时满足，故选项A中的函数具有T性质；选项B、C、D中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不行能为－1，故选A.二、填空题5．过原点作曲线y＝e x的切线，则切点坐标为________，切线方程为________．导学号05300150答案](1，e)y＝e x解析]设切点为(x0，e x0)，又y′＝(e x)′＝e x，∴切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝e x0，∴切线方程为y－e x0＝e x0(x－x0)．又切线过原点，∴－e x0＝－x0·e x0，即(x0－1)·e x0＝0，∴x0＝1，∴切点为(1，e)，斜率为e，∴切线方程为y＝e x.6．函数y＝log2x图象上一点A(a，log2a)处的切线与直线(2ln2)x＋y－3＝0垂直，则a＝________.导学号05300151答案] 2解析]y＝log2x在点A(a，log2a)处的切线斜率为k1＝y′|x＝a＝1x ln2|x＝a＝1a ln2.已知直线斜率k2＝－2ln2.∵两直线垂直，∴k1k2＝－2a＝－1，∴a＝2.7．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为________．导学号05300152答案](2，＋∞)解析]由f(x)＝x2－2x－4ln x，得函数定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝2x－2－4x＝2x2－2x－4x＝2·x2－x－2x＝2·(x＋1)(x－2)x，f′(x)>0，解得x>2，故f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．三、解答题8．设点P是y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最短距离．导学号05300153解析]依据题意得，平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图，即求在曲线y＝e x上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．令P(x0，y0)，∵y′＝(e x)′＝e x，∴由题意得e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最短距离为22.9．已知两条曲线y＝sin x、y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线相互垂直？并说明理由．导学号05300154解析]由于y＝sin x、y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′|x＝x0＝cos x0，k2＝y′|x＝x0＝－sin x0.若使两条切线相互垂直，必需cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不行能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线相互垂直．。

2.3.1抛物线及其标准方程一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．圆D ．双曲线[答案] A[解析] ∵定点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，∴轨迹为直线． 2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±62B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，±32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，±102[答案] B[解析] 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14＝2，∴x 0＝74，∴y 0＝±72.3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8[答案] B[解析] ∵y ＝ax 2，∴x 2＝1ay ，其准线为y ＝2，∴a <0,2＝1－4a ，∴a ＝－18.4．(2010·湖南文，5)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．12[答案] B[解析] 本题考查抛物线的定义．由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是 ( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上答案都有可能[答案] B[解析] 特值法：取AB 垂直于抛物线对称轴这一情况研究．6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y[答案] C[解析] 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线．7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[答案] B[解析] 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意． 因为焦点坐标为(1,0)， 设直线方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±233.因而这样的直线有且仅有两条．8．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( ) A ．20 B ．8 C ．22D ．24[答案] A[解析] 设P (x 0,12)，则x 0＝18， ∴|PF |＝x 0＋p2＝20.9．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2 3B. 3C.123 D.143 [答案] B[解析] p 2＝c ＝32，∴p ＝ 3.10．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )[答案] D[解析] 解法一：将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0转化为标准方程x 21a 2＋y 21b 2＝1，y 2＝－a bx .因为a >b >0，因此1b >1a>0. 所以有椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左．解法二：将方程ax ＋by 2＝0中的y 换成－y ，其结果不变，即说明ax ＋by 2＝0的图象关于x 轴对称，排除B 、C ，又椭圆的焦点在y 轴，排除A. 二、填空题11．已知圆x 2＋y 2＋6x ＋8＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________. [答案] 4或8[解析] 抛物线的准线方程为：x ＝－p2，圆心坐标为(－3,0)，半径为1，由题意知3－p 2＝1或p2－3＝1，∴p ＝4或p ＝8.12．到点A (－1,0)和直线x ＝3距离相等的点的轨迹方程是________． [答案] y 2＝8－8x[解析] 设动点坐标为(x ，y )， 由题意得(x ＋1)2＋y 2＝|x －3|，化简得y 2＝8－8x .13．以双曲线x 216－y 29＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________．[答案] y 2＝－20x[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 又p ＝10，∴y 2＝－20x .14．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y 2＝2x 的准线和双曲线x 216－y 29＝1的渐近线都相切，则圆心的坐标是________．[解析] 设圆心坐标为(a ，b )，则a >0，b >0. ∵y 2＝2x 的准线为x ＝－12，x 216－y 29＝1的渐近线方程为3x ±4y ＝0. 由题意a ＋12＝1，则a ＝12.|3a ±4b |＝5，解得b ＝138或b ＝78，∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，138、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，78.三、解答题15．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M 点的横坐标及抛物线方程．[解析] ∵点M 到对称轴的距离为6， ∴设点M 的坐标为(x,6)． ∵点M 到准线的距离为10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧62＝2px x ＋p 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9p ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1p ＝18，故当点M 的横坐标为9时，抛物线方程为y 2＝4x . 当点M 的横坐标为1时，抛物线方程为y 2＝36x .16．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝y 2－8. (1)求动点P 的轨迹方程．(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点． 求证：OC ⊥OD (O 为原点)[解析] (1)由题意可得PA →·PB →＝(－x ，－2－y )·(－x,4－y )＝y 2－8 化简得x 2＝2y(2)将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 中，得x 2＝2(x ＋2) 整理得x 2－2x －4＝0 可知Δ＝20>0设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4∵y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2∴y 1y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4 ∵OC →·OD →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴OC ⊥OD17．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的任意一条直线m ，交抛物线于P 1，P 2两点，求证：以P 1P 2为直径的圆和该抛物线的准线相切．[证明] 如下图，设P 1P 2的中点为P 0，过P 1，P 2，P 0分别向准线l 引垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，Q 0，根据抛物线的定义，得|P 1F |＝|P 1Q 1|，|P 2F |＝|P 2Q 2|，所以|P 1P 2|＝|P 1F |＋|P 2F |＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|.因为P 1Q 1∥P 0Q 0∥P 2Q 2，|P 1P 0|＝|P 0P 2|，所以|P 0Q 0|＝12(|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|)＝12|P 1P 2|.由此可知，P 0Q 0是以P 1P 2为直径的圆P 0的半径，且P 0Q 0⊥l ，因此，圆P 0与准线相切．18．抛物线的焦点F 是圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心． (1)求该抛物线的标准方程；(2)直线l 的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l 与抛物线、圆依次交于A ，B ，C ，D ，求|AB |＋|CD |.[解析] (1)由圆的方程知圆心坐标为(2,0)．因为所求的抛物线以(2,0)为焦点，所以抛物线的标准方程为y 2＝8x .(2)如右图，|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |，又|BC |＝4，所以只需求出|AD |即可．由题意，AD 所在直线方程为y ＝2(x －2)，与抛物线方程y 2＝8x 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝2(x －2)⇒x 2－6x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4，|AD |＝|AF |＋|DF |＝(x 1＋2)＋(x 2＋2)＝x 1＋x 2＋4＝6＋4＝10，所以|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |＝6.[点拨] 本题求出x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝4后可以利用弦长公式来求，但直接利用抛物线定义得|AD |＝|AF |＋|DF |＝x 1＋x 2＋p ，则简单利落．。

第二章 2.3 第1课时一、选择题1．若随机变量X ～B (5,0.8)，则E (X )的值为( ) A ．0.8 B ．4 C ．5 D ．3[答案] B[解析] ∵X ～B (5,0.8)， ∴E (X )＝5×0.8＝4.2．样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y n )的平均数为y (x ≠y )．若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝αx ＋(1－α)y ，其中0<α<12，则n ，m 的大小关系为( )A ．n <mB ．n >mC ．n ＝mD ．不能确定[答案] A[解析] 由题意，x 1＋x 2＋…＋x n ＝n x ，y 1＋y 2＋…＋y m ＝m y ， z ＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋y 1＋y 2＋…＋y m m ＋n ＝n m ＋n x ＋m m ＋n y .∴n m ＋n ＝α，∴0<n m ＋n <12，∴m >n . 3．若随机变量ξ～B (n,0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值是( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44 D ．3×0.64[答案] C[解析] ∵E (ξ)＝n ×0.6＝3，∴n ＝5.∴P (ξ＝1)＝C 15×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44.故选C ．4．(2015·衡水高二检测)设随机变量ξ的分布列如下表所示且E (ξ)＝1.6，则a －b ＝( )ξ 0 1 2 3 P0.1ab0.1A ．0.2C ．－0.2D ．－0.4[答案] C[解析] 由0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，得a ＋b ＝0.8①又由E (ξ)＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3② 由①②解得a ＝0.3，b ＝0.5，∴a －b ＝－0.2.故选C ． 5．设E (X )＝10，则E (3X ＋5)等于( ) A ．35 B ．40 C ．30 D ．15[答案] A[解析] E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝3×10＋5＝35.6．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的期值为1(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( )A ．148B ．124C ．112D ．16[答案] B[解析] 3a ＋2b ＋0×c ＝1，∴3a ＋2b ＝1， ∴ab ＝16×(3a ×2b )≤16×(3a ＋2b 2)2＝124.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝16，b ＝14成立．7．(2015·长春高二检测)口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3球，以ξ表示取出的球的最大号码，则E (ξ)＝( )A ．4B ．5C ．92D ．154[答案] C[解析] ξ的可能取值为3,4,5，P (ξ＝3)＝1C 35＝110，P (ξ＝4)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝5)＝C 24C 35＝610，故E (ξ)＝3×110＋4×310＋5×610＝92.二、填空题8．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X 的均值E (X )＝________.[答案]503[解析] 这是100次独立重复试验，X ～B ⎝⎛⎭⎫100，16， ∴E (X )＝100×16＝503.9．已知某离散型随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝76，ξ的分布列如下表：则a ＝________. [答案] 13[解析] E (ξ)＝76＝0×a ＋1×13＋2×16＋3b ⇒b ＝16，又P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝1⇒a ＋13＋16＋16＝1⇒a ＝13.三、解答题10．某班联欢晚会玩飞镖投掷游戏，规则如下：每人连续投掷5支飞镖，累积3支飞镖掷中目标即可获奖；否则不获奖．同时要求在以下两种情况下中止投掷：①累积3支飞镖掷中目标；②累积3支飞镖没有掷中目标．已知小明同学每支飞镖掷中目标的概率是常数p (p >0.5)，且掷完3支飞镖就中止投掷的概率为13.(1)求p 的值；(2)记小明结束游戏时，投掷的飞镖支数为X ，求X 的分布列和数学期望． [解析] (1)由已知P (X ＝3)＝p 3＋(1－p )3＝13，解得p ＝13或p ＝23.∵p >0.5，∴p ＝23.(2)X 的所有可能取值为3,4,5.P (X ＝3)＝13，P (X ＝4)＝[C 23×(23)2×13]×23＋[C 23×(13)2×23]×13＝1027， P (X ＝5)＝C 24×(23)2×(13)2＝827(或P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝827)． X 的分布列为P13 1027 827∴X 的数学期望为E (X )＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727.一、选择题1．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )A ．126125B ．65C ．168125D ．75[答案] B[解析] 题意知X ＝0、1、2、3，P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125，∴E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65.2．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为ξ，则E (ξ)＝( )A ．0.765B ．1.75C ．1.765D ．0.22[答案] B[解析] 设A 、B 分别为每台雷达发现飞行目标的事件，ξ的可能取值为0、1、2. P (ξ＝0)＝P (A ·B )＝P (A )·P (B ) ＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015.P (ξ＝1)＝P (A ·B ＋A ·B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22.P (ξ＝2)＝P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.9×0.85＝0.765. ∴E (ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.故选B. 3．已知随机变量p 的分布列为其中m ，n ∈[0,1)，且E (P )＝16，则m ，n 的值分别为( )A ．112，12B ．16，16C ．14，13D ．13，14[答案] D [解析] 由题意得⎩⎨⎧112＋m ＋n ＋112＋16＋112＝1，－2·112＋(－1)m ＋0·n ＋1·112＋2·16＋3·112＝16，即⎩⎨⎧m ＋n ＝712，12－m ＝16.∴⎩⎨⎧m ＝13，n ＝14.二、填空题4．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.[答案] 2[解析] 设？处为x ，！处为y ，则由分布列的性质得2x ＋y ＝1，∴期望E (ξ)＝1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝4x ＋2y ＝2.5．设离散型随机变量ξ可能取的值为1、2、3、4.P (ξ＝k )＝ak ＋b (k ＝1、2、3、4)．又ξ的数学期望E (ξ)＝3，则a ＋b ＝________.[答案]110[解析] 由已知得，(a ×1＋b )＋(a ×2＋b )＋(a ×3＋b )＋(a ×4＋b )＝1，即10a ＋4b ＝1①又E (ξ)＝3，故(a ＋b )×1＋(2a ＋b )×2＋(3a ＋b )×3＋(4a ＋b )×4＝3，即30a ＋10b ＝3② 联立①、②，解得b ＝0，a ＝110，∴a ＋b ＝110.三、解答题6．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；(2)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列． [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)随机变量ξ可能取的值为1,2，事件“ξ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (ξ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝2)＝34，ξ的分布列是7．(2015·陕西理，19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道 路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T (2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．[解析] (1)由统计结果可得T 的频率分布为以频率估计概率得T 的分布列为从而E (T )＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．(2)设T 1、T 2分别表示往、返所需时间，T 1、T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．P (A )＝P (T 1＋T 2＞70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09，故P (A )＝1－P (A )＝0.91.8．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列； (2)求X 的数学期望E (X )．[解析] (1)由题意得X 取3,4,5,6，且 P (X ＝3)＝C 35C 39＝542；P (X ＝4)＝C 14·C 25C 39＝1021；P (X ＝5)＝C 24·C 15C 39＝514；P (X ＝6)＝C 34C 39＝121.所以X 的分布列为(2)由(1)知E (X )＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133.。